Алгоритмизация решения задачи о размещении на основе модификации метода ветвей и границ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 004.42

АЛГОРИТМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О РАЗМЕЩЕНИИ НА ОСНОВЕ МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ

Д.Э. Елизаров

В статье рассматривается обобщенная математическая модель задачи о размещении сложноструктурированных развивающихся технических объектов, достоинством которой является возможность ее применения в условиях заранее сформированной структуры системы.

Предлагается алгоритм численной реализации модели задачи о размещении на основе модификации метода ветвей и границ, включающего в свой состав процедуру метода Гомори, предназначенную для формирования графа решений и таблицы рекордов на каждой итерации цикла вычислений. Рассматривается структурная схема предложенного алгоритма, а также подробно описываются алгоритмы работы каждой из включенных в его состав процедур. Разработанный алгоритм предназначен для решения задачи дискретного программирования путем итерационного применения метода Гомори. Результаты решения задачи для каждой итерации цикла в случае удовлетворения условию целочисленности формируют таблицу рекордов, в противном случае формируются новые вершины графа решений с добавлением дополнительных ограничений целочисленности. Механизм альфа-бета отсечения, включенный в состав алгоритма, служит для ускорения его работы за счет предотвращения избыточных вычислений в вершинах графа с аналогичными ограничениями. Приводится пример практической реализации разработанного алгоритма для задачи размещения размерности 3x3 без учета развития системы.

Применение рассмотренной в работе модели и алгоритма ее численной реализации может лежать в условиях решения задачи развития различного рода сложноструктурированных технических систем, включающих информационные, производственные и энергетические системы

Ключевые слова: математическое моделирование, дискретное программирование, оптимизация

Введение

В настоящее время в различных предметных областях актуальность приобретают задачи оптимального территориального размещения объектов сложноструктурированных технических систем, к которым относятся современные системы информационного обслуживания, производственные и энергетические системы и разнообразные сети передачи данных [1,2].

Существующие модели и алгоритмы решения задач оптимального размещения используют аппарат дискретного программирования, с помощью которого задача решается полным, либо частичным перебором [3,4,5,6], что замедляет процесс нахождения оптимального результата.

Альтернативой данному подходу является использование эвристических алгоритмов, применение которых не гарантирует нахождение глобального экстремума. В данной статье предлагается гибридный вариант

модифицированного алгоритма решения дискретной задачи о размещении, совмещающий в себе реализации метода ветвей и границ, обеспечивающего построение дерева решений, и метода Гомори.

Модель задачи о размещении

Для формального рассмотрения обобщенной задачи оптимального размещения объектов территориально распределенной системы в условиях ее развития введем следующие обозначения:

Елизаров Дмитрий Эдуардович - ВГТУ, аспирант, e-mail: [email protected]

и = {«!,..., и1} - множество объектов размещения системы и7, 7 = 1,1;

L = {11,...,/} - множество альтернативных территории размещения ¡у, у = 1, / ;

р у - затраты на размещение в составе системы объекта и , 7 = 1,1 в месте ¡у, у = 1, / ;

djj - затраты на исключение объекта ui, 7 = 1,1 из состава системы с территории ¡j,

у = 1/;

Vj - количественный показатель ценности

размещения объекта на территории ¡j, у = 1, / ,

физический смысл данного параметра на примере систем информационного обслуживания населения может иметь значение числа пользователей, которое возможно подключить к системе на рассматриваемой территории [7,8];

Утт - ограничение суммарного итогового показателя ценности для всех размещенных объектов системы; на примере систем информационного обслуживания населения данный параметр может иметь значение минимального планового показателя подключенных пользователей системы [7,8].

С использованием введенных обозначений задача оптимального размещения объектов территориально распределенной системы в условиях развития может быть сведена к задаче линейного целочисленного программирования о

минимизации суммарных затрат на их размещение и исключение объектов системы [7,8,9,10]:

I J

I J

X X Р Ц 2 Ц + X X йЧ (1 - 2 Ц ) ^ Ш1П

¿=1 Ц=1 ¿=1 Ц=1

2Ц =

объект и г размещается на месте I.; не размещается,

I J

XX 2 ..V. > V .

