CC BY
27
УДК 515.2:528.71
О.В. РЕУТА
Дншропетровський нацюнальний ушверситет iM. Олеся Гончара
АЛГОРИТМ В1ЗУАЛВАЩ1 ФОРМИ ПРОСТОРОВОГО ОБ'СКТА, ПОДАНОГО ЙОГО МАТРИЧНОЮ МОДЕЛЛЮ
Запропоновано алгоритм вгзуалгзаци просторового тыа за його дискретною матричною моделлю, який передбачае побудову пром1жноЧ воксельног модел1 поверхш тша i визначення на И основi пол^ональног атки з трикутними гранями. Алгоритм використовуе пiдхiд Marching cubes з наступними вiдмiнностями: розглядаються тшьки вокселi поверхт, фрагмент пол^ональног атки для подання вокселя визначаеться станом його граней, а не вершин, що зменшуе обсяг обчислень i усувае певш види неоднозначностi.
Ключовi слова: геометрична форма, вiзуалiзацiя, матрична модель, воксельна модель, поверхня просторового об 'екту, алгоритм Marching cubes, полшональна стка
А.В. РЕУТА
Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара
АЛГОРИТМ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ФОРМЫ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ОБЪЕКТА, ПРЕДСТАВЛЕННОГО ЕГО МАТРИЧНОЙ МОДЕЛЬЮ
Предложен алгоритм визуализации пространственного тела по его дискретной матричной модели, подразумевающий построение промежуточной воксельной модели поверхности тела и определение на ее основе полигональной сетки с треугольными гранями. Алгоритм использует подход Marching cubes со следующими отличиями: рассматриваются только вокселы поверхности, фрагмент полигональной сетки для представления воксела определяется состоянием его граней, а не вершин, что уменьшает объем вычислений и устраняет определенные виды неоднозначности.
Ключевые слова: форма, визуализация, матричная модель, воксельная модель, поверхность пространственного объекта, алгоритм Marching cubes, полигональная сетка
O.V. REUTA
Dnipropetrovsk National University of Oles Honchar
ALGORITHM OF SHAPE VISUALIZATION OF 3D OBJECT PRESENTED BY ITS MATRIX MODEL
An algorithm of a space body visualization on base of its matrix model is proposed. The algorithm uses a triangular mesh built from an intermediate voxel model of the body surface. The algorithm uses the Marching cubes approach with the following differences: it considers only voxels of the body surface, fragment of the triangular mesh presented the voxel based on the state of voxel faces, not vertices. The proposed algorithm reduces the total amount of computation and eliminates certain kinds of ambiguity.
Keywords: shape, visualization, matrix model, voxel model, surface of the space body, Marching cubes algorithm, triangular mesh
Постановка проблеми
Розв'язання загально! проблеми вдентифшацп просторових об'екпв за !х фотограмметричними зображеннями (ФЗ) передбачае побудову (синтез) еталонних моделей об'екпв, вдентифшащя яких включае реконструкцш моделi дослвджуваного об'екту за ФЗ, ствставлення реконструйовано! моделi з еталонними для визначення множини кандидата, синтез зображень моделей-кандидапв i сшвставлення синтезованого зображення з вихвдним ФЗ та прийняття ршення про результат щентифжацп. Для матричних моделей, яш складають основу зазначеного тдходу [1], на даний час ввдсутш процедури !х вiзуалiзацil, що унеможливлюе реалiзацiю останшх двох еташв запропоновано! схеми.
Аналiз останшх дослвджень i публжацш
Одним з перших i найпоширешших в наш час алгоритмш вiзуалiзацil даних, що використовуе воксельш модел^ е Marching cubes [2], який знайшов широке застосування в медичнш дiагностицi, зокрема, в комп'ютернш, магшто-резонанснш та позитрон-емiсiйнiй томографп. Хоча цей алгоритм допускае певнi невизначеностi в побудовi поверхнi дослiджуваного об'екта, але iснують модифшацп, якi розв'язують дану проблему [3]. К^м того, яшсть вiзуалiзацil може бути пiдвищена шляхом штерполяцп поверхнi в об'емi воксела не трикутними пол^онами, як в орипнальному варiантi, а кусками поверхонь другого порядку [4].
Незважаючи на широш можливосп алгоритму Marching cubes i його модифжацш, вш оперуе iнформацieю, яка е надлишковою для подання поверхш дослiджуваного об'екту, i не враховуе особливостей вихвдних даних, за якими будуеться його матрична модель.
