CC BY
6
УДК 621.38
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ В ДИНАМИКЕ ПО МНОГИМ ВАРЬИРУЕМЫМ ПАРАМЕТРАМ
А.И.Вершина, В.С.Кабак, А.Г.Маркин
Рассматривается общий случай определения функций чувствительности в динамике, основанный на предельном уменьшении шага.
Розглядаеться загальний випадок визначення функцп чутливост1 у динамщ1, в основ1 якого лежить граничне зменшення кроку.
The common case of definition of functions of sensitivity in dynamics based on limiting reduction of a step is considered.
ВВЕДЕНИЕ
Определение функций чувствительности в динамике по многим варьируемым параметрам с использованием метода присоединенных схем требует проведения интегрирования в обратном порядке времени в каждой временной точке, что фактически делает этот метод неприемлемым для моделирования сложных электронных схем [1-3]. Поиск алгоритмов, позволяющих определять производные по всем варьируемым параметрам без использования интегрирования в обратном порядке времени, представляет особый интерес. Этому были посвящены работы [4-6], в которых получены для частных случаев алгоритмы, основанные на предельном уменьшении шага интегрирования.
нереактивным составляющим. Путем перестановки строк и столбцов реактивные составляющие можно скомпоновать в левом верхнем углу матриц. При этом будет справедливым следующее равенство:
vF+F. di
h dii du * h dii dp
X + hGn hG 12
hX + G11 G12
G
21
G
22
-1 Г1 1 1X 0 h
0 0
hG2i hG
-1 _ _
X 0
0 0
(3)
22
где X соответствует подматрице
dF dU '
G11 G12 G21 G22
соответствует
dF u
Использование формулы Фробениуса [6,7], приводит к выражению
(4)
- - -1 - -1
X + hGn hG 12 X 0 = W11 0
hG21 hG22_ 0 0 W12 0
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
где
Рассмотрим систему нелинейных алгебро-дифферен-циальных уравнений, описывающих радиоэлектронную схему:
W11 = {(X + hG11 )-1 + (X + hG11 )-1 . hG12 . [hG22 -- hG21 . (X + hG 11 )-1 ]} . X,
F(U, u, p) = 0 ,
(1)
где и и и - вектор-столбец неизвестных переменных и их производных по времени;
р - параметры элементов радиоэлектронной схемы.
Дифференцирование данной системы по варьируемым параметрам и переход к конечному шагу по времени Н приводит к следующему выражению [6]:
u
i + 1
1 F F
p
Vh dU du
h dii du 13F,
1
F
1 F u h dii dp
p
(2)
W21 = -[hG22 - hG21 . (X + hG11 )-1 . hG12]-1 x x hG21 . (X + hG 11)-1 .X.
Предел этого выражения при h ^ 0 , имеет вид
lim W11 = lim ((X + hG11 )-1 . X) h ^ 0 11 h ^ 0 11
(5)
где индекс I - номер шага интегрирования.
Первая составляющая правой части этого выражения может быть представлена клеточными матрицами, элементы которых будут соответствовать реактивным и
limW21 = -G-2 • G21 • lim((X + HGn)-1 • X). (6) h ^ 0 h ^ 0
Все вышесказанное будет справедливым только в том случае, если существуют соответствующие обратные матрицы.
Если подматрица X исследуемой схемы имеет обратную матрицу, выражения (5) и (6) соответственно приобретают вид
lim W11 = E ; h ^ 0 11
(7)
а
к ^ 0
Отсюда выражение (4) будет иметь вид X + йбц АС12
(8)
кО21 кО22
-1 _ _
X 0 _
0 0
Е 0 -О-2 • О21 0
(9)
В общем случае подматрица X не имеет обратной несмотря на то, что пределы выражений (5) и (6) могут существовать. Таким образом, стоит задача поиска этих пределов, а в случае, когда предельные значения исключают повышение эффективности расчетов, проведения оценки влияния мешающих факторов на приближенное нахождение функций чувствительности.
I (кЬкг + )• Ар - I кЬкг • Ар
= к-=-1-
При г=к, имеем
к = 1
I (+ хк1)• Акр
к = 1
I кЬ,^ • А
кг' лк)
^ = 1 -■
к = 1
I ( кЬЫ + Хкг)• Акр
к = 1
(14)
(15)
МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ
Рассмотрим произведение (X + кОц )-1 • X, в котором
матрица X будет особенной.