=1 . =1 J

X 2ц * 1, г = 1,7.

. =1

(1)

(2)

(3)

(4)

В данном случае ограничение (3) означает, что суммарная ценность размещенных объектов должна превышать планируемый минимальный порог суммарной ценности Ушт . Это позволяет обеспечить ненулевую сходимость модели при решении задачи минимизации (1).

Ограничение (4) гарантирует, что один объект системы не может быть размещен на нескольких территориях одновременно.

Отметим, что описанная постановка задачи размещения подходит как для решения задачи первоначального размещения объектов системы, так и для оптимизации уже имеющейся структуры, для чего необходимо задать равными нулю затраты на ввод в состав системы размещенных объектов ,

V = 17', Ц = 17'.

Модифицированный алгоритм метода ветвей и границ

Рассмотрим модифицированный алгоритм метода ветвей и границ, который использует процедуру, основанную на применении метода Гомори [11,12,13] для формирования таблицы рекордов, что обеспечивает ускоренное нахождение оптимального результата [10,14].

Структурная схема модифицированного алгоритма метода ветвей на процедурном уровне [15] представлена на рис. 1.

Для детального рассмотрения процедур, входящих в модифицированный алгоритм метода ветвей и границ введем следующие обозначения.

Для каждой вершины ак, к = 0, Н из множества

вершин решения А = {а0,а1,...,аН}, поставим в

соответствие дискретную переменную хк (5),

определяющую проанализирована ли

соответствующая вершина. Для каждой вершины с

множеством ограничений Rк , к = 0,Н необходимо

вычислить значение критерия шт f (2) е F,

2еЯк

F = [ш1п /(2), шт /(2;),...,шт /(2)].

2еК0 2еК 2еКН

Пуск

Процедура начальной инициализации

Нет

Процедура выбора следующей вершины графа

Процедура проверки правила альфа-бета отсечения

Процедура решения задачи размещения методом Гомори при ограничениях вершины

-7-

Процедура сохранения результатов и ограничений текущей вершины

Процедура проверки и добавления нового рекорда

—— 10

Процедура ветвления

11

11

Процедура выбора оптимального результата

Останов

Рис. 1. Структурная схема модифицированного алгоритма метода ветвей и границ с применением метода Гомори

1,

в вершине графаак

производиось решение, 0, в противном случае.

1

4

Хк =

Процедура начальной инициализации (рис. 1 -блок 1) определяет начальное множество

ограничений R0 (6) и вектор Ё размерности Н , который должен включать результаты решений задачи минимизации при ограничениях вершин.

R0 =

Г > V . 1 ~ т1П '

7=1 1=1

Ъи * 17 = 11

1=1

(6)

Процедура проверки (рис. 1 - блок 2) служит для определения факта прохождения анализа для всех имеющихся вершин и использует для этого значения, записанные в дискретных переменных

Х„ (7):

Н

П

к=0

= 1,

(7)

Для рассмотрения процедуры выбора вершины графа, которая будет подлежать анализу на текущем шаге алгоритма (рис. 1 - блок 3) введем следующие переменные:

к' - номер текущей вершины графа аКе А,к'е {0,1,...,Н},

к" - номер следующей вершины графа ак„ е А,к"е {0,1,...,Н}, подлежащей анализу.

Номер начальной вершины графа всегда равен нулю. Для выбора следующей вершины в контексте рассмотрения задачи минимизации предлагается руководствоваться левосторонней системой и выбирать вершины таким образом, чтобы в первую очередь проанализировать вершины с дополнительными условиями на равенство единице.

В случае, если два условия, представленные в алгоритме не проходят проверку, очевидно, что мы находимся в самом начале графа и таким образом к'=0.

