Метод составления функции Грина для моделирования микр0п0л0ск0вых конструкций Текст научной статьи по специальности «Физика»

S1 =

82 • C

-g1 • g2 • h + (81 + 82 )• C - g2 • C "

81 • 82 • h + (Si + 82) • C-Предел элементов матрицы S1 при h ^ 0 равен

(24)

lim =

h ^ 0

82

82

(25)

181 + 82 81 + 82-При достаточно большом шаге или 81 » 82 будем иметь

S1 «[ 0 - 0 ] .

(26)

Приведенный пример показывает, что если реактивная часть схемной матрицы представляет собой особенную матрицу, то предельный случай не приводит к единичной матрице, однако при определенных условиях использование интегрирования в прямом порядке времени для определения функций чувствительности по многим параметрам может иметь место.

РЕЗУЛЬТАТЫ

Показано, что определение функций чувствительности по многим варьируемым параметрам в динамике без интегрирования в обратном масштабе времени, присущем методу присоединенных схем, в общем случае наталкивается на зависимость конкретных выходных переменных не только от их значений на предыдущих шагах времени, но и от значений других переменных на предыдущих шагах. Несмотря на это, представляется возможность оценки влияния переменных на результаты определения функций чувствительности. При оценке этого

влияния определяется матрица-строка коэффициентов с использованием ЬЦ-разложения, которое было получено при моделировании основного режима.

ВЫВОДЫ

Поиску путей определения функций чувствительности по многим параметрам в динамических режимах посвящены работы [5,6]. При этом рассмотрены частные предельные случаи, которые дают возможность избежать интегрирования в обратном порядке времени. В общем случае необходима оценка влияния функций чувствительности всех переменных на предыдущих шагах. При определении этой оценки целесообразно использовать ЬЦ-разложение, которое было получено при моделировании основного режима.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Петренко А.И. Основы автоматизации проектирования. -К.: Техшка, 1982. - 295 с.

2. Петренко А.И., Семенков О.И. Основы построения систем автоматизированного проектирования. - К.: Вища школа. Головное изд-во, 1984. - 296 с.

3. Табличные методы моделирования электронных схем на ЭЦВМ. Петренко А.И., Власов А.И., Тимченко А.П. - К.: Вища школа, 1977. - 192 с.

4. Вершина А.И., Кузьмина Л.В. Определение функций чувствительности в статике// "Радюелектрошка, ¡нформатика, управлшня". - Запор1жжя: ЗДТУ. - 2000. -№1. - С. 9-12.

5. Вершина А.И., Маркин А.Г. Определений функций чувствительности в динамике// "Радюелектрошка, ¡нформатика, управлшня". - Запор1жжя: ЗДТУ. - 2001. -№1. - С. 4-8.

6. Вершина А.И., Кабак В.С., Маркин А.Г. Алгоритм определения функций чувствительности в динамике по многим варьируемым параметрам // "Радюелектрошка, ¡нформатика, управлшня". - Запорiжжя: ЗДТУ. - 2001. -№2. - С.7-11.

7. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. - К.: Техшка, 1977. - 768 с.

УДК 621.372.8.01

МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ МИКР0П0Л0СК0ВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Л.М.Карпуков, Д.М.Пиза

Получены в замкнутой форме соотношения для компонентов тензора Грина микрополосковой структуры. Замкнутая форма составлена путем разложения спектральных зависимостей по малому параметру в экспоненциальные ряды и использования соотношения идентичности Зоммерфельда. Приведены результаты апробации предложенных соотношений.

Одержано у замкнутш форм1 ствв1дношення для компо-нент1в тензора Грта мтросмужковог структури. Замкнуту форму складено шляхом розкладання спектральних залежнос-тей за малим параметром у експоненщальт ряди та викорис-тання ствв1дношення 1дентичности Зоммерфельда. Наведено

результати апробацп запропонованих ствв1дношенъ.

The relationships in closed form for the Green's tensor components are considered. Closed form is composed by using the expanding of spectral dependences in exponential series on small parameter and Sommerfeld identity. The results obtained by using of the proposed relationships are presented.

