Макро- и микроскопические модели для описания движения автотранспорта на многополосных магистралях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

Б.Н. Четверушкин, М.А. Трапезникова, И.Р. Фурманов, Н.Г. Чурбанова Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Макро- и микроскопические модели для описания движения автотранспорта на многополосных магистралях

Работа посвящена математическому моделированию автотранспортных потоков на улицах больших городов и магистралях. Разработаны оригинальные двумерные макроскопическая и микроскопическая модели для описания автомобильного движения на многополосных трассах с учётом их реальной геометрии. Макроскопическая модель синхронизованных потоков основана на кинетическом подходе по аналогии с квазигазодинамической системой уравнений. Микроскопическая модель использует теорию клеточных автоматов. Обе модели обобщены на случай «многофазного» движения для описания неоднородных потоков транспорта. Под фазой понимается группа автомобилей, объединённых общими характеристиками. Тестовые расчёты демонстрируют адекватность предложенных моделей различным дорожным ситуациям.

Ключевые слова: автотранспортные потоки, микроскопические и макроскопические модели, многополосное движение, многофазные потоки транспорта.

I. Введение

В процессе развития теории движения автотранспорта сформировалось два основных подхода к проблеме математического моделирования автотранспортных потоков [1].

Первый из них — макроскопический [2] — используется для описания движения автотранспорта на больших расстояниях, намного больших, чем размеры самих автомобилей и при этом плотность транспортного потока достаточно велика (так называемое «синхронизованное» движение). В этих условиях все водители вынуждены придерживаться одинаковых стратегий поведения и подчиняться общим правилам и закономерностям. В такой ситуации справедливо приближение «сплошной среды» и автотранспортные потоки могут рассматриваться как движение сла-босжимаемой жидкости. В данной работе для вывода системы уравнений, описывающих движение транспорта, используется кинетический подход по аналогии с квазигазодинамической системой уравнений [3].

Второй подход — микроскопический [4] — рассматривает движение автомобилей как движение отдельных частиц и является наиболее эффективным при описании движения на небольших расстояниях, например, на перекрёстках. Каждый автомобиль характеризуется своей текущей скоростью, может иметь своё собственное ограничение по скорости и может иметь свою собственную цель, которые для разных автомобилей могут быть различными. Движение автомобилей происходит по законам, общим для всех участников движения, при этом должна быть обеспечена безопасность движения.

Подавляющее большинство существующих как макро-, так и микромоделей посвящено описа-

нию однополосного движения и позволяет исследовать только движение по однополосным трассам. В этом случае влияние соседних полос можно учитывать, вводя источники и стоки в правых частях уравнений. Однако такой подход слишком громоздок, а в случае четырёх и более полос вообще труднореализуем. В [5-6] была предложена двумерная, многополосная макроскопическая модель транспортных потоков, использующая реальную геометрию дороги и использующая идеологию, положенную в основу квазигазодинамиче-ских уравнений. В данной работе предложенная модель получила дальнейшее развитие.

Однако следует отметить, что при исследовании движения на малых дистанциях порядка одного километра приближение «сплошной среды» не может быть использовано, так как в этом случае следует принимать во внимание возможные различия в характеристиках каждого отдельного автомобиля. Для более детального описания таких автомобильных потоков в данной работе предлагается новая двумерная микроскопическая модель, использующая теорию клеточных автоматов. Кроме того, обе модели (макро- и микроскопическая) обобщаются на случай «многофазных» потоков, когда поток неоднороден и состоит из групп автомобилей, объединённых некоторыми общими параметрами, такими как общее ограничение скорости, общая конечная цель и т.д.

II. Макроскопическая модель

Макроскопические модели движения автотранспорта описывают потоки, скорость которых далека от скорости свободного движения. В этих условиях, по аналогии с газовой динамикой, могут быть введены некоторые усреднённые характеристики движения. Такими характеристиками являются, например, плотность потока р как чис-

ло машин на полосу на единицу длины, скорость и как средняя скорость автомобилей, а также поток ц = ри как функция плотности и скорости.

Система уравнений для описания автомобильного движения отличается от систем уравнений газовой динамики тем, что в ней присутствуют члены, возникающие благодаря наличию так называемого «человеческого фактора». Это, например, ускоряющая/замедляющая сила:

f - аР,

ускорение:

a=

равновесная скорость:

leq

T

u

eq

uf 1 -

pja

(l)

(2)

(З)

здесь и$ — это скорость свободного движения автомобилей, р^ат — плотность, при которой возникают автомобильные «пробки», а время релаксации (реакции водителя на дорожную ситуацию):

т = to ( 1 +

rp

pja

rp

(4)

іо и г — феноменологические константы, скоростное ограничение: 0 ^ и ^ итах, где итах — максимальная разрешённая скорость.

