Алгоритм управления манипуляционными роботами, построенный на уравнениях динамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК629.7.06 (082)

АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ МАНИПУЛЯЦИОННЫМИ РОБОТАМИ, ПОСТРОЕННЫЙ НА УРАВНЕНИЯХ ДИНАМИКИ

И.К. Хапкина

Рассматривается задача синтеза алгоритма управления многозвенным манипулятором с гарантированным быстродействием, в основе формирования которого используются уравнения динамики. Предлагается методика разработки алгоритма управления манипулятором на основе формирования требований к динамическим показателям эталонного процесса управления.

Ключевые слова: динамическая модель, манипуляционная система робота, вектор управляющих моментов, структура системы управления.

Поиск перспективных подходов к увеличению производительности современных роботизированных технологических комплексов, в которых применяются манипуляционные роботы, вызывает необходимость разработки эффективных алгоритмов управления и создания систем управления роботов, гарантирующих высокое быстродействие. За счёт сокращения длительности цикла роботизированного производственного процесса удается увеличить выпуск продукции, не снижая ее качества.

Производительность манипуляционных роботов зависит как от алгоритма управления, так и в значительной степени определяется быстродействием приводов его звеньев. Кроме того, скорость выполнения технологических задач роботами должна соответствовать скоростям другого оборудования, функционирующего совместно с роботом.

По быстродействию существующие промышленные роботы разделяют на три группы:

- малое - при линейных скоростях по отдельным степеням до 0,5 м/с;

- среднее - при линейных скоростях свыше 0,5 до 1 м/с;

- высокое - при линейных скоростях свыше 1 м/с.

Целью управления манипуляционным роботом является перемещение объектов манипулирования и выполнение технологических операций с требуемой точностью. Достижение этой цели связано с разработкой алгоритмов движения манипулятора, совершающего перемещения и позиционирование объекта манипулирования в трехмерном пространстве.

С целью синтеза простых и экономичных управлений чаще всего рассматривают приближенные модели систем, на основе которых такой синтез становится возможным. Так, часто при малом быстродействии используют кинематические модели, при среднем рассматривают линеаризованные модели динамики манипуляционной системы, позволяющие легко провести синтез управления с использованием хорошо разработан-

ных методов теории управления линейными системами. Поскольку предполагается, что выбранная приближенная модель является достаточно точной аппроксимацией полной модели реальной манипуляционной системы, то в литературе чаще всего считается, что синтезированное на основе приближенной модели управление обеспечивает выполнение поставленной задачи для реального манипулятора. Однако это условие выполняется не всегда, так как справедливость приближенной модели имеет место лишь в ограниченной области в пространстве состояний системы, в ограниченной области рабочей сцены робота. Поэтому всегда необходимо выяснить, в какой мере управление, синтезированное на приближенной модели системы, будет удовлетворительным для реальной системы.

Для быстродействующих роботов, перемещающих большие инерционные нагрузки, такой подход недопустим.

Предлагаемая работа посвящена синтезу алгоритма управления манипуляционными роботами, построенного на использовании нелинейных уравнений динамики манипуляционной системы и приводов звеньев, обеспечивающего гарантированное быстродействие робота, с учетом технических характеристик его приводов.

Для разработки уравнений динамики манипуляционной системы используют подход, основанный на применении уравнения Лагранжа второго рода:

а!_ Ж

ГЪТЛ

ЪТ = а;

Щ) ¿Чг (I = 1,2, ..., п),

где д1 - обобщённые координаты, определяющие взаимное положение звеньев, число которых равно числу п степеней свободы манипулятора; 4 - обобщённые скорости; - обобщённые силы; Т - кинетическая энергия манипуляционной системы, выраженная через д1 и щ.

Для составления уравнений надо найти выражение кинетической энергии манипулятора Т и вычислить по заданным силам обобщенные силы 0, действующие на звенья манипулятора.. После подстановки Т в левые части уравнения будут содержать координаты д1 и их первые и вторые производные по времени, т.е. будут дифференциальными уравнениями 2-го порядка относительно д.

В результате математическая модель любого манипулятора, отражающая его поведение в динамике, может быть представлена в векторно-матричной форме:

\Л(д)& + В(д, д)д + С(д) = N(Мд - Мс (д)),

[тМд + Мд = ри -рд.

Первое уравнение отражает динамику механизма манипулятора, а второе - динамику исполнительных приводов.

Матрицы Л(< и В(д,<) содержат коэффициенты, связывающие обобщенные ускорения и скорости соответственно с силами инерции вязкого трения. Матрицу С(ф можно рассматривать как матрицу состоящую из обобщенных сил упругости (сил зависящих только от значения обобщенных координат).

В выражении (1) Мд, Мс - векторы моментов движущих сил и сил сопротивления; N - матрица преобразования вектора (Мд - Мс) разности движущих моментов и моментов сопротивления звеньев манипулятора.

Во втором уравнении выражения (1): т, р - матрицы постоянных времени и коэффициентов передач; Ь - матрица коэффициентов, определяющих степень влияния обобщенных скоростей на динамику приводов; и=(и1,и2,^ип) - вектор функции управляющих сигналов, поступающих на входы приводов.

Представленные уравнения соответствуют механизму, все степени подвижности которого реализуются на кинематических парах вращательного типа. Преобразуем уравнения динамики к следующему виду.

(2)

(3)

\q = 0(q)Mд - f (q, q),

[тр,+мд = pu -p q,

где 0(q) = ^-1(q)N,

f (q,q) = A'1 (q) [NMC (q) + B(q,q) + С(q)], n

qj = X 0ij (q)мд1- fj (q, q), i=1

X 3jM^ + м^ = p jjUj -p jjqj , j=1,2...n.

Значение кинематической переменной q0 j = const в начальный момент времени (фактическое положение манипулятора) отличается от начального:

(4)

При t = 0 qj (0) = qj о; qj (0) = qj0-

(5)

Задача в том, чтобы переместить механизм манипулятора в целевое положение q0 =^01,..^0П), т.е. нужно осуществить движение, при котором обобщенные координаты q(t) переходят в окрестность точки < =(д° 1,.д°п) за требуемое время и продолжают оставаться в окрестности этой точки. Это требование запишем в виде <(1) ®ц°.

Синтезируем алгоритм, вычисляющий управляющую переменную Ц] (д, д), поступающих на входы приводов манипулятора так, чтобы

процесс q(t) ® q0 соответствовал решению дифференциального уравнения вида

д* V) + у уду V) + у у од* V)=у у о д0 • (6)

*

Уравнение (6) определяет желаемую траекторию д изменения обобщенных координат манипулятора при переходе в целевое положение. Вид этого уравнения позволяет сформулировать требования к динамическим показателям эталонного процесса управления манипулятором.

Будем считать коэффициенты уравнения у,0, уц, определяющие желаемое быстродействие и характер процесса постоянными, положительными величинами. При этом условии корни характеристического уравнения (6) будут иметь отрицательные действительные части. Только тогда решения уравнения (6) будут устойчивыми, т.е. будут обла-

* 0 ^ * 0 дать свойством д у®д у. Характер процесса д у®д у полностью определяется значениями коэффициентов у0, у. Задавая эти значения можно установить требуемое время перехода в точку д0 =(д01,.д0п) пространства конфигураций и допустимую величину перерегулирования.

Таким образом, уравнение (6) выступает в роли математических моделей эталонного (желаемого) движения по каждой степени подвижности.

Если для каждой момента времени t > 0 выполняется равенство

*

д^) = д ), то согласно уравнению (6) требуемое ускорение по каждой степени подвижности вычисляется по формуле

д* = у у 0 (д у - д*) - у у 1д* (7)

*

Обозначим М д]- момент, развиваемый двигателем, при котором

*

реализуется желаемое движение. Чтобы найти уравнение расчета М ,

*

необходимо подставить д определяемое уравнением (7) в уравнение

(4). В соответствии с уравнением (4)

п

ду = £ еу (д)мд!- /у (д, д).

I=1

Заменяя правую часть этого уравнения на правую часть (7), получим

п

£Ц(д)М*ду =уу0(д0у -ду)-у]Лд0 + JJ(д,д0); (8)

!=1

* п

е (д)м д =Го(д° - д) -Г1д + /у(д,д), (9)

где Г0 и Г1, - диагональные матрицы коэффициентов устройства управления Г = diag {у,0}; Г = 1}.

Из уравнения (9) находим искомое выражение для расчета вектора управляющих моментов:

м*д = е4 [г0 (<?° - ч) - ] + <?).

С учетом уравнения (3)

М*д = М~1АШГ0(д° -д)- + + ОД] + М0Ц). (10)

Вектор управляющих моментов М д определяется как функция координат. Управление соответствующее (10), строится по схеме с обратной связью (рис. 1).

Рис. 1. Структурная схема формирования движущих моментов на звенья манипуляционной системы

Если исполнительные приводы манипулятора развивают моменты Мд = М д , то в управляемом движении создаются требуемые уско-

рения, т.е. реализуется равенство q(t) -q (t). Значения М д задаются также входными сигналами q° =(q°h..являющимися целевыми значениями обобщенных координат.

Аппаратура управления роботом позволяет непосредственно управлять не значениями моментов приводов, а значениями управляющих напряжений, подаваемых на исполнительные двигатели приводов.

Получим расчетные соотношения для управляющих напряжений из условия, что требуемые моменты М д отрабатывают двигатели по законам, которые определяет дифференциальное уравнение первого порядка, описывающее формирование приводами движущих моментов:

M3j+XjM3j=XjM*dj, (11)

Xj= const > 0.

Уравнение соответствует апериодическому звену, для которого при М д = const эталонные моменты М dj изменяются по экспоненциальному закону. Значения \ определяются длительностью переходного процесса.

Запишем уравнение исполнительных приводов, а именно второе уравнение в системе (1) в виде

1 Р У/ Р 77*

Mdj +-Mdj =?JLuj-У-qj (12)

т0 j т0 j х0 j

Задача заключается в том, чтобы найти Ц - управляющие напряжения процесса, формирующие моменты При этих моментах процессы в приводах манипулятора протекают так, как протекают эталонные процессы:

Мд](1) МЭ](1)

Если скорость изменения моментов в приводах определяется как:

1

Х-

(р

(13)

V

Му=Х/Мд]-Му) (14)

Приравняв правые части (13) и (14) и полагая, что М^ = М^ находим управляющее напряжение каждого звена манипулятора:

1Ч

_ ^, . ч 1

Р77 Р77

(15)

В векторно-матричной форме вектор управляющего напряжения определяется:

*

и = А(М*д-Мд) + р-\мд+№),

(X уТэу

—-—

Рт/

Таким образом, требуемое управляющее напряжение получено.

Соотношения (10) и (15) составляют содержимое алгоритма, которое обеспечивает решение рассматриваемой задачи пространственного положения манипулятора. Ему соответствует следующая структурная схема (рис. 2).

Рис.2. Структурная схема формирования управляющих напряжений на приводы звеньев манипуляционной системы

На системы поступает требуемое значение вектора обобщенных координат манипулятора с{ , а также информация о текущем состоянии манипулятора д и скорости д.

301

По уравнению (10) вычисляем вектор М д , представляющий требуемый момент двигателей (Д), которые реализуют предписанный закон изменения управляемой координаты.

Значение М д является задающим воздействием для системы приводов. Управляющие напряжения ^ составляют вектор и, вычисляемый по соотношению (15), им соответствует оставшаяся часть структурной схемы.

Для практической реализации необходимо измерять фактические значения моментов М^, развиваемых двигателями.

В большинстве случаев моменты М^ пропорциональны току в цепи якоря двигателя. Поэтому реально измерить ток якоря, а момент Мд, находим умножением тока на соответствующий коэффициент пропорциональности.

Рассмотрим рекомендации по выбору параметров синтезированного алгоритма управления. К числу таких параметров относятся: , Ул , Ур , Уд определяют динамику эталонных моделей (6), а А, - динамику контуров, управляющих моментами приводов.

% ♦ п

Пусть заданы длительности^ переходных процессов д определяемые силоскоростными характеристиками приводов. Кроме того, заданы величины ограничивающие перерегулирования о j:

ч\р) _ 1

ч\р) —^-— + — р + \

УоР Уо

♦

а j I у связаны однозначно зависимостью с параметрами у}0 Уц если

выбран декремент затухания ¿у.

Запишем передаточную функцию, характеризующую линеаризованную взаимосвязь фактического и эталонного процессов, в форме типового колебательного звена, с § > 0.5:

1

„2

Тр + 2<^Тр + \

^ л/2'

Тогда получим для звена

*9 * * * * П .

+ 2^jTjqj+qj=q0j■ (17)

1

Т/О ~ *2 ' 1]

08)

*

г^* ^ 7

] 3

В общем случае величина ^ определяется по заданному значению допустимого перерегулирования о ]. Эту величину можно задать из

анализа графиков типовых переходных характеристик колебательного звена. За тем приравнивают коэффициенты при сходных переменных уравнений (17), (6) и находят зависимости для расчета параметров у.

Параметр должен назначаться из условия физической реализуемости соответствующего ему эталонного движения, определяемого уравнением (11), т.е. параметр \ согласовывают с техническими характеристиками приводов звеньев. Для этого исполнительные приводы должны обладать достаточным быстродействием, т.е. постоянные времени приводов Т^ должны быть существенно меньше, чем постоянные времени процессов, определяемых в уравнении (11), т.е. должно выпол-

т 1 нятся условие Ту « —.

Таким образом, параметры рассматриваемого алгоритма управления манипулятором могут быть найдены следующим образом:

1) определяют ? 7 длительность эталонного переходного процесса по каждой из степеней подвижности, т.е. по каждой координате ^ , гарантирующих манипуляционной системе требуемое быстродействие;

2) вычисляются параметры у^ и у^ по (18);

3) назначаются параметры из условия Х'1^ » Т^. например,

^ =(2;3) тэ,

Найденные параметры могут быть скорректированы по результатам моделирования процессов в динамической системе манипулятора или результатам макетных испытаний.

Предлагаемая последовательность вычислений параметров алгоритма управления не содержит сложных процедур, Следовательно, предлагаемая методика расчета параметров подсистем управления звеньями может быть реализована на любом современном языке программирования. Отсутствуют рекуррентные функции, а также функции минимизации. Это позволяет существенно сократить объем вычислений, время выработки

команд управления и использовать для роботов простые и дешевые управляющие вычислительные устройства. Структурная схема системы управления манипулятором, реализующая предлагаемый алгоритм управления, содержит те обратные связи, которые доступны измерению.

Достоинством предлагаемой методики синтеза алгоритма управления манипулятором с учетом динамики является ее реализуемость в реальном масштабе времени.

Список литературы

1. Хапкина И.К., Хапкин Д.Л. Алгоритм управления роботами с использованием последовательного упрощения моделей // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2015. Вып. 9. С. 272-279.

2. Зенкевич С.Л., Ющенко А.С. Основы управления манипуляцион-ными роботами: учебник для вузов. 2-е изд., исправ. и доп. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004. 480 с.

3. Пшихопов В.Х. Оптимальное по быстродействию траекторное управление электромеханическими манипуляционными роботами // Известия вузов. Электромеханика. 2007. №1. С. 51-57.

4. Вукобратович М., Стокич Д. Управление манипуляционными роботами: теория и приложенияю. М.: Наука, 1985. 384.

Хапкина Ирина Константиновна, канд. техн. наук, доц., irinconstx@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE CONTROL ALGORITHM FOR MANIPULATION ROBOTS, BUILT ON THE EQUATIONS OF DYNAMICS

I.K. Hapkina

The problem of the synthesis of multi-link manipulator control algorithm with guaranteed performance, forming the basis of which the use of dynamics equation. The technique of developing control algorithm a manipulator based on the formation of the requirements for dynamic performance of the reference process control.

Key words: dynamic model, robot manipulation systems, the vector of control moments, the structure of the control system.

Hapkina Irina Konstantinovna, сandidate of technical sciences, docent, irin-constx@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University