Согласование и коррекция экспертных оценок в системах поддержки принятия решений в условиях нечеткой исходной информации Текст научной статьи по специальности «Математика»

прогнозирования коэффициента упрочнения деталей авиадвигателей.

В целом АС «Диагностика» по результатам проведенных экспериментов зарекомендовала себя как эффективное и нетребовательное к ресурсам ЭВМ программное средство диагностики.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Дубровин В. И., Субботин С. А. Когнитивный анализ и отбор информативных признаков при решении задач неразрушающей диагностики лопаток ГТД // Нов1 ма-тер1али I технологи в металургп та машинобудуванш. -2000. - № 2. - С. 91-97.

2. Дубровин В. И. Методы сокращения объема данных // Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлшня. - 2004. -№ 2. - С. 78-83.

3. Дубровин В. И. Модуль диагностики в системе управления качеством // Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлшня. - 2005. - № 1. - С. 123-125.

4. Дубровин В. И., Субботин С. А. Подсистема нейросете-вой диагностики // Нейроинформатика и ее приложения: Материалы VIII Всероссийского семинара 6-8 октября 2000 года, Красноярск / Под общей ред. А. Н. Горбаня; Отв. за вып. Г. М. Цыбульский. - Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2000. - С. 63-64.

5. Дубровин В. И., Субботин С. А. Нейросетевая подсистема диагностического программного комплекса // Ней-

рокомпьютеры: разработка и применение. - 2001. -№ 2. - С. 55-62.

6. Интеллектуальные средства диагностики и прогнозирования надежности авиадвигателей: Монография / В. И. Дубровин, С. А. Субботин, А. В. Богуслаев, В. К. Яцен-ко. - Запорожье: ОАО «Мотор Сич», 2003. - 279 с.

Надшшла 16.09.05

Викладено doceid побудови багатомодульноЧ програм-hoï системи для вирШення задач техтчноЧ дiагнocтики i математичного моделювання. У cиcтемi реалiзoванi ефек-тивт математичт методи для автоматизацп найбiльш трудoмicтких етатв обробки дiагнocтичнoï iнфoрмацiï, що дозволяють icтoтнo знизити трудoмicткicть керу-вання якicтю вирoбiв. Приведено екcпериментальнi ре-зультати, що cвiдчать про ефективнicть i практичну заcтocoвнicть рoзрoбленoï автoматизoванoï cиcтеми.

The experience of construction of multimodular program system for the decision of technical diagnostics and mathematical modeling tasks is presented. The effective mathematical methods for automation of the most labour-consuming stages of processing of the diagnostic information are realized in the system. It allowing essential to lower labour input of quality management of products. The experimental results showing efficiency and practical applicability of developed automated system are given.

УДК 519.816

Н. М. Кораблев, С. Г. Удовенко, Альзин Фирас

СОГЛАСОВАНИЕ И КОРРЕКЦИЯ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК В СИСТЕМАХ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕЧЕТКОЙ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

В статье рассматривается использование метода собственного вектора для определения степени согласованности экспертных оценок, представленных в виде матрицы парных сравнений факторов, и предлагается способ коррекции экспертных оценок, улучшающий их согласование и позволяющий установить более четкие приоритеты факторов.

ВВЕДЕНИЕ

Использование экспертных оценок является одним из наиболее важных подходов к решению слабо структурированных и плохо формализованных задач [1, 2, 3]. Выбор наилучшего варианта в нечетких задачах усложняется отсутствием формализованной связи между объектами и их признаками, а также недостаточной объективной информацией о значениях исходных данных, часто носящих только качественные оценки. Вследствие этого недостаток объективной информации

© Кораблев Н. М., Удовенко С. Г., Фирас Альзин, 2005

восполняется субъективной оценкой характеристик, данной экспертом на основе его опыта, знаний, интуиции. Оценка эксперта всегда связана с неопределенностью в силу своей субъективности, что в дальнейшем влияет на нечеткость принимаемых решений.

Рациональное использование информации, получаемой от экспертов, возможно при условии преобразования ее в форму, удобную для дальнейшего анализа, направленного на подготовку и принятие решений. Формализация информации, полученной от экспертов, должна быть направлена на подготовку решения задач, которые не могут быть в полной мере описаны математически, поскольку являются «слабо структурированными», т. е. содержат неопределенности, связанные не только с измерением, но и с самим характером исследуемых целей, средств их достижения и внешних условий. Формализовать информацию необходимо так, чтобы помочь лицу, принимающему

решение, выбрать из множества действий одно (или несколько), наиболее предпочтительное в отношении некоторого критерия [4].

