Аналитический метод доопределения кратных предпочтений в матрице парных сравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

2011 Математические основы интеллектуальных систем №3(13)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ СИСТЕМ

УДК 519.168

АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОД ДООПРЕДЕЛЕНИЯ КРАТНЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ В МАТРИЦЕ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ

И. C. Киселев

Петербургский государственный университет путей сообщения, г. Санкт-Петербург,

Россия

E-mail: igor@kiselev.spb.ru

Предложен аналитический метод доопределения кратных предпочтений в матрице парных сравнений, имеющий полиномиальную сложность от размерности матрицы и количества доопределяемых элементов, не ухудшающий показатель согласованности исходной матрицы.

Ключевые слова: матрица парных сравнений, согласованность.

Введение

Матрица парных сравнений получила широкое применение для вычисления приоритетов сущностей на основе предпочтений экспертов. Одним из распространенных типов предпочтений является кратность превосходства. Рассмотрим матрицу кратности парных сравнений A. В ней элемент aj определяет, во сколько раз сущность xi предпочтительнее сущности Xj. Данный тип предпочтения лег в основу метода анализа иерархий (МАИ) Т. Саати [1]. Для получения вектора весов оцениваемых объектов в МАИ находится нормированный собственный вектор матрицы парных сравнений, соответствующий ее максимальному собственному числу. В идеально согласованной матрице экспертных предпочтений для каждой тройки элементов выполняется равенство aij • ajk = aik. Функция оценивания согласованности предпочтений убывает с увеличением числа троек, для которых это условие не выполняется, и с ростом разности |aij • ajk aik |.

Трудоёмкость формирования матрицы кратности предпочтений быстро растёт с ростом её размерности, отсюда возникает задача доопределения элементов матриц при частичном задании предпочтений [2-5]. В. Д. Ногин [2, 3] рассмотрел доопределение идеально согласованных матриц; В. Г. Тоценко [4] —доопределение матриц с внесением изменений в исходно заданные оценки. В работе [5] достроение проводится с использованием целевой функции, основанной на индексе согласованности (ИС), предложенном Т. Саати. Однако ИС имеет искусственный характер, и в настоящей работе предлагается аналитическое решение задачи с использованием функции согласованности, имеющей физический смысл.

1. Постановка задачи

В [5] для определения оптимальной величины кратности a°pt предпочтения xi У Xj используется целевая функция

Па (aij) = (N - 1 + an) /Хтах ^ max. (1)

В качестве ограничений задачи оптимизации принимаются все известные значения предпочтений из матрицы А. Формула (1) связывает максимальное собственное число Атах с размерностью матрицы N х N согласно введённому Саати индексу согласованности ИС [1]

ИС

Amax N

N - 1

Незаполненные клетки в предъявленной для доопределения матрице кратности предпочтений заполняются единицами. Установлено, что функция пл (aij) дифференцируема и имеет единственный максимум в диапазоне (0, то). Оптимальное значение кратности a°pt находится путем итеративного пересчёта по формуле

aj = arg (max (пл (aj))). (2)

Нахождение максимального собственного числа матрицы является трудоёмким процессом, поэтому была предложена целевая функция r/D (aj) ^ max, основанная на нахождении определителя D матрицы A. Однако в работе [6] на основе имитационного моделирования показано, что определитель матрицы даёт решение задачи оптимизации не во всех случаях.

Для сравнения оценок согласованности матриц различных размерностей вводится отношение согласованности (ОС), рассчитываемое как отношение ИС к случайной согласованности (СС) (ОС = ИС/CC). CC — это математическое ожидание ИС для матрицы требуемой размерности, заполненной случайными величинами. Для практических расчетов СС берется из таблицы, приведенной в [1]. Показано [7], что определение ИС через соотношение максимального положительного собственного числа матрицы с её размерностью имеет искусственный характер. Это подтверждается ограниченной областью использования вычисляемого на его основе ОС, поскольку для плохо согласованной матрицы значение ОС выходит за рамки шкалы [0,1].

Таким образом, с одной стороны, определение оптимальных значений неизвестных предпочтений по формуле (2) является трудоёмким процессом, а с другой — сама целевая функция (1) имеет искусственный характер.

