Алгоритм вычисления связи матриц упругих коэффициентов влияния в двух расчетных системах точек Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XV 1 9 84 № 1

УДК 629.735.33.015.4:533.6.013.425

АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ СВЯЗИ МАТРИЦ УПРУГИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЛИЯНИЯ В ДВУХ РАСЧЕТНЫХ СИСТЕМАХ ТОЧЕК

С. В. Ефименко

Метод интерполяции функции двух переменных сплайн-поверхностью применяется для вычисления упругих коэффициентов влияния в системе расчетных точек на упругой поверхности по значениям коэффициентов влияния в системе точек, отличной от первой. Приведены примеры расчета для консольной пластины.

1. Использование метода коэффициентов влияния в задачах аэроупругости предполагает задание в точках аэродинамической расчетной схемы матрицы упругих коэффициентов влияния. Но обычно имеется две системы расчетных точек — система точек аэродинамической расчетной схемы и система точек, в которой определена матрица упругих коэффициентов влияния (расчетная или экспериментальная). Эти системы точек, как правило, не совпадают и возникает необходимость решения задачи, которую можно сформулировать следующим образом. На упругой поверхности (рис. 1) задана система п точек 8п, в которой определена матрица упругих коэффициентов влияния прогиб — сила К^п<пу

В этой системе действует вектор сил 1), который вызывает вектор перемещений На поверхности имеется другая система т точек (5т), которой

соответствует вектор сил вектор перемещений ^ и вектор производных перемещений по координате х — ■ Необходимо определить в этих

точках матрицу упругих коэффициентов влияния(прогиб — сила) и матрицу упругих коэффициентов влияния К*т т) (местный угол атаки — сила).

Известно, что если имеется матрица, связывающая перемещения в двух системах точек \У = Х\У и XVх = Xх IV, тогда Р =Х17? [1] и, следовательно, К = ХКХТ, Кх = ХхКХт, т. е. поставленная задача будет решена, если определены матрицы перехода X и Xх.

Основой определения матриц X и Xх является выбор метода интерполяции перемещений по заданным перемещениям в п точках упругой поверхности, от которого зависит алгоритм решения, его эффективность и точность получаемых результатов. В работе [2] эта задача решается, когда для интерполяции перемещений упругая поверхность разделяется на области, ограничиваемые 3-мя, 4-мя, 5-ю или 6-ю узловыми точками и в каждой области задается закон изменения перемещений в виде многочлена, число членов которого определяется количеством угловых точек области. Такой метод интерполяции требует дополнительных условий для разделения упругой поверхности на области и выбора соответствующих многочленов для обеспечения достаточной точности вычислений. В предлагаемой работе в качестве интерполяционной функции используется сплайн-поверхность, представляющая собой деформацию срединной поверхности пластины бесконечных размеров при действии сосредоточенной силы [3], что позволило разработать алгоритм решения поставленной задачи, лишенный отмеченных недостатков метода, описанного в [2].

Согласно [3], интерполяционная функция задается в виде

т (х. г) = % + я2 х + а3 г + ^ Ф1 г) 1п г],

г=1

(О

где п — количество точек, в которых заданы перемещения,

г} = (х - *,)* + (г - гг)2„

аи а2. аъ, Ф; — коэффициенты интерполяционной функции, х, г — координаты точек в плоскости Х02. Коэффициенты интерполяционной функции определяются из системы линейных алгебраических уравнений по заданным перемещениям но в п расчетных точках, которые в матричной форме запишем следующим образом:

/‘

\

юп

и /

\ч

1 х, г,

1 х, г,

гп 1пг11 ■■■тпМГп1

гп 1>п г\ г£1п.гг\... г£г 1пг*г

7 хп

■А-

171

ги.1птгп-Глп1лгпп

0 0 01 1 1 г

0 0 01 X, *2 *

0 0 01 */ zг ..... г

: /

(2)

где /-?у = (XI — х/)3 + (гг — г;)2; х, г—координаты системы точек В (2) имеется неопределенность типа 0-ос у членов г2и 1п г2и при гц = 0. Используя правило

Лопиталя, можно показать, что Нш г21п г2 = 0.

г-*0

Заменив в (2) левую часть матрицей коэффициентов влияния К, можем записать систему уравнений (2) следующим образом:

Матрицу коэффициентов влияния для сил в точках системы 5„ на перемещения в точках системы 5т запишем, используя (I).

К(т, п) №(т, 3) ^(т, я)) ( <*> ) > (4)

\ (л, п) I

где з)—матрица, представленная в (3) с координатами системы точек 8т, Я(т,п) — матрица аналогичная /?, при этом = (*/ — л:;)2 + (г,- — г ¡у (х,-, г,- — координаты системы точек 8т',”хр гу— координаты системы точек 8„). Определив А(3 „) и Ф(Л>П) из (3) и подставив в (4), после умножения-левой и правой части равенства на вектор сил Р, будем иметь искомую связь перемещений двух систем точек посредством матрицы перехода: IV = ЛТУР, где

х = г$ + ят, в=* (г* г)~'гт т = я~цЕ~гв).

Дифференцированием интерполяционной функции (1) по координате х и преобразованиями, аналогичными (3) и (4), получим, что

хх =гхв + яхт,

где Z'^; и Лх — матрицы, состоящие из производных элементов матриц выражения (2) по координате х.

2. В качестве примера использование описанной методики приведем результаты вычислений К и Xх для консольной трапециевидной пластины постоянной толщины (Л ==0,004 м, £ = 7,2*1010 Н/м2, ч = 0,3). На рис. 1 изображена схема пластины и две системы расчетных точек —545 и 528- За исходные матрицы коэффициентов влияния были приняты матрицы ^45 45), АГ(28, 28)’ ^(28,28)’ вычисленные методом многочленов с 12-ю координатными функциями. По матрице /С(45 45) определялись матрицы К^щ и Кх^¡8)- Рис- 2 и 3 показаны

перемещения ни и производные дw|дx в сечениях системы точек 528, полученные ИЗ матриц АГ(28, 28)’ ^(28, 28) и ^(28, 28)> ^(28,28) ПРИ ДейсТВИИ вектора СИЛ

.Р (р1= Ю Н, I = 1, 2, . . . , 28) в системе точек 528.

Перемещения но практически совпадают. Хуже согласованность величин дяи/дх, особенно в сечениях, близких к заделке, но так как абсолютные значения дт/дх в этих сечениях значительно меньше значений дхи/дх остальной части пластины, использование этих величин для вычисления аэродинамических нагру-

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 ^ х,м

• метод многочпенпИ « предлагаемый, метод

Рис. 3

зок, очевидно, не приведет к существенной погрешности. Кроме того, точность вычислений в этих сечениях можно повысить увеличением количества точек.

Предлагаемый алгоритм нецелесообразно применять для определения матрицы коэффициентов влияния в точках, которые лежат вне области, занятой первоначальной системой точек.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зенкевич О. С. Метод конечных элементов в технике. —

М.: Мир, 1975.

2. Н о I f о г d D. М., С о р 1 е у J. С. On interfacing structural information and loading data in aeroelastic analysis. — ARCR J., N 3833,

1977.

3. Robert L. Hardes and Robert N. Desmarais. Interpolation using surface splines.— Journal of Aircraft, vol. 9, N 2, February,

1972.

Рукопись поступила // VII 1982 г. Переработанный вариант поступил 22¡III 1983 г.