CC BY
507
Brooks, P. Maes (Eds.), Artificial Life IV: Proceedings of the Fourth International Workshop on the Synthesis and Simulation of Living Systems. 1994. P. 222.
24. Model between the Fukui-Ishibashi and Nagel-Schreckenberg models, Traffic Forum—Statistical Mechanics. February 2001.
25. Fukui-Ishibashi traffic flow models with anticipation of movement of the car ahead // Phys. Soc. K.Lee [et al] Jpn. 71 (7) 2002. Р. 1651-1654
26. Emmerich H., Rank E. An improvedcellular automaton model for traffic flow simulation // Physica A 234. 1997. Р. 676-686.
27. Chowdhury D., Santen L., Schadschneider A., Statistical physics of vehicular traffic and some related systems. Phys. Rep. 329. 2000. Р. 199-329.
28. Кретов А.Ю. Инновационные наукоемкие технологии: теория, эксперимент и практические результаты // Тула: Изд-во ТулГУ, 2010, С. 169 - 171 .
A.U. Kretov
CLASSIFICATION OF MODELS OF CELLULAR AUTOMATA. BASIC RULES
The various classifications of cellular automata, are given brief descriptions of the rules of deterministic and stochastic models used to study traffic flows.
Key words: cellular automaton traffic flow, congestion, microscopic model.
Получено 20.01.12
УДК 519.6: 656.13: 537.8
В.А. Пышный, магистр, 8-953-952-83-69, slavangel@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАГРУЗКИ ТРАНСПОРТНОЙ СЕТИ
Моделирование загрузки транспортной сети - это сложная комплексная задача, решение которой состоит в моделировании нескольких различных типов моделей. Для более правильного представления сущности моделирования описано историческое развитие моделей, используемых при решении задачи загрузки транспортных сетей. Каждый тип моделей представлен в данной работе одной или несколькими классическими моделями, используемыми при решении данной задачи.
Ключевые слова: математической моделирование, загрузка транспортной сети, расчет коммуникаций, распределение потока, транспортный поток.
Введение. Основы математического моделирования закономерностей дорожного движения были заложены русским ученым проф. Г.Д. Ду-белиром. Первостепенной задачей, послужившей развитию моделирования транспортных потоков, стал анализ пропускной способности магистралей и пересечений [1].
Моделирование транспортных потоков показывает взаимоотношение между тремя фундаментальными переменными транспортного потока:
V - скорость,
р - плотность,
q - пропускная способность (поток) q.
Только две из этих переменных независимы, так как они связаны через q - поток транспорта.
Первая задача транспортной теории потока исторически состояла в том, чтобы искать независимые от времени отношения (связи) между q, р и V, так называемые фундаментальные диаграммы. Описание этих отношений (связей) обсуждены в трудах Ф.Л. Холла [2, 3]. Решение этой задачи возможно только для малых промежутков времени. Полученные результаты являются достаточно усредненными и сильно колеблются.
Второй шаг в развитии моделирования транспортных потоков - это введение динамики, т.е. описания с зависимостью от времени. Это было достигнуто в 1955 Лайтхиллом и Уиземом [4]. Они ввели описание движения потоков, основанное на уравнении непрерывности, предполагая, что скорость зависит только от плотности, то есть происходит мгновенная адаптация. Пригожин и Херман развивали кинетическую теорию для транспортного потока [5]. Они дали определение модели Лайтхелла-Уизема как частному случаю кинетической теории. Кинетическая теория описывает многие явления, происходящие в движении транспортных потоков, но, вероятно, потому, что математическое моделирование довольно трудоемко, эта теория не была развита до недавнего времени [6].
Вместо этого в 1979 Пэйн заменил предположение о мгновенной адаптации в теории Лайтхелла-Уизема уравнением для инерции, которое подобно уравнению Навье-Стокса [7]. Кишнэ в 1984 добавил термин вязкости и начал использование методов нелинейной динамики для того, чтобы проанализировать уравнения [8-11].
Параллельно Муша и Хигучи предложили уравнение Бюргерса, как модель описания транспортного потока и предоставили автоматические измерения данных о количестве транспорта [12].
На данный момент существует разнообразная литература по изучению и моделированию автотранспортных потоков. Рассмотрим классические модели движения транспортного потока.
Моделирование загрузки транспортной сети. Моделирование загрузки транспортной сети многокомпонентная задача, требующая для поиска решений построения различных типов математических моделей (рис. 1).
Так в задаче моделирования разделяют четыре основных этапа:
оценка общих объемов прибытия и отправления из каждого района
города;
расщепление по способам передвижений, таким, как пешие пере-
движения, передвижения с использованием общественного транспорта, передвижения на личном автомобиле и др.;
определение матриц корреспонденции, характерезующих объем передвижений между каждой парой расчетных районов города;
распределение корреспонденции по транспортной сети, т.е. определение всех путей, выбираемых участниками движения, и определение количества передвижений по каждому пути.