Вводится аналог давления как реакция водителя на ситуацию впереди автомобиля:

P = Ax

р/зх

/3-Х

(5)

где Хх и вх — феноменологические константы.

Простое обобщение одномерной модели на двумерный случай невозможно из-за неэквивалентности движения вдоль и поперёк дороги. В работе [6] для описания перехода машины из одной полосы в другую было введено понятие «боковой» скорости. Таким образом, машины могут перестраиваться в полосу с большей скоростью или с меньшей плотностью, или если водитель хочет достичь определённой цели. Боковая скорость состоит из следующих трёх слагаемых:

перестроение на полосу с большей скоростью:

k ■ п

Л,“ у ду >

перестроение на полосу с меньшей плотностью: пр = -кр ■ «§£;

движение к определённой цели:

= ( г ^ г ,2 (yd.es У) •

x)2

Здесь ки, кр, кдеь — феноменологические константы, (хйеэ,Уд,еэ) — координаты желаемой цели.

В конечном виде двумерная система уравнений, описывающая автотранспортные потоки, была получена по аналогии с квазигазодинамиче-ской (КГД) системой уравнений [3]. Одним из критериев газодинамических течений является число Кнудсена — отношение характерной длины газовой среды (длина свободного пробега молекул) к

характерной длине течения. В газовой динамике Kn ^ 10~3. Для автотранспортных потоков в качестве длины свободного пробега можно рассматривать среднее расстояние между автомобилями, следовательно, в этом случае Kn « 0,1. КГД система хорошо зарекомендовала себя в широком диапазоне чисел Кнудсена, в том числе и в сторону его увеличения, что явилось причиной использования её для вывода системы уравнений транспортных потоков.

По аналогии с КГД системой вводятся дополнительные потоки массы, обеспечивающие сглаживание решения на расстоянии, равном характерной длине рассматриваемой среды. Для транспортных потоков характерные длины вдоль и поперёк движения не равны друг другу. Вдоль дороги это среднее расстояние 6(и) между автомобилями, зависящее от скорости и, а поперёк дороги характерная длина — это ширина одной полосы.

В КГД системе уравнений вводится также понятие характерного времени (время преодоления молекулой длины свободного пробега). Для автотранспортных потоков можно также ввести характерное время как пересечение некоторой точки несколькими автомобилями:

~ _ 1 (РЛ

Г, » —, Т„* (6)

Для простоты Тх и Ту можно считать неизменными, так как при синхронизованном движении они мало зависят от скорости.

В правой части уравнения неразрывности вводятся дополнительные потоки Шх и Шу, сглаживающие решение вдоль и поперёк магистрали:

Tx д

и' = 2-J-y

+ P),

= ті

dpv2 в др

-Ь— + \урР* -ф ду y ду

(7)

(8)

Аналогичные потоки вводятся и в уравнение сохранения импульса.

Учитывая (1)-(8) и обобщая всё вышесказанное, была получена следующая система уравнений, описывающая движение транспортных потоков:

др дри дру

дх ду

дї +

д_

дх

д

' ~2~дх^риГ +Р^>+~-

д

дх

I +

+

дрм дри? друт dt дх ду

/_£P + £(yi(pu3 + 3Pu)) + +І (jhWv)] +

p

ду \ 2 \ду д (ту д

д

, - ь д и і ■ др -и г -

V — киР ^ кр'и ^ -|- к^е8-

дх V 2

и2

ду ду (хйеа - х)2

(уйев у)-(11)

В модели используется большое количество констант и параметров, которые могут быть определены эмпирическим путём из статистических или экспериментальных данных. В расчётах, приведённых ниже, использовались следующие значения:

22

А* = 60^-, Лу=4^, /Зх = 2, /Зу = 0,

тх = 2 • 10~3 ч, ту = 3 • 10~4 ч.

іо = 50 с, г = 0,95, р^с

120-

авт

км полоса

км км

II ^ = 90 , ^тах = .

чч

III. Микроскопическая модель

При построении микроскопической модели, способной адекватно описывать движение автотранспорта на небольших расстояниях, использовалась теория клеточных автоматов. Клеточные автоматы — это идеализация физической системы, в которой пространство и время предполагаются дискретными и каждая из взаимодействующих единиц имеет конечное число дискретных состояний. Для описания динамики транспортных потоков методы клеточных автоматов развиваются с 80-х годов XX века. В данном подходе трасса представляется в виде одномерной решетки. Каждая ячейка этой решетки может содержать или не содержать одну и только одну частицу, которая в данной модели означает машину. Частицы перескакивают с одной ячейки на другую (свободную) обычно в одном направлении. В случае однополосного движения они не могут обгонять друг друга. Так как время и пространство дискретны, скорость и ускорение также принимают только дискретные значения. Передвижение частиц в таких моделях регулируется правилами обновления состояний ячеек, которые обычно содержат вероятностные характеристики. Правила одинаковы для всех ячеек и применяются ко всем ячейкам параллельно, то есть за один шаг по времени меняются все ячейки.

Обычно новое состояние ячейки — функция от состояния ячейки только на предыдущем временном шаге, однако иногда необходимо принимать во внимание и состояние некоторых ячеек в другие моменты времени. Правила клеточных автоматов обладают свойством локальности, поэтому

для получения текущего состояния ячейки требуется знать только состояния некоторых ее соседей. Эти соседи называются окрестностью ячейки. Обычно окрестность ячейки невелика и состоит из нескольких соседних ячеек (от 4 до 8 соседних ячеек в двумерном случае), иначе правила становятся слишком сложными.

Длина одной ячейки равна длине участка дороги, который занимает одна машина, когда стоит в пробке, то есть длине самой машины и расстоянию между соседними машинами. Обычно используется длина ячейки в 7.5 метров. Скорость машины показывает, сколько ячеек она преодолевает за один временной шаг. Длина ячейки, максимальная скорость и временной шаг полностью описывают простейшую модель.

Одной их наиболее известных одномерных моделей микроскопического типа является модель Нагеля-Шрекенберга [4]. В этой модели для каждой машины заданы скорость от 0 до некоторой величины Утах, величина ! — расстояние между текущей машиной и следующей перед ней, Уп — скорость текущей машины с номером п. Правило обновления состоит из следующих подшагов:

1. Ускорение. Если Уп < Утах, то скорость п-го автомобиля увеличивается на единицу, если Уп = Утах, то скорость не изменяется.

2. Торможение. Если ! < УП 1, то скорость

п-го автомобиля уменьшается до ! — 1.

3. Случайные возмущения. Если Уп > 0,то скорость п-го автомобиля может быть уменьшена на единицу с вероятностью р, скорость не изменяется, если Уп = 0.

4. Движение. Каждый автомобиль продвигается вперед на количество ячеек, соответствующее его новой скорости после выполнения предыдущих шагов.

Первый шаг отражает общее стремление всех водителей ехать как можно быстрее. Второй гарантирует отсутствие столкновений с впереди идущими автомобилями. Элемент стохастично-сти, учитывающий случайности в поведении водителей, вносится на третьем шаге.

Модель Нагеля-Шрекенберга воспроизводит только основные особенности реального потока. В данной работе эта модель была взята за основу для описания движения на относительно коротких участках и получила своё дальнейшее развитие путём усложнения логики поведения водителей и внесения дополнительной характеристики автомобиля — желаемая конечная цель.

Для моделирования многополосного движения приведенная выше модель была обобщена на двумерный случай. Трасса в этом случае представляет собой двумерную решетку, где количество ячеек в поперечном направлении соответствует числу полос трассы. В такой модели разрешены пе-

рестроения машин из полосы в полосу и обгоны. Процесс обновления состояний ячеек делится на два подшага:

1. Для каждой машины выясняется возможность и необходимость смены полосы. Производится смена полосы. Этот подшаг выполняется параллельно для всех машин.

2. Производится движение вперед по каждой полосе по правилам однополосного движения.

Смена полос должна происходить за один временной шаг. Если в одном направлении существуют больше, чем две полосы, то может возникать конфликт, когда две машины с крайних полос желают сместиться в среднюю и занять одну и ту же ячейку. Такой конфликт легко преодолеть, если разрешить перестроение вправо только на четных шагах, а влево — только на нечетных.

Для смены полос существует несколько причин: на соседней полосе выше скорость движения либо меньше плотность, перестроение на соседнюю полосу необходимо для успешного достижения цели движения. С другой стороны, перед сменой машиной полосы необходимо проверить, выполнены ли условия безопасности. В целом условия для смены полосы выглядят следующим образом:

1. Машина находится в зоне, где разрешена смена полосы.