Представим обратную матрицу через определитель и алгебраические дополнения:
(X + кО11 )-1 • X =
А11 ••• Ак1 ••• Ап 1
А
1р
А
кк
А
пк
Х11 •.. Х1 г •.. А1 п
Х11
1
= — А
1
I Ак • Хкг ¿А I Хкг' Ак '
пп
= А I (кЬкг + Хкг) • АЛ I кЬкг • Акр ■ к= 1 к = 1
Определитель А разложим по элементам столбца к :
А = I (кЬк1 + Хкг) • Акк , к = 1
отсюда
а при г Фк , получим
I кЬкг • Акк
= —
к = 1
кг п
I (кЬк1 + Хкг) • Акк
(16)
• (10)
А1п ••• Акп • Апп
Отсюда выражение для элементов матрицы будет иметь вид
Хкг • Акк • (11)
к = 1 к = 1
Преобразуем выражение (11) суммированием и вычитанием элементов при Хкг :
(12)
(13)
Предельные значения выражений (15) и (16) зависят от пределов дроби. Для случая, когда матрица X неособенная предельное значение определителя при к ^ 0 не равно нулю и выражения (15) и (16) соответственно равны единице и нулю. Для особенной матрицы X определитель при к ^ 0 принимает бесконечно малое значение, так как свободный член полинома от к равен нулю. Значение дроби в выражениях (15) и (16) зависит от степени полиномов числителя и знаменателя. При этом возможны следующие случаи:
- степень полинома числителя больше, чем степень полинома знаменателя;
- степень полинома числителя равна степени полинома знаменателя;
- степень полинома числителя меньше степени полинома знаменателя.
Для первого случая выражениям (15) и (16) соответствуют значения 1 и 0, для второго - принимают некоторые конечные значения и для третьего случая значения дроби бесконечны по абсолютной величине.
Следует, однако, отметить, что для описывающих радиоэлектронные цепи системы уравнений при моделировании основного режима выполняются условия сходимости и третий случай невозможен.
Таким образом, поиск предельного случая при особенной матрице X приводит к вычислению значений выражений (15) и (16) и, следовательно, вычисление производной переменной изависит не только от
производной данной переменной предыдущего шага, но и от других переменных, которые в свою очередь могут зависеть от предыдущих шагов своего набора переменных. Это говорит о том, что предельный случай может не
п
п
п
к — л
Х
Х
1г
1п
Хп1 ••• Хпг ••• Хпп
п
п
п
18
1607-3274 "Радюелектрошка. 1нформатика. Управл1ння" № 2, 2002
привести к ожидаемому выигрышу при определении решается следующим образом производных по многим параметрам.
Приближенная оценка значений функций чувствительности возможна и при отказе от предельного случая, путем определения степени влияний производных предыдущего шага на искомую производную переменной текущего шага. Это влияние определяется строкой р выражения (10). Нахождение строки осуществляется в два этапа:
А = Ь • и; Ь • и • X = В ; У = и • X = Ь-1 • В ;
X = и-1• У. (20)
решением системы уравнений 1
+ 011 °12
О
21
О
22
• 71=I;
(17)
умножением Бр = Z •
1
1X 0
к
0 0
(18)
искомой строке матрицы
1
+ 0ц 012
О
О
диР + 1 = ^ ^ ¿Ц - + + -1
др р др \к ди ди *
I
sР■
и
р
1Э^
1 + —г
к ди ди
р 1д ^
(19)
Для нахождения столбца обратной матрицы А нужно в правой части уравнения задать единице элемент, соответствующий номеру искомого столбца при нулевых остальных элементах матрицы-столбца В.
Нахождение строки р с использованием уже выполненного Ьи-разложения можно осуществить решением
системы уравнений А1 • Бр = С, где С - матрица-столбец,
у которого равен единице элемент, соответствующий номеру р искомой строки при нулевых остальных элементах матрицы-столбца С. В результате имеем
А1 = (Ь • и)1 = и1 • Ь1; и1 • Ь1 • Бр = С ; 7 = Ь1 • Бр = (и1)-1 • С ; Бр = (Ь1)-1 • Z .
(21)
где 1 - знак транспонирования;
7 - матрица-строка, значения которой соответствуют
-1
Таким образом, при нахождении строки обратной матрицы используется то же Ьи-разложение. Зная строку
обратной матрицы --- -------- + --------
ук ди ди *
находим произведение
'21 и22_
I - матрица-столбец с единицей на месте, соответствующем искомой переменной, и нулевыми остальными элементами; Бр - матрица-строка коэффициентов.
Выражение (2) для функций чувствительности искомой выходной переменной ир приобретает вид
1
ее на реактивную часть - -г— , в результате чего получаем
к ди
строку коэффициентов Бр при значениях функций
чувствительности переменных предыдущего шага.
Рассмотрим на простейшем примере, что дает подобный подход. Пусть имеем последовательное соединение двух проводимостей gl , g2 и емкости С с заземленными
проводимостями. Произведение обратной матрицы схемы на некотором временном шаге на ее реактивную часть имеет вид
где ир+ 1 - переменная ир на шаге г+1;
5р - к-ый элемент матрицы коэффициентов Бр .
