Алгоритм предварительной обработки данных при решении задач выбора методом собственных векторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Алгоритм предварительной обработки данных при решении задач выбора методом собственных векторов

Телкова С. А.

Воронежский институт МВД России 76@тЪох. ги

Аннотация. Рассмотрена задача улучшения согласованности в задачах выбора в случае использования при их решении метода собственных векторов. Предложена итеративная процедура модификации исходной матрицы предпочтений, основанная на многократных вычислениях вектора приоритетов, формировании матрицы отношений приоритетов и пересчете элементов строки матрицы предпочтений, наиболее сильно отличающихся от элементов соответствующей строки матрицы отношений приоритетов. Приведены зависимости коэффициента согласованности от числа итераций для некоторых матриц, полученные численно с помощью программной реализации предложенной процедуры.

Ключевые слова: метод собственных векторов, итеративная процедура, модификация матрицы предпочтений.

1 Введение

При принятии управленческих решений и прогнозировании возможных результатов обычно возникает проблема учета сложной системы взаимозависимых компонент (ресурсы, желаемые исходы или цели, лица или группы лиц и т.д.). Решение такого типа задач возможно методом собственных векторов, который математически учитывает различия между характеристиками рассматриваемых вариантов выбора и степень важности каждой из характеристик. В его основу положено попарное сравнение п элементов и определение коэффициентов важности \у15 ..., каждого из них в достижении соответствующей цели [Саати,

1993]. Метод разрабатывался для решения задач стратегического планирования, экономики, управления и задач, возникающих в социальных науках. С его помощью может быть оценена эффективность энергосистем, лекарственных средств, выбран вариант охраны объектов [Телкова и др., 2004], и т. п.

В [Саати, 1993] отмечается, что получение одного и того же вектора приоритетов по различным наборам входных данных (т. е. получение согласованного решения) возможно тогда, когда при наличии основного массива необработанных данных все другие данные логически могут быть получены из них. При построении матрицы предпочтений непосредственно по данным экспертных оценок в допустимый диапазон

значении индекса согласованности удается попасть лишь в случае небольшого числа п парных сравнений - обычно 2 или 3 [Саати, 1993]. Для матриц, построенных по количеству п>3 парных сравнений, приходится применять специальные процедуры улучшения согласованности. Первый способ улучшения согласованности заключается в повторном формировании матриц после пересмотра экспертами своих суждений. Идея второго способа заключается в применении некоторой итеративной процедуры пересчета элементов матрицы предпочтений, имеющих наибольшие отклонения от элементов матрицы отношений приоритетов. Первый способ считается основным и именно его рекомендуется использовать при возможности получения уточненных экспертных оценок. Однако, в случае, когда указанные оценки получить затруднительно или невозможно - например, в экспертных системах реального времени [Лорьер, 1991] применение второго способа оказывается единственно возможным путем улучшения согласованности.

Целью настоящей работы является разработка итеративной процедуры повышения согласованности, основанной на пересчете элементов матрицы предпочтений, имеющих наибольшие отклонения от элементов матрицы отношений приоритетов.

2 Итеративная процедура повышений согласованности

Пусть

а11 а12 а1п

А =

а21 а22 а2п

а„1 ап2 аш

О)

- исходная матрица предпочтении, где в ^х элементах 1-й строки записан приоритет уй характеристики объекта относительно ьй.

Основные этапы предлагаемой процедуры заключаются в следующем:

1) Отыскиваются каким либо образом [Фадеев и др., 1963] собственные значения матрицы А.

2) Находятся коэффициенты важности характеристик определением собственного вектора который удовлетворяет уравнению

А\У=А,пнх\У, (2)

где Х^ - наибольшее собственное значение матрицы А.

3) Составляется матрица В отношений приоритетов в виде

В =

ЧУ!^! W1/w2

wn/w1 w2/wn

wJwл

п п.

п 1 п 1

4) Вычисляется вектор С = [с15с2,...,сп]т среднеквадратических отклонений [Прэтт, 1982] элементов строк матриц А и В, где Т - знак транспонирования, а элементы вектора С находятся по формулам

№ ' (4)

{= 1,2,..., п, Ц - элемент матрицы В.