Мета дослщження
Слiд розробити алгоритм вiзуалiзацil просторового об'екту за його матричною моделлю, який би враховував особливосп подання поверхнi об'екта в дискретнш формi.
Основна частина
Матрична модель (ММ) просторового об'екта е ефективним способом опису його геометрично! форми для задач аналiзу i реконструкци [1]. ММ будуеться на основi габаритного контейнера (ГК) i сшввщноситься з воксельною моделлю (ВМ) об'екта, як показано на рис. 1, а. Вона складаеться з шести
матриць рельефу Mp, p = 0,5 (далi просто "матриць"). На рис. 1, б показаш !х фрагменти та порядок
формування iндексiв. Значеннями елементiв матриць е ввдсташ м1ж вiдповiдними гранями вокселiв ВМ i поверхнею ГК [1]. Далi розглядаються лише воксели у формi прямокутного паралелепiпеда, орiентацiя
граней Fp, p = 0,5 окремого воксела ствпадае з орiентацiею граней ГК i показана на рис. 1, в.
а) б) в)
Рис. 1. Спшввдношення ВМ просторового об'екта та його ММ
Введемо наступш визначення. Вважаемо, що грань воксела eidKpuma, якщо вона належить тiльки йому i не подiляеться з будь-яким сусвдшм вокселем. Наявнiсть ввдкритих граней у воксела зумовлюе те, що для нього юнуе подання принаймнi на однш матрицi ММ у виглядi li елемента. Вокселi без вщкритих граней не належать поверхнi об'екта i тому iгноруються ММ.
Осшльки для визначення вокселя у просторi достатньо тiльки одше! матрицi ММ з вщповвдним йому елементом, то мае мюце певна надмiрнiсть шформацп у матричному поданнi просторового об'екту, яка, однак, загалом не робить ММ менш економною у порiвняннi з ВМ [5]. Надалi воксел^ поданi бiльш нiж на однш матриц ММ, назвемо надлишковими, на ввдшну вiд базових, для визначення яких в ММ маеться тшьки одна матриця.
Як приклад, на рис. 2 показаний фрагмент ВМ тора (рис. 1, а), на якому темним кольором видшеш воксел^ положення яких може бути визначене за матрицею M q (рис. 2, а), одночасно за матрицями M q i M4 (рис. 2, б), одночасно за матрицями M q, M 4 i M2 (рис. 2, в) та одночасно матрицями Mq, M 4, M2 i M 3 (рис. 2, г). Видно, що, як i зазначалося, для кожного з видшених вокселiв шльшсть матриць, за якими може бути визначене його положення у простор^ зумовлюеться кшьшстю в1дкритих граней.
а) б) в) г)
Рис. 2. Фрагмент воксельноК модел1 тора i3 надлишковими вокселями
Якщо мiрою надлишковостi вокселя вважати число на 1 менше за кшьшсть матриць, за якими вш визначаеться, або його вщкритих граней, то вокселi, видiленi на рис. 2, г мають надлишковють 3, на рис. 2, в до них додались вокселi з надлишковютю 2, а на рис. 2, б — ще й п, що мають надлишковють 1. На рис. 2, а, до вах зазначених додалися ще базовi вокселi, положення яких визначаеться пльки за M q .
Врахування надлишковосп вокселiв дае можливiсть вилучити з аналiзу neBHi елементи матриць, скорочуючи тим самим час реконструкцп форми об'екту.
Розглянемо процес вiзуалiзацii просторового об'екту, поданого своею ММ. В основу його покладено щдхвд, запропонований в алгоритм Marching cubes (MC), перевагами якого е незалежна обробка кожного елемента моделi об'екта, простота створення полп-онально! сiтки з трикутних граней для подання його поверхнi, а також наявнiсть ефективних реалiзацiй [2 - 4].
Процес передбачае наступи кроки.
1°. Вибiр матрицi ММ.
2°. Вибiр елемента обрано! матрищ.
3°. Визначення вокселя, що ввдповщае обраному елементу.
4°. Визначення стану граней вокселя: вщкрита або закрита.
5°. Визначення елементiв iнших матриць, що подають розглянутий воксель, i вилучення !х з подальшого розгляду.
6°. Створення шдексу на основi комбiнацii сташв граней вокселя.
