Алгоритм решения задачи оптимального размещения узлов обслуживания в условиях развивающихся мультисервисных сетей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.42

Информатика, вычислительная техника и управление

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗМЕЩЕНИЯ УЗЛОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ В УСЛОВИЯХ РАЗВИВАЮЩИХСЯ МУЛЬТИСЕРВИСНЫХ СЕТЕЙ

Д.Э. Елизаров, В.Л. Бурковский

В статье рассматривается модель оптимального развития мультисервисных сетей, состоящая из модели оптимального размещения включаемых в состав сети узлов обслуживания и модели оптимального выбора комплекса технических средств из множества альтернативных устройств различных производителей. Приводится формальная постановка задачи размещения узлов сети, описаны целевая функция и критерии оптимизации. Для решения данной задачи предлагается использовать модифицированный метод Гомори, использующий для формирования графа решений метод ветвей и границ. Приводится формализованный алгоритм метода, делается вывод, что для ускорения работы алгоритма в данном случае возможно использовать механизм альфа-бета отсечения. Приводится пример практической реализации данного алгоритма для задачи размещения трех узлов. Сделан вывод о возможности применения разработанного метода для ускорения работы алгоритма оптимизации

Ключевые слова: оптимизация, дискретное программирование, мультисервисные сети

Введение

В настоящее время, приобретает большую актуальность задача оптимизации развивающихся структур мультисервисных сетей. Уровень внедрения рассматриваемых сетей постоянно растет, в связи с чем растет ростом конкуренции на рынке предоставления телекоммуникационных услуг населению. Таким образом, решение рассматриваемой задачи направлено на расширение сферы влияния сети, а также привлечение новых пользователей и удержание существующих. В связи с этим, необходимо разработать новые средства оптимизации структур сетей и модернизации их компонентной базы сети в процессе развития [1,2].

Для решения данной проблемы предлагается разделить ее на две основные задачи: задачу оптимального размещения дополнительных узлов, включаемых в сеть, и задачу оптимального выбора комплекса технических средств (КТС) из множества альтернативных устройств различных

производителе для узлов, включенных в сеть [2,3]. Рассмотрим детально каждую из них.

Для решения задачи оптимизации КТС в рамках планируемого периода оптимизации предлагается использовать модифицированный метод динамического программирования. Соответствующая оптимизационная модель и алгоритм решения задачи подробно рассмотрены в статьях [4,5,6].

Задача размещения узлов сети

Для формального рассмотрения задачи размещения узлов сети введем следующие обозначения:

Елизаров Дмитрий Эдуардович - ВГТУ, аспирант, e-mail: elizarovdm@list.ru

Бурковский Виктор Леонидович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: bvl@vorstu.ru

и = {«!,..., и1} - множество узлов сети и1,

I = 1,7;

L = {11,..., 13} - множество альтернативных мест размещения узлов сети 1у, у = 1,3; р у - затраты на размещение узла ui в месте 1у ;

V у - потенциальная емкость сети на

территории Iу , у = 1,3 , отражает физическую

потребность пользователей в услугах сети;

Vmm - минимальное количество задействованной емкости, определяемое в соответствии с планом развития сети.

Задачу оптимального размещения вводимых в сеть узлов можно свести к задаче минимизации суммарных затрат на их размещение [1,3,4,5,6]:

7 3

XX Ру2У ^ тЬ (1)

1=1 у=1

узел и1 размещается в месте I у; в противном случае. 7 3

XX гУУ] - Ктт (3)

|=1 У=1

3 _

X 2и * 1, 1 = 1,7 . (4)

У=1

В данном случае ограничение (3) означает, что общее число задействованной емкости (подключенных пользователей) должно превышать минимальный порог задействованной емкости Vmm .

Ограничение (4) гарантирует, что один узел может быть размещен только в одном из альтернативных мест [4,5,6].

Для решения задачи размещения узлов предлагается использовать модифицированный метод Гомори [7]. Алгоритм поиска оптимального размещения вводимых в сеть дополнительных узлов можно сформулировать следующим образом:

Шаг 1. Игнорируя условие целочисленности решить задачу минимизации (1), как задачу линейного программирования с помощью симплекс-метода при ограничениях (2), (3), (4).

Шаг 2. Если в множестве оптимальных

значений переменных г у , i = 1,1, у = 1, J

существуют переменные у>, удовлетворяющие условию нецелочисленности:

0 < 2ГГ < 1, /'е [1,1], /е [1, J], /' = 17, У = (5)

То перейти к шагу 5 считая текущую задачу за базовую.

Шаг 3. Если не существует рекордов, считать данное значение критерия новым рекордом. Остановить ветвление по данной ветви. Перейти к шагу 8.