Используя введенные обозначения структурная схема алгоритма процедуры выбора анализируемой вершины графа для следующей итерации может быть представлена на рис. 2.

В разработанный модифицированный алгоритм встроен механизм альфа-бета отсечения, заключающийся в сохранении всех решений, полученных в каждой из пройденных вершин графа и последующей проверке наличия существования, полученного при аналогичных условиях, в случае прохождения проверки, вычисления по данной ветке останавливаются.

На рис. 3 изображен пример действия механизма альфа-бета отсечения. В приведенном примере ограничения в вершинах 10 и 11 аналогичны ограничениям в вершинах 2 и 3. А в

вершинах 13 и 14 ограничения аналогичны ограничениям в вершинах 4 и 5. Таким образом, вычисления в вершинах 10,11,13,14 производить не обязательно, т.к. решение заведомо известно.

Рис. 2. Структурная схема процедуры выбора текущей анализируемой вершины графа

213 =1 Ч3 = °

Рис. 3. Пример работы механизма альфа-бета отсечения

Процедура проверки алгоритма альфа-бета отсечения (рис. 1 - блок 4) может быть описана, как проверка на существование среди множества

ограничений Rh , к = 0,Н, удовлетворяющих условию (8):

ЗЯк Vхк = 1, Як с Як ,к = 0,Н

к _ тук'

(8)

В случае прохождения вершиной ак, проверки (8), необходимо получить решение задачи минимизации шт /(2) при ограничениях Кк

zеRk'

методом Гомори (рис. 1 - блок 6). Методика и алгоритм решения подобных задач линейной оптимизации рассмотрена в работах [11,12,13]. Результатом решения будет служить вектор

г к' г _к' к' к' и

= [ 2 11, 2 12,..., 2и ] .

Процедура сохранения результатов

минимизации (рис. 1 - блок 7) добавляет в вектор F минимальное значения функции шт /(2) при

zеRк'

ограничениях Rк , необходимое для работы механизма альфа-бета отсечения.

Если вершина прошла проверку механизма альфа-бета отсечения (рис. 1 - блоки 4,5), то в

вектор F необходимо добавить значение шт /(2).

zеRк

В противном случае (рис. 1 - блоки 4,5) в

вектор F под индексом к' необходимо добавить уже имеющееся решение (рис. 1 - блок 4).

Проверка на целочисленность производится после сохранения результатов (рис. 1 - блок 7), ее действие можно в виде условия (9):

УЦ 2.' е [0,1],г = 17, Ц = V, (9)

Для формального описания процедуры проверки и добавления нового рекорда (рис. 1 -блок 9) введем множество рекордов Z'. Тогда структурная схема алгоритма процедуры проверки и добавления нового рекорда может быть представлена на рис. 4.

Рис. 4. Структурная схема процедуры проверки и добавления нового рекорда

Для рассмотрения процедуры ветвления (рис. 1 - блок 10) введем множество G, содержащее все переменные решения не удовлетворяющие условию целочисленности, то есть 2кЦ е Gесли 2кЦ £ [0,1].

При этом Ык - общее число нецелочисленных переменных текущего решения.

С использованием введенных обозначений структурную схему процедуры ветвления можно представить в следующем виде (рис. 5):

Рис. 5. Структурная схема процедуры ветвления

Процедура выбора оптимального результата (рис. 1 - блок 11) предназначена для выбора наилучшего рекорда в случае, если было обнаружено несколько рекордов, и предоставления альтернативных вариантов решения задачи.

Пример работы модифицированного алгоритма ветвей и границ

Рассмотрим пример работы

модифицированного алгоритма ветвей и границ. Для упрощения вычислений, допустим, что затраты на исключение объектов из состава системы djj ,

i = 1,1,7 = 1, J равны нулю. Тогда вторым компонентом критерия минимизации (1) можно пренебречь и задачу можно представить в виде стандартной задачи о размещении.

