CC BY
27
в Украине для переработки древесного сырья и однолетней растительности.
2. Для Украины целесообразно использовать небольшие мобильные установки производительностью 20-30 т/сутки и там, где имеются отходы древесного сырья и сельскохозяйственного производства (солома, тростник и т.д.) с учетом мнения ученых-технологов например кафедры «Экологии и технологии растительных полимеров» Киевского политехнического университета Украины (КПУ).
3. В ЗНТУ за последние 30 лет на предприятиях Украины, России и Болгарии исследованы условия проектирования, изготовления, эксплуатации и ремонта деталей и узлов нетрадиционного промышленного транспорта установок Камюр (Швеция), Пандия (Япония), Бауэр (Германия) и Дефибратор (Франция), на которых из древесного сырья (хвойные и лиственные породы древесины), однолетних растений и опилок изготовляется целлюлоза и полуцеллюлоза из, которой делается бумага, картон и товары химической промышленности.
4. Потребление картонно-бумажной продукции на душу населения в Украине в 3 раза меньше среднемировых, в 11 раз меньше западноевропейских и в 19 раз меньше американских. Поэтому важной научно-технической задачей Украины есть разработка ресурсосберегающих технологий получения целлюлозы и полуцеллюлозы из однолетних растений и получение товаров химической продукции из отечественного сырья.
5. Сотрудниками ЗНТУ велись постоянно хоздоговорные работы с предприятиями целлюлозно-бумажной промышленности, и на их основании были защищены 2 докторские диссертации, 5 кандидатских диссертаций, монографии постоянно печатаются статьи в специальных журналах по эксплуатации, изготовлению и ремонту деталей, узлов промышленного транспорта, установок, Камер, Пандия, Бауэр и Дефибра-тор.
6. Вопросы использования той или иной установки Камюр, Пандия, Бауэр и Дефибратор и их производительность определяют ученые-специалисты - технологи целлюлозно-бумажного производства, а вопросы эксплуатации, изготовления и ремонта деталей и узлов принадлежат специалистам ЗНТУ Только в таком тесном сотрудничестве можно решать научно-технические проблемы в Украине.
Перечень ссылок
1. Дейкун Н.М. Разработка технологии получения льняной целлюлозы для химической переработки: Автореферат дис. Канд. тех. наук. - Киев. - 22 с.
2. Камель Г.Н. Роторные метатели установок непрерывной варки целлюлозы. М.: Лесная промышленность, 1987. - 160 с.
3. Нечаев О.Н., Камель Г.Н. Повышение и продуктивности загрузочных устройств непрерывной варки целлюлозы и полуцеллюлозы. - Монография. - Луганск: Изд-во ВНУ им. В.Даля, 2005. - 392 с.
Одержано 27.02.2008
Розглянуто нетрадицшнi види промислового транспорту, як можуть бути використат для виробництва безперервним способом целюлози та напiвцелюлози в Укра'1'Hi.
The untraditional types of industrial transport, which can be used for the production of cellulose and semicellu-lose with a continuous method in Ukraine, are considered.
УДК 534.1:534.232
Д-р техн. наук О. Д. Шамровський, канд. физ.-мат. наук А. И. Безверхий,
В. В. Кривуляк
Государственная инженерная академия, г. Запорожье
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Разработан и представлен метод последовательных приближений для расчёта стержневых систем, при этом стержни полагаются упругими и подвержены только деформациям растяжения-сжатия. Предлагаемый способ является итерационным и ориентирован на активное использование ЭВМ.
Стержневые системы широко распространены на практике (фермы и другие конструкции) и, кроме того, используются в теоретических исследованиях для построения моделей механических систем [1].
Классический подход для статического расчета стержневых систем заключается в составлении уравнений равновесия узловых точек, а также, в случае статически неопределенных систем, условий совмес-
© О. Д. Шамровський, А. И. Безверхий, В. В. Кривуляк, 2008 110
тности деформаций с последующим решением получающейся системы уравнений[2]. Использование такого подхода приводит к трудностям как при составлении уравнений, так и при их решении. Главная проблема заключается в связности между собой больших систем уравнений.
