CC BY
8
УДК 621.38
АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ В ДИНАМИКЕ ПО МНОГИМ ВАРЬИРУЕМЫМ ПАРАМЕТРАМ
А.И. Вершина, B.C. Кабак, А.Г. Маркин
Рассматривается построение алгоритма оценки функций чувствительности в динамике, в основе которого лежит предельный случай уменьшения шага.
Розглядаеться побудова алгоритму визначення функцп чутливостг у динамщг, в основ{ якого лежить граничний випадок зменшення кроку.
The construction of algorithm an estimation of functions of sensitivity in dynamics, in which basis on the limiting case of reduction of a step lays.
d x = д dx = ddx dp dpdt dtdp '
dx
i + 1
dx.
ddx _ dp d tdp
dp = 1 #dxi + 1__i,
h !dp dp " '
dx$
At
(3)
отсюда, переходя к конечным приращениям, можно записать
(4)
ВВЕДЕНИЕ
Определение функций чувствительности в динамике связано с многократным интегрированием систем нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка. При значительном количестве варьируемых параметров целесообразнее использовать метод присоединенных схем. Однако в динамике такой подход требует проведения интегрирования в обратном порядке времени в каждой временной точке, что фактически делает этот метод неприемлемым для моделирования сложных электронных схем [1-3]. Поиск алгоритмов, позволяющих за один дополнительный просчет определять производные по всем варьируемым параметрам без использования интегрирования в обратном порядке времени [4-5], является актуальной задачей.
где Н = Аг .
После подстановки в выражение (2) и проведения соответствующих преобразований получим
dxi + 1 # 1 dFi , dFi\ # 1 dFi dxi dFi
dp
hi dx dx j !h i dx dp dp" ' (5)
Данное выражение представляет собой неявный одно-шаговый метод интегрирования для определения функций чувствительности.
Раскроем скобки в выражении (5):
dxi+1 _ 3±dfi+_ 3+1 ^ (6)
dp \h:dx dx I hdx dp ! h,dx dx I dp
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Радиоэлектронная схема описывается системой нелинейных алгебро-дифференциальных уравнений
F(x, x, p) = 0 ,
(1)
где х и х - вектор-столбец неизвестных переменных и их производных по времени; р - параметры элементов радиоэлектронной схемы.
Производная по параметрам запишется следующим образом:
dFd_. + dFdx+dF = 0
dx dp dxdp dp
Представим производную -^-x: в виде
p
(2)
Рассмотрим построение алгоритма оценки функций чувствительности по многим варьируемым параметрам, в котором не будет использоваться интегрирование по времени в обратном порядке, как это делается в методе присоединенных схем.
МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ
Представим первую составляющую правой части выражения (6) клеточными матрицами, элементы которых будут соответствовать реактивным и нереактивным составляющим. При этом будем считать, что путем перестановки строк и столбцов реактивные составляющие можно скомпоновать в левом верхнем углу матриц. При этом будет справедливым следующее равенство:
hX + G11 G12
G
21
G
22
Г1 1 1X 0 h =
0 0
X + hG11 hG12 hG 21 hG22
X0 0 0
, (7)
„ dF
где X соответствует подматрице тг— , а
д x
G11 G12 G21 G22
д^
ветствует •
Воспользуемся формулой Фробениуса [6], дающей возможность связать блоки прямой и обратной матриц
S =
A B C D
и S-1 =
K L м N
Фробениуса имеет вид:
s-1 =
A-1 + A-1 BNCA-1 -A-1BN -NCA-1 N
X + hGn hGi2 -1 X 0 W11 0
hG 21 hG22 0 0 W21 0
lim W21 = -G22-1 G21 lim ((X+hG 11)-1X) . (11) h i 0 h i 0
Естественно, все вышесказанное будет справедливым, если существуют соответствующие обратные матрицы.
Рассмотрим случай, когда подматрица X исследуемой схемы имеет обратную матрицу. Тогда выражения (10) и (11) соответственно приобретают вид
соответственно. Формула
lim Wa1 = E, h i 0 11
Jim W2i = -G22-1G21 . h i 0
(12) (13)
(8) Отсюда для выражения (9) будем иметь
где N = (D - CA-1B)-1 .
