CC BY
57
Перелж посилань
2. Шамровський О. Д. Метод последовательных приближений для расчета стержневых систем / О. Д. Шамровський, А. I. Безверхий, В. В. Кривуляк // Новi мате-рiали i технологи в металурги та машинобудуванш,
1. Шамровський О. Д. Розрахунок стрижневих конст-рукцш методом послiдовних перемщень i3 урахуван-ням геометрично! нелшшносп / О. Д. Шамровський, Д. М. Колесник, Ю. О. Лимаренко // HjBi матерiали i технологи в металурги та машинобудуванш, 2009. -
2008. - № 2. - С. 110-118.
Одержано 11.06.2009
№ 1. - С. 78-85.
Рассмотренный раньше метод расчета стержневых конструкций был расширен и применен для расчета трехмерных стержневых конструкций. Для них также фиксируется момент потери устойчивости, в том числе ступенчатой потери устойчивости для многоярусных конструкций, и предоставляется возможность исследования закритической деформации.
The method of structural elements calculating was expanded and used to calculate three-dimensional pivot element structures. The method also allows to fix the moment of buckling, including stepped buckling for multistage structures, and research of supercritical deformation.
АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ И ЕГО
РЕАЛИЗАЦИЯ В MAPLE
Предложен алгоритм решения задачи теории упругости для полуплоскости, который основан на свойстве решения удовлетворять бигармоническому уравнению. Как частные случаи получены решения задач Фламана и Черутти.
УДК 519.876.5
А. Г. Овский, д-р техн. наук В. А. Толок Национальный университет, г. Запорожье
Несмотря на то, что в настоящее время численные методы решения задач механики твердого деформированного тела хорошо развиты, не теряют своей актуальности аналитические методы, которые позволяют получать более достоверные результаты. Применению аналитических методов содействует также современное развитие систем компьютерной математики (СКМ).
Обратное верно только для определенного класса бигармонических функций, которые удовлетворяет уравнениям теории упругости (1):
В линейной теории упругости было доказано, что всякое решение основных уравнений теории упругости (1) является решением бигармонического уравнения УУ W = 0 [1].
сти для трехмерного массива.
СКМ не обладают достаточно развитыми способами решения технических задач. Большинство из них ориентировано на применение в алгебре и математическом анализе [7]. Поэтому в процессе математического моделирования их необходимо адаптировать, чтобы иметь возможность применить для решения той или иной сложной технической задачи [4]. В предлагаемой работе рассматривается обобщенный алгоритм построения решения задачи для полуплоскости. На его основе строится программа аналитического решения задачи в Maple. Работа является логическим продолжением ранее опубликованных работ [5] и [6], в которых строилось решение общей задачи теории упруго-
dx dy dy dx
v
dx'
/
© А. Г. Овский, В. А. Толок, 2009
104
где u, v - перемещения, сх, су , т^ - напряжения,
E
G = -
2(1 + v)
- модуль сдвига, v - коэффициент Пуас-
сона.
Уравнения заданы для плоской деформации, для перехода в напряженно-деформированное состояние
необходимо E заменить на E 1 + 2Уп, а коэффициент
Пуассона заменить на
v => -
(1 +v)2 v
1 + v *
Пусть изотропная среда занимает бесконечную область, ограниченную прямой. Такое полубесконечное тело называется полуплоскостью с границей. Рассмотрим задачу о действии нагрузки на границу полуплоскости у > 0
т ху\у=0 = P (x, Ъ) ■
(2)
y y
=0 = R (x, Ъ).
При заданных условиях компоненты напряженно-деформированного состояния не зависят от координаты w по г, а перемещение w = 0. Имеем плоское напряженно-деформированное состояние и плоскую деформацию. Краевая задача замыкается условием обращения в ноль компонентов напряженно-деформированного состояния на бесконечности.
Решение бигармонического уравнения УУ IV = 0 строится в виде w(x,у) = w0(x,у) + уу(х, у), где w0( х, у) и у( х, у) - гармонические функции-реше-
ния уравнения А 2 w =
д2 w д2 w
дх2 ду
+-
. Общее решение
краевой задачи в случае полуплоскости для уравнения Лапласа А 2 w = 0 имеет вид
w,
1 да
,(х, у) = - f-
<тг J I
У wo(0 dЪ
. Для начальной прямой
х -^)2 + у2'
решение бигармонического уравнения будет иметь вид
в силу ограниченности гармонической функции. Имеем:
у = wi
3w,
0 .
ду
(х-Ъ)2 + у2
у(х,у) = П J ywi®*
тг J
1 да
nJ
(х -Ъ)2 + у2 - 2у2
((х -Ъ)2 + у2)2
wo (Ъ) dЪ.
и после преобразований
w(х, у) 4 +
1 ^ П J
(( Г -Ъ)2 + у 2)2 ун'1(ъ) ^
(Г -Ъ)2 + у 2'
(4)
Общее решение бигармонического уравнения для полупространства. Теперь воспользуемся им для решения задач. Выписываем выражение (4) для с (х, у), имеем
1 да
,(х, у) = — J
2 у 3а у (Ъ) ((х-Ъ)2 + у2)2
1 да -J
тг
у2 (Ъ)
((х -Ъ)2 + у2)
dЪ,
(5)
1 да0 где ау =—^
дх„
выражение для производной
ду дх
напряжения су на прямой у = 0, согласно Власову [1].
Произведя все подстановки и учитывая свойство подынтегральных выражений, получим:
I дw0 ду I
|у=0 ™+у+у а^|у=0:
дw | ду
/ ч дw0
w1(ху) = +v,
ду
(3)
(х, у ) = "Л] а у (Ъ) dЪ +
1 7 2(х-Ъ)у2„0
nJ
■т0у (Ъ) dЪ.
(6)
1 да
где w1 = w1 (х, у) = — J
ТТ J
у^(Ъ) dЪ
( х -Ъ)2 + у 2
w1(^) - на- Здесь г4 = ((х + у2 )2 - сокращенное обозначе-
ходится из уравнений теории упругости в процессе решения задач [3]. Выразим гармоническую составляющую у.
Производная =1 J , ,
у ду п-да «х-Ъ)2 + уо
1? (х^^у^ Wo(ъ) ^
п J "" 1-1 1 "
ние.
На Maple данное выражение представляется в виде
да ( 2у3уу0 + у 2хх0(-2х + 2Ъ^
4
r
4
Г
dЪ
а у =-
а
да
а
-да
4
Г
-да
п
ISSN 1607-6885 Hoei Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2009
105
где уу0 = ст0(^Х хх0 = т0у(О.
Теперь, когда найдено выражение для ст , находим выражение для т Имеем:
x-5 5ст y Т xy(x, У) = - I -— dx =
0 dy
1 ^ 2у2(x -5) a0(5) d5 +
= - J ---^y (5) +
r
1 7 2y(x-I)2 Т0
Т xy (5) d5.
+П|
4
(7)
. du du 1 - 2v (1 - v)--+ v— =-a x,
dx dy 2G
ч du du 1 - 2v (1 - v)— + v— =-a y,
dy dx 2G y
du + du = Т xy dy dx G
Находим из первых двух уравнений системы про-
изводную Ее вид
du dx'
На Maple соответственно -
du 1 r/i \ n
— =-[(1 -v)ax -vay].
dx 2G x y
xy
1 7
= -( J (УУ0(-
2(-x 3 + 2 x 2 5 + r 2 x -5 2 x)
r
2(-x25 + 252x-53 + r2П n/ 2y ------—--—) + xx0(—2 +
r4 r
+2(r 2 y+2 yx\- yx 2 - y52) ))d^).
r4
Для напряжения a x, получим из уравнений (1),
Тогда
x-5
1
= J 2G ^ "V ^ x -va у ] dx =
G J [(1" 2v) arctg - ] a У (5)d5 +
2G n
У r
2
+ G I[(1 -v)(ln r2 + c) + Z2f] т0у (5). (9)
r
a x = -x f^ = I 7 2У (x-5)2 a У (5) d5 +
x J dy r 4 y
0
17 2(x-5)3 Т0
+- J T0xy(5)d5.