Граф, матрица связности которого совпадает с рассматриваемой матрицей парных сравнений, будем называть графом, соответствующим матрице. Для оценки качественной несогласованности достаточно подсчитать количество циклов в этом графе. В случае количественных предпочтений для получения оценки их несогласованности этого недостаточно, так как каждая тройка сущностей содержит не только факт согласованности, но и ее меру. Для получения соответствующего показателя s матрицы парных сравнений будем суммировать меру согласованности всех троек сущностей [7]:

N-2 N-1 N

s = S S S / (aij ,ajk ,aki) . (3)

i=1 j=i+l k=j+l

За меру согласованности предпочтений тройки сущностей примем отклонение от условия идеальной согласованности aij • ajk • a-.1 = aij • ajk • aki = 1. Для перехода

от мультипликативной к аддитивной форме представления условия согласованности

воспользуемся логарифмической шкалой, а для получения неотрицательного значе-

ния меры согласованности возьмём квадрат от логарифма произведения. В результате функция (3) примет следующий вид:

N—2 N —1 N

s = Y, ln2 (aij • ajk • aki). (4)

i=1 j=i+1 k=j+1

Данный показатель позволяет заменить трудоемкий процесс вычисления максимального собственного числа более простым расчётом.

Решим задачу доопределения одного или нескольких элементов матрицы кратности предпочтений аналитически, используя функцию (4) для вычисления оптимальных значений неизвестных предпочтений, и оценим вычислительную сложность полученного решения.

2. Доопределение одного элемента матрицы

Примем за целевую функцию минимизацию коэффициента несогласованности (4). Коэффициент несогласованности s, являясь функцией от матрицы, является также функцией от всех элементов матрицы. При решении задачи доопределения матрицы все известные элементы являются константами. Тогда можно рассматривать s как функцию только от неизвестных элементов матрицы, а в случае единственного неизвестного элемента — как функцию от одного аргумента. Оптимальное значение неизвестного элемента определяется как = arg (min (s (avw))). Экстремальное значение функции рассогласованности предпочтений имеет место при равенстве её производной нулю: s; = 0.

Функция s (avw) на области определения (0, то) дифференцируема и имеет единственный экстремум в своей минимальной точке. Значит, для поиска оптимального

ds(avw) _

значения элемента необходимо решить уравнение — ----------= 0. Возьмем производную

davw

от s (4):

N

d £2 Е1 Е ln2 (о* ■ j ■ ttki) д Е ln'2 (“v" ■ ■ “k* >

i=1 j=i+1 fc=j+1 fc=v,w

N N

2 ІП (fl*® ■ ßwfc ■ ßfcv) 2ІП Г1 ( * )

k=1 k=1

k=v,w k=v,w

0.

Найдем положительное решение данного уравнения относительно а*

---

N-2

\

1

N

ГГ (awfc ■ afcv) fc=1 fc=v,w

Так как для матрицы парных сравнений кратности предпочтений = а-;, то

-

N

П (awfc ■ afcv) . fc=1 fc=v,w

а

Таким образом, оптимальное значение предпочтения в матрице является средним геометрическим всех путей длины 2 из вершины ,ш в вершину V на графе, соответствующем оптимизируемой матрице.

3. Доопределение нескольких элементов матрицы

Введем сквозную нумерацию элементов верхнего треугольника матрицы слева направо по столбцам с помощью функции нумерации

КмНС?(Л - 3))/2 + г + 1, г<^'.

Например, для матрицы порядка 5 нумерация будет следующей:

1 2 3 4 5

1 - 1 2 4 7

2 - - 3 5 8

3 - - - 6 9

4 - - - - 10

5

Будем решать задачу доопределения М элементов матрицы. Пусть неизвестными

являются элементы аг1 З^, аі2З-2,

ьгы ЗЫ

, где і < ^ для всех І = 1, 2,

М.

Для нахождения оптимальных значений нескольких элементов матрицы следует найти экстремум функции согласованности матрицы от всех оптимизируемых элементов. Необходимым условием экстремума является равенство нулю всех частных производных функции. Задача оптимизации М элементов сводится к решению системы из М уравнений вида

дв(агШ , а»2З2 , . . . , агыЗЫ )

даі1З1 д«Кз1 , аі2З2 , . . . , аімЗм)

даі2З2

д^(аі1З1 , аі2З2 , . . . , аімЗы)

да

0,

0,

0,

'*ы зы

где в — показатель несогласованности (4).