Пусть имеются три объекта размещения и три доступных территории, тогда I = 3, J = 3. Стоимости размещения каждого объекта на каждой территории заданы табл. 1.

Таблица 1

Стоимости размещения объектов в зависимости от территории

Таблица 3

Таблица решения с помощью модифицированного алгоритма ветвей и границ

1 2 3 4

Территория\объект Uj U2 u3

А 40 60 80

12 41 69 68

l3 49 68 55

2.

Ценности территорий размещения заданы табл.

Таблица 2

Ценность террито рий размещения

1 2 3 4

Территория 4 l2 I3

Ценность 600 1000 800

размещения

Тогда решение поставленной задачи с помощью модифицированного алгоритма ветвей и границ может быть представлено в виде таблицы 3. Где в колонке 1 записан номер вершины, в колонке 2 - номер родительской вершины.

Колонка 3 содержит информацию о том, какое дополнительное условие было добавлено в текущей вершине. Решение, полученное в каждой вершине учитывает все родительские условия и условие, добавленное в текущей рассматриваемой вершине.

Колонка 4 содержит решение полученное с помощью применения метода Гомори при ограничениях данной вершины

Z = {zn,ZJ2,zi3,Z21,Z22,Z23,Z31,Z32,Z33}, h = 1H ■

Колонка 5 содержит информацию о том, является ли полученное решение рекордом и будет ли оно добавлено в соответствующую таблицу.

После составления таблицы рекордов и сопоставления значений критерия очевидно, что минимальное значение критерия min f (z) = 109

достигается при значении вектора решений Z3 = {0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0} в вершине под номером 3.

1 2 3 4 5

Номер вершины Номер родителя Введенное ограничение Вектор решения Z = {Z1Z12, Z13, Z21, Z22, Z23, Z31, Z32, Z33} Является рекордом