Разделение задачи моделирования на эти четыре этапа является условным, так как все этапы взаимосвязаны и не могут, вообще говоря, быть решены как отдельные задачи в силу отмеченных выше обратных связей. Так, большинство моделей расчета корреспонденции используют в качестве важного фактора обобщенные цены межрайонных передвижений. Аналогично расщепление передвижений по видам (например, между частным и общественным транспортом) зависит от соотношения цен при использовании этих видов транспорта. Следовательно, расчет корреспонденции и их расщепление может быть выполнено корректно, если уже известна итоговая загрузка сети. Все это приводит к необходимости решать задачу последовательными приближениями, повторяя все шаги в итеративном режиме [13].
Рис. 1. Модели для решения задачи моделирования загрузки транспортной сети
1. Модели расчета коммуникаций
Количественной характеристикой структуры передвижений по сети
служит матрица корреспонденции, элементами которой являются объемы передвижений (автомобилей или пассажиров в час) между каждой парой условных районов прибытия, отправления (ПО). Все многообразие передвижений, совершаемое в сети, может быть разбито на разные группы передвижений по следующим критериям:
по различию в целях передвижений; по различию в выборе способов передвижения; по различию в предпочтениях при выборе путей передвижения. Среди групп передвижений с различными целями наиболее важными и многочисленными являются
передвижения от мест жительства к местам приложения труда и обратно (так называемые трудовые корреспонденции);
передвижения от мест жительства к местам культурно-бытового обслуживания и обратно;
передвижения, совершаемые между местами приложений труда (деловые поездки);
передвижения, совершаемые между объектами культурно-бытового обслуживания.
К числу наиболее распространенных моделей расчета корреспонденции относятся гравитационные модели, энтропийные модели, модели конкурирующих возможностей.
Подробно они описываются в работах А.Дж. Вильсона [14].
1.1. Гравитационная модель
Наиболее простая модель такого типа — это так называемая гравитационная модель, разработанная по аналогии с ньютоновским законом, связывающим силу притяжения Fij между двумя массами mi и т^ расположенными на расстоянии ^ друг от друга:
тт ц
Рц =Ч—Т • (!)
б 2 аУ
где у — некоторая константа.
Аналогично транспортная гравитационная модель имеет вид
а1о1
Тц = ¿-V-. (2)
где к — некоторая константа, а затраты на передвижение выступают в качестве «расстояния», Т— число поездок (на работу), с^ — затраты на передвижение из зоны / в зону ц. Пусть Qi— полное число отправлений из зоны i на работу, Вц— полное число прибытий на работу в зону ц. Модель распределения оценивает Ту как функцию от Qi, Вц и Су. Согласно уравнению (2) величина Т пропорциональна Qi и Dj и обратно пропорциональна квадрату расстояния между этими. Но у этого уравнения имеется, по меньшей мере, один очевидный недостаток: если удвоить заданные значе-
ния Qi и Dj, то число поездок между этими зонами в соответствии с (2) учетверится, а естественно ожидать, что оно лишь удвоится. Или более точно: величины Т всегда должны удовлетворять следующим ограничениям:
Е Т = В,.
(3)
(4)
а уравнение (1) этого не обеспечивает. Это означает, что суммы по строкам и столбцам матрицы поездок (или корреспонденций) должны совпадать с числом отправлений из каждой зоны и с числом прибытий в каждую зону соответственно. Этим ограничениям можно удовлетворить, если ввести наборы констант А и Вj, связанные соответственно с зонами отправления и прибытия. Иногда их называют балансирующими множителями. Кроме того, нет оснований считать, что расстояние играет в уравнении (2) такую же роль, что и в ньютоновской пайке, поэтому вводится более общая функция расстояния. Модифицированная гравитационная модель имеет, таким образом, следующий вид:
Ту = А{В^,В,1 (Су ), (5)
где
и
А =
IВА/(Сц)
Е AiQif (с,)
(6)
(7)
1.2. Модель конкурирующих возможностей
В модели конкурирующих возможностей межзональные затраты явным образом не входят, но зоны, в которые можно выехать из зоны i, ранжируются по увеличению затрат на передвижение из зоны i. Чтобы уточнить это, нам потребуются новые обозначения. Пусть , (/)— ц-я зона
прибытия из зоны i в этом ряду; если будет ясно, какая зона i имеется в виду, то будем писать просто ]ц вместо ]ц (/). Модель конкурирующих возможностей впервые была предложена Стауффлером в довольно простой форме, причем предполагалось, что число поездок из зоны отправления в зону прибытия прямо пропорционально числу возможностей в зоне прибытия и обратно пропорционально числу конкурирующих возможностей. Основное допущение этой модели состоит в том, что каждый человек, совершающий проездку, поочередно рассматривает каждую возможность по прибытии в зону и имеется положительная вероятность того, что его по-
требности будут удовлетворены.