Аналогично случаю оптимизации одного элемента каждое из М уравнений системы примет вид

N

д ^2 1п (аЩг ' аЗг& ' акц)

к=1

к=іг

к=Зг

За,-

'ігЗг

Преобразуем систему (5):

N-2 ігЗг

N

П (аЗгк ■ акіг) к=1 к=іг

к=Зг

0, І = 1,

1, І = 1,

М.

(5)

М.

Левая часть каждого из уравнений системы является произведением степеней элементов матрицы. Используя равенство = а-1, перейдем к элементам только верхней треугольной матрицы. Степени элементов для /-го уравнения будут равны:

— N - 2 для ащг;

— 1 для а^, к > Лг, и для а^г, к < гг;

— -1 для а^, к < Лг, к = гг, и для а*гк, к > гг, к = Лг;

— 0 в остальных случаях.

Пусть матрица О содержит степени элементов агз в уравнениях (6), а именно: элемент матрицы ^¿, где 8 = г (¿г, ^г), Ь = г(г, ^), равен степени, в которой входит в /-е уравнение системы.

Перенесем все известные элементы а^ в правые части уравнений (6) и заменим элементы нижней треугольной матрицы их парами из верхней:

м

П а

¿=1

'г(гг^г )r(гí,jí) ____

гш =

П агз

(г,j)=(гt,jt), г<],Ь = 1,...,Ы

, / = 1,...,М.

Для решения этой системы составим матрицу Р, состоящую из степеней неизвестных: , 8 = 1, . . . , М, Ь = 1, . . . , М.

Тогда решением системы является

(Р-1Ь

ащг =

м

П I п

к=1 \ (г,j) = (гt,jt),

1<3,ь=1,...,ы

1гЗ

г(гк^к)г(г^)

/ = 1,...,М.

Пример. Метод будем иллюстрировать на матрице порядка 5 с тремя неизвестными элементами (Ж = 5, М = 3):

1 4 а з 2 6

1/4 1 а2з 1/2 4/3

А = а—з а2з 1 1/5 аз5

1/2 2 5 1 3

1/6 3/4 аз25 1/3 1

Матрица О имеет следующий вид

12 13 23 14 24 34 15 25 35 45

12 3 -1 1 -1 1 0 -1 1 0 0

13 -1 3 -1 -1 0 1 -1 0 1 0

23 1 -1 3 0 -1 1 0 -1 1 0

14 -1 -1 0 3 -1 -1 -1 0 0 1

О = 24 1 0 -1 -1 3 -1 0 -1 0 1

34 0 1 1 -1 -1 3 0 0 -1 1

15 -1 -1 0 -1 0 0 3 -1 -1 -1

25 1 0 -1 0 -1 0 -1 3 -1 -1

35 0 1 1 0 0 -1 -1 -1 3 -1

45 0 0 0 1 1 1 -1 -1 -1 3

Здесь индексы за границей матрицы О соответствуют номерам элементов исходной матрицы.

Далее получим

а?оа—V, = 41 • 21 • (1/2)0 • (1/5) —1 • 61 • (4/3)0 • 30 = 240,

1за2з аз5 = 41 ■ 21 ■ (1/2)0 ■ (1/5) —1 ■ 61 ■ (4/3)0 ■ 30

4—1 ■ 20 ■ (1/2)1 ■ (1/5)—1 ■ 60 ■ (4/3)1 ■ 30 = 5/6, а1за1за35 = 40 ■ 20 ■ (1/2)0 ■ (1/5)1 ■ 61 ■ (4/3)1 ■ 31 = 24/5;