Исследуемые объекты можно опознавать или различать на основе признаков или факторов. Уровень одних факторов может быть выражен количественно (амперы, миллиамперы, часы, минуты и т. д.), уровень других нельзя точно выразить с помощью числа, они являются качественными. Часто оказывается, что факторы, определяющие конечные результаты, не поддаются непосредственному измерению.

Принятие решений в большинстве случаев сводится к задаче выбора на множестве альтернатив. Исходными данными задачи являются субъективные экспертные оценки, представленные в виде отношений предпочтения сравниваемых вариантов выбора (альтернатив). Эти оценки могут быть согласованными или несогласованными. В последнем случае необходимо согласовать оценки, иначе это может привести к неточным выводам. Отсутствие же возможности проверки согласованности экспертных оценок и, как следствие, невозможность коррекции исходных данных, могут приводить к серьезным ошибкам при решении задач оптимизации, в частности, задач ранжирования и классификации.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В [5] задача согласования субъективных измерений решается следующим образом. Вводится допустимый предел значения показателя отношения согласованности (ОС), при превышении которого матрица парных сравнений (МПС) декомпозируется на матрицы меньшей размерности, для которых определяется значение ОС. Декомпозиция осуществляется путем вычеркивания столбца и строки одинакового индекса матрицы более высшего уровня, для которой ОС превышает заданный предел. Построенная таким образом иерархия матриц позволяет построить соответствующий граф матриц отношений предпочтения, где каждая вершина подграфа ассоциируется с матрицей и характеризуется отношением согласованности субъективных оценок, расположенных в этой матрице. При этом разветвление вершин производится только при условии: ОС < < ОСдоп. На каждом уровне иерархии матрицы сравниваются по показателю ОС, выделяются две матрицы с максимальным значением ОС, определяются одинаковые оценки в этих матрицах и получаются новые значения оценок по взаимозависимым оценкам, расположенным в матрице, имеющей максимальное значение ОС.

Однако предложенная методика имеет ряд недостатков. Во-первых, при большой размерности исходной МПС и значительном превышении ОС требуемого уровня, граф, отражающий иерархию вложенных мат-

риц, становится громоздким. Во-вторых, при определении нового значения оценки области, имеющей максимальное значение ОС, можно использовать значения смежных элементов только одной матрицы без учета значений смежных элементов других матриц, содержащих эту область. В-третьих, метод позволяет корректировать субъективные оценки, несогласованность которых не превышает 40 %, что является существенным ограничением.

В настоящей работе предлагается подход, позволяющий корректировать значения относительных приоритетов признаков, получая при этом приемлемое значение отношения согласованности.

В задачах с нечетко описанными исходными данными результаты сравнений признаков объектов, производимых с помощью шкалы сравнений, выражают субъективное мнение экспертов, представленное в виде обратно симметричной матрицы парных сравнений:

А =

а 11 а 12 • • • а

1п

а21 а22 ••• а

2п

в которой а

1 1М<» г) -т— ( )

и а-, аи = ^' г = 1' п; )

я ]'

функция принадлежности признака г нечеткому множеству W, п - количество признаков [7].

В силу этого согласованность матрицы А = (агу)п хп, определяемая в виде условия агу = агк ■ аку, может быть нарушена и значения элементов ее собственного вектора и = {ц^(с°г)}, г = 1, п будут характеризоваться лишь приближенными числовыми значениями. Тогда и значения функции принадлежности признаков со г нечеткому множеству W, г) также будут приб-

лиженными. Возникает проблема определения степени несогласованности оценок эксперта при нарушении условия агу = агк ■ аку, и учета величины этой несогласованности при коррекции оценок. Для определения меры согласованности составленной экспертом матрицы А = (агу)п х п используется вывод о том, что если матрица А согласованная, то наибольшее ее собственное значение X равняется порядку матрицы п, а остальные значения X равняются нулю [7].

В качестве меры оценки несогласованности исходных субъективных оценок используем значение отношения согласованности. Если ОС = 0, то все оценки согласованы, если ОС * 0, то не согласованы. Чем больше значение ОС, тем менее согласованы экспертные оценки.

