Научная статья на тему 'Алгоритм решения системы трансцендентных уравнений, определяющих условия совместной работы узлов двигателя'

Алгоритм решения системы трансцендентных уравнений, определяющих условия совместной работы узлов двигателя Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
169
18
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Символ науки
Область наук
Ключевые слова
ГАЗОТУРБИННЫЙ ДВИГАТЕЛЬ / МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ / СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Титов А. В., Осипов Б. М.

В статье изложены алгоритм решения трансцендентных уравнений, который позволяет решать задачи согласования характеристик узлов ГТД.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Алгоритм решения системы трансцендентных уравнений, определяющих условия совместной работы узлов двигателя»

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №12-2/2016 ISSN 2410-700Х_

вертикально. Для этого необходимо организовать набор из N копий сцены, в каждой из которых

изображения повернуты на угол а-, а = 0,1,...,N — 1. На рис. 4 представлен результат поворота участка

N

изображения глазного дна, представленного на рис. 2, а, примеры сечений по яркости по строкам и результат накопления яркостей по столбцам вдоль строк в пределах выделенного участка глазного дна.

Для обнаружения узких протяженных объектов анализируются участки, уровень которых ниже среднего уровня яркости и описываются в виде контура в комплекснозначном коде. Определение текущей ширины перепада яркости в каждом канале накопления производится с помощью контурного фильтра скользящего среднего (рис. 5). Фильтр скользящего среднего (ФСС) широко используется при обработке контуров и имеет чрезвычайно простую реализацию [3, стр.87.] В обнаружителе длина выходного вектора контурного ФСС сравнивается с порогом по ширине. В случае не превышении длины выходного вектора

контурного ФСС порога, принимается

140

решение об обнаружении объекта.

120

100

80

60

Средний уровень инте 1 нсивности

i

\ /

\J ^бЪект

0 50 100 150 200 250

Рисунок 5 - Определение текущей ширины перепада яркости

После обнаружения фрагмента изображения сосуда благодаря сильной корреляции между пространственными положениями его других фрагментов осуществляется прослеживание всего изображения [4, с. 104].

Список использованной литературы:

1. Сойфер, В. А. Компьютерная обработка изображений // Вестник российской академии наук. - 2001, Т. 71, № 2. С. 119-129.

2. Ильясова, Н. Ю. Оценивание геометрических признаков пространственной структуры кровеносных сосудов // Компьютерная оптика. - 2014. - Т. 38, № 3. - С. 529-538.

3. Введение в контурный анализ и его приложение к обработке изображений и сигналов / Под ред. Я.А.Фурмана. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

4. Танаева, Е.Г., Алгоритм выделения сосудистой системы сетчатки на изображениях глазного дна на основе контурного анализа / Е.Г. Танаева, Р.Г. Хафизов, // Символ науки. - 2016. - №1. - С. 102 - 107

© Танаева Е. Г., 2016

УДК 51-74

А.В. Титов, к.т.н., профессор Б.М. Осипов, к.т.н., профессор Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, РФ

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОЙ РАБОТЫ УЗЛОВ ДВИГАТЕЛЯ

Аннотация

В статье изложены алгоритм решения трансцендентных уравнений, который позволяет решать задачи

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №12-2/2016 ISSN 2410-700Х

согласования характеристик узлов ГТД.

Ключевые слова

Газотурбинный двигатель, математическая модель, система уравнений.

Как известно [1,2] в математической модели программного комплекса вычислительный процесс построен по методу невязок, т.е. в результате последовательного расчета модулей узлов и на основе анализа входных данных автоматически формируется система определяющих уравнений вида

—1(х1, х 2, х 3,... хп ) = у 1 — 2( х1, х 2, х3,... хп) = у 2

(1.1)

—п( х1, х 2, х3,... хп) = уп

Где ^ (|=1,2,...,п) - некоторые функции отличные от нуля на величину невязки у (|=1,2,...,п) вследствие приближенного задания значений независимых переменных (варьируемых параметров) XI (1=1,2,...,п). В результате решения системы уравнений (1.1) требуется определить значения варьируемых параметров XI, при которых невязки у1 обратились бы в ноль с заданной точностью. Для решения таких систем применяются различные математические методы. Хорошо зарекомендовал себя метод Ньютона и ряд его модификаций.