Предлагается метод расчета стержневых систем, основанный на использовании процедуры последовательных приближений, в котором отпадает необходимость не только в решении больших систем уравнений, но и в самом их составлении.
Метод изначально ориентирован на использование ЭВМ [3], так как число итераций при его применении может быть достаточно большим. Однако, в отличие от существующих методов, его применение не ведет к накоплению погрешности.
В статье рассматриваются несколько тестовых задач, решённых как классическим методом, так и предлагаемым, и расчетные параметры представляются в табличном виде. Метод последовательных приближений также опробован на более сложных задачах, решение которых классическим методом достаточно затруднено.
1 Статически определенная система
1.1 Классическое решение Рассмотрим, для примера, статически определенную стержневую систему, изображенную на рис. 1.
Рис. 1. Система из 2 стержней
Применим к ее расчету хорошо известный классический метод. Рассматривая равновесие узла О, составляем два уравнения равновесия:
^ X = -71 cos a1 - 72 cos a2 = 0, ^ Y = -71 sin aj - 72 sin a2 - P = 0. (1)
Здесь 7j, 72 - усилия в стержнях, р нагрузка, действующая на узел. Положительными считаются значения 7j, 72, отвечающие растяжениям стержней.
Решение уравнений (1) дает:
7 = P cos a2 T = P cos aj 1 sin(aj-a2)' 2 sin(aj-a 2) (2)
После нахождения усилий можно вычислить деформации стержней по формулам:
Al =
71l
11
EjFi
A2 =
721'
22
E2F2
22
(3)
Здесь /1, ¡2 - длины стержней; £1, - модули упругости материалов, из которых сделаны стержни; Т7!, 72 - площади поперечных сечений стержней.
1.2 Условие совместности деформаций Деформациям стержней отвечает перемещение узла О. Обозначим проекции перемещения узла О на оси координат через Ах, Ау . Тогда для произвольного стержня имеем картину перемещений узла О, изображенную на рис. 2.
Рис. 2. Перемещение узла О
При этом соотношение между деформацией стержня А и перемещениями Ах, Ау будет:
A = Ax cos a + A sin a.
(4)
Для двух стержней, входящих в состав рассматриваемой системы, получаем:
A1 = A x cosa1 + A y sin a1
A2 = Ax cos a2 + Asina2.
(1)
Условия (5) - это и есть условия совместности деформаций^]. Они определяют такие величины деформаций Aj, А2, при которых концы сдеформирован-ных стержней совмещаются в новом положении узла О, заданном перемещениями Аx, Аy . Поскольку, в нашем случае, известными являются величины Aj, А2, то удобно иметь и обратную зависимость, которая получается путем решения уравнений (5):
А _А2 sinaj -Ajsina2 x sin( -a2)
A y =
A1 cos a2 - A2 cos a1 sin(a1 -a2 )
(6)
ISSN 1607-6885 Hoei Mamepia.nu i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2008
111
1.3 Метод последовательных приближений
Суть метода последовательных приближений состоит в следующем. Перед началом итерационного процесса полагаем Дx = 0, Д = 0, Tj = 0, T2 = 0 .
Первый шаг.
Для узла О находим суммарные проекции нагрузки, включая сюда внешнюю нагрузку (силу P ) и усилия в стержнях:
XX = -T cosaj -T2 cosa2,
X Y = -Tj sinaj - T2 sina2 - P. (7)
В общем случае эти проекции отличны от нуля. Например, на первом шаге усилия в стержнях равны нулю и учитывается только внешняя сила P , так что:
X X = 0, X Y = -P.
(8)
Второй шаг.
Выбираем проекции перемещения узла О пропорциональными суммарным проекциям нагрузки (1.1):
йЛх =г£ X, йЛу =уХ У. (9)
Символы йЛ х, й?Л у означают, что мы вычисляем приращения перемещений Л х, Л у на данном шаге.