Так как Хтах должно быть близким к п, то для определения меры-согласованности матрицы А, составленной экспертом, следует найти ее наибольшее соб-

ап1 ап2 • апп

ственное значение Хтах и сравнить его с порядком мат- или рицы А = (агу)п х п. Если результат сравнения превышает заданный порог согласованности, то необходимо скорректировать исходные субъективные оценки агу и вновь проверить отношение согласованности ОС преобразованной матрицы А = (агу)п х п. Эта процедура повторяется до тех пор, пока не будет получено приемлемое значение ОС.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ Хтах МАТРИЦЫ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ

Рассмотрим способ нахождения наибольшего собственного значения Хтах матрицы А = (агу) п х п, составленной экспертом, при относительном сравнении значимости признаков

|Мюг) . т—

ау = -7—), г = 1, п.

1 Iw(ссj)

Матричное уравнение

А • и = Х тахи

(1)

представим в виде системы п уравнений при условии нормирования собственного вектора и = г)},

г = 1, п матрицы А [8]:

а11^(со 1) + а12^(с° 2) + ••• + а1п ^(с0 п) = ^ах^(с 1:», а21 ^(с0 1) + а22^(с 2) + • + а2п (с п) = ^ах^® 2),

an1^W(сo 1) + an2^W(сo 2) + • + ann^W(сo п) = ^ах^® п),

г) = 1.

г = 1

(2)

Сумма левых и правых частей уравнений системы (2) дает результат:

1)^(а 11 + а12 + ••• + ап 1) + + ^(с0 2) • (а12 + а22 + • + ап2) + + п)<а1п + а2п + • + апп) =

= Xmax1) + М® 2) + • + М® я» . (3)

Так как собственный вектор и = {|^(®г)}, г = 1, п матрицы А нормализован:

X = 1,

г = 1

^ах = М^Х аг + МР^Х аг + • + М®я) X an,

г = 1 г = 1 г = 1

Х^(®г) • X агу.

(4)

=1

=1

Таким образом, для получения Xmаx следует просуммировать каждый столбец матрицы А = (агу)п х п и умножить найденную сумму на соответствующий этому столбцу элемент собственного вектора и =

= {^(«¿)}, и = {^(®г)Ь а затем полученные произведения сложить.

Решения матричного уравнения (1) относительно элементов собственного вектора и = {|w(с9¿)}, г = 1, п будут выражать приближенные оценки факторов, а не их веса. Их значения можно находить одним из приближенных способов определения собственных векторов матрицы по формуле:

1№(®г) =

П агу

у = 1

(5)

X п П агу

г = 1 V у = 1

Итак, в общем случае, имея матрицу субъективных относительных сравнений значимости признаков А = = (агу)п х п , можно получить лишь приближенные оценки приоритетов признаков |^(®г), что отразится и на значениях Xmax.

Однако для обратно симметричной матрицы А имеет место устойчивое решение собственных значений X, поэтому при незначительных изменениях элементов матрицы А собственное значение X также изменяется незначительно [9]. Отсюда следует, что при малых из-

I w (® г- А А

менениях агу = --—- наибольшее собственное значе-

у Iw(юl)

ние Xmax остается близким к п, а остальные собственные значения будут близкими к нулю. Таким образом, можно провести анализ согласованности матрицы А = = (агу)пх п с помощью собственного значения Xmax. Для этого определяется отклонение Xmax от п, при этом за меру отклонения принимается величина:

А = ).„

п,

(6)

но так как для обратно симметричной матрицы Xmax > > п, то А> 0 [5, 6]. В случае согласованной матрицы отклонение А равно нулю. Среднее отклонение матрицы А от согласованной матрицы, приходящееся на (п - 1) экспертных сравнений п объектов друг с другом, определяется по формуле:

А =

X,,

п - 1

(7)

где А - индекс согласованности, или среднее отклонение матрицы А от согласованной матрицы.

