Алгоритмизация решения задачи динамической оптимизации структуры мультисервисных сетей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.42

АЛГОРИТМИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОИ ОПТИМИЗАЦИИ СТРУКТУРЫ

МУЛЬТИСЕРВИСНЫХ СЕТЕЙ

Д.Э. Елизаров, В.Л. Бурковский

В статье описывается постановка задачи оптимизации структуры развивающихся мультисервисных сетей в условиях фиксированной потребности в услугах. Предлагаются алгоритмы ее решения с применением эвристических алгоритмов и аппарата динамического программирования

Ключевые слова: динамическое программирование, дискретное программирование, мультисервисные сети

Введение

Мультисервисные сети в настоящее время получили массовое распространение. Расширение сферы влияния и развитие таких сетей в сложившейся обстановке высокой конкуренции требует реализации оптимальных процедур структурной и компонентой модернизации сети [1,2].

Процесс развития системы информационного обслуживания клиентов мультисервисной сети связан с решением двух главных задач: задачи оптимального размещения включаемых в сеть дополнительных узлов и задачи выбора оптимального комплекса технических средств(КТС) для включенных в сеть узлов из множества альтернативных устройств различных

производителей [2].

Задача размещения узлов сети

Для формального рассмотрения задачи размещения узлов введем следующие обозначения:

и = {и1,..., и1} - множество узлов сети и^,

I = й;

L = {11,..., 13} - множество альтернативных мест размещения узлов сети I у, у = 1,3 ;

Ру - затраты на размещение узла ui в альтернативном месте I у ;

Vу - количество пользователей, желающих подключиться к сети в месте I у , у = 1,3 , отражает

потребность в услугах сети на конкретной территории;

Утт - минимальное количество потенциально подключенных пользователей, определяемое в соответствии с планом развития сети.

С использованием введенных обозначений задача оптимального размещения вводимых в сеть узлов может быть сведена задаче к минимизации суммарных затрат на их размещение. Представим данную задачу в формате линейного целочисленного программирования [1,3,4,5]:

Елизаров Дмитрий Эдуардович - ВГТУ, аспирант, e-mail: elizarovdm@list.ru

Бурковский Виктор Леонидович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: bvl@vorstu.ru

I J

ЕЕ püzu ^ min

i=1 У=1

1, узел ui размещается в месте ly; 0, в противном случае.

I j

ЕЕz.v. >V ■

ij У min

i=1 j=1

JZy < ^ i = Ü .

y=1

(1) (2)

(3)

(4)

Ограничение (3) в данном случае означает, что общее число потенциальных пользователей сети должно превышать минимальный установленный порог подключаемых пользователей, определяемый в соответствии с планом развития сети Утт .

Ограничение (4) гарантирует, что узел не может быть размещен в нескольких местах одновременно [4,5].

Генетический алгоритм решения задачи размещения узлов сети

Для решения задачи размещения вводимых в сеть узлов предлагается использовать генетический алгоритм, включающий стандартные процедуры размножения, мутации и селекции.

В качестве вектора генотипа предлагается использовать вектор булевых переменных hr с фиксированной длиной R = I х 3 :

H = [hi, h2,..., hR ] =

[ z11, z12,..., Z1J , Z 21, Z 22,..., Z1J , z11, Z12,..., Z1J ]

. (5)

Приспособленность особи в данном случае определяется исходя из суммарных затрат на модернизацию КТС в рамках рассматриваемого узла и может быть представлена следующим образом:

f (H g) = 1/ Е Prh

r"gr

r=1

Pr = Pij, i =Lr

= Lr /1J , У = r - I ■ i .

(6) (7)

z,.- =

Условие (3) обеспечивает сходимость алгоритма, однако увеличения числа мутаций в популяции может привести к расхождению алгоритма. Исключение мутаций из алгоритма может привести к формированию локальных экстремумов в популяции и не нахождению оптимальных решений.

Задача оптимального выбора КТС

Перейдем к рассмотрению задачи оптимального выбора КТС. Данная задача должна рассматриваться в зависимости от фиксированного спроса на услуги сети. и может быть сведена к динамической задаче дискретного

программирования [1,3,4]. Задачу предлагается рассматривать в рамках планируемого временного периода [0, T ], который разбивается на K фиксированных временных подынтервалов

Для формального рассмотрения задачи оптимизации КТС введем следующие обозначения:

1к - подынтервал времени решения задачи

оптимального выбора КТС, где к = 1, K ;

tk¡e - подынтервал времени, в рамках которого осуществляется выбор типа оборудование Ье для

узла и1, где е = 1, Е , i = 1, I, к = 1, К ;

в = {Ьх,...,ЬЕ }

множество

типов

оборудования различных производителей, доступного для установки в узлах сети;

се - стоимость установки типа оборудования

Ье, е = 1,Е ;

de - стоимость деинсталляции типа оборудования Ье, е = 1, Е ;

уе - физическая ёмкость оборудования Ье,

е = 1, Е, определяет количество пользователей которое возможно подключить к конкретному типу оборудования.