1 {1,0,0,0.5,0,0,1,0,0}

2 1 Z21 =1 {0,0,0,1,0,0,0,0.9,0}

3 2 Z32 = 1 {0,0,0,1,0,0,0,1,0} Да

4 2 Z32 = 0 {0,0,1,1,0,0,0,0,0.125}

5 4 Z33 =1 {0,0,0.125,1,0,0,0,0,1}

6 5 Z13 =1 {0,0,1,1,0,0,0,0,1} Да

7 5 Z13 = 0 {1,0,0,1,0,0,0,0,1} Да

8 4 Z33 = 0 {0,0,1,1,0,0,0.17,0,0}

9 8 Z31 = 1 {0,0,0.375,1,0,0,1,0,0}

10 9 Z13 = 1 {0,0,1,1,0,0,1,0,0} Да

11 9 Z13 = 0 {1,0,0,1,0,0,1,0,0} Да

12 8 Z31 = 0 {0,0.5,0.5,1,0,0,0,0,0}

13 1 Z21 = 0 {1,0,0,0,0.3,0,1,0,0}

14 13 Z22 = 1 {0,0,0,0,1,0,0,0.5,0}

15 14 Z32 =1 {0,0,0,0,1,0,0,1,0} Да

16 14 Z32 = 0 {0,0,0.625,0,1,0,0,0,0}

17 16 Z13 =1 {0,0,1,0,1,0,0,0,0}

18 16 Z13 = 0 {0,0,0,0,1,0,0,0,0.625}

19 18 Z33 =1 {0,0,0,0,1,0,0,0,1} Да

20 18 Z33 = 0 {1,0,0,0,1,0,1,0,0} Да

21 13 Z21 = 0 {0,0,0,0,0,0.875,0,0,1}

22 21 Z23 =1 {0,0,0,0,0,1,0,0.7,0}

23 22 Z31 =1 {0,0,0,0,0,1,0,1,0} Да

24 22 Z31 = 0 {0,0,0.875,0,0,1,0,0,0}

25 21 Z23 = 0 {0.5,0,0.5,0,0,0,0,0,1}

26 25 Z13 =1 {0,0,1,0,0,0,0.5,0,0.5}

27 26 Z32 = 0 {0,0,1,0,0,0,0,0,0.88}

28 26 Z33 =1 {0,0,1,0,0,0,0,0,1} Да

29 26 Z33 = 0 {0,0,1,0,0,0,0.75,0.25,0}

30 29 Z32 =1 {0,0,1,0,0,0,0,1,0} Да

31 25 Z13 = 0 {0.75,0.25,0,0,0,0,0,0,1}

32 31 Z12 =1 {0,1,0,0,0,0,0.5,0,0.25}

33 32 Z32 = 0 {0,1,0,0,0,0,0,0.001,0.624}

Заключение

Предложенный модифицированный алгоритм ветвей и границ может служить решения задач

линейной оптимизации, что было показано на примере решения задачи о размещении. Достоинством данного алгоритма является то, что он позволяет получить решение в виде глобального экстремума при уменьшении числа шагов алгоритма ветвей и границ.

Результаты сравнения быстродействия предложенного модифицированного алгоритма, с генетическим алгоритмом и стандартным алгоритмом ветвей и границ, рассмотренные в работах [10,16] позволяют судить о его эффективности при увеличении размерности задачи.

Литература

1. Елизаров, Д.Э. Обобщенная оптимизационная модель развития мультисервисных сетей [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л. Бурковский, А.П. Воропаев // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2015.-Т. 11. - №3. - С 28-30.

2. Елизаров, Д.Э. Оптимизационные модели формирования структуры развивающихся мультисервисных сетей информационного обслуживания населения [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л Бурковский // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2015.-Т. 11. - № 4. - С. 20-23.

3. Мосалов, С.В. Модели оптимального распределения ресурсов в вертикально организованных производственных системах [Текст] / С.В. Мосалов, В.Л. Бурковский // Системы управления и информационные технологии. - 2006.-Т. 25. - № 3.1. - С. 167-170.

4. Бурковский, В.Л. Имитационное моделирование и оптимизация сетей массового обслуживания на основе эволюционных методов [Текст]: монография / В.Л. Бурковский, С.В. Титов, А.В. Бурковский. - Воронеж: ВГТУ, 2007. - 153с.

5. Попов, К.М. Алгоритмизация управления процессами принятия решений в условиях развивающихся сетей регионального электроснабжения [Текст] / К.М. Попов, Шукур Омар Шукур Махмуд, В.Л. Бурковский // Электротехнические комплексы и системы управления. -2014. - № 2. - С. 55-59.

6. Бурковский, В.Л. Модели оптимального энергораспределения в системах регионального энергопотребления [Текст]: монография / В.Л. Бурковский, Р.А. Харченко. - Воронеж: ВГТУ, 2006. -137с.

7. Бурковский, В.Л. Анализ развивающихся информационных систем на основе аппарата моделирования и оптимизации [Текст]: монография / В.Л. Бурковский, И.М. Матвиенко, А.В. Бурковский. -Воронеж: ВГТУ, 2009. - 136с.

8. Елизаров, Д.Э. Динамические модели оптимизаций структуры мультисервисных сетей [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л. Бурковский // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб. тр. VIII междунар. науч. конф. - Воронеж: ВГТУ, 2015. - С. 130-132.

9. Елизаров, Д. Э. Модель оптимального развития структуры мультисервисных сетей на основе аппарата динамического программирования [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л. Бурковский // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2016.-Т. 12. - №1. - С 21-24.

10. Елизаров, Д.Э. Модифицированная модель задачи о размещении и алгоритм ее численной реализации на основе аппарата дискретного программирования [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л. Бурковский // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб. тр. IX междунар. науч. конф. - Воронеж: ВГТУ, 2016. - С. 135-138.

11. Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях [Текст] / Т. Ху. - М.: Мир, 1974. - 520 с.