X

тах

то

Это среднее отклонение сравнивается с величиной, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из шкалы (1/9, 1/8, ..., 1, 2, ..., 9) [1]. Среднее отклонение согласованности А, сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 для обратно симметричной матрицы с соответствующими обратными величинами элементов, назовем случайным индексом (СИ). Для каждого из значений порядка п матрицы парных сравнений в [7] определены значения СИ. Если разделить среднее отклонение матрицы А на число, соответствующее СИ матрицы того же порядка, получаем отношение согласованности в виде:

- n

ОС — Д — "max

СИ (n - 1) СИ'

(8)

Величина ОС должна быть не более 10 %, чтобы быть приемлемой, т. е. чтобы составленная экспертом матрица была близка к согласованной [7, 8]. Если окажется, что ОС >10 %, тогда эксперту предлагается пересмотреть свои относительные оценки а^ или следует применить коррекцию оценок важности признаков методом итерации.

КОРРЕКЦИЯ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК

Сущность предлагаемого метода коррекции состоит в следующем. Для каждой г-й строки матрицы А = = (аг^)п х п вычисляется сумма квадратов разностей отношения оценок факторов, предложенных экспертом а,у, и отношения полученных приоритетов этих фак-

, „ ^ ^ (ю г)

торов в соответствии с формулой (5) ------------------- , т. е.

S, —

I

i — 1

ц*(ю/У

, i — 1, n.

(9)

В i-й строке с максимальным значением Si, при i — const, экспертные оценки aij заменяются отношениями найденных по формуле (5) компонент собствен-

ного вектора U — (ц*(ю^), т. е. a** —

i — 1, n.

Тогда для обеспечения непротиворечивости признаков следует изменить оценки в соответствующем j-м столбце, учитывая, что a** — -1 при j — const, Vi — 1, n.

aji

Для полученной матрицы A* — (a*)n x n с новыми элементами в i-й строке и j-м столбце вычисляется по (5) собственный вектор U* — (ц* (ю^), по (4) наибольшее собственное значение ^*max и по (8) отношение согласованности ОС. Если окажется, что для полученной

матрицы А* значение ОС > 10 %, то описанная процедура коррекции повторяется до тех пор, пока не будет получено значение ОС 10 %.

ПРИМЕР ОЦЕНКИ СОГЛАСОВАННОСТИ

И КОРРЕКЦИИ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

В качестве примера рассмотрим экспертные данные процедуры лечения зубов с помощью электрофореза, в которой основными признаками (факторами), определяющими процедуру лечения, являются следующие: 1 - «величина тока», 2 - «продолжительность процедуры», 3 - «количество процедур», 4 - «периодичность процедур», 5 - «концентрация раствора».

Рассмотрим исходную матрицу А сравнительных попарных оценок приоритетов признаков (факторов), данных экспертом, представленную в таблице 1.

Таблица 1 - Матрица сравнительных парных оценок признаков

^ CN со LO 2

м М м м м

к К к к К S

н н н н н о

К 33 33 33 33 а К

Признак 1 1 0,5 0,25 2 2 0,144

Признак 2 2 1 1/3 4 1/3 0,161

Признак 3 4 3 1 5 2 0,430

Признак 4 0,5 0,25 0,2 1 0,25 0,059

Признак 5 0,5 3 0,5 4 1 0,206

Каждый элемент матрицы А = (афГ;> х 5 выражает субъективную оценку эксперта отношения приоритетов ю, - факторов по сравнению с приоритетами << - факторов. Требуется по указанным экспертом относитель-

^ Ф (ю г) ■ ■ ТТ- к

ным значениям аг1 = --—-, г, 1 = 1, 5 определить аб-

1 Ц^(юу)

солютные оценки приоритетов факторов < г, < 1, т. е. определить степень принадлежности г-го фактора нечеткому множеству, определить меру согласованности исходной матрицы и при необходимости скорректировать ее.

Оценки абсолютных приоритетов для сравниваемых факторов, вычисленные в соответствии с выражением (5) и представленные в таблице 1, соответственно равны:

0,144, 0,161, 0, 430,

0, 059, 0, 206.

Видно, что согласно экспертных данных наибольший приоритет имеет фактор 3 - «количество процедур», а наименьший - фактор 4 - «периодичность процедур».

Определим меру относительной согласованности в соответствии с выражением (7), в котором при п = 5 случайный индекс СИ = 1,12. Значение ОС и 0, 107 > > 10 %, полученное для данных, представленных в таблице 1, свидетельствует о несогласованности экспертных оценок и необходимости или повторного опроса эксперта с уточнением определенных вопросов, или использования математических способов коррекции исходных субъективных экспертных оценок.