С использованием введенных обозначений сформулируем данную задачу на

детерминированном временном интервале [0;Т], как задачу дискретного динамического программирования. Для каждого момента времени tk е[0;Т], к = 1, К , необходимо оптимальный состав КТС каждого размещенного узла сети таким образом, чтобы затраты на его установку и деинсталляцию были минимальны. Формально данная задача сводится к следующей постановке [1,3]:

ЕЕЕ Q(tk¡e ) ^ ^

(8)

к=1 ¡=1 е=1

в^Ше ) =

если если

((к-1>е ) П Х^Ые )) и и (Х(t(к-1)е ) П Х(^ые )); Х^(к-1>е ) П х(!Щ ); (9)

х((к-1>е ) П Х^Ше ),

Х(^е ) =

0,

оборудован ие Ье включается

в состав узла и 1 на подынтервале tkie; в противном случае.

£ ) > vг.

=1 е =1

к = 1, К .

(10)

(11)

Данная задача является модифицированной версией задачи о ранце [6]. Для ее решения воспользуемся методом динамического

программирования. Будем считать, что решение о включении оборудования типа Ье в состав узла и

для каждого момента времени ^ принимается на отдельном подынтервале времени tk¡e. Таким образом, временной интервал [0; Т] можно разбить на отдельные подынтервалы принятия решений tkгe е [0; Т], к = 1К, ¡= 17, е = 1Е .

Пусть £ ■7 >Е ■, V') - оптимальное значение целевой функции. Тогда справедливы следующие рекуррентные соотношения [1,3,7,8,9]:

£ (^ц, V') =

0, V' = 0, с1,0 < V' < у1, + <ю, V' > у1;

(12)

Значение целевой функции зависит от значения х на предыдущем интервале времени tk-1 Если к = 1 п Х^(к-1)е, V') = 0 :

£ ^к,е ,V') = Ш1П

£(tме - 1, V'), Х^к,е ,V') = 0, Се + £^Ше - 1, Шах{0, V '-Уе }), (13) Х^е V') = 1

Если к > 1 и х^(к-1)е, V') = 1:

£ (tмe ,V •) = ш1п

£^ке - 1, V'), Х^ , V•) = 1,

de + £^Ье - 1, шах{0, V'-Уе }), (14)

Х^е V') = 0

К 7 Е

< V' Уе .

(16)

к=1 =1 е=1

Алгоритм решения задачи оптимального выбора КТС

Для решения задачи нахождения оптимального КТС предлагается использовать модифицированный

0

с

е

d

е

1

метод Беллмана-Форда, при условии, что решения о включении оборудования в состав конкретного узла для каждого подынтервала времени ^ е[0;Т], к = 1, К применяется в отдельный подынтервал времени tk¡e е [0; Т], к = 1, К, i = 1,7 , е = 1, Е . Таким образом данную задачу можно считать модификацией динамической задачи о ранце [6,7,8].

Схема алгоритма решения для рассмотренной модели представлена на рисунке.

Схем алгоритма решения задачи оптимизации КТС

Заключение

Реализация данной модели оптимального развития мультисервисных сетей позволяет спланировать данный процесс на долгосрочный период при фиксированном спросе пользователей на услуги в условиях минимизации затрат на оперативную реорганизацию структуры сетей и модернизацию КТС, что повышает качество принимаемых проектных решений и особенно важно в условиях высокой конкуренции между провайдерами мультисервисных услуг.

Литература

1. Елизаров, Д.Э. Оптимизационные модели формирования структуры развивающихся мультисервисных сетей информационного обслуживания населения [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л Бурковский // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2015.-Т. 11. - № 4. - С. 20-23.

2. Степанов, С.Н. Основы телетрафика мультисервисных сетей [Текст] / С.Н. Степанов. - М.: Эко-Трендз, 2010. - 392 с.

3. Елизаров Д.Э. Обобщенная оптимизационная модель развития мультисервисных сетей [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л. Бурковский, А.П. Воропаев // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2015-Т. 11, - №3. - С 28-30.

4. Елизаров Д.Э. Модели проектирования развивающихся мультисервисных сетей [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л. Бурковский // Перспективные исследования и разработки в области информационных технологий. - 2014. - C. 4.

5. Бурковский, В. Л. Анализ развивающихся информационных систем на основе аппарата моделирования и оптимизации [Текст]: монография / В. Л. Бурковский, И. М. Матвиенко, А. В. Бурковский. -Воронеж: ГОУ ВПО ВГТУ, 2009. - 136с.

6. Pisinger D. Knapsack problems [Текст] / D. Pisinger, H. Kellerer, U. Pferschy. - Springer Science & Business Media, 2013. - 548 c.

7. Елизаров Д.Э. Модификация метода Беллмана решения динамической задачи о ранце [Текст] / Д.Э. Елизаров, В.Л Бурковский // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2015.-Т. 11. - № 5. - С. 31-33.

8. Беллман, Р. Динамическое программирование и уравнения в частных производных [Текст] / Р. Беллман, Э. Энджел. - М.: Мир, 1974. - 204 с

9. Беллман Р., Прикладные задачи динамического программирования [Текст] / Р. Беллман, С. Дрейфус. - М.: Наука, 1965. - 460 с.

Воронежский государственный технический университет

ALGORITMIZATION OF THE MULTISERVICE STRUCTURE DYNAMIC OPTIMIZATION PROBLEM

D.E. Elizarov, V.L. Burkovsky

The article describes the formulation of the problem of developing multiservice network structure optimization in a fixed demand for services. Also the article proposes the algorithms of problems solving with the usage of heuristic algorithms and dynamic programming method

Key words: dynamic programming, discrete programming, multiservice networks