12. Корбут А. А. Дискретное программирование [Текст] / А.А. Корбут, Ю.Ю. Финкельштейн. - М.: Наука, 1969. - 367 с.

13. Jünger, M. 50 Years of integer programming 19582008: From the early years to the state-of-the-art. [Текст] / M. Jünger, Th.M. Liebling, D. Naddef, G.L. Nemhauser, (Eds.). -Springer Science & Business Media, 2009. - 797 с.

14. Елизаров, Д.Э. Алгоритмизация решения задачи динамической оптимизации структуры мультисервисных сетей [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л. Бурковский // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2015.-Т. 11. - №6. - С 59-61.

15. Елизаров, Д.Э. Алгоритм решения задачи оптимального размещения узлов обслуживания в условиях развивающихся мультисервисных сетей [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л. Бурковский // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2016.-Т. 12. - №3. - С 4-7.

16. Елизаров, Д.Э. Программное обеспечение моделей оптимального развития структуры мультисервисных сетей [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л. Бурковский // Современные технологии в науке и образовании: сб. тр. междунар. науч.-техн. и науч.-метод. конф.: в 4 т. - Рязань: РГРУ, 2016. - Т.2. - С 63-67.

Воронежский государственный технический университет

ALGORITHMIZATION THE PROBLEM OF PLACEMENT SOLUTION ON THE BASIS OF BRANCH AND BOUND METHOD MODIFICATION

D.E. Elizarov, Postgraduate, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federation, e-mail: [email protected]

The article describes generalized mathematical model of the placement problem in conditions of complex-structured technical systems under development. The advantage of the model is an ability of its application for the systems with already formed structure.

Offers an algorithm of the placement problem model's implementation, which is based on modification of branch and bound method. The algorithm includes a procedure of Gomory method, which is used to form the solution graph and table of records for each iteration of calculation cycle. The structural scheme of the algorithm is also considered, including detailed description of each internal procedure. The designed algorithm is intended to solve discrete programming problems by iterative

47

application of Gomory's method. The solution results, which are obtained in each iteration of calculation cycle, will form the table of records, if they satisfy an integrality condition. In other case, they will form the solution graph with adding of new integrality restrictions. The mechanism of alfa-beta pruning is included to the modified branch and bound algorithm to avoid calculation in excess and accelerate the calculation. Presented an example of the practical implementation of the algorithm for the static placement problem with 3x3 dimension.

The developed placement model and the algorithm of its particular implementation could be applied in conditions for solving the development problems of different kinds of complex-structured technical systems, which include informational, industrial and energy systems

Key words: mathematical modeling, discrete programming, optimization

References

1. Elizarov D.E., Burkovsky V.L., Voropaev A.P. Obobshhennaja optimizacionnaja model' razvitija mul'tiservisnyh setej [Generalized optimization model of multi-service networks] // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. - 2015.-vol. 11, - No. 3. - pp. 28-30.

2.Elizarov D.E., Burkovsky V.L. Optimizacionnye modeli formirovanija struktury razvivajushhihsja mul'tiservisnyh setej informacionnogo obsluzhivanija naselenija [Optimization models of structure formation in developing multi-service networks of information services to the population] // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. - 2015. - vol. 11. -No. 4. - pp. 20-23.

3.Mosalov S.V., Burkovskiy V.L. Modeli optimalnogo raspredeleniya resursov v vertikalno organizovannyih proizvodstvennyih sistemah [Models of optimal allocation of resources in a vertically organized production systems] // Sistemyi upravleniya i informatsionnyie tehnologii. - 2006.-vol. 25. - No. 3.1. - pp. 167-170.

4. Burkovskiy V.L., Titov S.V., Burkovskiy A.V. Imitatsionnoe modelirovanie i optimizatsiya setey massovogo obsluzhivaniya na osnove evolyutsionnyih metodov [Simulation and optimization of queuing networks based on evolutionary methods]: monograph / Voronezh: VSTU, 2007. - 153 p.