3 -1 1 1/2 1/4 -1/4

Р= -1 3 1 ; Р2 = 1/4 1/2 -1/4

1 1 3 -1/4 -1/4 1/2

а1з 2401/2 ■ (5/6)1/4 ■ (24/5) —1/4 10 10

а2з = 2401/4 ■ (5/6)1/2 ■ (24/5) —1/4 = 5/^18 2,43

аз5 240—1/4 ■ (5/6)—1/4 ■ (24/5)1/2 л^72/5 0,58

Абсолютное значение показателя согласованности полученной матрицы, рассчитанное по формуле (4), равно 0,035. Для сравнения показателей согласованности матриц удобнее использовать не абсолютные значения, а относительные, нормированные в диапазоне [0,1]. Нормировать показатель согласованности будем с учётом порядка матрицы N и максимально допустимой кратности предпочтений атах. В работе [7] предложено рассчитывать нормированный показатель согласованности по формуле

С = 1 -

Г Nз - N2

■ 1п2(атах), если N нечетно,

где 8тах(атах> N) <

Nз - N2

- N ) ■ 1п2(атах), если N четно.

Пусть в нашем примере атах = 10. Тогда 8тах(10, 5) = 265,09; С = 0,9999.

Для сравнения рассчитаем индекс и коэффициент согласованности (КС) по Саати: ИС = 0,0003; КС = 0,9997.

Полученная матрица имеет высокий показатель согласованности. Согласованность не идеальна ввиду изначально содержавшейся в матрице несогласованности.

В рассмотренном примере оптимизируемой матрице соответствует связный граф. Для матрицы парных сравнений, которой соответствует несвязный граф, будет получено семейство решений.

Результаты доопределения зависят от выбранной целевой функции (функции согласованности). Результаты расчета по формуле (7) с использованием целевой функции согласованности (4) могут отличаться от результатов, полученных при оптимизации с использованием собственного числа (см. формулу (2) и работу [5]), в частности при наличии в графе доопределяемой матрицы хотя бы двух несогласованных не имеющих общих ребер троек предпочтений. Различие элементов доопределенных разными способами матриц в серии проведенных экспериментов не превышало 5 %.

Определим вычислительную сложность полученного алгоритма. Формулу (7) перепишем в виде

аад =

м П )

к=1

(Р-1Ь

Ф =

п

г<',*=1,...,м

—

1 ______

/ = 1,

М.

Сложность построения матрицы Р равна 0(М2); вычисления Р21 — 0(Мз). Для вычисления каждого ф используется произведение не больше чем N^ - 1)/2 элементов, и количество ф равно М. Сложность построения вектора решений по известным Р 21 и — 0(М2), так как его размер равен М и каждый элемент равен произведению М сомножителей. Тогда общая сложность алгоритма равна 0(М2) + 0(Мз) + +0(М^2) + 0(М2) = 0(Мз+М^2). С учетом того, что число неизвестных элементов матрицы М не может превышать общего числа пар элементов матрицы N^ - 1)/2, получим оценку вычислительной сложности сверху 0^6).

8

Заключение

Предложен способ доопределения матриц парных сравнений кратности предпочтений, вычислительная сложность которого равна 0^6), где N — порядок матрицы. Для выбранной функции оценки согласованности доопределенная матрица имеет максимально возможное значение показателя согласованности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем. М.: Радио и связь, 1991.

2. Ногин В. Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. М.: Физматлит, 2004. 176с.

3. Ногин В. Д. Упрощенный вариант метода анализа иерархий на основе нелинейной свертки критериев // ЖВМиМФ. 2004. Т. 44. №7. С. 1259-1268.

4. Тоценко В. Г. Методы и системы поддержки принятия решений. Киев: Наукова думка, 2002. 381 с.

5. Микони С. В., Киселев И. С. Приближённый метод доопределения матрицы парных сравнений с кратными предпочтениями // Труды конф. 1ЕЕЕ А18’07 и САБ-2007, Дивноморское, 3-10.09.2007. М.: Наука, Физматлит, 2007. С. 330-333.

6. Микони С. В., Киселев И. С. Экспериментальное доказательство достоверности метода доопределения матриц предпочтений // Материалы IV науч.-практич. конф. ИММ0Д-2009, 21-23.10.2009. СПб.: ФГУП ЦНИИТС, 2009. Т. 2. С. 109-112.

7. Киселев И. С. Показатель согласованности количественных предпочтений в матрице парных сравнений // Изв. Томского политехнического университета. 2011. №5. С. 22-24.