Опыт эксплуатации показал, что широко известный метод Ньютона и его модификации часто не обеспечивает решения данной системы, поэтому был разработан специальный метод. Он включает в себя метод Ньютона-Рафсона. Основное усовершенствование метода заключается в следующем.

Вычисление матрицы Якоби осуществляется путем односторонней вариации по всем варьируемым параметрам "х" системы уравнений (1.1) с нормированием столбцов по формуле

X = Х01 + 4 т (Хтах1 - хтп ), (1.2)

где Х01 - исходное значение варьируемого параметра; х1 - значение варьируемого параметра после вариации;

^maxi ,^mmi

- границы изменения варьируемого параметра;

т - масштаб вариации;

dl - нормирующий коэффициент, первоначально принимаемый равным 1 и затем после вычисления элементов матрицы Якоби уточняемый по формуле

di =

1

(1.3)

f n \

X a

V j=1

где а. - элементы матрицы Якоби.

А =

dfi dfi dfi

dxx dx2 ' ' dxn

df2 df2 df2

dxj dx dxn

dfn dfn ' ' df n

dx dx2 ' ' dxn

(1.4)

Частные производные | -—■ | ^ вычисляются численным методом по следующей формуле

ёх у

f dL\

V dx )

У 0i - yj 0

d. • m (x - x )

i V max i min i f

(1.5)

2

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №12-2/2016 ISSN 2410-700Х Таким образом получаются матрица Якоби А и матрица нормирующих коэффициентов

d 0 0 0 0 d, 0 0

D =

0 0 0 d.

(1.6)

В результате перемножения матриц А и D получается матрица N.

N = AD (1.7)

После обращения матрицы N и умножения ее на вектор невязок в исходной точке получается искомый вектор приращений к варьируемым параметрам

А X = N уо (1.8)

После чего определяются новые значения варьируемых параметров на данном приближении.

Х1 = Х01 + А Х1 (1.9)

В процессе каждого приближения вдоль вектора, проходящего через точки хо1 и х1, определяющего направление поиска решения, осуществляется линейный поиск лучшего значения нормированной суммы квадратов невязок

X y2

2 2

2=1

S = -- , (1.10)

11 П

поэтому вместо уравнения (1.9) используется уравнение вида

Х1 = Х01 + Л А Х1 (1.11)

Линейный поиск сводится к поиску такого значения Л , при котором бы функция S (Л) принимала минимальное значение.

Стратегия линейного поиска заключается в следующем. Вначале делается единич-ный шаг по уравнению (1.11) при Л =1 и если он удачен (произошло уменьшение S), то на этом приближение заканчивается. В случае неудачного шага ^ > Sо), осуществляется поиск наилучшей длины шага методом параболы (аппроксимация функции S (Л) уравне-нием параболы с поиском его минимума), или методом Киффера (с использованием чисел Фибоначчи). Выбор того или другого метода осуществляется автоматически в зависимо-сти от сложившейся ситуации в процессе поиска. В случае нулевых шагов (Л = 0), что дает возможность предполагать наличие "овражной" ситуации, или "локального минимума" используется овражный алгоритм И.М.Гельфанда.

Кроме перечисленных усовершенствований предусмотрена возможность сохранения матрицы N текущего приближения, если оно оказалось удачным по темпу уменьшения S. В этом случае при расчете А X для последующего приближения по уравнению (1.8) вместо у0 , берется вектор невязок у полученный в процессе данного приближения.

Список использованной литературы:

1. Осипов Б.М., Титов А.В., Хамматов А.Р. Исследование энергетических газотурбинных приводов на основе математических моделей. // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2010. № 1. С. 4547.

2. Осипов Б.М., Титов А.В., Хамматов А.Р. Инструментальная среда исследования газотурбинных установок. // Вестник Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. 2009. № 1. С. 22-25.

© Титов А.В., Осипов Б.М., 2016

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.