Величину коэффициента у задаем самостоятельно (порядка 1/(1 + С2)). Вычислив йЛх, йЛу , находим полные перемещения узла О:
Д х ^Д X + (Д x , Д y ^ Д y + (Д y
и деформации стержней:
Д1 = Дx cos aj + Дy sin ab
Д2 = Дx cos a2 + Дy sin a2 Третий шаг.
Находим усилия в стержнях:
(10)
(11)
T1 = С1Д1, T2 = С2Д
2^2
С1 = E1F1 С2 = E2 F2
¡1
¡2
(12)
и возвращаемся к первому шагу.
Процесс прекращается при достижении заданной абсолютной или относительной погрешности. Поскольку на каждом шаге уменьшаются значения
XX, ХУ, то уменьшаются и приращения
йЛх, йАу . Это позволяет достигать наперед заданной точности вычислений [4].
2 Статически неопределенная система
2.1 Классическое решение
Рассмотрим статически неопределенную стержневую систему, например, изображенную на рис. 3.
Рис. 3. Система из 3 стержней
Уравнения равновесия для узла О будут следующими:
XX = -T1 cos a1 - T2 cos a2 - T3 cos аз = 0,
X Y = -T1 sin a1 - T2 sin a2 - T3 sin аз - P = 0. (13)
Количество неизвестных усилий T1, T2, T3 превышает количество уравнений.
Запишем выражения для деформаций:
Д, =
T,¡,
11
E1F1
Д 2 =
T2¡
22
E2 F2
Дз =
T3¡
33
E3F3
(14)
Деформации связаны соотношениями: Д1 = Д x cos a1 +Д y sin a1, Д 2 = Дx cos a2 + Дy sin a2, Д3 = Дx cosa3 + Д y sina3.
(15)
Таким образом, мы имеем систему из восьми уравнений (13)-(15) относительно восьми неизвестных
Тъ Т2, T3, Л1, Л2, Лз, Лх, Лу . Преобразуем эту систему. Выражая из первых двух уравнений (15) ве-
личины Д x, Д y
Д x =
Д y =
Д 2 sin a1 - Д1 sin a 2
sin(a1 -a 2 ) Д1 cos a 2 - Д 2 cos a1
(16)
sin(aj - a2 )
и подставляя их в третье уравнение (15), получаем: Л3 sin(ai -a2) =
= AlSÍn(a3-a 2 )+Л 2 sin (ai-аз ). (17) С учетом (14) из (17) имеем:
7^trVsln(a2 -a3) + E1F1
+ 72 —12— sin
2 e2 f2
1з
(a3 -a1)
+ 73 —3—sin(a1 - a2) = 0.
E3F3
(18)
Совместно с уравнениями равновесия (13) получаем три уравнения для отыскания трех усилий в стержнях [1].
2.2. Метод последовательных приближений.
Алгоритм последовательных приближений остается таким же, как в предыдущем случае. Перед началом итераций полагаем Ax = 0, A y = 0, 71 = 0, Г2 = 0, 73 = 0.
Первый шаг.
Для узла О находим суммарные проекции нагрузки, включая сюда внешнюю нагрузку (силу P) и усилия в стержнях:
^X = -71 cos a1 - 72 cos a2 - 73 cosa3, ^ Y = -71 sin a1 - 72 sin a2 - 73 sin a3 - P. (19)
Второй шаг.
Выбираем проекции перемещения узла О пропорциональными суммарным проекциям нагрузки (2.1):
dA x =уХ X, dAy =уХ Y.
(20)
Вычислив dA x, dA y , находим полные перемещения узла О:
A x ^A x + dA x, A^A + dA
xy
(21)
и деформации стержней:
A1 = A x cos a1 + A y sin ab A 2 = A x cos a 2 + A y sin a 2, A3 = Ax cosa3 + A„ sina3.
Третий шаг.
Находим усилия в стержнях:
71 = QA1, 72 = C2A2,
(22)
73 = C3A3 С1 =
с = E2F2
E1F1
l2
C3 =
E3F3 l3
(23)
и возвращаемся к первому шагу.