(а) Смена полосы ведет к увеличению скорости (снижению плотности) или необходима для достижения цели.

2. Ячейка, на которую перестраивается машина, свободна.

(а) Условие безопасности: расстояние на целевой полосе позади больше или равно Утах, впереди больше или равно У машины, и при этом смена полосы происходит с некоторой вероятностью.

Алгоритм, предлагаемый в данной работе, обеспечивает возможность достижения цели. Целями автомобилей при многополосном движении могут быть, например, съезд с дороги или поворот в определенную сторону на светофоре. В обоих случаях машины, начиная с определенного момента времени, стремятся перестроиться в целевую полосу, игнорируя значения плотности и скорости на ней. Тем не менее водители не могут забыть про правила безопасности и вынуждены им подчиняться. Таким образом, если цель достаточно близко, машины сворачивают на целевую полосу при первом удобном случае и больше из этой полосы не уходят. Может возникнуть ситуация, когда водитель не успевает перестроиться в нужную полосу до самого достижения цели. В таких

случаях ему придется остановиться в соседней от цели полосе и ждать возможности «вклиниться» в целевую полосу. При этом он может заблокировать продвижение других машин вперед на текущей полосе.

Дистанция, начиная с которой водители пытаются намеренно перестроиться в целевой ряд, взята из общих соображений и, вообще говоря, зависит от плотности потока. В разных задачах она составляет 75-150 метров.

Таким образом, в описываемой модели для каждой машины необходимо хранить параметр цели. Цели у автомобилей обязательны и поменять их они не могут.

Рис. 1. Эволюция ступеньки высокой плотности макроскопическая модель

Рис. 2. Эволюция ступеньки высокой плотности — микроскопическая модель

Далее представлены результаты расчетов одномерной и двумерной тестовых задач, проведенных с использованием макроскопической и микроскопической моделей. Первая тестовая задача — одномерная — распространение скачка плотности вдоль трассы. Распределение автомобилей на трассе в начальный момент времени представляет собой ступеньку достаточно высокой плотности — порядка 80 машин на километр. На рис. 1 и 2 показан профиль плотности вдоль трассы (здесь и далее для макроскопической модели длина трассы указана в километрах, а для микроскопической модели — в метрах) на последовательные моменты времени, полученный на основе соответственно макро- и микроскопической моделей. Качественно результаты расчетов согласуются: ступенька плотности со временем «движется» назад. Это обу-

словлено тем, что поток машин в ступеньке практически достигает максимальной пропускной способности дороги. Различия в графиках связаны с разными подходами к моделированию реального поведения водителей на дороге и особенностями осреднения результатов расчетов для микроскопического метода.

Второй тест — двумерная задача о движении по трассе, имеющей локальное расширение и изображённой на рис. 3.

3

! 2 |=С> ^ Цепь для л 3-ей ПОЛОСЫ

: 1 =>

Рис. 3. Постановка задачи о движении по дороге с локальным расширением

Г....... I ............. I : : : . I ■ I I I I

0 7500

Рис. 6. Среднее значение плотности вдоль трассы — микроскопическая модель

IV. Неоднородные транспортные потоки

На рис. 4, 5 показаны результаты расчётов, полученных с использованием макроскопической модели. На широком участке плотность автомобилей падает (рис. 4), а скорость возрастает (рис. 5). Однако после сужения трассы до двух полос плотность значительно возрастает, а скорость соответственно падает. Поток автомобилей на выходе с трассы становится меньше, чем на входе. В результате можно сделать вывод о том, что локальное расширение ухудшает общую ситуацию на дороге: пропускная способность трассы с локальным расширением меньше, чем была бы у трассы без расширения.

, Іц 1 Й01.5 1 5/1°/ 15

I 30 : а в т/км-о і ? )Чгі 1 ш Х^С-11 і 44 авт/км-п

І 30 : а в т/км-п \ \ 11 \ 25 44 авт/км-п

і і і 2 1 1 3 4 5 і і 6 7

Рис. 4. Поле плотности — макроскопическая модель

79

км/ч

=90 : КМ/Ч 1 1,2 Й 1 'х03, II 11 I і _ш)ч=

1=90= ; КМ/Ч = ---90 км/ч —4= - 61= -КМ/Ч :

—I-----------------------------------------------------1-1-1-1-1-г

1 2 3 4 5 6 7

Рис. 5. Линии тока и значения скорости — макроскопическая модель

На рис. 6 приведён график осреднённой по ширине трассы плотности на разные моменты времени. Видно, что в конце расширения также наблюдается уплотнение потока.