Действительно, анализ исходной матрицы экспертных оценок показывает, что имеет место замкнутый цикл относительных приоритетов между 1-м, 2-м и 5-м признаками, приводящий к несогласованности матрицы [5].

В результате коррекции оценок предлагаемым способом на первом шаге значение ОС и 0, 0936 становится меньше 10 %, что свидетельствует об улучшении согласованности полученных новых оценок. При этом абсолютные приоритеты факторов приняли значения, приведенные в таблице 2, и ранги факторов сохранились.

Однако полученное отношение согласованности близко к граничному значению и замкнутый цикл сохранился. Поэтому выполним второй шаг коррекции, результаты которого приведены в таблице 3.

Таблица 2 - Скорректированные значения приоритетов признаков после первого шага коррекции

Таблица 3 - Скорректированные значения приоритетов признаков после второго шага коррекции

После второго шага ранги факторов не изменились, но существенно изменилось отношение согласованности (0,983 %), которое указывает на высокую степень согласованности скорректированных экспертных оце-

нок. При этом по отношению к исходной таблице экспертных оценок изменился относительный приоритет 1-го признака над 5-м на противоположный (значение исходной экспертной оценки а^ = 2 изменилось на а1д = 0, 747), что привело к исчезновению замкнутого цикла.

Таким образом, скорректированные значения приоритетов позволяют провести более четкую градацию при определении приоритетов сравниваемых факторов.

ВЫВОДЫ

Использование элементов теории нечетких множеств позволяет при решении слабо структурированных и плохо формализованных задач формализовать субъективную информацию, полученную в виде нечетких качественных оценок и высказываний профессионального языка эксперта, что особенно важно при отсутствии статистических данных и результатов физических измерений, и определить приоритеты сравниваемых признаков. Предложенный метод коррекции позволяет улучшить согласование экспертных оценок и установить более четкие приоритеты сравниваемых признаков.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Андрейчиков А. В., Андрейчикова О. Н. Интеллектуальные информационные системы. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 424 с.

2. Ярушкина Н. Г. Основы теории нечетких и гибридных систем. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 320 с.

3. Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений. -М.: Логос, 2002. - 400 с.

4. Борисов А. Н., Крумберг О. А., Федоров И. П. Принятие решений на основе нечетких моделей. - Рига: Зинатне, 1990. - 184 с.

5. Харитонов Е. В. Теоретическое обобщение и развитие методов принятия решений в условиях неопределенности функционирования организационно-технических систем управления. - Смоленск: 1999. - 277 с.

6. БакусовЛ.М, ШашковА.Н. Метод согласования субъективных измерений в матрицах парных сравнений // Вопросы управления и проектирования в информационных и кибернетических системах. - Уфа: УГАТУ, 2000. - С. 26-37.

7. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. - М.: Радио и связь, 1993. - 315 с.

8. Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. - М.: Радио и связь, 1991. - 224 с.

9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1988. -548 с.

Надшшла 24.02.05 Шсля доробки 27.10.05

У cmammi розглядаетъся використання метода влас-ного вектора для визначення ступеня yзгодженоcmi експертних оцток, поданих у виглядi матрищ парних порiвнянъ фaкmорiв, та пропонуетъся cпоciб корекцп експертних ощнок, який покращуе ¿х узгоджетстъ та дозволяе встановити бiлъш чimкi прiориmеmи фaкmорiв.

In this article we present the method of own vector for estimate the degree of coordination of expert's estimates, which present by matrix of pair coordination, and we present the way for correction and better coordination these expert's estimations, which gives more correct priority vectors.

CN со ю 3 н

СЧ CS л н Н

т Н К к к к о

К К К К К а К

Признак 1 1 0,5 0,334 2 2 0,151

Признак 2 2 1 0,373 4 1/3 0,164

Признак 3 2,99 2,68 1 7,19 2,09 0,428

Признак 4 0,5 0,25 0,139 1 0,25 0,055

Признак 5 0,5 3 0,478 4 1 0,202

^ CN го LO 2

м М м м м

к К к к к К

н н н н н О

К К К К К а К

Признак 1 1 0,5 0,334 2 0,747 0,123

Признак 2 2 1 0,373 4 0,808 0,194

Признак 3 2,99 2,68 1 7,19 2,11 0,425

Признак 4 0,5 0,25 0,139 1 0,273 0,057

Признак 5 1,34 1,24 0,478 3,66 1 0,201