Процесс прекращается при достижении заданной абсолютной или относительной погрешности.
3 Двухъярусная стержневая система
3.1. Метод последовательных приближений
Рис. 4. Двухуровневая стержневая система из 6 стержней
Приведенные выше примеры характерны тем, что в них каждый из стержней имеет один из концов неподвижным. В таких случаях деформация стержня определяется по перемещению подвижного конца стержня.
Рассмотрим более сложные случаи. На рис. 4 приведен случай двухъярусной стержневой системы. Мы видим шесть стержней, соединенных шарнирно в узлах I, II и III. У стержней 1 и 2 подвижными являются оба конца, у остальных - только один конец.
Покажем работу метода последовательных приближений в этом случае.
До начала процесса следует положить равными нулю величины:
Ах/ = 0, Ау1 = 0,
А XII = 0 А у11 = 0
A xIII = 0 A yIII = 0
71 = 0, 72 = 0, 73 = 0.
2
3
(24)
Первый шаг.
Находим суммарные проекции нагрузок на все узлы:
^ XI =-71 cos a1 - 72 cos a2, ^ Yi = -71 sin a1 - 72 sin a2 - P , ^Xii = 71cosa1 - 73 cosa3 - 74 cosa4, ^YII = 71sina1 -73 sina3 -74sina4, ^Xhi = 72 cosa2 - 75 cosa5 - 76 cosa6, ^ YIII = 72 sin a2 - 75 sin a5 - 76 sin a6 . (25)
Второй шаг.
Выбираем приращения проекций перемещений узлов пропорциональными проекциям суммарных нагрузок:
ISSN 1607-6885 Hовi матерiали i технологи в металурги та машинобудуванн №2, 2008
113
(ДxI = yx xI , (Дyi = yx yI ,
(ДXII = yx xII , (Дyll = yx yii ,
(ДXIII = yx xIII , (Дyiii = yx yIII . (26)
Величина Y задается самостоятельно. После этого находим проекции полных перемещений узлов:
Д xi ^ Д xi + (Д xi, Д yi ^ Д yi + (Д yi ,
Д xii ^ Д xii + (Д xii, Д yll ^ Д yll + (Д yll,
ДxIII ^ ДxIII + (Д xIII , Д yiii ^ Дyiii + (Дyiii (27)
и деформации стержней. При вычислениях деформаций первых двух стержней учитываем перемещения обеих их концов:
Д1 = (Дxi - Дxii )cos a1 + (Дyi - Дyii )sina1,
Д2 = (Дxi - ДXIII)cosa2 + (Дyi - Дyiii)sina2 , Д3 = Дxii cos a3 + Дya sin a3, Д 4 = Дxii cos a4 + Д yii sin a4, Д5 = Дxiii cosa5 + Дyiii sina5,
Д6 = ДXIII cosa6 + Дyiiisina6 . (28)
Третий шаг.
Находим усилия в стержнях:
T1 = С1Д1, T2 = С2Д 2, T3 = С3Д3, T4 = С4Д4, T5 = С5Д5, T6 = С6Д6 (29)
и возвращаемся на первый шаг.
Процесс прекращается после достижения требуемой абсолютной или относительной точности, т.е. одновременной близости к нулю всех шести величин (25). План действий принципиально не отличается от рассмотренных ранее для соответствующих систем [4].
4 Тестирование метода последовательных приближений (МПП)
Задача 1
Проиллюстрируем решение для задачи, изображенной на рис. 1, с такими входными данными: /1 = 0,408248 ¡2 = 0,5 м, модули упругости одинаковы е, = е2 = 2,0 *1011 Па, поперечное сечение
F1 = F2 = 1,0 *10 4 м2, углы наклона a1
= —, ao = —
3
2 --4 рад
соответственно, нагрузка Р (0;-4000) Н приложена в
узле О.