5.Popov, K.M. Algoritmizatsiya upravleniya protsessami prinyatiya resheniy v usloviyah razvivayuschihsya setey regionalnogo elektrosnabzheniya [Process control algorithmic decision-making in the context of developing a regional electricity networks] / K.M. Popov, Shukur Omar Shukur Mahmud, V.L. Burkovskiy // Elektrotehnicheskie kompleksyi i sistemyi upravleniya. - 2014. - No. 2. -pp. 55-59.

6. Burkovskiy, V.L. Modeli optimalnogo energoraspredeleniya v sistemah regionalnogo energopotrebleniya [Models of optimal power distribution systems of regional power]: monograph / V.L. Burkovskiy, R.A. Harchenko. - Voronezh: VSTU, 2006. -137p.

7. Burkovskiy V.L., Matvienko I.M., Burkovskiy A.V. Analiz razvivayuschihsya informatsionnyih sistem na osnove apparata modelirovaniya i optimizatsii [Analysis of developing information systems based on modeling and optimization of the machine]: monograph. - Voronezh: VSTU, 2009. - 136p.

8.Elizarov D.E., Burkovskiy V.L. Dinamicheskie modeli optimizatsiy strukturyi multiservisnyih setey [Dynamic optimization model of multi-network structure] // Sovremennyie metodyi prikladnoy matematiki, teorii upravleniya i kompyuternyih tehnologiy -Voronezh: VSTU, 2015. - pp. 130-132.

9.Elizarov D.E., Burkovskiy V.L. Model optimalnogo razvitiya strukturyi multiservisnyih setey na osnove apparata dinamicheskogo programmirovaniya [Model optimal development of the structure of multi-service networks based on dynamic programming unit] // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. - 2016.-vol. 12. - No.1. - pp. 21-24.

10. Elizarov D.E., Burkovskiy V.L. Modifitsirovannaya model zadachi o razmeschenii i algoritm ee chislennoy realizatsii na osnove apparata diskretnogo programmirovaniya [A modified model of the deployment tasks and the algorithm of its numerical implementation on the basis of discrete programming unit] // Sovremennyie metodyi prikladnoy matematiki, teorii upravleniya i kompyuternyih tehnologiy - Voronezh: VSTU, 2016. - pp. 135-138.

11. Hu T. Tselochislennoe programmirovanie i potoki v setyah [Integer programming and network flows]. - M.: Mir, 1974. -

520 p.

12. M. Jünger, Th.M. Liebling, D. Naddef, G.L. Nemhauser, (Eds.). Finkel'shtejn Ju.Ju. Diskretnoe programmirovanie [Discrete programming] - M.: Nauka, 1969. - 367 p.

13. Jünger, M. 50 Years of integer programming 1958-2008: From the early years to the state-of-the-art. - Springer Science & Business Media, 2009. - 797 p.

14. Elizarov D.E., Burkovskiy V.L. Algoritmizatsiya resheniya zadachi dinamicheskoy optimizatsii strukturyi multiservisnyih setey [Algorithmic solution of dynamic optimization of multi-network design problems] // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. - 2015.-vol. 11. - No.6. - pp. 59-61.

15. Elizarov, D.E. Algoritm resheniya zadachi optimalnogo razmescheniya uzlov obsluzhivaniya v usloviyah razvivayuschihsya multiservisnyih setey [An algorithm for solving the problem of optimal placement of service nodes in a developing multi-service networks] / D.E. Elizarov, V.L. Burkovskiy // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. - 2016.-vol. 12. - No.3. - pp. 4-7.

16. Elizarov D.E., Burkovskiy V.L. Programmnoe obespechenie modeley optimalnogo razvitiya strukturyi multiservisnyih setey [Software development of an optimal model of multi-network structure] / // Sovremennyie tehnologii v nauke i obrazovanii. -Ryazan: RSRU, 2016. - vol.2. - pp. 63-67.