В общем случае функции чувствительности конкретной выходной переменной зависит не только от своих значений на предыдущем шаге, но и от функций чувствительности других переменных на предыдущем шаге. Эта зависимость заключена в выражении (3). Вычисление по всем варьируемым параметрам в процессе интегрирования в прямом порядке времени требует оценки этого влияния в процессе получения значений выходных переменных в очередной временной точке. Влияние на данную выходную переменную переменных предыдущего шага можно оценить, вычисляя выражение (3). Для этого можно воспользоваться Ьи-разложением, получаемым при решении на каждой итерации временного шага систем нелинейных дифференциальных уравнений. Алгебраи-зованая и линеаризованная система уравнений А • X = В
1
11
gl + нС -нС
11
1С g2 + 1С
gl g2+ (gl+ g2)• ^ С
11 1С -Й С 11 -к С 1- С
11 ^ + кС "К С
1 1
1С g2 +1С
11 к- С -к С 11 -1С 1С
.(22)
Если будет интересовать функции чувствительности первой переменной, то искомая строка коэффициентов Б1 имеет вид
Б1 =
1
1
^2 • 1С - g2 • IС
(23)
glg2 + (gl + g2кС Умножая числитель и знаменатель на к, получим
п
S1 =
82 • С
g1 • g2 • h + (81 + 82 )• С - g2 • С -
81 • 82 • h + (gl + 82) • С-
Предел элементов матрицы S1 при h ^ 0 равен
(24)
lim S-, =
h ^ 0
82
82
(25)
L81 + 82 81 + 82-При достаточно большом шаге или 81 » 82 будем иметь
S1 «[ 0 - 0 ] .
(26)
Приведенный пример показывает, что если реактивная часть схемной матрицы представляет собой особенную матрицу, то предельный случай не приводит к единичной матрице, однако при определенных условиях использование интегрирования в прямом порядке времени для определения функций чувствительности по многим параметрам может иметь место.
РЕЗУЛЬТАТЫ
Показано, что определение функций чувствительности по многим варьируемым параметрам в динамике без интегрирования в обратном масштабе времени, присущем методу присоединенных схем, в общем случае наталкивается на зависимость конкретных выходных переменных не только от их значений на предыдущих шагах времени, но и от значений других переменных на предыдущих шагах. Несмотря на это, представляется возможность оценки влияния переменных на результаты определения функций чувствительности. При оценке этого
влияния определяется матрица-строка коэффициентов с использованием LU-разложения, которое было получено при моделировании основного режима.
ВЫВОДЫ
Поиску путей определения функций чувствительности по многим параметрам в динамических режимах посвящены работы [5,6]. При этом рассмотрены частные предельные случаи, которые дают возможность избежать интегрирования в обратном порядке времени. В общем случае необходима оценка влияния функций чувствительности всех переменных на предыдущих шагах. При определении этой оценки целесообразно использовать LU-разложение, которое было получено при моделировании основного режима.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Петренко А.И. Основы автоматизации проектирования. -К.: Техшка, 1982. - 295 с.
2. Петренко А.И., Семенков О.И. Основы построения систем автоматизированного проектирования. - К.: Вища школа. Головное изд-во, 1984. - 296 с.
3. Табличные методы моделирования электронных схем на ЭЦВМ. Петренко А.И., Власов А.И., Тимченко А.П. - К.: Вища школа, 1977. - 192 с.
4. Вершина А.И., Кузьмина Л.В. Определение функций чувствительности в статике// "Радюелектрошка, ¡нформатика, управлшня". - Запор1жжя: ЗДТУ. - 2000. -№1. - C. 9-12.
5. Вершина А.И., Маркин А.Г. Определений функций чувствительности в динамике// "Радюелектрошка, ¡нформатика, управлшня". - Запор1жжя: ЗДТУ. - 2001. -№1. - C. 4-8.
6. Вершина А.И., Кабак В.С., Маркин А.Г. Алгоритм определения функций чувствительности в динамике по многим варьируемым параметрам // "Радюелектрошка, ¡нформатика, управлшня". - Запорiжжя: ЗДТУ. - 2001. -№2. - C.7-11.
7. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. - К.: Техшка, 1977. - 768 с.
УДК 621.372.8.01
МЕТОД СОСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ МИКРОПОЛОСКОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Л.М.Карпуков, Д.М.Пиза
Получены в замкнутой форме соотношения для компонентов тензора Грина микрополосковой структуры. Замкнутая форма составлена путем разложения спектральных зависимостей по малому параметру в экспоненциальные ряды и использования соотношения идентичности Зоммерфельда. Приведены результаты апробации предложенных соотношений.
Одержано у замкнутш форм1 ствв1дношення для компо-нент1в тензора Грта мтросмужковог структури. Замкнуту форму складено шляхом розкладання спектральних залежнос-тей за малим параметром у вкспоненщальт ряди та викорис-тання ствв1дношення 1дентичности Зоммерфельда. Наведено
результати апробацп запропонованих ствв1дношень.
The relationships in closed form for the Green's tensor components are considered. Closed form is composed by using the expanding of spectral dependences in exponential series on small parameter and Sommerfeld identity. The results obtained by using of the proposed relationships are presented.
ВВЕДЕНИЕ
Для электродинамического моделирования микрополос-ковых устройств и антенн широко используются
20
ISSN 1607-3274 "Радюелектрошка. 1нформатика. Управл1ння" № 2, 2002