Величина коэффициента у = 2,0 *10-8, погрешность е = 1,7 *10-7 . Задача 2
Найдем расчетные параметры для статически неопределенной системы, изображенной на рис. 3. Входные данные рассматриваемой задачи следующие: длины стержней /1 = 0,408248, /2 = 0,5, /3 = 0,601501 м,
11
модули Юнга: e1 = e2 = e3 = 2,0 *10 Па, попереч-F2
ное сечение F1 = F2 = F3 = 10 4 м2, углы наклона
п п п
а1 = 3 а2 = а3 = "5 соответственно, нагрузка Р (0;-5000) Н приложена в узле О.
—8
Величина коэффициента у = 2,0*10 , погрешность е = 1,0*10—8.
Таблица 1 - Расчетные данные системы для задачи 1
Название метода T T 2(Н) Ax (м.) Д (м.) ÍAy Д1(м.) Д2(м.)
Классический -10928,2032 7727,4066 0,001255850 -0,0009827 -0,000223 0,0001932
МПП. -10928,2032 7727,4070 0,001255852 -0,0009826 -0,000223 0,0001932
Таблица 2 - Расчетные данные статически - неопределенной системы для задачи 2
Название метода T 1(Н) T2 (Н.) Ax (м.)
Классический -10323,648581 983,934045 5520,3758201
МПП. -10323,648580 983,934047 5520,375820
Название метода Д1(м0 Д2(м) Д3(М.)
Классический -0,00021073 0,00002460 0,00016603
МПП. -0,00021073 0,00002459 0,00016603
Название метода Дx (м.) Д (м.) y
Классический 0,00065803 -0,00062325
МПП. 0,00065803 -0,00062325
Задача 3
Рассмотренные примеры имели сравнительно небольшое количество стержней и, поэтому легко решаются с помощью классического метода. Решим более сложную задачу для шести стержней, предлагаемым методом. Нумерация стержней и узлов аналогична нумерации установленной на рис. 4. Параметры для расчета стержневой конструкции: /1 = 0,3, /2 = 0,5, /3 = 0,37, /4 = 0,45, /5 = 0,37, /6 = 0,45 м
модули упругости одинаковы Е, = 2,0 *1011 Па, поперечное сечение одинаковое Е = 5,0*10 5 м2 (для всех
39п п 337п
I = 1...6), углы наклона а] =-, а2 =—, а3 =-,
1 202 2 9 3 883
5п 337п 5п
а4 = 77Т, а5 = 00, , а6 = 77Т соответственно, на-18 883 18
грузка Р (0;-6000) Н приложена в узле № 1.
Величина коэффициента у = 1,0*10-9, погреш-
Задача 4
Данная задача является статически неопределимой, однако при решении методом последовательных приближений никаких дополнений делать не нужно. Исходные данные системы: /1 = 0,25, /2 = 0,6, ¡3 = 0,4176779, ¡3к+1 = 0,37, 2 = 0,40, ^+3 = 0,45 м, к = 1...3, модули упругости одинаковы Е, = 2,0 *1011 Па,
поперечное сечение Е) = 5,0 * 10-5 м2, / = 1.6, углы п 5п
наклона а3 = ~, а7 = тг, а остальные высчитыва-12 18
ются, исходя из геометрии конструкции, нагрузка Р (0;-15000) Н приложена в узле № 1.
Величина коэффициента у = 1,0 * 10-9 , погрешность е = 1,0*10-6 .
ность е = 2,0* 10
-5
Рис. 5. Деформация системы под действием приложенной нагрузки в 6кН
1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №2, 2008 115
Рис. 6. Деформация системы под действием приложенной нагрузки в 15 кН
Рис. 7. Перемещение узла I системы из рис. 6 в зависимости от итерации метода
Задача 5
Рассчитаем параметры (деформации, перемещения, нагрузки) для конструкции, изображенной на рис. 8. Длины продольных и поперечных стержней одинаковы и равны / = 0,1 м, для наклонных стержней
/ = 0,1*72 м. Модули упругости Ег = 2,0*1011 Па,
поперечное сечение Е) = 1,0 * 10-4 м2, углы наклона
п 3п
а1 = —, а2 = — соответственно для наклонных стер-
п П
жней и а1 = 0, а2 = у для горизонтальных и вертикальных соответственно. Нагрузка Р, (0;-40000) Н для I = 22.24.