Приведенные выше модели описывают «однородные» транспортные потоки, то есть автомобили различаются только своими координатами. Однако в действительности на дороге присутствуют автомобили различных типов, например, грузовые и легковые. Они могут не только различаться своими характеристиками (скорость свободного движения, время релаксации потока), но и поведением на дороге. Например, грузовые автомобили могут стремиться занять правую полосу. Кроме того, транспортные средства имеют различный маршрут. Ещё большую важность представляют различные пункты назначения транспортных средств, когда изначально однородный поток сложным образом разделяется на несколько компонент.

Для описания таких сложных потоков введем понятие многофазности, под фазой будем понимать группу автомобилей, объединенных некоторыми общими характеристиками. Обе предложенные выше модели были обобщены на многофазный случай. Для макроскопической модели уравнения (9)—(11) были модифицированы с учётом различных фазовых характеристик: у каждой фазы свои плотность, скорость, боковая скорость, конечная цель и т.д. Соответственно модифицированная система уравнений содержит уравнения неразрывности, уравнения сохранения импульса и уравнения боковой скорости для каждой фазы.

В качестве тестового расчета исследовалась следующая задача. Имеются два типа автомобилей, различающиеся по своей конечной цели: фаза

1, составляющая 1/3 всего потока, — это автомобили, поворачивающие направо, и фаза 2, составляющая 2/3 потока, это автомобили, следующие прямо (рис. 7).

На рис. 8 представлены результаты расчётов с использованием макроскопической модели. Видно, что первая фаза, стремясь повернуть, на некоторое время вытесняет с первой полосы вторую фазу. Перед съездом наблюдается скачок плотности обеих фаз. После съезда первая фаза исчезает

с трассы, а автомобили второй фазы равномерно распределяются по всей ширине дороги.

Рис. 7. Постановка задачи о двухфазном движении автомобилей

Рис. 8. Поля плотности и линии тока в задаче о двухфазном движении автомобилей — макроскопическая модель

На рис. 9 представлены результаты расчётов, полученные с использованием микроскопической модели.

о 7500

Рис. 9. Среднее значение плотности вдоль трассы в задаче о двухфазном движении автомобилей — микроскопическая модель

Здесь линией 1 изображена плотность первой фазы, линией 2 — плотность второй фазы, а линией 3 — сумма плотностей обеих фаз.

Тестовые расчёты продемонстрировали качественное совпадение результатов, полученных с использованием обеих — макро- и микроскопиче-

ской — моделей при режимах автомобильного движения, когда они обе применимы.

V. Заключение

Созданные математические модели могут быть положены в основу комплекса программ, позволяющего:

• прогнозировать возникновение заторов и пробок и давать рекомендации по способам их устранения;

• определять характер влияния геометрических параметров магистрали (сужения, расширения, изменение полосности) и режимов регулирования (светофоры) на пропускную способность транспортных систем;

• давать рекомендации по выбору оптимальной ширины трассы и расположению «карманов» вдоль дороги;

• моделировать пропускную способность сходов и въездов различного типа, оптимизировать транспортные развязки;

• изучать влияние изменения дорожных стандартов на динамику транспортных потоков.

Литература

1. Klar A., Wegener R. A hierarchy of models for multilane vehicular traffic I: Modeling // SIAM J. Appl. Math. — 1999. — V. 59. — P. 983-1001.

2. Lighthill M.H., Witham G.B. On kinematic waves: A theory of traffic flow on long crowded roads // Proc. Royal. Soc. Ser. A. — 1955. — V. 229, N. 1178. — P. 317-345.

3. Четверушкин Б.Н. Кинетические схемы и квазигазодинамическая система уравнений. — М.: МАКС Пресс, 2004.

4. Nagel K., Schreckenberg M. A Cellular automation model for freeway traffic // J. Phys.

I France. — 1992. — V. 2, N. 2221.

5. Карамзин Ю.Н., Трапезникова М.А., Четверушкин Б.Н., Чурбанова Н.Г. Двумерная модель автомобильных потоков // Математическое моделирование. — 2006. — Т. 18, № 6. — С. 85-95.

6. Сухинова А.Б., Трапезникова М.А., Четверушкин Б.Н., Чурбанова Н.Г. Двумерная макроскопическая модель транспортных потоков // Математическое Моделирование. — 2009. — Т. 21, № 2. — С. 118-126.

Поступила в редакцию 15.10.2010.