Шаг 4. Если существует рекорд, сравнить его с текущим значением критерия. Если значение критерия меньше существующего критерия, считать данное значение критерия новым рекордом. Остановить ветвление по данной ветви. Перейти к шагу 8.

Шаг 5. Производим ветвление по переменной

2у = ЫАХ(1^< у), /' = 1,1', У = 1, J', для этого

разбиваем базовую задачу на 2 подзадачи. Так как изначальная задача оптимизации является дискретной, в первой из подзадач к условию базовой задачи добавляем условие 2У = 0 . Во второй подзадаче добавляем условие г' = 1.

Шаг 6. Если решения по какой-то из задач нет, остановить дальнейшее ветвление, перейти к шагу 8.

Шаг 7. Решить каждую из подзадач игнорируя условие дискретности и целочисленности симплекс-методом. Для каждой из подзадач перейти к шагу 2.

Шаг 8. Если ветвление по всем веткам алгоритма закончено, считать текущее значение рекорда и соответствующее ему решение оптимальным.

Для ускорения работы предлагается использовать механизм альфа-бета отсечения, основанный на запоминании заведомо неоптимальных значений ограничений переменных

г у , / = 1,1, у = 1, J и соответствующего значения

критерия. Если алгоритм в ходе работы достигает ячейки с уже сохраненными ограничениями, следует остановить дальнейшие вычисления данной ветви.

Пример решения задачи размещения

Рассмотрим практическую реализацию представленного алгоритма на следующем примере. Пусть количество узлов сети 1=3 и J=3.

Потребность пользователей в услугах сети отражена в табл. 1.

Таблица 1

j 1 2 3

vj 400 ч. 600 ч. 350 ч.

В соответствии с планом развития сети установлен минимальный порог удовлетворяемой

потребности Vmin = 800 .

Стоимость размещения узлов в каждом конкретном месте размещения представлена в табл. 2.

Таблица 2

i \ j 1 2 3

1 40,5 т.р. 60,24 т.р. 20,5 т.р.

2 41,3 т.р. 96 т.р. 32 т.р.

3 40,1 т.р. 35,9 т.р. 26,4 т.р.

Запишем постановку задачи линейного программирования, основываясь на задаче минимизации (1) с ограничениях (3) и (4).

F (z) = 40,5 • z11 + 60,24 • z12 + 20,5 • z13 + (6) +41,3 • z 21 + 96 • z 22 + 32 • z 23 + 40,1 • z 31 + 35,9 • z 32 + +26,4 • z33 ^ min 400 • z11 + 600 • z12 + 350 • z13 + 400 • z21 + (7) +600 • z22 + 350 • z 23 + 400 • z31 + 600 • z32 +

+350•z33 >800

zU + z12 + z13 < 1 (8)

z21 + z22 + z23 < 1 (9)

z31 + z32 + z33 <1 (10)

Результат ее решения симплекс-методом представлен в табл. 3. Значении критерия минимизации F(z) = 47,425.

Таблица 3

i \ j 1 2 3

1 1 0 1

2 0 0 0

3 0 0,75 0

Здесь гз2 = 0,75 - нецелочисленно, поэтому необходимо произвести ветвление по этой переменной.

Схема ветвления по переменным, служащая для нахождения решения данной задачи представлена на рисунке.

Как видно из рисунка, дальнейшее ветвление по переменной г^з не привело к формированию новых рекордов. Таким образом оптимальным значением критерия для данной задачи будет F(z) =

80,6, достигаемом при значениях переменных Гу , / = 1,1, у = 1, J представленных в табл. 4.

Применение рассмотренного алгоритма для практической реализация модели оптимального развития мультисервисных сетей позволяет значительно сократить время решения задачи размещения, ускоряя время получения результата оптимизации [3,4,5,8,9].

Литература

1. Елизаров, Д.Э. Оптимизационные модели формирования структуры развивающихся мультисервисных сетей информационного обслуживания населения [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л Бурковский // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2015.-Т. 11. - № 4. - С. 20-23.

2. Степанов, С.Н. Основы телетрафика мультисервисных сетей [Текст] / С.Н. Степанов. - М.: Эко-Трендз, 2010. - 392 с.

3. Елизаров Д.Э. Обобщенная оптимизационная модель развития мультисервисных сетей [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л. Бурковский, А.П. Воропаев // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2015-Т. 11, - №3. - С 28-30.

4. Елизаров Д.Э. Модель оптимального развития структуры мультисервисных сетей на основе аппарата динамического программирования [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л. Бурковский // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2016-Т. 12, - №1. - С 21-24.

5. Елизаров Д.Э. Модификация метода Беллмана решения динамической задачи о ранце [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л Бурковский // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2015. - Т. 11. - № 5. - С. 31-33.