Обычная формула для модели конкурирующих возможностей имеет
вид
Ту ^ = kIQI (еХР( - ) - еХР( - ^ )) , (8)
где Тц - число поездок из зоны i в ц-ю зону прибытия из i при полном числе отправлений из у, равном Q, Ь — вероятность того, что некая возможность удовлетворит этого пассажира, если ему ее предложить, А, - чис-
ло возможностей, которые оказались пропущенными, включая зону ц
1.3. Энтропийная модель
Проблему определения корреспонденций ру можно ставить как задачу максимизации энтропии в транспортной системе.
Пусть задано фиксированное пространственное распределение населения по зонам, порождающим потоки, как и ранее, назовем такие зоны источниками и объединим их в множество S, и по зонам, поглощающим потоки, назовем их стоками и объединим в множество D. Источниками, например, могут служить районы жилых массивов, стоками - места приложения труда. Индивидуумы в транспортной системе перемещаются от источников к стокам. Предположим, что все индивидуумы имеют уникальный идентификатор, например, номер паспорта. Состояние транспортной системы определяется распределением % помеченных индивидуумов между парами источник - сток.
При определении объемов корреспонденций значимым является-только общее количество индивидуумов без детализации по составу их идентификаторов. Поэтому каждой паре источник - сток соответствует величина корреспонденции Рц - количество индивидуумов, выезжающих из источника
\ Е S и прибывающих в сток ] Е О. Очевидно, что существует множество состояний, приводящих к однойи той же матрице корреспонденций р = {Рц : \ Е S, ] Е О}. Следуя принципу максимизации энтропии, будем искать значения ру доставляющие максимум функции Р(р), определяющей вероятность реализации состояния системы, соответствующего матрице корреспонденций [15].
2. Модели распределения потоков.
Загрузка транспортной сети определяется количеством транспортных средств или пассажиров, использующих для движения каждый элемент сети (дугу, поворот, перегон на маршруте общественного транспорта). Моделирование загрузки состоит в распределении межрайонных корреспонденции по конкретным путям, соединяющим пары районов. Входом к модели загрузки является матрица корреспонденции или в общем случае набор матриц, относящихся к передвижениям разных видов или разных пользовательских классов. Целью моделирования является определение для каждой пары районов прибытия-отправления:
набора путей, которые используются для передвижений между эти-
ми районами;
коэффициентов расщепления (долей) корреспонденции между этими путями.
Существующие модели загрузки транспортной сети могут быть разбиты на классы по следующим основным признакам:
модели, основанные на нормативном и дескриптивном подходе;
статические и динамические модели.
В нормативных моделях распределение корреспонденции осуществляется на основе оптимизации некоторого глобального критерия эффективности работы транспортной сети. Таким критерием могут служить, например, суммарные затраты времени всеми участниками движения, суммарный пробег (авт*км или пасс*км) и др. При дескриптивном подходе предполагается, что структура транспортных потоков формируется в результате индивидуальных решений участников движения, основанных на оптимизации ими их личных критериев. Традиционно считается, что для моделирования загрузки реальных транспортных сетей следует применять дескриптивный подход. Нормативные модели могут применяться при планировании передвижений в тех случаях, когда планирующий орган имеет возможность директивного влияния на выбор маршрутов (например, при планировании централизованных грузовых перевозок). В последние годы, однако, интерес к нормативным моделям возрос в связи с началом разработки проектов о централизованном управлении движением частных автомобилей с использованием бортовых компьютеров и спутниковой связи.
Модель относится к классу статических, если загрузка моделируется в терминах усредненных характеристик движения на выбранный период моделирования (например, утренний час пик). В частности, если некоторая доля aFij корреспонденции использует выбранный маршрут движения, то предполагается, что эта доля дает вклад aFij в загрузку каждого элемента маршрута на протяжении всего периода моделирования. Такое предположение оправдано, если среднее время всех маршрутов не превышает характерное время, за которое сама корреспонденция успеет заметно поменяться. В случае, если динамика выезда меняется достаточно быстро, а маршруты достаточно длинные, необходимо учитывать, что представители той или иной корреспонденции загружают каждый участок избранного маршрута в разное время. При этом как сама корреспонденция, так и объемы прибытия-отправления в каждом районе должны задаваться как функции времени. Модели, в которые явно введен фактор времени и явно описывается динамика расчетных величин в течение периода моделирования, называют динамическими [13].
Модель оптимальных стратегий. Модель, определяющая загрузку транспортной сети на основе расчета стратегий поведения, называется моделью оптимальных стратегий. Она в полной мере учитывает фактор взаимного влияния пользователей и основывается на поиске равновесного
распределения.
