Инвариантные характеристики LGT-сети Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011

ПГПУ

ИМ. В. Г. Б1ЛИНСК0Г0

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011

УДК: 514.75

ИНВАРИАНТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ LOT-СЕТИ

© Т.Ю. ВАШПАНОВА1, Л.Л. БЕЗКОРОВАЙНАЯ2

1 Одесская государственная академия строительства и архитектуры, кафедра высшей математики e-mail: [email protected] 2Одесский национальный университет им. И. И. Мечникова, кафедра геометрии и топологии e-mail: [email protected]

Вашпанова Т. Ю., Безкоровайная Л.Л. — Инвариантные характеристики LGT-сети // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 51—56. — В данной работе рассматриваются некоторые свойста сети линий геодезического кручения (LGT-сети) произвольной регулярной поверхности. Найдено выражение первого чебышевского вектора для LGT-сети.

Ключевые слова: LGT-сеть, минимальная поверхность, первый чебышевский вектор LGT-сети

Vashpanova T. Y., Bezkorovajnaya L. L. — Invariant descriptions of LGT-network // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V.G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 51—56. — Some properties networks of lines of the geodesic torsion (LGT-networks) of arbitrary regular surface are examined in this work. Expression of the first vector of chebyshev is found for LGT-network.

Keywords: LGT-network, minimal surface,first vector of chebyshev for LGT-network

Тензорные методы в теории сетей разработал и применил Я.С. Дубнов (см., например,[1]). В работе [2] Н.В.Ефимов продолжил исследования по теории сетей.

1. Некоторые свойства LGT-сети произвольной регулярной поверхности.

LGT-сетью будем называть сеть, которая задается уравнением [3]:

haßdxadxß = 0, (1)

где

haß 2 (Hgaß baß) (2)

- сетевой тензор, H - средняя кривизна поверхности, gaß, baß - коэффициенты первой и второй основных квадратичных форм поверхности соответственно.

Легко убедиться, что условием haß = 0 характеризуются омбилические точки поверхности. Значит, в омбилических точках и только в них, любое направление поверхности является главным направлением геодезического кручения. В дальнейшем эти точки будем исключать из рассмотрения, т.е. положим, что эйлерова разность E = H2 — K = 0.

Дискриминант тензора LGT-сети равен

h = hnh-22 — h^2 = 4(Hgn — bn)(Hg22 — ^22) — 4 (##12 — bi2)2 =

= 4 (H2 + b — 2H2g) =4 (6 — H2g) = —4g(H2 — K) = —4gE < 0. (3)

Обозначим через Kh, Hh "полнуюми мсреднююмкривизны [4] сетевого тензора haß. Они являются

инвариантами сетевого тензора и в тензорном виде имеют следующее представление:

Kh = hllh22— h22 = 2cacjßhijhaß = —4E, Kh < 0, (4)

g 2

2Hh = gaß haß, (5)

где cij = giagjßcaß, caß - дискриминантный тензор поверхности (сц = C22 = 0, C12 = — C21 = /g,

g = giig22 — g22), gaß = c°Ycßkg-yk.

Запишем элементы матрицы haß, обратной для матрицы \\haß||:

hll = _ Hg22 — b22 h12 = h21 = Hg12 — b12 h22 = _ Hgi1 — b11

2Eg , 2Eg , 2Eg

В инвариантной форме они имеют следующий вид:

hij = ciac^e haß .

Kh

Учитывая выражение (2) сетевого тензора, элементы матрицы, обратной для \\haß|| окончательно представим так:

2 ( ) haß = — (Hgaß — Kdaß) . (6)

Kh

Нетрудно проверить следующие формулы:

haß gaß = 0, (7)

haß baß = —4E, (8)

4E

haß daß = K (9)

haß paß = 0. (10)

В этих формулах введены такие обозначения: baß = bfgiß, dij - элементы матрицы, обратной для матрицы ||bj ||, dij = Kkciacjßbaß, K - полная кривизна поверхности.