6. Елизаров Д.Э. Алгоритмизаця решения задачи динамической оптимизации структуры мультисервисных сетей [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л. Бурковский // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2015. - Т. 11. - №6. - С 59-61.

7. Корбут А. А. Дискретное программирование [Текст] / А.А. Корбут, Ю.Ю. Финкельштейн. - М.: Наука, 1969. - 367 с.

8. Елизаров Д.Э. Модели проектирования развивающихся мультисервисных сетей [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л. Бурковский // Перспективные исследования и разработки в области информационных технологий. - 2014. - C. 4.

9. Бурковский, В. Л. Анализ развивающихся информационных систем на основе аппарата моделирования и оптимизации [Текст]: монография / В. Л. Бурковский, И. М. Матвиенко, А. В. Бурковский. -Воронеж: ГОУ ВПО ВГТУ, 2009. - 136с.

Заключение

Таблица 4

i \ j 1 2 3

1 1 0 0

2 0 0 0

3 1 0 0

Схема ветвления алгоритма оптимального размещения узлов сети

Воронежский государственный технический университет

ALGORITHMIZATION OF PLACEMENT OF ADDITIONAL UNITS IN THE OPTIMIZATION OF DEVELOPING MULTISERVICE NETWORKS

D.E. Elizarov, Postgraduate, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federation, e-mail: elizarovdm@list.ru

V.L. Burkovsky, Doctor of Technical Sciences, Full Professor, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federation, e-mail: bvl@vorstu.ru

The article describes the model of multi-service networks optimal development, that consists of the model of the optimal service nodes placement in network structure and the model of optimal technical devices choice from a variety of alternative

devices from different manufacturers. A formal statement of the problem of placement of nodes is considered, the objective function and optimization criteria are described. To solve this problem are encouraged to use the modified Gomory method, which uses branch and bound method to generate the solution graph. Formalized algorithm method is presented, it is concluded that the mechanism of alpha-beta pruning can be used to speed up the algorithm. An example of practical implementation of this algorithm is solved for the placement problem of three nodes. The conclusion about the possibility of using the method developed to speed up the optimization algorithm is made

Key words: linear programming, discrete programming, multiservice networks

References

1. Elizarov, D.Je., Burkovskij V.L. Optimizacionnye modeli formirovanija struktury razvivajushhihsja mul'tiservisnyh setej informacionnogo obsluzhivanija naselenija [Optimization models of structure formation in developing multi-service networks of information services to the population] // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. - 2015.-T. 11. - № 4. - P. 20-23.

2. Stepanov, S.N. Osnovy teletrafika mul'tiservisnyh setej [Basics of teletraffic in multiservice networks]. - M.: Jeko-Trendz, 2010. - 392 p.

3. Elizarov D.Je., Burkovskij V.L., Voropaev A.P. Obobshhennaja optimizacionnaja model' razvitija mul'tiservisnyh setej [Generalized optimization model of multi-service networks] // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. - 2015-T. 11, - №3. - P 28-30.

4. Elizarov D.Je., Burkovskij V.L. Model' optimal'nogo razvitija struktury mul'tiservisnyh setej na osnove apparata dinamicheskogo programmirovanija [Model of optimal development of the structure of multi-service networks based on dynamic programming] // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. - 2016-T. 12, - №1. - P 21-24.

5. Elizarov D.Je., Burkovskij V.L. Modifikacija metoda Bellmana reshenija dinamicheskoj zadachi o rance [Modification of Bellman's method for dynamic knapsack problem] // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. - 2015.-T. 11. - № 5. - P. 31-33.

6. Elizarov D.Je., Burkovskij V.L. Algoritmizacja reshenija zadachi dinamicheskoj optimizacii struktury mul'tiservisnyh setej [Algorithmic solution of dynamic optimization of multi-network design problems] // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. - 2015-T. 11, - №6. - P 59-61.

7. Korbut A.A. Finkel'shtejn Ju.Ju.Diskretnoe programmirovanie [Discrete programming].- M.: Nauka, 1969. -367 p.

8. Elizarov D.Je., Burkovskij V.L. Modeli proektirovanija razvivajushhihsja mul'tiservisnyh setej [Models of developing the design of multiservice networks] // Perspektivnye issledovanija i razrabotki v oblasti informacionnyh tehnologij. - 2014. - P. 4.

9. Burkovskij, V. L. Matvienko I. M., Burkovskij A. V. Analiz razvivajushhihsja informacionnyh sistem na osnove apparata modelirovanija i optimizacii [Analysis of developing information systems based on modeling and optimization of the machine]: monografja. - Voronezh: GOU VPO VGTU, 2009. - 136 p.