Для моделирования транспортной сети Владивостока Д.В. Лютаев использует эту модель [16].
Математически сложность задачи поиска равновесного распределения связана с отсутствием глобального критерия, который бы подлежал оптимизации (максимизации либо минимизации). Однако при некоторых упрощающих предположениях эта задача все же сводима к задаче оптимизации некоторого специально сконструированного глобального критерия.
В работе Д.В. Лютаева приводится один из вариантов построения моделиравновесного распределения транспортных потоков.
Задача рассматривается для распределения пользователей одного класса. Вводятся следующие обозначения: I — множество узлов сети; V — множество дуг сети; — множество дуг, входящих в узел I; Vl: — множество дуг, выходящих из узла I; Р — множество источников; Q — множество стоков; и - суммарный поток по дуге (у, ]) Е V; иуРЧ - поток по дуге (у, ]) Е V представителей корреспонденции и(у)Цц)2РЧ - поток на повороте с дуги 1(у) Е V на дугу 2(у) Е V представителей корреспонденции РЧ; FРЧ - величина корреспонденции рч.
Суммарные потоки на дугах связаны с потоками представителей отдельных корреспонденций:
иц = £ ирЧ,(1, ц) е V. (9)
рер,Че£
Допустимость решения выражает ''закон сохранения'' пользователей
в сети:
(1,1 )1єУ,+
(,, 1 )1єУ,+
V, є I.(р, д) є (Р х Q). (10)
Данные равенства означают, что поток по каждой входящей дуге равен сумме потоков с этой дуги, а поток по выходящей дуге равен сумме-потоков поворотов на эту дугу. Разумеется, такой баланс должен соблюдаться для представителей каждой корреспонденции в отдельности.
Кроме того, необходим баланс по величинам корреспонденций для источников и стоков:
Fpq = £ иРр] = £ ^, Р е Р, Ч е ^ (11)
^, Л&р (l,q)eVq■
Вводится также ценовая функция су(и), выражающая стоимость прохождения суммарным потоком и дуги (у, ]) Е V .
464
По ценовой функции можно построить интегральную ценовую функцию:
и
Су (и) = | су (v)dv, (1, У) е V.
0
Таким образом, в принятых обозначениях модель равновесного распределения может быть сформулирована в виде задачи оптимизации:
/(и) = туп £ су(и) (12)
и а/)еУ
при системе линейных ограничений (9) — (11).
3. Математическое моделирование транспортных потоков
Все модели транспортных потоков можно разбить на три класса [17]: модели-аналоги, модели следования за лидером и вероятностные модели.
В моделях-аналогах движение транспортного средства уподобляется какому либо физическому потоку (гидро- и газодинамические модели). Этот класс моделей принято называть макроскопическими.
В моделях следования за лидером существенно предположение о наличии связи между перемещением ведомого и головного автомобиля. По мере развития теории в моделях этой группы учитывалось время реакции водителей, исследовалось движение на многополосных дорогах, изучалась устойчивость движения. Этот класс моделей называют микроскопическими.
В вероятностных моделях транспортный поток рассматривается как результат взаимодействия транспортных средств на элементах транспортной сети. В связи с жестким характером ограничений сети и массовым характером движения в транспортном потоке складываются отчетливые закономерности формирования очередей, интервалов, загрузок по полосам дороги и т. п. Эти закономерности носят существенно стохастический характер.
Также модели можно разделить по признаку моделирования [18]:
Имитационные модели решают задачу построения математических моделей, способных адекватно описывать поведение участников транспортного потока и правильно воспроизводить параметры и характеристики движения.
Прогнозные модели позволяют моделировать процессы передвижения населения и грузов с выбором путей следования видов транспорта. Предназначены для прогноза транспортных потоков при: изменениях в транспортной сети города; смещениях потокообразующих объектов города.
Опишем классические наиболее известные модели каждого из классов.
3.1 Гидро-газодинамические модели.
Первая макроскопическая (гидродинамическая) модель однополосного транспортного потока, названая впоследствии моделью Лайтхилла— Yu3eMa—Pu4apdca(LWR), в которой поток АТС (вместо термина «автомобиль» и тем более «машина» в транспортной литературе принято использовать АТС) рассматривается как поток одномерной сжимаемой жидкости (часто эту модель называют моделью Лайтхилла—Уизема) [4].
В модели LWR предполагается, что:
1) существует взаимно-однозначная зависимость (уравнение состояния) между скоростью v(t,x) и плотностью (погонной) р (t, x) потока;
2) выполняется закон сохранения массы (количества АТС).
Запись p(t, x) обозначает число АТС на единицу длины в момент
времени t в окрестности точки трассы с координатой x . Аналогично, v (t, х) - скорость АТС (автотранспортных средств) в момент времени t в окрестности точки трассы с координатой x .
3.2 Модели следования за лидером (микроскопические модели)
В основе подходов кизучении микроскопических моделей лежит
концепция «о желании придерживаться при движении безопасной дистанции до лидера. Одни из самых старых моделей это Реушел [19], Пайперс [20] и Форбс и др. [21]. Они известны по “двухсекундному правилу”, преподававшемуся во всех автошколах. Более ранний пример это работа Хер-рей и Херрей, который определил безопасное расстояние следования автомобилей друг за другом, которое также включало расстояние торможения автомобиля до остановки [22].
Первые математические следующие за автомобилем модели, которые были развиты, были основаны на описании взаимодействия между двумя соседними транспортными средствами в транспортном потоке, то есть последователь и его лидер. Эта модель описывалась обычным дифференциальным уравнением для одного перегона.
Следующая модель была сделана Эди, который ввёл текущую скорость следующего транспортного средства [23]. Газис и др. работники научно-исследовательских лабораторий General Motors называли вышеупомянутый набор моделей «General Motors нелинейной моделью» или Газима-Хермана-Розери (GHR)-модель [24].
Тесно связанными с ранее обсужденными классическими моделями следования за лидером являются оптимальные скоростные модели (OVM) Ньюэлла и Бандо и др. Предыдущие модели следования за лидером главным образом описывают характеристики транспортного средства, которое следует за лидером, OVMs изменяют механизм ускорения, такой, что желаемая скорость транспортного средства отобрана на основе пространственного перемещения, вместо того, чтобы только рассматривать скорость ведущего транспортного средства [25]. Ньюэлл был первым, кто предло-
466
жить такой подход, используя отношение равновесия для желаемой скорости как функции перемещения (например, vs (^) фундаментальной диаграммы) [26].
Еще один тип моделей следования за лидером - это психофизиологические модели передвижения.
Вместо того, чтобы использовать непрерывные изменения в интервалах перемещения и относительных скоростях, водители отвечают на определенные пороги восприятия [27]. Например, ведущее транспортное средство, которое вырисовывается перед последователем, будет воспринято как имеющее приблизительно тот же самый небольшой размер для большой продолжительности, но, как только интервал сократился к определенному размеру, размер вырисовывающегося транспортного средства будет внезапно казаться намного больше (то есть как пересечение порога), побуждая следующее транспортное средство или замедлиться, или остановиться.
Основные пороги относительных скоростей, разницы скоростей и пространственных интервалов были собраны в работе Видемана и др. [28]. В этом отношении модели называют психофизиологическими моделями передвижения, и, хотя они кажутся довольно успешными в объяснении транспортной динамики с поведенческой точки зрения, калибровка моделей остается сложным вопросом [26].
Микроскопическое транспортное моделирование всегда расценивалось как трудоёмкий, сложный процесс, вовлекающий детализированные модели, которые описывают поведение отдельных транспортных средств. Однако новые микроскопические модели развивались, основаны на клеточных автоматах, программируя парадигмы статистической физики. Транспортные клеточные автоматы (ТСА) являются динамическими системами, которые дискретны в природе, в том смысле, что перемещения во времени происходит с дискретными шагами и пространство разбито на интервалы.
Ранние применения теории очередей были в основном связаны с описаниями поведения контролируемых и неконтролируемых перекрестков [29]. Другое применение теории дал Ньюэлл. В своих работах Ньюэлл вводил концепцию функций прибытия и отъезда, давая аналитический, но все еще очень интуитивный метод для того, чтобы решить транспортные проблемы потока и провести параллели с известной и изученной макроскопической моделью LWR первого порядка [30]. В течение середины девяностых Хайдеман развивал несколько основанных на теории очередей транспортных моделей транспортного потока. Самая мощная из них работает с нестационарными состояниями, моделируя мощность перепадов и
гистерезисных явлений, предоставляя объяснения широкого разброса, наблюдаемого в эмпирических фундаментальных диаграммах [31, 32].
3.3 Кинетические модели
Базовая структура и процессы, которые рассматривает в самой первой кинетической транспортной модели потока Пригожин (1961), являются все еще основанием современных кинетических транспортных моделей потока. Пригожин вводил концепцию обобщенной плотности р (^ X, V), функция плотности вероятности во время t и местоположение х транспортных средств со скоростью V. Он рассматривал три процесса, вызывающие изменения р:
конвекция из-за движения транспортных средств, обобщенная плотность р в неподвижном местоположении изменяется вовремя;
непрерывное изменение скорости из-за ускорения к желаемой скорости;
дискретное изменение скорости из-за взаимодействий более быстрых транспортных средств с более медленным движением.
Пригожин получил следующее динамическое уравнение для функции распределения р (;, х, V):
+ v-
dt дх
dt
dp(t, х, v) dp(t, х, v) f dp(t, x, v) Л f dp(t, x, v )Л
+
dt
(13)
dt
V у contmmous
(14)
У continmous V J discrete
Непрерывное ускорение к желаемой скорости определено как показательный процесс расслабления и зависит от желаемого распределения скорости w (t, x, v) транспортных средств со скоростью v:
^дрЛ д ( w(t,х,v) -v
- — р-------------------
dv V т
Для дискретного процесса замедления Пригожин и Херман (1971) определяют следующее. Быстрые транспортные средства, догоняющие более медленные, имеют вероятность p перестраивания на другую полосу и продолжение поездки без торможения. С вероятностью (1-p) быстрое транспортное средство должно замедлиться. В этом взаимодействии быстрое транспортное средство принимает скорость медленного предшественника, скорость которого остается незатронутой маневром. Изменение в плотности вероятности для скорости v в местоположении x является тогда балансом притока транспортных средств с более высокой скоростью v0f, чтобы увеличить v и отток транспортных средств, те у кого была скорость v должны замедлиться, чтобы принять более низкую скорость v1f (оригинальная скорость более медленного предшественника v0f):
( Л
| (vf - v)9(t,x,vQ ,х',v)dvf - J(v - v0)ф0",x,v,x',v0)dvQ . (15)
f > s
Vv0 >v v>vo
dpJ =(1-rt
J discrete
В этом уравнении происходит попарное распределение транспортных средств. Это обозначает объединенное распределение вероятности об-
468
наружения быстрого транспортного средства в местоположении х со скоростью ^/, в то время как в то же самое время второе (более медленное) транспортное средство присутствует в местоположении х' со скоростью VI/. Пригожин упрощает попарное распределение транспортных средств, пренебрегая конечной длиной и пространственной координатой транспортных средств, и представляет движение транспортных средств хаотическим. Прежнее предположение рассматривает взаимодействия транспортных средств только в точке х, тогда как в следующем предположении всеми корреляциями между скоростями предшественника и последователя пренебрегает:
Павери-Фонтана (1975) улучшил статистическую обработку желаемой скорости в оригинальной формулировке Пригожина (1961). Поведение водителя осталось таким же, как и было описано у Пригожина [33].
Одна из более поздних кинетических моделей исследования транспортных потоков была создана с помощью кинетического уравнения Больцмана с распределением Максвелла и позволила аналитически определить переходное поведение потока и распределение его плотности. Её описывает в своих работах Бэн-Нэйм и Крапивски [34].
Вводимая микроскопическая баллистическая модель движения, основанная на уравнении Больцмана, позволяет лишь увидеть скоростные распределения. Распределение Максвелла является более подходящим, поскольку четко описывает переходные характеристики зон без возможности обгонов и особенности зон с возможностью обгона. Кроме того, модель Максвелла дает возможность вычислить зависимость плотности потока к числу ДТП.
3.4 Применение стохастической модели.
Описание стохастических моделей представляют в своей работе Джост и Нагель [35]. Стохастические модели обладают одной гомогенной фазой движения через целый диапазон плотности (1-фазовые) или они обладают двумя. Разделяют гомогенные фазы на "пластинчатые" и "защемленные", которые разделены режимом плотности, где эти две фазы сосуществуют (2-фазовые). Предположения об этом складывались в течение довольно долгого времени (например, Пригожин и Херман (1971); Рейс и д.р. (1986); Треитерер и Майерс (1974)); соответствующие модели зависимостей были установлены позже (например. Кернер и Конхойзер (1994); Бандо и д.р. (1995)). Однако, несмотря на большое обсуждение (например, Нагель (1994); Нагель и Пацзуский (1995); Сасвэри и Кертез (1997); Ротерс и др. (1999); Чоудхури и др. (2000)), никакая ясная картина для стохастических моделей не была установлена. Но только стохастические модели позволяют рассматривать метастабильные состояния, непосредственные
переходы и рекурсивно-подобную структуру, каждая из которых важна для движения вреальном мире.
Эти модели рассматривают возможности автострад. Решается вопрос о максимальных потоках возможных на автострадах и являются ли они жизнеспособными, какова их частота.
Имеется объемная история публикаций об образовании заторов (аварийного поведения) в движении потока, иногда называемом “обратная форма лямбды фундаментальной диаграммы” (Коши и др., 1983; Кернер, 1999), "гистерезис" (Треитерер и Майерс, 1974), “полное снижение” (Кернер и Рибон, 1996), “теория катастрофы” (Аха-Даза и Холл 1993), и т.п.. Существуют аналогии с газожидкостным переходом (Пригожин и Херман, 1971; Рейс и др., 1986), и транспортные модели, которые показывают детерминированные версии перехода "жидкого газа" (Кернер и Конхойзер, 1994; Бандо и др., 1995).
С другой стороны, измерения Кэссиди (1998) указывают, что может быть устойчивый гомогенный поток во всех удельных значениях. Мюноз и Даганзо указывают правильно, что многие из “обратной лямбды” наблюдения могли также быть объяснены геометрическими ограничениями так, что узкое место вниз по течению местоположения измерения может вызвать следующую временную последовательность измерений:
1. Система начинается с низкого потока в низких удельных весах.
2. И поток, и плотность продолжают увеличиваться вдоль раздела "свободного потока" фундаментальной диаграммы.
3. Этот поток может быть больше, чем тот, что может проходить через узкое место. Тогда очередь начинает формироваться в узком месте, но это не влияет на измерение.
4. В конечном счете, очередь вернется назад к местоположению измерения. В то время среднее значение плотности возрастет, аскорость потока спадет до пропускной способности узкого места.
Заключение. Использование теории хаоса в изучении
транспортных потоков
Теория хаоса используется для анализа очень сложных систем и тем самым может быть полезной для изучения транспортных систем. В своих работах Фрэйзер, Коклеман [36] и Лавренсэ Лан, Фенг-Юлиин, Куо [37] доказывают и описывают существование хаотической, а не случайной структуры нелинейной динамики потоков транспорта.
Транспортные системы - это сложные динамические системы. Их текущее состояние и будущее развитие зависит от многочисленных характеристик взаимодействий технических, экономических, экологических и социальных систем. Реалистичное представление общей картины динамики в модели трудновыполнимо: если некоторые характеристики могут быть выявлены посредством анализа, то согласование неизмеримых данных, таких, как законы, в дальнейшем создает дальнейшие осложнения.
Теория хаоса используется в таком случае для описания неповторимости систем, которые слишком сложны для традиционных методик. Она позволяет различать случайные, вероятностные и детерминированные системы.
В своих работах Дисбро и Фрэм (1990) демонстрируют, что теоретически полученная транспортная модель (Газис, Херман и Разэи (GHR)) является хаотической, даже с тем условием, что в нее входит маленькая система с восьмью автомобилями. Ван Зуилен и др. (1999) описывал значения человеческого поведения и хаоса для городских транспортных систем и прогнозирования их загрузки. Сафанов и др. (2002) показали, что хаотическое поведение в движении может возникать из-за задержек человеческой реакции. Наир и др. (2001) проанализировали данные о транспортном потоке и охарактеризовал их как хаотические. Вейдлич (2000) продемонстрировал, как случайная полезность модели базировалась относительно простых социальных поведений, воспроизводя хаотическое поведение. Эта работа предлагала применять хаос для получения данных о потоке.
На данном этапе существуют трудности использования теории хаоса из-за того, что теория хаоса предполагает системный детерминизм, а транспортные системы зависят во многом от человеческих, погодных и многих других случайных факторов. Но если человеческим поведением управляют направленно через системные законы и ограничения, то результаты могут быть определены системной динамикой и в таком случае может быть теория хаоса применена.
Список литературы
1. Семенов В.В. Математическое моделирование динамики транспо ртных потоков мегаполиса. М. : ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 2004. 45 с.
2. Agyemang-Duah K., Hall F.L. Some issues regarding the numerical value of free capacity, in Highway Capasity and Level of Service / edited by U.Brannolte. Balkema, Rotterdam, 1991.
3. Hall F.L., Allen B.L., Gunter M.A. Empirical analysis of freeway flow-density relationships // Transpn. Res. 1986.
4. Lighthill M.J., Whitham G.B. On kinematic waves / Proc. R. Soc. Lond. Washington, D.C.: Highway Research Board, National Research Counsil, 1964. Vol. 1-3.
5. Prigogine I., Herman R. Kinetic theory of vehicular traffic. - New York: Elsevier, 1971.
6. Helbing D. Gas-kinetic derivation of Navier-Stokes-like traffic equations // Phys. Rev. E. 1996. Vol.53. № 3. P.2366-2381.
7. Payne H.J. Models of Freeway Traffic and Control // Mathematical Models of Public Systems. La Jolla: Simulation Council. CA. 1971. Vol.1. P. 51.
8. Kühne R.D., Beckschulte R. In Proceedings of 12th International
Symposium on the Theory of Traffic Flow and Transportation / edited by C.F. Daganzo. Amsterdam: Elsevier, 1993. P. 367.
9. Kühne R.D. Phys. Bl. 1991. P. 201.
10. Sick B. Dynamishe Effekte be in ichtlinearer Wellengleichungenmit Anwendungen in der Verkehrsfkub theorie: Master Thesis. University of Him, 1989.
11. Rödiger M. Chaotische Lösungennichtlinearer Wellengleichungenmit Anwendungen in der Verkehrsfkub theorie: Master Thesis. University of Münster, 1990.
12. Musha T., Higuchi H. The 1/f fluctuation of traffic current on an expressway // Journal of Applied Physics. 1978. № 15.
13. Шведцов В.И. Математическое моделирование транспортных потоков // Автоматика и телемеханика. 2003. №11. С. 3-46.
14. Вильсон А.Дж. Энтропийные методы моделирования сложных систем. М.: Наука, 1978. 248 с.
15. Введение в математическое моделирование транспортных потоков / под ред. А.В. Гасникова; приложения М.Л. Бланка, Е.В. Гасниковой, А.А. Замятина, В.А. Малышева, А.В. Колесникова, А.М. Райгородского. М.: МФТИ, 2010. 363 с.
16. Лютаев Д.А. Моделирование транспортной сети Владивостока н а основе теории потокового равновесия // Информатика и системы управления. 2006. №2. С. 17-28.
17. Брайловский Н.О., Грановский Б.И. Моделирование транспортных систем. М.: Транспорт, 1978. 125 с.
18. Семенов В.В. Математическое моделирование автотранспортных потоков. 2003. 26 с.
19. Reuschel A. Fahrzeugbewegungen in der kolonne bei gleichfoermig beschleunigte moder verzoegtem leifahrzeug // Z. Oesterr. Ingr.Architekt. Vereines, 1950. P.59-62,73-77.
20. Pipes L.A. An operational analysis of traffic dynamics // Journal of Applied Physics, 1953. № 24(3). P. 274- 281.
21. Forbes T.W. Measurement of driver reactions to tunnel conditions // In Proceedings of the Highway Research Board, 1958. Vol. 37. P. 345-357.
22. Herrey E.M.J., Herrey H. Principles of physics applied to traffic movements and road conditions // American Journal of Physics. 1945. №13. P. 1-14.
23. Edie L.C. Car following and steady-state theory for non-congested traffic // Operations Research, 1961. №9. P. 66-76.
24. Gazis D., Herman R., Rothery R. Nonlinear follow-the-leader models of traffic flow// Operations Research, 1961. №9. P. 545-567.
25. Helbing D. Traffic and related self-driven many-particle systems // Reviews of Modern Physics October. 2001. №73. P. 1067-1141.
26. Newell G.F. Instability in dense highway traffic, a review // In Pro-
ceedings of the 2nd International Symposium on the Theory of Road Traffic Flow. London: OECD, 1963. P. 73-83.
27. Brackstone M., McDonald M. Car following: A historical review // Transportation Research F, 2000. №2(4). P. 181-196.
28. Wiedemann R. Simulation des Straßenverkehrsflusses: Technical report. Institutes für Verkehrswesen der Universität Karlsruhe, 1974.
29. Cleveland D.E., Capelle D.G. Queueing theory approaches / edited by Gerlough, D.G. Capelle. An Introduction to Traffic Flow Theory. Washington, D.C., 1964. P. 49-96.
30. Newell G.F. A simplified theory of kinematic waves in highway traffic // Transportation Research B, 1993. № 27B(4). P. 281-303.
31. Heidemann D. A queueing theory model of nonstationary traffic flow // Transportation Science, November 2001. № 35(4). P. 405-412.
32. Maerivoet S., De Moor B. Traffic Flow Theory. - Katholieke Uni-versiteit Leuven, Department of Electrical Engineering ESAT-SCD(SISTA). July 2005.
33. Tampere C. M. J. Human-Kinetic Multiclass Traffic Flow Theory and Modelling: Ph.D. dissertation. The Netherlands, Delft: Delft University of Technology. December 2004.
34. Ben-Naim E., Krapivsky P.L. Maxwell model of traffic flow // Phys. Rev. E. 1999. Vol.59. №1. P.88-97.
35. Jost D., Nagel K Traffic Jam Dynamics in Traffic Flow Models // 3rd Swiss Transport Research Conference. Ascona: Monte Verita. March 19-21. 2003.
36. Frazier C., Kockelman K.M. Chaos Theory and Transportation Systems: An Instructive Example // 83rd Annual Meeting of the Transportation Research Board. Washington D. C, January, 2004. P. 1-15
37. LAN L.W., Feng-Yu LIN, KUO A.Y. Testing and prediction of traffic flow dynamics with chaos // Journal of the Eastern Asia Society for Transportation Studies, 2003. №5. P. 1975-1990.
V.A. Pyshnyy
THE MODELING OF LOADING TRANSPORT NETWORK
The modeling of loading transport network is a complicated complex task. Solution to this problem is to simulate several different types of models.
The essence of modeling described to better represent the historical development of models to use in solving the problem of load transport networks. Each type of models presented in this paper, one or more of the classical models used in solving this problem.
Key words: mathematical modeling, loading of the transport network, the calculation of communication, the distribution offlow, traffic flow.
Получено 20.01.12