Применительно к выражению (7) имеем A = X + hGn ; B = hG12; C = hG21 ; D = hG22
N = [hG22 - hG21 (R + hGn)-1hG21 ]-1 . Отсюда
(9)
где Шп = {(X + Ивп)-1 + (X + НО 11 УхНОп х х[НО22 - НО21(Х + НО 11)-1НО12]-1 х х НО21 (X + НО11 )-1} X,
Ш21 = -[НО22 - НО21(X + НО11 )-1 НО12]-1 х х НО21 (X + НО11
Преобразуем выражения для РГц и ^^ вынесением общего множителя Н и раскрытием внешних скобок:
Ш11 = (X + НО 11 )-1 X + Н(X + НО11 )-1О12 х х [О22 - НО21(X + НО11 )-1 О12]-1 х х О21(X + НО11 )-1X,
ш21 =-[ О22 - НО21 (X+НО11 )-1О12]-1О21 (X + НО 11 )-1 X.
Переходя к пределу при Н ^ 0 , получим
lim Wa1 = lim ((X+hGa1 )-1X) , (10)
hi 0 11 hi 0 11
X + hG hG12 hG21 hG22
-1 r- -1
X 0 E 0
0 0 -G22-1 G21 0
(14)
Выражение (12) показывает, что для "реактивной" части схемы при уменьшении шага соответствующие выходные переменные зависят от своих значений на предыдущем шаге и их функции чувствительности могут эффективно вычисляться по всем варьируемым параметрам в процессе интегрирования в прямом порядке времени в процессе получения значений выходных переменных в очередной временной точке. При этом, в соответствии с интересующими нас выходными переменными, определя-
# 1 -1 ются нужные строки обратной матрицы I —тт— + тг— I .
! Н (дх дх "
Остальные переменные, которым соответствует выражение (13), зависят от переменных, определяемых с помощью выражения (12). Для этих переменных необходимо знать соответствующие коэффициенты вхождения переменных определяемых через выражение (12).
Рассмотрим структуру подматрицы О21 , которая отражает связь части схемы без реактивных элементов с реактивной частью. Элементы этой матрицы могут содержать значительное число нулевых столбцов. В результате, при определении функций чувствительности для переменных, соответствующих строкам схемной матрицы без реактивных элементов, необходимо определить только часть коэффициентов, отражающих эту связь.
Умножая правую и левую части выражения (14) на столбец, содержащий единицу в строке г , получим столбец коэффициентов, определяющих влияние производной
дхг дР :
8
ISSN 1607-3274 "Радюелектрошка. 1нформатика. Управл1ння" № 2, 2001
X + hGn hG 12 hG 21 hG22
-1 _ _
X 0
0 0
E 0 G22-1G21 0
1
= k]
j
ki
_ _ n
(15)
Для нахождения столбца коэффициентов желательно использовать ¿^-разложение, полученное при нахождении переменных. С учетом (7), это можно сделать решая следующую систему уравнений, правая часть которой
представляет столбец i матрицы
1
1X 0 h
0 0
hX + Gn G12
G
21
G
22
hx1i
hx ■
kj mi
j
ki
n - -
(16)
Таким образом, алгоритм определения функций чувствительности включает в себя следующие шаги.
Шаг 1. Определить переменные, непосредственно связанные с реактивными элементами.
Шаг 2. Выделить переменные, которые соединены с нереактивной частью схемы через нереактивный двухполюсник.
Шаг 3. Выделить переменные, для которых будут определяться функции чувствительности.
Шаг 4. Оценить коэффициенты, которые будут определять значения производных на предыдущем временном шаге, не связанных с реактивной частью.
Шаг 5. Определить строки обратной матрицы, соответствующие выходным переменным, путем решения транспонированной системы уравнений.
Шаг 6. Оценить составляющую функции чувствительности по всем варьируемым параметрам, не связанную с предыдущим временным шагом.
Шаг 7. Определить функцию чувствительности текущего временного шага, используя функции чувствительности предыдущего шага и соответствующие коэффициенты.
Шаг 8. Запомнить значения функций чувствительности текущего шага и перейти к шагу 4 до тех пор, пока не будет просмотрен весь временной интервал.