Величина коэффициента у = 1,0 * 10-9 , погрешность е = 1,0*10-6 .
Нагрузки приложены перпендикулярно длины фермы и часто такую картину называют поперечным изгибом.
На рис. 6 хорошо заметна деформация не только всей фермы, но и отдельных ячеек, которые теперь совсем не прямоугольны. На современных машинах
решение данной механической задачи занимает не более 30 секунд при достаточно высокой точности вычислений.
Расчет конструкции на прочность показан графически на рис. 7.
Задача 6
Решим задачу деформации для фермы, изображенной на рис. 9.
Нагрузки Р1 (0;-200000) Н для I = 22, 24. Остальные данные такие же, как и в предыдущей задаче. Величина коэффициента у = 1,0 * 10-9 , погрешность
е = 1,0*10-6 .
Нагрузки приложены вдоль длины фермы и часто такую картину называют продольным изгибом.
Описание алгоритма.
Рассматривается произвольная стержневая конструкция, состоящая из стержней, соединенных шарнир-но в узлах. В узлах могут действовать нагрузки в виде сосредоточенных сил.
Предварительно усилия во всех стержнях и перемещения всех узлов считаются равными нулю.
Первый шаг: вычисляются суммы проекций на оси координат всех сил, действующих на каждый узел с учетом как нагрузок, так и усилий в стержнях.
Рис. 8. Изгиб конструкции под действием приложенных нагрузок
1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудуванш №2, 2008
117
Рис. 9. Деформация системы под действием приложенных нагрузок
Второй шаг: для каждого узла задаются приращения проекций перемещений, пропорциональные вычисленным на первом шаге проекциям усилий. Эти приращения прибавляются к найденным ранее перемещениям узлов.
Третий шаг: с учетом заданных на втором шаге перемещений узлов определяются деформации всех стержней и, на их основе, усилия в стержнях, после чего происходит возврат на первый шаг.
Выводы
1. Разработан метод для расчета на прочность стержневых систем, учитывающий только деформации растяжения - сжатия.
2. Метод последовательных приближений реализован в виде программного пакета, что позволяет создавать и рассчитывать разнообразные стержневые конструкции, а также производить визуализацию результатов.
3. Разрешен ряд задач по расчету систем, результаты расчетов адекватны и соответствуют результатам, полученным другим методом решения.
4. Разработанную методику можно использовать для решения различных задач теории упругости, допускающих построение стержневой модели исследования.
Перечень ссылок
1. Работнов Ю.Н., Механика деформируемого твердого тела - М.: Наука, 1979. - 744 с.
2. Туманский Н. А. Графический расчет систем и механизмов . - М.-Л.: «Машиностроение», 1964. - 300 с.
3. Соколовский З.Н., Макеев С. А. Статика и динамика плоских стержневых систем // Вестник Омского государственного педагогического университета, 2006. -5 с. [Электронный ресурс] адрес доступа http:// www.omsk.edu/article/vestnik-omgpu-92.pdf.
4. Шамровский А. Д. Асимптотико - групповой анализ дифференциальных уравнений теории упругости - Запорожье, Издательство Запорожской государственной инженерной академии, 1997. - 169 с.
Одержано 21.04.2008
Розроблений та поданий метод по^довних наближень для розрахунку стрижневих систем, при цьому стрижнi вважаються пружними й такими, що пiдлягають деформацiям розтягнення-стискання. Цей пiдхiд е iтерацiйним й орieнтований на активне використання ЕОМ.
Method of successive approximations has been developed and implemented. It allows to make careful strength assessment for rod constructions, however only stress-strain type of deformation are taken into account. The given approach is of iteration type, therefore it is oriented for active application of ECM.