7°. Вибiр iз таблицi варiантiв за отриманим iндексом конфiгурацii, яка спiвставляе вокселю фрагмент полп-онально! сiтки, складено! з трикутних граней.
8°. Вибiр наступного елемента обрано! матрицi i виконання для нього крошв 3° - 7°, поки всi елементи обрано! матрищ не будуть оглянутi.
9°. Вибiр наступно! матрицi i виконання для не! крошв 2° - 8°, поки вс матрищ ММ не будуть оглянута
10°. Визначення поверхш просторового тша шляхом об'еднання отриманих на попереднiх кроках фрагментiв сггки.
Розглянемо кроки запропонованого алгоритму бшьш детально.
Вибiр матрицi, як i вибiр елемента в матрицi, (кроки 1° i 2°, вiдповiдно) виконуеться в порядку зростання вiдповiдних iндексiв p — для матриць, i, j — для !х елементiв. Дiапазони змiни iндексiв i та j залежать вiд розмiрностi обрано! на даному кроцi матрищ i визначаються нижче (див. також табл. 1).
Розглянемо, яким чином здшснюеться визначення координат вокселя, що вщповвдае певному елементу ММ (крок 3°). Зазначимо, що в робот [6] розв'язуеться обернена задача, коли за координатами точки простору (x, y, z) визначаються iндекси матрищ ММ. ГК е паралелетпедом, що визначаеться площинами
х = Xmin , х = Xmax , y = Ymin, y = Ymax , z = Zmin, z = Zmax . (1)
Кожний воксель визначаеться координатами центру (хс, yc, zc) i мае лшшш розмiри вздовж вiдповiдних осей координат Ах, Ay i Az . Координати його вершин е комбшащями виразiв:
Xc ± A xl 2, Ус ± Ay j 2, Zc ± A J 2. (2)
Вщповвдно до цього, розмiрностi матриць ММ визначаються як:
N = (Xmax - Xmm VAx , Ы = (Ymax - ^mm )/Ay i K = (Zmax - ^m )/Az . (3)
Елементи матриць ММ задають положення вокселiв ВМ у просторi (рис. 1). Спiввiдношення, як дозволяють за певним елементом mp [i, j] матрицi Mp , p = 0,5 визначити положення вiдповiдного вокселя v(xc, yc, zc ), наведет у табл. 1.
Таблиця 1
Визначення координат (xc, yc, zc ) вокселя v за елементом mp [i, j] матрищ M p
Мат-риця Розмiрнiсть матрицi Координати вокселя v
xc Ус zc
M о КуЫ Xmax -(m0 k j]+ V2)AX Ymn +(j + 1/2)A y Zmax -(i + 1/2)Az
M! KxN Xmax -(j + 1/2)Ax Ymax -(m1[i, j]+ V2)Ay Zmax -(j + 1/2)Az
M 2 MyN X min +(j + 1/2)A x Ymax -(j + 1/2)Ay Zmax -(m2 k j]+ V2)Az
M 3 КуЫ Xmin +(m3^ j]+ V2)Ax Ymax -(j + 1/2)Ay Zmax -(i + 1/2)Az
M 4 KyN X min +(j + 1/2)A x Ymin +(m4 ^ j]+ V2)Ay Zmax -(i + 1/2)Az
M 5 MyN Xmax -(j + 1/2)Ax Ymax -(i + 1/2)Ay Zmin +(m5 ^ j]+ V2)Az
Визначення стану граней вокселя (крок 4°) здшснюеться шляхом аналiзу оточення ввдповвдного елемента матрица Мета аналiзу — з'ясуваги, чи е воксель базовим i якщо ш, го якi його гранi е ввдкритими.
Факт того, що елемент матрищ визначае базовий воксель, встановлюеться за виконання умов:
mp^ j]> mp[i, j +1],
mp [i, j]> mp [i, j -1],
mp^ j]> mp[i +1, j], mp^ j]> mp[i -1, j],
(5)
де p = 0,5 ; i = 1, K i j = 1, M для p = 0 або p = 3 ; i = 1, K i j = 1, N для p = 1 або p = 4 ; i = 1, M i j = 1, N для p = 2 або p = 5 .