Коэффициенты четвертой основной квадратичной формы поверхности введем по формуле:

1 2

Запишем элементы матрицы paß, обратной для матрицы \\paß||:

paß 0 (caibß + Cßib'a) . (И)

11 = g22b12 — g12b22 12 = g11b22 — #226ц 22 = #126ц — gnb12

P Eg/g , P 2Eg/g , P Eg/g '

В инвариантной форме представим их так:

ij 1 ia iß PJ = c cJPPaß,

K

где K - полное геодезическое кручение,K = —E.

Введем в рассмотрение нормированный тензор Нар для ЬСТ-сети:

к ___ Нав ____ Нав

(12)

У-К 2^

Инварианты нормированного тензора ЬСТ-сети будем обозначать через Кн и Нн:

2Н = Н ар дав = 0,

і Н11Н 22 — Н12

Кн = ------------------

-д

д

і

д

Функции Кн и 2Нн являются мполнойми мсреднеймкривизнами нормированного тензора ЬСТ-сети.

Используя выше изложенный материал, далее получим некоторые свойства ЬСТ-сети.

Из формулы (4) следует

Свойство 1. мПолнаямкривизна Кь тензора ЬСТ-сети отлична от нуля в каждой точке поверхности.

Учитывая равенство (7), получаем Свойство 2. мСредняямкривизна Н^ сетевого тензора тождественно равна нулю.

Свойство 3. Тензоры кар и дар находятся в отношении аполярности.

Если два симметричных тензора находятся в отношении аполярности, то известно [2], что две пары направлений кривых, принадлежащих соответствующим сетям в каждой точке, гармонически разделяют друг друга. По отношению к таким сетям говорят, что они взаимно гармоничны. Отсюда следует Свойство 4. ЬСТ-сеть и сеть изотропных линий являются взаимно гармоничными.

Известно [4], что сеть, гармоничная с сетью изотропных линий,-ортогональна. Таким образом, получаем

Свойство 5. ЬСТ-сеть является ортогональной сетью.

Из (3) следует

Свойство 6. ЬСТ-сеть является сетью гиперболического типа и, следовательно, действительной сетью.

Так как тензоры кар и рар находятся в отношении аполярности (10), то справедливо Свойство 7. ЬСТ-сеть и сеть линий кривизны являются взаимно гармоничными.

Поскольку ортогональная сеть, гармоническая с данной сетью, является биссекторной, то имеет

место

Свойство 8. ЬСТ-сеть является биссекторной для сети линий кривизны.

Свойство 9. Выражение тензора ЬСТ-сети через тензор сети линий кривизны имеет следующее представление:

Элементы матрицы, обратной к матрице || Л-ар У в тензорном представлении имеют следующий вид:

к ав = - СаІСвІ к ав

(13)

Подставляя в (13) выражение для кав из (12), получим

кав = _саІСвІ = -

2 %/Е 2 %/Е

-ав Нав4Е

2\[Еъав.

Нав СарІв + Св'Ріа..

(14)

Свойство 10. Сеть линий кривизны является биссекторной для ЬСТ-сети.

Свойство 11. Тензор сети линий кривизны через тензор ЬСТ-сети выражается в виде:

Свойство 12. Необходимым и достаточным условием того, чтобы координатная сеть поверхности совпадала с LGT-сетью, являются равенства:

g12 = 0 P12 = °. (15)

Доказательство.Необходимость. Пусть LGT-сеть является координатной. Тогда dx1 = 0 или

dx2 = 0. Подставив эти равенства в дифференциальное уравнение LGT-сети, получим однородную систему

алгебраических уравнений относительно двух неизвестных g12, P12:

I g12P11 — g11P12 = 0,

[ g12P22 — g22P12 = 0.

Определитель этой системы Д = P22g11 — Ph#22 = 0 (т.к. омбилические точки исключаем). Таким образом, система имеет единственное решение g12 = 0, P12 = 0.

Достаточность. Если выполняются равенства (15), тогда уравнение (1), учитывая (14), примет

вид:

(P22g11 — png22)dx1dx2 = 0.

В силу P22g11 — P11g22 = 0, получим dx1 = 0 или dx2 = 0. Отсюда следует, что LGT-линии образуют координатную сеть.й

Свойство 13. Не существует такой регулярной поверхности, на которой LGT-сеть совпадает с сетью линий кривизни.