ВВЕДЕНИЕ

Для электродинамического моделирования микрополос-ковых устройств и антенн широко используются

интегральные уравнения имиедансного типа, определяющие связь касательной составляющей напряженности электрического поля с распределением поверхностного электрического тока на проводниках исследуемых конструкций. Ядра уравнений составляются с помощью функции Грина краевой задачи, формулируемой для векторного электрического потенциала. Эффективность вычислительных процедур, реализующих решение интегральных уравнений, существенно зависит от используемого способа вычисления функции Грина. В настоящее время сформировалось два подхода к решению задачи по составлению функции Грина при моделировании микрополосковых структур. Основой этих подходов является спектральное представление функции Грина. Переход в пространственную область осуществляется или путем численного интегрирования несобственных интегралов в процессе обратного преобразования Фурье [1,2], или путем аппроксимации Фурье-изображений суммой экспоненциальных функций, оригиналы которых определяются по соотношению идентичности Зоммерфельда [3,4]. По сравнению с процедурами численного обратного преобразования Фурье, подход, использующий аппроксимацию, обеспечивает получение результатов в удобной для расчетов аналитической форме и требует гораздо меньших вычислительных затрат при моделировании. Однако решение аппроксимационной задачи оказывается неоднозначным из-за неоднозначности в выборе узловых точек и интервала аппроксимации [2].

Целью настоящей работы является разработка метода составления аналитических зависимостей для компонент тензора Грина векторного электрического потенциала

микрополосковой структуры. Метод основан на выделении малого параметра, по которому производится разложение спектральных зависимостей на сумму функций с известными оригиналами.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

На рис. 1,а изображена микрополосковая структура, состоящая из слоя диэлектрика с толщиной Н и относительной диэлектрической проницаемостью £1 , лежащего на металлической поверхности. Размеры слоя вдоль осей Т = х, у не ограничены. Слой помещен в диэлектрик с относительной проницаемостью £2 .

Составим Фурье-изображения компонент тензора Грина микрополосковой структуры. Для преобразования спектрального представления компонент в пространственное воспользуемся соотношением идентичности Зоммерфельда, которое запишем в следующем виде[3, 4, 7]:

го

.р-К (2 - 2о) е-]кг

| е—к--ЫУг )У^У =е— , (1)

о 2

где у2 = кХ + ку ; г = х - х0)2 + (у - у 0)2 ;

к2 = у2 - к2 ; Я = ^г2 + (г - 2о )2 ; кх , ку - переменные преобразования Фурье по координатам х, у; Jо - функция

Бесселя нулевого порядка; индексом 0 отмечены координаты источника.

1+ Гк

хк

-гк

О Т

е-^2 -Ь)

1 -Гк

_ е-2к21Ь

1+Г£

1+Г,,

-ГР

-Гк

О-

е - к-2 (--ь )

1-ГР

1-Г,,

е-2к-1Ь

- к-

1+Г£

1+Г,,

х £

-ГР

-Гк

О0

е - к-2 (--Ь)

1-ГР

1-Г,,

а)

б)

в)

г)

Рисунок 1 - Микрополосковая структура (а) и ориентированные графы ее декомпозиционной модели: б) - для горизонтальной компоненты 0ТТ, в) - для вертикальной компоненты 022, г) - для вспомогательной функции

и

и

и

о

о

о

к

Г

-2

£

Г

Г

к

к

Т

е

Анализ микрополосковой структуры в спектральной области выполним с помощью ее декомпозиционной модели [5]. Отобразим модели структуры ориентированными графами на рис. 1, составленными для компонент 0тт, 011 тензора и вспомогательной функции О^ .

Функция Оо удовлетворяет уравнению Гельмгольца и граничным условиям

[ Со/Д] = -5(2 - 20) , [ б0/(ед)] = 0,

Г - Ег- 1 Г - _ к11 ,2 _ „,2 ?2о

Г--7 , Гк - --— , к2л - у2 - кйе. .

е + 1 к к12 + к11

По (3), (6) составим соотношение

Д0х - Т0А

От _ 4П VЛ( 01 + О2)

(10)

(2)

для функции, связывающей 1-ую составляющую векторного потенциала с касательной составляющей тока. Здесь

обеспечивающим представление Фурье-изображение компоненты О тензора в виде [6]:

С11 _ I Гт

-к12( 1 - Н)

> т к12 ^

0 12

}Лу г) dy,

(11)

о _ -к + 0 дО

о„ - —г- • оа -

2 'Го-ЭТ

(3)

Д0

Отт 1 (1 + Гт)-

-кг2 (1 - Н)

к0

к12

Д0 е-к12(1 - Н)

Д0 А

00 -йАI (1 - Г1)!

-кг2 (1 - Н)

к12

где

г -2 к Н

Гк - е 11

Гт - ^

1 - Гке~2 к11Н'

Г + Г Г - £ п

1 1 -i- Г.-Г- ,

012 - IГ1

-кг2( 1 - Н)

0

к12

- .1(У г) dy,

(12)

В (2) 5(1 -10) - дельта-функция; квадратными скобками обозначен разрыв функции. На графах

М-0 }0(Уг)У

использовано обозначение Мл - -— • —--.

0 к12 4п По графам составим спектральные зависимости анализируемых функций, по которым с помощью преобразования Фурье-Бесселя определим их представление в пространственной области:

}1 - функция Бесселя первого порядка.

Для представления интегралов в замкнутой форме разложим коэффициенты отражения в (4), (5) в

экспоненциальные ряды по степеням функции е к2 Н и применим соотношение (1). Преобразование интегралов (10), (11) осуществим с помощью соотношения

-кг( 1 -10)

• } (Уг)dy - (-(е-->кК - е-к( 1 -10}), (13) 1 кг

}0 (уг)у^у, (4)

0

0и - 44-пI(1 + Г1)}0(Тг)У^У, (5)

вытекающего из (1) в результате умножения этого равенства на г и последующего интегрирования по этому параметру [7].

При анализе ограничимся случаем

к0^е1 - е2 < п/2 ,

(14)

- }0(У г )JdJ, (6)

к22 - у2 - к|, к2 - 7^0 , к0 - л/Д0£0 - волновое

число свободного пространства.

Коэффициенты отражения определяются следующим образом:

обеспечивающим отсутствие полюсов у Гт и наличие одного полюса у Г1 .

Для оценки вклада поверхностной волны исследуемой структуры в 077 воспользуемся соотношением [3, 9]:

(7)

(8)

I Т7к2.0(^г^У - -П-Н2)(к/), (15) 0 ^ *

где Н02) - функция Ханкеля второго рода нулевого порядка, к„ - полюс функции Г1.

Гк + е-2ки Н

где Гп --ТП ,

1 + Гке ~2 к'1 Н

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

(9) Условие (14) позволяет с высокой точностью аппроксимировать числитель и знаменатель коэффициента отражения (7) первыми двумя членами экспонен-

оо

оо

I

оо

1

0

0

0

циального ряда и получить следующую зависимость [8]:

(16)

Гт =

-г^ -к, 2 h

Г5 - е z2

-k , h

1 - Г5 е^ h

по которой на основании (1) оставляется оригинал (4)

G„(г, h) =

4 п

-jk2Jг2 + (z - h )2 ~ и+1 е ■ + У Г"5 1Fo(г, z + nh) -

"¡г2 + (z - h)2 n = 0

- r.Fo(г, z + nh + h)

где Г5 = 1 - 5hctg (5h), 5 = k^Ei - £2 ,

Fo ( г, z + H) =

,-jk^r2 + (z + H)2

í^o ^—. ГП+1'

n = 0

Gz 1 (г, h) = 4Пу Г. 1F1(г, z + nh) - Г^ (r, z + nh + h)

P1 -P2 a0 +

q = + , P1 = ,

P1 + P2 2 b2

P2

Ü0 - rf "2V

й = ^ + 4(£/£;,)2Ь0Ь2 .

Параметр q близок к 1, поэтому в дальнейшем положим

q = 1 . В (22) аппроксимируем параметр к2 2 Н

экспоненциальной функцией и представим это соотношение в виде, аналогичном (8), (16):

(17)

Г = Г E + rn

0 1 + Г£ rn ,

Г + p~kz0h т- 1 +е -kz0 h

где Гп = -— • е z0 ,

n -k h

(24)

(25)

1 + Г1е z0"

л/г2 + (г + Н) 2 Использование соотношения (16) совместно с (13) обеспечивает получение замкнутой формы интеграла (11):

(18)

Г = 1 - рх.