А також умов, записаних окремо для кожного значення p = 0,5:
для p = 0: mo [i, j]< N - m3 [i, M - j -1], де i = 1, K i j = 1, M,
для p = 1: m1[i, j]<M - m4[i, N - j -1], де i = 1, K i j = 1, N,
для p = 2: m2 [i, j]< K - m5 [i, N - j - 1], де i = 1, M i j = 1, N ,
для p = 3: m3 [i, j]< N - m0 [i, M - j -1], де i = 1, K i j = 1, M,
для p = 4 : m4 [i, j] <M - m1 [i, N - j -1], де i = 1, K i j = 1, N ,
для p = 5: m5 [i, j]< K - m3 [i, N - j -1], де i = 1, M i j = 1, N .
Зазначимо, що умови (4) для кожного p = 0,5 можуть виконуватись або не виконуватись незалежно одна вщ одно1 i невиконання будь-яко1 з них додае вокселю, що визначаеться елементом mp [i, j], ще одну ввдкриту грань, сумiжну до граш Fp . Якщо не виконуеться умова (5), тобто вщповщна
нерiвнiсть перетворюеться на рiвнiсть (шший випадок означае порушення цшсносп ВМ [7]), тодi воксель мае вщкриту грань протилежну до граш Fp.
Як було зазначено, один i той самий воксель може бути визначений за двома i бшьше матрицями (рис. 2). Тому, щоб запобкти дублюванню вокселя при його визначенш за одшею з матриць, слщ проаналiзувати iншi матрищ, i ri ïx елементи, яш так само визначають даний воксель, виключити з подальшого розгляду (крок 5°). Розглянемо цю процедуру детальнше.
Якщо через порушення будь-яюн з умов (4) або (5) встановлено, що воксель не базовий, то слщ з'ясувати, чи е вш надлишковим, тобто яш елементи яких матриць також визначають його, ^м елемента, що розглядаеться на даний момент. Таю елементи, якщо вони будуть знайдеш, необхщно вилучити з подальшого розгляду, наприклад, помнивши 1х у вщповщних матрицях як оглянута
Для визначення того, чи е не базовий воксель надлишковим, змшимо умови (4) наступним чином:
mp ^ j ]> mp ^ j + k ],
mp[i, j]> mp[i, j - k],
(6)
mp ^ j ]> mp[i + k, j],
mp[i, j ]> mp[i - k, j],
де к > 0 .
Тодi воксель, визначений за елементом [i, j], буде надлишковим, якщо при невиконанш першо1 умови (4) перша нерiвнiсть (6) виконуеться для вах к = 1, Кр , де ^0 = ^3 = M, К1 = К2 = К4 = К5 = N ; при невиконанш другоï умови (4) друга нерiвнiсть (6) виконуеться для вах к = 1, j ; при невиконанш
третьоï умови (4) третя нерiвнiсть (6) виконуеться для всix к = 1, К p , де К0 = К =^3 =^4 = K,
К2 = К5 = M ; а при невиконанш останньоï умови (4) остання нерiвнiсгь (6) виконуеться для вах к = 1, i.
Значення p, для якого за порушення певноï умови (4) виконуеться вщповвдна ш нерiвнiсть (6), дае можливють не тшьки визначити матрицю з надлишковою шформащею про воксель, що розглядаеться, а й
з'ясувати, який саме ii елемент цю шформацш мiстить. Нижче вказанi такi елементи, визначенi за
V [
елементом шр [i, j] для певного p при невиконанш умов (4), вiдповiдно:
— при p = 0 :
— при p = 1:
— при p = 2
— при p = 3
— при p = 4
та
m1[i, mQ & j] ], m4[i, N - mQ[i, j] - 1], m5[M - j - 1 mQ j] ] m2[M - j - 1, N - mQ[i, j]-1];
тз [i, m1 [i, j] ], mQ [i, M - m^ [i, j] - 1], m5 Ц [i, j] j] та m2 Ц [i, j] N - j -1]; mQ[m2[i, j],M - i - 1], m3[m2[i, j], i], m4[i, m2[i, j]] та m^[i, j], N - j -1];
m4[i, m3k j] ], m1 N - m3j] - 1], m5[ j N - m3k j] - 1] та m2[ j m3 ^ j] ]; mQ [i, m4 [i, j] ], m3 [i, M - m4 [i, j] -1], m5 [M - m4 [i, j] -1, N - j -1] та m2 [M - m4 [i, j]-1, j];
— при p = 5 : m3 [K - m5 [i, j] -1, i], mQ [K - m5 [i, j] - 1, M - i -1],
m4 [N - i -1, K - m2 [i, j] -1] та m1 [K - m5 [i, j] -1, j]. Як зазначалось, елементи, що мютять надлишкову iнформацiю, мають бути виключеш з подальшого розгляду як для заощадження ресурсiв процесу аналiзу, так i для запобiгання дублюванню вокселiв.
Коли стани граней вокселя визначеш (крок 4°), з'являеться можливiсть створення iндексу (крок 6°), який дасть можливють вибрати варiант подання вокселя фрагментом полиюнально! сiтки, складено! з трикутних граней. Цей крок е модифжащею такого в алгоритмi МС. Основна ввдмшшсть полягае в тому, що в орипнальному алгоритмi аналiзуеться стан вершин вокселя (стан вершини означае, чи належить вершина
8
внутршнш чи зовнiшнiй областi, тобто розташована в межах просторового об'екта чи ш), що дае 2 = 256 варiантiв конфiгурацiй полиюнально! сiтки, з яких з урахуванням симетрil залишено тiльки 15 випадшв (cases — в термiнологil МС) [2, 3]. В алгоритм^ що пропонуеться, враховуеться стан граней вокселя, що в загальному випадку зумовлюе 26 = 64 варiантiв. Мiж тим, оскiльки ММ просторового об'екта за самим способом свое! побудови визначае лише зв'язну ВМ, то принаймш одна грань кожного вокселя мае бути закритою. Таким чином, лише 5 граней можуть бути ввдкритими, що зменшуе загальну кшьшсть варiантiв до 25 = 32, а з урахуванням симетри !х лишаеться лише 8 (що майже вдвiчi менше, нiж в алгорштш МС). Цi варiанти разом з прикладами ввдкритих граней показанi на рис. 3 (граш позначенi за рис. 1, в).
Fq f2f 3 Варiант 4
Fq F1F2 F 3 Варiант 6
FqF 2 F3 F 5 Варiант 7
Рис. 3. Ввдкрип гран1 вокселя (видалет темним): можлив1 вар1анти з урахуванням симетри
Таким чином, значения шдексу обираеться iз дiапазону 1 - 8, в залежносп в1д варiанту розташування вiдкритих граней у вокселя, що розглядаеться.
Наступний крок (крок 7°) передбачае вибiр конфiгурацil трикутних граней полiгональноl сггки, що подае фрагмент поверхнi, якш вiдповiдае даний воксель.
Алгоритм МС пропонуе випадки 0 - 2, 8 та 9 (рис. 4) як найближчi аналоги для варiантiв, що виникають в алгоритмi, що розглядаеться (рис. 3). На рис. 4 для випадшв 1 та 9 граш полиюнально! стки показаш тд рiзними кутами: спершу ^вше) так, що вони повнiстю вщповвдають певному варiанту розташування вiдкритих граней, показаному на рис. 3, а попм (правiше) бiльш наочно. Лiве зображення випадку 8 на рис. 4 вщповвдае варiанту 2 (рис. 3), а праве — варiанту 8 (рис. 3).
Рис. 4. Конф1гураци фрагменпв пол1гонально1 с1тки в алгоритм! Marching cubes, "найближчГ' до вар1антш запропонованого алгоритму (рис. 3)
Загалом можна зазначити, що у варiантах 2, 4, 6 - 8 (рис. 3) ва вершини вокселя належать вщкритим граням. В алгоршш MC всiм !м вiдповiдае один випадок Q (рис. 4). Варiант 5 на рис. 3 з точки зору алгоритму MC можна штерпретувати двома випадками 1 i 9 (рис. 4). Варiанту 1 (рис. 3) ввдповщае
випадок 8 (рис. 4) алгоритму МС. Так само можна трактувати i варiант 8 (рис. 3), хоча, як зазначалось вище, йому також пiдходить випадок 0 (рис. 4). Однозначно штерпретуеться пльки варiант 3 (рис. 3) — йому вiдповiдае випадок 2 (рис. 4) алгоритму МС. Таким чином, можна констатувати, що схема вiзуалiзацii, прийнята в алгоритмi МС, не вщповщае вимогам запропонованого подходу i мае бути змiнена.
Пропонуеться скористатися конф^ращями полп-онально! сiтки, показаними на рис. 5, яш однозначно вщповвдають варiантам конфiгурацiй вiдкритих граней (рис. 3).
Рис. 5. ВарЬпми конф1гурацш фрагменпв пол^ональноТ атки для подання воксел1в з в1дкритими гранями (рис. 3)
Безпосередне використання запропонованих конфпурацш (рис. 5) може викликати змши в станах граней вокселiв, що оточують воксель, який замiнюеться конф^ращею. Це вiдбуваеться для тих варiантiв, в яких присутня хоч одна закрита грань вокселя, яка при замш вокселя фрагментом пол^онально! стки перетинаеться ребром и трикутно! гранi. Така грань стае частково вiдкритою, при тому що iншi гран свого стану не змiнюють. Порiвнюючи рис. 3 i 5, визначимо так варiанти i !х закрип гранi, що стають частково вщкритими: варiант 3 — гранi F2 , F5 ; варiант 4 — гранi F[, F4 ; варiант 5 — гранi F5, F4 i варiант 6 — грань F4 . Для цих варiантiв слiд переглянутi сусiднi воксел^ що роздiляють зазначенi гранi, i, оновивши !х стан, вибрати шший варiант конф^рацп вiдкритих граней, включивши в !х перелiк гранi, що стали частково вщкритими.
Кроки 8° i 9° запропонованого алгоритму очевидш, крок 10° вимагае додаткових пояснень. Множина вокселiв, що вибираються на крощ 3°, утворюе ВМ поверхш просторового об'екта. Замiна !х ввдповщними фрагментами полп-онально! сiтки (крок 7°) автоматично призводить до появи каркасно! моделi об'екта у виглядi полп-онально! сiтки з трикутними гранями, що i е результатом роботи алгоритму. При цьому зауважимо, що кшьшсть вершин сiтки, як1 слiд визначити шляхом обчислення, суттево менша, н1ж в сiтцi, побудованiй за алгоритмом МС. Це пов'язане iз тим, що останнш призначений для побудови iзометричноl поверхнi, яка не може включати вершини вокселiв, i, таким чином, кожна вершина сiтки повинна окремо розраховуватись (рис. 4). В той же час, запропонований алгоритм такого обмеження не мае i бшьшють вершин сiтки в ньому обираеться з наперед визначених вершин вокселiв (2). Так, з уах вершин трикутних граней (рис. 5) тшьки 5 з 43 (що складае 11,6%) вимагають окремого обчислення.
Висновки
Запропонований алгоритм вiзуалiзацil, розв'язуючи поставлену задачу, мае наступнi переваги, порiвняно з вiдомими алгоритмами на основi МС: враховуеться факт вiзуалiзацii поверхнi, що зменшуе обсяг промiжних даних; усуваються неоднозначностi; скорочуеться процес обчислень.
Список використаноТ л1тератури
1. Реута О.В. Матрична дискретна модель тривимiрного тiла для задачi аналiзу його тiнеутворення / О.В. Реута // Геометричне та комп'ютерне моделювання.—Х.: ХДУХТ, 2009. — Вип. 25. —С.68-72.
2. Lorensen W.E. Marching cubes: a high resolution 3D surface construction algorithm / W.E. Lorensen, H.E. Cline // SIGGRAPH. — 1987. — Vol. 21(4). — P. 163—169.
3. Charles D. Hansen. The Visualization Handbook / Charles D. Hansen, Chris R. Johnson. — Elsevier Inc., 2005. — 982 p.
4. Lopes and K. Brodlie. Improving the robustness and accuracy of the marching cubes algorithm for isosurfacing / Lopes and K. Brodlie // IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics. — 2003. —Vol. 9. — № 1. — P. 16—29,
5. Реута О.В. Порiвняння матрично! i воксельно! моделей тривимiрного тша для задач його реконструкцп / О.В. Реута // Прикладна геометрiя та iнженерна графжа. — К.: КНУБА, 2009. — Вип. 82. — С. 203—207.
6. Реута О.В. Взаемозв'язок мiж матричною моделлю тривимiрного об'екту та моделлю на основi R-функцш / О.В. Реута // Пращ Тавршського державного агротехшчного ушверситету. Прикладна геометрiя та шженерна графша — Мелиополь: ТДАТУ, 2010. — Вип. 4. — Т. 46. — С. 99—104.
7. Реута О.В. Контроль i ввдновлення цшсносп дискретних моделей тривимiрних об'екпв в задачах реконструкцп форми / О.В. Реута // Прикладна геометрiя та iнженерна графжа. — К.: КНУБА, 2011. — Вип. 88. — С. 278—282.