Предложенный алгоритм излагает основные принципы оценки функций чувствительности в динамике по всем варьируемым параметрам. При этом не используется интегрирование в обратном порядке, как это делается в методе присоединенных схем. Вопрос выбора шага и оценки погрешности в данной работе не рассматривается и, кроме того, необходимо учесть случаи, когда приведенные в выражениях матрицы особенные. В тоже время, существует класс схем, для которых данный алгоритм можно эффективно использовать. Примером может служить оценка влияния конструктивных параметров печатных плат на работу цифровых и аналоговых схем.
РЕЗУЛЬТАТЫ
Аналогично определяем коэффициенты для остальных производных, которые необходимы для нужной выходной переменной.
Выражение (6) для определения функций чувствительности приобретает вид:
x
i + 1
p
xi ¥
x
п J
Y
dfi
^ • (17)
1 dF; dF hdx dx I dp
Для удобства индексы номеров строк (переменных) опущены. Выражение в квадратных скобках представляет матрицу-столбец. Верхняя часть столбца - это подматрица значений производных на предыдущем шаге. Нижняя часть столбца - подматрица вычисляемых значений соответствующих производных предыдущего шага через элементы верхней части столбца.
Показано построение алгоритма определения функций чувствительности по многим варьируемым параметрам в динамике, который позволяет избежать интегрирования в обратном масштабе времени, которое присуще методу присоединенных схем, и в то же время определять за один дополнительный просчет функцию чувствительности одной выходной переменной по всем варьируемым параметрам. Продемонстрируем на простейшем примере полученные результаты. Рассмотрим переходной процесс в ^С-цепоч-ке, включенной на источник напряжения Е. При составлении уравнений будем считать, что отрицательный потенциал источника напряжения и один из концов емкости заземлены. Исследуем функцию чувствительности напряжения на емкости, которой будем считать выходной переменной.
Напряжение на емкости определяется по формуле
t \
U1(t) = E\ 1 -eRC\ = E\ 1 -e C
_tg
(18)
1
где я = 1/Я .
Выражения для частных производных по параметрам Я и С соответственно равны
Е = [ 1 ], в22 =
Я 1 1 0
°21 =
получим
ди = Е_ШеС
д С С2 е '
(19)
ей
0 1
1 -я
, ^22^21
ди
_1 Е
дя се .
(20) Отсюда Кроме этого, нам понадобится производная по времени
ди = ЕЕ- е-С
дt се
(21)
Система уравнений в расширенном координатном базисе, описывающая переходной процесс, имеет вид:
э
Три1 э
Три2
д «п + 1
дР1Е
ип +1
"Щ + 1
1 0 0 0 0 0 1Я 0 0
дрип
дри2
д «п дрЕ.
- /-
дЕ
эр др2 др' дЕ
и1
Е1 ( и1. и2' «Е) = - ( и2 - и1)Я = 0
Е2 ( и1> и2' «Е) = ( и2 - и1) Я + = 0, Ез( и1> и2' «Е) = и2 - е = 0-Отсюда можно получить матрицу Якоби:
(22)
дриП
- /"
д^1 др дЕ2 др' дЕ др ^
.=
С + Я -я 0
я 0
Я 1 1 0
(26)
(27)
(28)
(23)
Если нас интересуют функции чувствительности напряжения и1 , то достаточно определить строку матрицы
/-1
, которая равна
Выражение для определения функций чувствительности в соответствии с формулой (5) имеет вид
дЕл
э ип +1 др
А щ +1 = /-1
др 2
д «п + 1
.дрЕ _
д
1С 0 0 п др д
0 0 0 др
0 0 0 д
.др
др др р
дЕ др3
д
Три1 д
др и2 д «п + 1
эр Е
ип +1
" ип +1
Е0 -е22-1е21 0
дрип
др
д «п .др «Е.
- /-
д^1
др
дЕ
др '
др3
1р\
Исходя из того, что подматрицы
1
0
11 А"С + Я *С + Я
(29)
и значения матриц производных функций по параметрам С и е:
(24)
ЭЕ д С
Переходя к предельному случаю с учетом выражения (17), получим
ди
д 0 0
дЕ
, дЯ
и1 - Е
Е - и. 0
(30)
Выражения для функций чувствительности по параметрам С и Я имеют вид:
и_ип + 1 = Э ип _
(25)
д
дСи1
1
ди
дС~1 дt
пС+Я
= дс п -
--ЕЯ--
С.
пс+я" с
е
10
1607-3274 "Радюелектрошка. 1нформатика. Управл1ння" № 2, 2001
Р.В.Воробьев: СРЕДНЯЯ ИНТЕНСИВНОСТЬ ПОЛЯ ВБЛИЗИ ФОКУСА ПАРАБОЛИЧЕСКОГО РЕФЛЕКТОРА С КРУПНОМАСШТАБНЫМИ ШЕРОХОВАТОСТЯМИ
Э Un + 1 = э щ + dg 1 dg 1 1
C + g
tg
C
(32)
k = 1 _
C2
(C + hg) gt
gt
eC _ 1
(36)
Точные значения определяются выражениями (19) и (20).
При получении выражений (31) и (32) использованы точные выражения для напряжения (18) и его производной (21), которые в программах моделирования определяются приближенно в процессе интегрирования по времени.
Запишем выражения (31) и (32) в следующем виде:
d ттп + 1 =
dC 1
Egh
d
tgu1
un +1 =
C2 + hgC Eh
- I
ih g C
C + hg
i = 1
n ihg
_ ~C
■ I
i = 1
e
Суммирование заменим интегралом:
n ihg t gt
1 J e~Cd< = hCgl' _'
I e
i = 1
t = 0
(33)
(34)
С
Для С « Нg и С « 1 , имеем С + Нg ~ С и ес ~ 1 + С , отсюда видно, что 0 . При заданном ^, используя
& 1 сг
третий член разложения экспоненты, получим 2 ■ -- .
Таким образом, получаемая погрешность зависит от значений параметров, интервала времени и выбранного шага. В данной работе общий случай не рассматривался.
ВЫВОДЫ
Поиск путей определения функций чувствительность по многим параметрам в динамических режимах представляет собой актуальную задачу. В некоторых случаях выбор шага интегрирования позволяет за один дополнительный просчет определять производные по всем варьируемым параметрам без использования интегрирования в обратном порядке времени. В работе приведен алгоритм, реализующий такой подход.
где t = ih и dt ~ h .
После подстановки, получим
d Un + 1
dcun
dg
U1n + 1
Eh 'C + hg'
E C '(C + hg) g'
1 _ e
1 _ e
(35)
Относительные погрешности ^с и ^ имеют в данном д. случае одинаковый вид:
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Петренко А.И. Основы автоматизации проектирования. -К.: Техшка, 1982. - 295 с.
2. Основы построения систем автоматизированного проектирования. Петренко А.И., Семенков О.И. - К.: Вища школа. Головное изд-во, 1984. - 296 с.
3. Табличные методы моделирования электронных схем на ЭЦВМ. Петренко А.И., Власов А.И., Тимченко А.П. - К.: Вища школа, 1977. - 192 с.
4. Вершина А.И., Кузьмина Л.В. Определение функций чувствительности в статике// "Радюелектрошка. ¡нформати-ка. Управлшня". - Запор1жжя: ЗДТУ. - 2000. - №1. - с.9-12.
5. Вершина А.И., Маркин А.Г. Определение функций чувствительности в динамике// "Радюелектрошка, ¡нформатика, управлшня". - Запор1жжя: ЗДТУ. - 2001. - №1. - с.4-8. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. - К.: Техшка, 1977. - 768с.
e
e
d
УДК 621.396.677.833.2
СРЕДНЯЯ ИНТЕНСИВНОСТЬ ПОЛЯ ВБЛИЗИ ФОКУСА ПАРАБОЛИЧЕСКОГО РЕФЛЕКТОРА С КРУПНОМАСШТАБНЫМИ ШЕРОХОВАТОСТЯМИ
Р.В.Воробьев
Рассматривается влияние статистических характеристик крупномасштабной шероховатости отражающей поверхности параболического рефлектора на распределение средней интенсивности поля в поперечной фокальной плоскости.
Розглядаеться вплив статистичних характеристик вели-комасштабноЧ шорсткост1 в(дбиваючоЧ поверхт парабол1ч-
ного рефлектора на розпод1л середньоЧ ттенсивност1 поля у поперечнш фокальнш площит.
The influence of the statistical characteristics of a large-scale roughness of the reflecting surface of the parabolic reflector on the distribution of mean intensity of a field in the transversal focal plane is considered.