Соотношения (24), (25) обеспечивают асимптотическое поведение функции Г2 , характерное для квазистатического приближения. Оригинал (24) может быть найден по рекуррентной формуле

Г0 [ г, (п - () Н ] = и[ г, (п - ()Н ] +

+ Г1( 1 + Г£)Г0[г, (п -1 + 1)Н] - Г£Г0[г, (п -1 + 2)Н] .(26)

CW ЦЛ j / -jk^r2 + (z + H)2 -jk2(z + HX

где F-Дг, z + H) = -г— (e J 2 v ' - e J 2V ')

1 k2 г Запишем коэффициент отражения (8) в виде

Г = E 1 kz 2 ch ( kz 1h ) ~ E 2 kz 1 sh ( kz 1h ) z £1 kz2ch (kz 1 h) + £2kz 1sh (kz 1h)'

(19)

Приблизив гиперболические функции первыми членами ряда Тейлора, представим это выражение следующим образом:

£., аЛЛ - £-,(- bA + ЬЛ2h2) rz = ——ÍL-^2-2Л_0-, (20)

£1а0kz2h + £2(- b0 + b1 kz22h2)

где а0 = cos(5h), b0 = 5hsin(5h), b1 = [ sin(5h) + +5hcos(5h)]/(25h). Разложим (20) на простые дроби:

rz = - 1 + q( 1 + Г0 + Гр) ,

P1£1/£2 - kz2h

где Г0 =

Г=

0 P1£1/£2 + kz2h'

2P2£1/£2

P kz2h -P2£1^£2 '

Здесь I = 0, 1, 2, ..., п ; начальное условие Г0 [ г, (п + 1 )Н ] = Г0[г, Н + (п + 2 )Н ] = 0, п ^^ . Для

(5) берется

и(г, 2) = Г£ - Г1 (1 + Г£)(г, Н + г) + ^0(г, 2Н + г) .(27) Для вычисления (12) функция ^ в иг заменяется на Р1.

По (23) вычислим координаты полюса, определяющего поверхностную волну в исследуемой структуре:

ks = Jk¡ + (P2£2)2/(h£1)2 .

(28)

Выделим из (23) член, аналогичный подинтегральному выражению в (15). Остаток преобразуем путем аппроксимации параметра к22Н экспоненциальной функцией. В результате получим:

(21) (22)

(23)

^ = 4^-1--2p

£1 e-kz2h

kz2 h£2 Y2 - ks2 2 £2 (1 - r2 e-kz2h) kz2'

(29)

где Г2 = 1 -р2 .

В формуле (5) оригинал этого выражения приобретает при г = Н следующий вид:

Гр(г Н) = ХХП!Хf Н02)(к*г) - 2Р2Цг 1Г2^0(г, Н + пН)

оо

n

(30)

а)

Для нахождения оригинала от первого члена в (29) при взятии интеграла (12) воспользуемся табличным интегралом [10]:

Г е-РЛ2 + «2 ео8 (Ьх)йх = - , а в К1 (ал/32 + Ь2) ,(31)

0 Тр^ТЬ2 1

где К1 - функция Макдональда первого порядка.

Выполнив преобразования с формулами (13), (31), аналогичные преобразованиям, проведенным в [9] при нахождении (15), получим

I "гТ^дайУ = ^[П е П/2Н2)( к/) + 1

к „т.

(32)

3,5

2,5

1,5

0,5

1 3 2

-2

1§0%г) 6)

где Н2) - функция Ханкеля второго рода первого порядка.

На основании (32) оригинал выражения (29) в формуле (12) приобретает вид:

-4Р2£1

Гр (т, А) = , , р кЛг-,

'П еП/2н12)( к/) + -1-

- 2р2 — £ (т, А + яА).

(33)

На рис. 2, а, б приведены результаты расчетов по формулам (17), (18) функций Отт , 021 , а на рис. 2, в, г -результаты расчетов по формулам (26), (30), (33) функций 022, 022 . Функции вычислялись в сечении

г = А микрополосковой структуры с £1 = 9, 8 , £2 = 1 на частоте Е = 10 Ггц. При построении графиков множитель |Л_0 £0 был опущен. Кривая 1 на графиках

соответствует толщине подложки А = 0,5 мм, кривая 2 -1.0 мм и кривая 3 - 1.5 мм.

3 2 1 0 -1 -2 -3

-

-

- 12 ^^3

-

-

-

-

1§(к,г)

1§(С11) -1,5

-2

-2,5

-3

-3,5

-1,5

в)

1в0%г) 0

3

1 1

2

3 2 /

■

V

г)

Рисунок 2 - Зависимости от нормированного расстояния логарифма модуля компонент тензора Грина микрополосковой структуры на частоте Е = 10 Ггц при относительной проницаемости

0

оо

0

0

я

0

0

1

Л.М.Логачева, В.П.Бондарев: СОБСТВЕННЫЕ ВОЛНЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ВОЛНОВОДА С НМПЕДАНСНЫМИ УЗКИМИ СТЕНКАМИ

подложки £j = 9, 8, кривые 1 соответствуют толщине подложки h = 0,5, 2 - 1.0, 3 - 1.5 мм

поверхностных волн в исследуемой структуре потребуются только дополнительные операции по нахождению полюсов функций ГТ и Г2 .