Доказательство. Предположим, что на некоторой поверхности LGT-сеть совпадает с сетью линий кривизны. Для того чтобы уравнение LGT-сети и сети линий кривизни определяли одни и те же геометри-

ческие образы, необходимо и достаточно, чтобы для некоторой функции Л выполнялись условия:

haß = Лpaß,

или, что то же самое,

hn = = hu (16)

P11 P12 P22

Подставив формулы (2) и (11) в равенства (16), после несложных преобразований получим условие, характеризующее омбилические точки. □

2. Свойства LGT-сети минимальной поверхности.

При условии H = 0 тензор LGT-сети примет вид:

haß = 2baß.

Из представленных выше свойств LGT-сети в случае минимальной поверхности получим:

Свойство 14. На минимальной поверхности LGT-сеть совпадает с сетью асимптотических линий.

LGT-сеть остается ортогональной и на минимальной поверхности, так как на минимальной поверхности сеть асимптотических линий всегда ортогональна [6].

Свойство 15. На минимальной поверхности сеть линий кривизны является взаимно гармонической с сетью асимптотических линий.

Свойство 16. На минимальной поверхности сеть линий кривизны является биссекторной для сети асимптотических линий.

Свойство 17. На минимальной поверхности асимптотическая сеть является биссекторной для сети линий кривизны.

Свойство 18. Тензор сети линий кривизны через тензор асимптотической сети выражается в виде:

2paß = ca-biß + cß.bia.

Свойство 19. Выражение тензора асимптотической сети через тензор сети линий кривизны имеет следующее представление:

2Ьав Сіа Рів + С'в Ріа.

3. Вычисление первого чебышевского вектора ЬСТ-сети.

Известно [4], что для каждой регулярной поверхности первый чебышевский вектор сети <ав(ха(хв = 0 имеет вид:

Ті = < в (<іа,в 2<ав,'

где <ав - тензор, обратный для тензора <ав.

Для ЬСТ-сети эта формула запишется так:

Ті = Нав ( -іа,в - 2 -ав,і ) . (17)

Вычислим отдельно выражения

^га,в — 2 (Нд.а Ь.а) ,в — 2Нвдга 2Ьга,в,

2 ^а$,г Нгдав ^ав,1-

Подставляя их в (17) с учетом (6), получаем

2

Т — — (Ндав - Квав) (2Нвда - 2Ь.а,в - ндав + Ьав.) —

Кн

2

— —(2ННвдавдга - 2НдавЬ.а,в - НН.давдав + НдавЬав,г-Кн

-2КНввавдга + 2К]авЬ.а,в + КН]вдав - КвавЬар£.

Преобразуем выражение в скобках. Учитывая уравнения Петерсона-Кодацци Ь^,к — Ьгк^ имеем:

давЬга,в — давЬав,г — ^Ьав) . — 2Н<.

Воспользуемся следующими формулами [5]:

{Квав) в — 0, дав дга — 6.в, вав Ь.а — 6.в,

где - символ Кронекера.

Вычислим отдельно

вав дав — 2Н,

{К(ГвЬаі) в = Кс1авЬаі,в + (Кс1ав) Ьаі.

,в

Отсюда

Кі = К(ав Ьаі,в.

Подставляя известные и полученные формулы, будем иметь

ті = А (2ННі - 4ННі - 2ННі + 2ННі - 2КЩ(в + 2Кі + 2ННі - кЛ

Кь V /

Приводя подобные в скобках, окончательно получим:

2 Кь

ті = — (Ч - 2КНв. (18)

4. LGT-сеть для прямого геликоида.

Пусть поверхность прямого геликоида задана уравнением

г = {u cos v, u sin v, v}.

Вычислим:

gil — 1, g12 — 0, #22 — U2 + 1, bn — 622 — 0, 612 —---------- , P11 —---------2 , P12 — 0,

a/m2 + 1 ’ u2 + 1’

2 4

P22 = 1, hii = ^22 = 0, hi2 = , 2 , 2H = 0, