CC BY
271
УДК629.7.06 (082)
АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ РОБОТАМИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО УПРОЩЕНИЯ МОДЕЛЕЙ
И.К. Хапкина, Д.Л. Хапкин
Рассматривается задача синтеза алгоритма управления многозвенным манипулятором, для которого не удается найти аналитическое решение обратной задачи кинематики. Предлагается методика разработки алгоритма управления многозвенным манипулятором, реализуемого в реальном масштабе времени, на основе системы упрощенных моделей, позволяющих поэтапно использовать аналитический подход к синтезу.
Ключевые слова: управление, робот, звено, сочленение, фиксация.
Целью управления манипуляционным роботом является перемещение объектов манипулирования и выполнение технологических операций с требуемой точностью. Достижение этой цели связано с разработкой алгоритмов движения манипулятора, совершающего перемещения и позиционирование объекта манипулирования в трехмерном пространстве. При наличии такого алгоритма система управления роботом получает целепо-лагающие задания от устройства управления, а от информационной системы информацию о текущем состоянии робота и внешней среды. На основе полученной информации и заложенной в нее программой управления
она формирует и подает на входы приводов сигналы д*, , опреде-
ляющие желаемое положение п звеньев манипулятора. Приводы формируют усилия прилагаемые к звеньям манипулятора, обеспечивая приближение текущих обобщенных координат д^, д2...дп к их требуемым значениям д*, д*...д* , задаваемым системой управления роботом. Для решения задачи управления манипулятором необходимо определить требуемую конфигурацию манипулятора в каждой точке, а также законы движения каждого звена манипулятора из одной точки в другую.
В основе управления роботами лежат две задачи: прямая и обратная задачи кинематики. Нахождение решения прямой задачи кинематики алгоритмических и расчетных трудностей не представляет. Оно единственно и сводится к линейным операциям перемножения матриц и векторов. Нахождение решения обратной задачи кинематики для многозвенных манипуляторов является сложной проблемой. Обратная задача о положении состоит в определении по заданным координатам рабочего органа х0, у0, 10 в абсолютной системе координат обобщенных координат манипулятора д{=1, п, определяющих взаимное расположение звеньев при позиционировании рабочего органа в заданной точке А0 (х0,у0,г0). Обратная задача кинематики является нелинейной задачей, имеющей множество решений.
Однако при ее решении зачастую не удается получить аналитические зависимости д1(Я),д2(Я),...,дп(Я), связывающие положения звеньев манипулятора с положением рабочего органа в абсолютной системе координат. Для роботов с жесткой программой алгоритм управления может быть тщательно подготовлен заранее, на основе численного решения обратной задачи кинематики с применением методов нелинейного программирования [1]. Поисковые процедуры, реализуемые при численном решении обратной задачи кинематики методами нелинейного программирования, требуют большого, многократно повторяющегося объема вычислений и не пригодны для оперативного синтеза управляющих воздействий.
В устройствах управления современными роботами сигналы управления вырабатываются в процессе работы в реальном масштабе времени, дискретно, через промежутки времени необходимые для обработки информации с датчиков и производства вычислений в соответствии с алгоритмом управления. Время цикла вычислений определятся полным временем вычислений, которое складывается из суммы интервалов времени, необходимых для работы программных модулей планирования операций, расчленения их на элементарные операций, выработки и распределении управляющих сигналов по степеням подвижности. Чем больше объем вычислений, тем ниже частота квантования, что снижает динамические характеристики робототехнических систем.
Для выработки управляющих сигналов в реальном масштабе времени в режиме синтеза управляющих программ необходимы эффективные и экономичные алгоритмы. Это требует разработки способов вычисления управляющих воздействий, не связанных со значительными затратами времени и гарантирующих быстродействие робота. Управляющие воздействия при использовании кинематических алгоритмов, как правило, пропорциональны требуемым значениям обобщенных координат.
В работе с целью экономии времени вычислений предлагается в процессе решения задачи управления роботами использовать тактику запретных движений. Идея состоит в искусственном уменьшении числа степеней подвижности (звеньев) робота до двух-трех за счет фиксации выбранных сочленений, что позволяет отыскать аналитическое решение обратной задачи кинематики и исключить поисковые процедуры вычислений. Причем тактика фиксации сочленений звеньев носит упорядоченный характер. Сначала фиксируются все младшие сочленения, связанные со звеньями, расположенными вблизи основания манипулятора, а последнее сочленение, на котором располагается старшее звено, оставляют свободным. Для такого двухзвенного манипулятора обратная задача кинематики легко решается аналитически, что позволяет рассчитать значение дп(Я). Если целевая точка за счет движения старшего звена достигнута быть не может, последнее сочленение фиксируют, а предпоследнее освобождают и опять аналитически решают обратную задачу кинематики для другого эк-
вивалентного двухзвенного манипулятора, рассчитывая значение дп.1(Я) и так далее. Расчет управляющих воздействий для звеньев, удаленных от захватного устройства, осуществляется в пошаговом режиме. Шаг изменения обобщенных координат звеньев рассчитывается исходя из требований к точности позиционирования захватного устройства. Чем ближе к основанию расположено звено манипулятора, тем больше энергии требуется для его перемещения. Движение звена, расположенного у основания, является самым энергоемким. Поэтому в алгоритме отдается предпочтение перемещению звеньев удаленных от основания, расположенных вблизи захватного устройства. Такой подход позволяет последовательно рассчитать управляющие воздействия, позволяющие осуществить переход захватного устройства из одного положения в другое с минимальными энергетическими затратами.
Рассмотрим предлагаемый подход на примере трехзвенного манипулятора с шарнирными сочленениями.
Рис. 1. Кинематическая схема трехзвенного манипулятора
На схеме 11,12,13 - длины звеньев, а - расстояние от фланца третьего звена до центра захватного устройства.
Пусть стоит задача перевода захватного устройства манипулятора из некоторой начальной точки абсолютного пространства А с координатами (х0,у0,70) в целевую точку С с координатами (хс,ус,7с). В точке А манипулятор имеет исходную конфигурацию #ю, 420,430 . Требуется определить его конфигурацию 41с, 42С, 43С в целевой точке С, осуществляемую с минимальными энергетическими затратами.
Положение манипулятора в точке С показано на рис. 2.
274
Для решения задачи зафиксируем второе сочленение. Тогда первое звено, расположенное у основания, в общем случае будет представлять собой ломаную. Эту ломаную заменим эквивалентным звеном-отрезком, связывающим первое и третье сочленение, с эквивалентной дли-
Л Л
ной1Э1 -\х + /2 - 2 • 1Л • /2 • соьд20. Угол дэ поворота этого «нового» звена не равен д10 и определяется по зависимости, получаемой из геометрического анализа, то есть является функцией аргумента д10.
Рис. 3. Кинематическая схема трехзвенного манипулятора с зафиксированным вторым сочленением
Теперь положение рабочего определяется относительным расположением двух звеньев: эквивалентного дэ и оконечного с неизвестным значением угла поворота д3, которое легко определить из решения обратной задачи кинематики для двухзвенного манипулятора:
ус - 1Э • sin q з _ ____ Хс + *2с ~ ¡1 ~ ^
q з = arctq ---- arccos
хс - /э - cos q3 2-/3 - /3
Схема манипулятора в разных точках пространства показана на рис. 4.
Рис. 4. Положение манипулятора в разных точках пространства
Найдём решение обратной задачи кинематики для двухзвенного манипулятора методом градиента:
ХВ =£э1со*<11 , ХА=ХВ+13'С0*(<11+Ч2) , УВ=1эГ*™<11 , УА=УВ+1 3 • ^(91+92) ■
Прямая задача кинематики
Г *
1эГС05^+/3- С08(Я!+$2) = * =/1(91^2) '
I ^
= /2(01 > 02 ).
Необходимо определить ^ и 42 ДО* нового положения манипуля-тора X . Для этого воспользуемся следующими формулами:
1=1
где Ф(д) - минимизируемая функция; § = Ф(д).
ЭФ ЭФ
, где - градиент
Находим частные производные:
Щ\ Щ\
Э/1_
дд1
=■- ЬЭ1 ■ 8111 ^ - /3 • вш^ + 42 )= ~ Л (41>42 )'
ЭФ Э^!
ЭФ Э^!
ЭА
= ¿Э1 • сов ^ + /э • 008(4! + 42 ):= Л ($1 >92 );
¿41
= -2 (/1(41,42)-* )-/2(4Ь42)+2-(/2(4Ь42)->; ) Л(4Ь42);
042 »42 "42
¿42 ЭА
¿42
= -2-(/1(4Ь42)-х ИЗ -§1п(41 +42)+2'(/2(4Ь42)">; ИЗ -совСя! +42)-
Из полученных выражений для частных производных, используя формулу
4=40 ~Нд,
где Н = X ■
/ > 2 ( Л
ЭФ + дФ
[¿41 ¿42 V V
, получаем
и дф
41 = 4Э"Я
42 =ЬЭ~Н
¿41' ЭФ
¿>42
Целевая точка может оказаться недостижимой в том случае, если она не принадлежит рабочей зоне этого эквивалентного двухзвенного манипулятора. Это легко проверить аналитически, рассчитав рабочую зону и
оценив достижимость целевых точек при перемещении оконечного звена. Если целевая точка окажется недостижимой, проверяется условие глобальной достижимости манипулятором этой точки. Если принципиально целевая точка достижима, вводится пошаговое изменение положения второго звена, при этом третье звено фиксируется, и трехзвенный манипулятор вновь вырождается в двухзвенный, Кинематическая схема нового эквивалентного манипулятора будет иметь вид, представленный на рис. 5.
Рис. 5. Кинематическая схема эквивалентного манипулятора
Однако в новом эквивалентном манипуляторе первое звено будет повернуто на угол ^, второе звено станет эквивалентным с углом поворо-та зависящим от величины угла поворота второго звена #2 •
Для нового эквивалентного манипулятора из геометрического анализа легко записать кинематические соотношения и зависимости для расчета рабочей зоны. Только в случае крайней необходимости на шаг меняется положение первого звена (основания манипулятора), при этом также рассматривается эквивалентный двухзвенный манипулятор с зафиксированными вторым и третьим звеньями. Такой подход позволяет достичь целевой точки с экономией энергетических затрат, то есть при минимальных перемещениях основания, главным образом, за счет движения оконечных звеньев.
Достоинством предлагаемой методики синтеза алгоритма управления манипулятором является ее реализуемость в реальном масштабе времени. Однако синтез завершенного алгоритма требует большого объема предварительной подготовки. Основу алгоритма составляет система упрощенных моделей манипулятора и соответствующих им кинематических
соотношений, зависимости для расчета рабочих зон каждого эквивалентного манипулятора, система условий и уравнений перехода от одной модели другой, а также система логических отношений, позволяющих поэтапно использовать аналитические подходы к расчету управляющих воздействий на приводы манипулятора. Достоинством методики является также и то, что она позволяет рассчитать скорости и ускорения движения манипулятора, а также учесть при синтезе силомоментные ограничения манипулятора, исходя из его паспортных и конструктивных характеристик.
Список литературы
1. Хапкина И.К. Синтез управления роботами с использованием вектора скорости // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2013. Вып. 9. Ч. 1. С. 186 - 192.
2. Зенкевич С. Л. , Ющенко А.С. Основы управления манипуляци-онными роботами: учебник для вузов. 2-е изд., исправ. и доп. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004. 480 с.
3. Сингх Н., Ши А. А. Жесткое контурное управление робототехни-ческими системами //Конструирование и технология машиностроения. М.: Мир, 1986. №1. С. 136-147.
Хапкина Ирина Константиновна, канд. техн. наук, доц., irinconstx@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Хапкин Дмитрий Леонидович, студент, dima-hapkin@ya.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
ROBOT CONTROL ALGORITHM USING A CONSISTENT SIMPLIFICA TION
OF MODELS
I.K. Khapkina, D.L. Khapkin
The problem of the synthesis of multilink manipulator control algorithm, which does not manage to find an analytical solution of the inverse problem of kinematics is considered. The methods of development multilink manipulator control algorithm implemented in real time, based on a system of simplified models that use phased analytical approach to the synthesis are proposed.
Key words: control, robot, link, articulation, fixation.
Khapkina Irina Konstantinovna, candidate of technical sciences, docent, irin-constx@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Khapkin Dmitriy Leonidovich, student, dima-hapkin@ya. ru, Russia, Tula, Tula State University