Представленные зависимости с графической точностью совпали с результатами численного интегрирования несобственных интегралов (4), (11) и (5), (12). В расчетах значения , найденные по (28), составили

210.424, 214.253, 225.669, соответственно для Н = 0,5, 1.0 и 1.5 мм. Эти значения близки к точным координатам полюса функции Г : 210.424, 214.242, 225.33.

ВЫВОДЫ

Предложенный метод составления замкнутой формы функции Грина позволил получить соотношения, описывающие в явном виде связь пространственных координат векторного потенциала с параметрами микрополосковой структуры. Полученные соотношения просты, расчеты по ним требуют минимальных вычислительных затрат, обеспечивая достаточно высокую точность в широком диапазоне расстояний. При необходимости, точность расчетов может быть увеличена за счет повышения точности аппроксимации гиперболических функций в коэффициентах отражения ГТ и Г2 .

Рассмотренный метод без существенных затруднений может быть обобщен и использован для составления функций Грина многослойных структур. Ограничение (14) не является принципиальным, при наличии спектра

Результаты работы могут быть использованы в

системах автоматизированного проектирования микропо-

лосковых устройств и антенн, а также при решении задач

зондирования многослойных сред.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Katehi P., Alexopoulos N.G. Frequency-dependent characteristics of microstrip discontinuities in millimeter-wave integrated circuits // IEEE Trans. MTT. - 1985. - V. 33. - № 10. - P. 1029-1035.

2. Tsai M.J, De Flaviis F., Fordham O., Alexopoulus N.G. Modeling planar arbitrarily shaped microstrip elements in multilayered media // IEEE Trans. MTT. - 1997. V. 45. № 3. - P. 330-336.

3. Fang D.G., Yang J.J., Deliste G.Y., Discrete image theory for horizontal electric dipoles in multilayered medium // IEE Proc. Pt. H. - 1988. V.135 (5). № 10. - P. 297-303.

4. Kinayman N., Aksum M.I. Efficient use of closed-form Green's functions for the analysis of planar geometries with vertical connections // IEEE Trans. MTT. - 1997. V. 45. № 5. - P. 593-602.

5. Карпуков A.M. Алгоритм расчета тензоров Грина для полосково-щелевых структур в слоистой среде // Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлшня. - 1999. - №1. -С. 11-15.

6. Дмитриев В.И. Общий метод расчета электромагнитного поля в слоистой среде // Вычислительные методы и программирование. -M.: Изд-во МГУ, 1968. -С. 55-65.

7. Потехин А.И. Излучение и распространение волн в анизотропной среде. - М.: Наука, 1971. -75 с.

8. Карпуков A.M. Модель для расчета тензора Грина микропо-лосковой структуры в пространственной области // Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлшня. - 2001. - № 2. -С. 28-33.

9. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. -.M.-A.: изд-во АН СССР, 1948.-728 с.

10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - M.: Наука, 1971. -1100 с.

УДК 621.372.8

СОБСТВЕННЫЕ ВОЛНЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ВОЛНОВОДА С НМПЕДАНСНЫМИ УЗКИМИ СТЕНКАМИ

Л.М.Логачева, В.П.Бондарев

Представлены результаты исследования собственных волн прямоугольного волновода с периодическими импедансными стенками. Анализ проводится с применением импедансных граничных условий. Получены дисперсионные характеристики рассматриваемого волновода.

До уваги пропонуються результати досл1дження власних хвиль прямокутного хвилеводу з перюдичними 1мпедансними сттками. Анал1з проводиться з застосуванням 1мпедансних граничних умов. Отримат дисперсшт характеристики хвилеводу, що розглядаеться.

The results of research of own waves at the rectangular waveguide with periodic impedance walls have been presented to your attention. The analysis is being carried out with application of impedance boundary conditions. The dispersion charac-

teristics of considered waveguide have been received.

ВВЕДЕНИЕ

Интенсивное развитие техники СВЧ привело к появлению разнообразных электродинамических задач. Одной из этих задач является исследование фильтров с утечкой волны, рассчитанных на высокий уровень мощности. С технической точки зрения такие фильтры представляют основной волновод, связанный с боковыми волноводами через систему отверстий круглой или эллиптической формы. В качестве связи в таких устройствах может использоваться и система щелей разнообразной формы и