(8)
На Maple -
a.
1 7
= П (J (
2yy0y(x2 - 2x5 + 52)
2xx0(x3 -3x25 + 3x52 -53)
)d5).
Несмотря на различия в форме представления, результаты совпадают. Система Maple производит преобразования с помощью формальных алгоритмов, заложенных в ее препроцессор, поэтому форма представления отличается от обычного аналитического вывода.
Получили общие выражения для нахождения напряжений, найдем теперь перемещения, для этого воспользуемся формулами (1). Для этого перепишем их в следующей форме:
Выражение для и выводится из третьего уравнения, в результате имеем
U = x-5К dx =
Jl G дУ 1
1 7 2
— J [(1 -v )(ln( r 2) + С) - У^] a У (5)d5-
2G n
-7
7
G- J [(1 - 2v) arctg I ^ I + т0y (5) d5. (10)
2G n
Общее решение задачи (2) для плоской деформации - формулы (6)-(10). Общее решение задачи напряженно-деформированного состояния тела отличается от плоской деформации лишь видом коэффициентов Пуассона и модуля упругости Е для перемещений. Формулы перемещений для напряженно-деформированного состояния:
2G , [Т~""~arctg -i^]a0y (5)d5 +
2G n J 1 + v y r 2 '
1 7 ,
1 f 1 -v
— J [-— arctg ■
G n J 1 + v
-7
1 7 1 y 2
J --(ln r2 + С) + Т°y (5) d5;
GK J 1 + v r 2 7
-7
u
CO
— CO
Г
Г
-7
4
r
CO
4
r
u =
+
7
11 2 и = J ["T^(ln(r2) + С) - уг]ау(Ъ)dЪ
2G п J 1 + v r
+ v
1_ J [1—
Gn J 1 + v
2Gл
arctgl х—Ъ I +
r-у(
(х -Ъ) уп
r2
]т0у (Ъ) Cb. (11)
Задача Фламана - частный случай нагрузки Я( х, %) = 5(х-%) Я - сосредоточенная сила, Р(х, %) = 5(х - %) Р, Р = 0. Задача Черутти наоборот
Р(х,%) = 8(х-%)Р, а Я(х,%) = 5(х-%)Я , Я = 0. Для упрощения выкладок в задаче Фламана Р = 1 и Я = 1 в задаче Черутти. После подстановки
су (%) = Я(х, О = 8(х Ч), т0у (%) = 0 и интегрирования, получим для задачи Фламана:
2( х-Ъ)2 у.
а у =-
т ху
2 у 3
2 у 2( х -Ъ)
(12)
пг
Напряжения не зависят от модуля упругости и коэффициента Пуассона. Для перемещений в случае плоской деформации имеем выражения:
(
и = •
2 G п
(1 - 2v )arctg
( х-Ъ1 (х-Ъ) у ^
(
и = •
2Gп
у ) r .2 ^
2
(1 -v )(ln r 2 + C) - у2-
v r 2 ,
(13)
Таким образом, подтверждается правильность полученных результатов, они совпадают по модулю с решениями [2].
Для задачи Черутти после подстановки
т 0ху (%) = 8 (х -%) Р, с у (%) = 0 в (6)-(10) получим
следующие значения перемещений для плоской деформации:
u = ■
2 G п
(1 -v )(ln r 2 + C) + у
.2 ^
и = --
2 G п
(1 - 2v )arctg
х-Ъ у
(х-Ъ) у
.(14)
Все выкладки были автоматизированы и запрограммированы в Maple. Результатами работы программы стали выражения для напряжений и перемещений. Для напряжений в полярной системе координат были построены графики.
Формулы для напряжений выведенные Maple для задачи Фламана имеют следующий вид. Для напряжения а у
sigmay := (r, у) ^
2r3 sin(у)3
п(г2 cos(y)2 + r2 sin(у)2)2
где г - полярный радиус, У - угол.
Графики построены при г = 2,3; 2; 1,8; 1,2; 1; 0,8;
П П
0,6. Угол У изменяется от — до т~. На рис. 1 пред-
2 2
ставлен график для напряжения с .
Рис. 1. Напряжения а у
Аналогично для напряжения а х -
sigmax := (r, у) ^
3 2
2r sin( у)cos( у) п(г2 cos(у)2 + r2 sin(у)2)2
График для напряжения с х представлен на рис. 2. Напряжение для сху
1аиху := (r, у) ^
3 2
2r sin( у) cos( у) п(г2 cos(у)2 + r2 sin(у)2 )2
График для напряжения сху представлен на рис. 3. Графики для задачи Черутти аналогичные графикам решений задачи Фламана, отличие лишь в величинах, см. рис. 4-6.
а х =
4
4
1
1
1
r
1
+
2
r
ISSN 1607-6885 Hoei матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2009
107
Рис. 5. Напряжение О для задачи Черутти ISSN 1607-6885 Hoei Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2009
Рис. 6. Напряжение a ^ для задачи Черутти
Вывод
В работе был предложен новый эффективный алгоритм решения задачи упругости для полупространства. Благодаря упрощенной схемой построения решения, он легко формализуется и программируется в СКМ Maple. Однако не все из рассмотренных выше операций может осуществлять система, поэтому в нее были введены новые дополнения, на основе которых был усовершенствован препроцессор Maple. Все дополнения вошли в новый программный продукт - библиотеку процедур для обработки символических операций.
Перечень ссылок
1. Власов В. З. Балки плиты и оболочки на упругом основании / Власов В. З. Леонтьев Н. Н. - М. : ФИЗМАТ-ГИЗ, 1960. - 491 с.
2. Горшков А. Г. Теория упругости и пластичности / Горшков А. Г., Старовойтов Э. И., Талаковский Д. В. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 159 с.
3. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям
математической физики / Полянин А. Д. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 576 с.
4. Галан Е. Е. Использование системы Maple при реализации метода начальных функций Власова / Галан Е. Е., Овский А. Г., Толок В. А. // Вюник Запорiзького на-цюнального ушверситету : Збiрник наукових статей. Фiзико-математичнi науки. - Запорiжжя: ЗНУ, 2008. -№ 1. - С. 16-26.
5. Овский А. Г. Использование системы компьютерной математики Maple для доказательства закона ортогональности матриц прямого и обратного преобразований, составленных Власовым В. З. / Овский А. Г., Толок В. А. // Журнал «Радюелектронжа. Информатика. Уп -равлшня». - Запортжжя : ЗНТУ, 2008. - № 1. - С. 78-85.
6. Овский А. Г. Моделирование схемы решения трехмерной задачи теории упругости в системе Maple / Овский А. Г., Толок В. О. // Гщроакустичний журнал. - 2006. -№ 3. - С. 88-97.
7. Аладьев В. З. Системы компьютерной алгебры : Maple : Искусство программирования / Аладьев В. З. - М. : Лаборатория базовых знаний, 2006. - 792 с.
Одержано 12.06.2009
Запропоновано алгоритм розв 'язку задачi теорИ пружностг для пгвплощини, який базуеться на властивостг розв'язку задовольняти бiгармонiчному рiвнянню. Як частковi випадки отриманi розв'язки задач Фламана i Черуттi.
The algorithm of theory of elasticity task determination for a semiplane which is based on property to satisfy to the biharmonic equation is offered. As special cases Flaman and Cherutti tasks are recieved.