5) Определяется к - номер строки матрицы А, в которой содержатся элементы, наиболее сильно отличающиеся от соответствующих элементов матрицы В, то есть

к:ск=шах{с1,с2,...,сп} (5)

6) Модифицируется к -я строка матрицы А и результат записывается в матрицу Б. Элементы с1к] матрицы Б вычисляются по формуле

(6)

Элементы всех остальных строк не меняются, то есть

с1 = а ,

5 5'

7) Этапы 1-6 (вместо матрицы А подставляется матрица Б) повторяются до тех пор, пока не будет достигнуто требуемое значение индекса согласованности у.

а* = 4

К)

(7)

— и

,у _ ПИХ_

У п-1

(8)

Следует отметить, что в случае, когда процедура повышения согласованности не используется, отыскание вектора приоритетов ограничивается приведенными выше этапами 1 и 2. Повышение же согласованности достигается за счет многократного итеративного пересчета элементов матрицы предпочтений (этап 6). Причем критерий, используемый на этапе 4, учитывает одновременно отличия всех элементов соответствующих строк матриц А и В. Оправданием последнего служит то, что в общем случае человек имеет склонность к неопределенности при оценке отношения одного действия ко всем другим

действиям, а не к одному конкретному. Правило пересчета элементов матрицы А отражено в содержании этапов 3-6.

3 Программная реализация процедуры повышения согласованности

Предложенная процедура повышения согласованности была реализована в среде программирования МаШСАЕ) [Кудрявцев, 2001]. Для вычислений по формулам (1-8) были созданы две функции, первая из которых обеспечивала вычисления одной итерации и по исходной матрице А формировала блочную матрицу Б* размерности п х (п + 2) вида

С | г], (9)

где

г 1х Гу, при \ = к

Г = [а15а2,...,ап] , =<! . 1 = 1,2,...,п.

[0, при 1 ^ к

Вторая функция просчитывала данные заданного числа итераций в и формировала блочную матрицу Е размерности п х ((л + 2)- в) вида

п:

в!

■г - (Ю)

где Б* - результат расчета данных р-й итерации согласно (9),

Из результатов численных расчетов, представленных в виде (10) выделялись: матрица приоритетов Б*, р = 1,2,...,8 модифицированная на

р-й итерации; зависимость индекса согласованности у от числа итераций р по формуле:

т(р)=2Х,

|-(п+2) >

¡=1

(П)

^,р (п+2) - элемент матрицы Е.

4 Результаты численных расчетов

Для численного исследования предложенной процедуры повышения согласованности задавалась абсолютно согласованная (у = 0) матрица А размерности (4 х 4) вида

А =

9 7

1 5 1

9

5 7

1 1

9 5

9 1

7 9

7 5

7 9

7 1

(12)

элементы a¡ которой искажались по закону

aij=aij+-l

Mü

■Sy-ay,

Ш ' ' (13)

- элементы матрицы отсчетов непрерывной случайной величины, равномерно распределенной в интервале (-0.5; 0.5), использующиеся для случайного задания знака « + » или « - »; - элементы матрицы отсчетов

непрерывной случайной величины, равномерно распределенной в интервале (0; ), 0<5шах <1, - амплитуда искажений. Полученные численно зависимости индекса согласованности у от числа итераций р для амплитуд искажений = 0.5; 0.3; 0.1 приведены на рис. 1.

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

DeltaMax - 0.5 ...........DeltaMax = 0.3 .. -.....-DeltaMax = 0.1

\ \

- ч \

- V "v

■i'-lnbldn

0

10 15

20

25 Р

Рис. 1. Зависимости индекса согласованности у от числа итераций р

Из рисунка видно, что предложенная итеративная процедура позволяет достичь допустимых значений индекса согласованности (у < 0. l) [Саати, 1993] во всех трех случаях.

Список литературы

[Кудрявцев, 2001] Кудрявцев Е.М. MathCAD 2000 Pro. М.: ДМК-Пресс, 2001. [Телкова и др., 2004] Телкова С.А., Головин A.A. Выбор оптимального вида охраны объектов на основе метода Саати // Вестник Воронежского института МВД России. -2004.-№1(16).-С. 150-153.

[Фадеев и др., 1963] Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1963.

[Лорьер, 1991] Лорьер Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта. М.: Мир, 1991. [Прэтг, 1982] Прэтт У. Цифровая обработка изображений. М.: Мир, 1982. [Саати, 1993] Саати Т. Принятие решений. М.: Радио и связь, 1993.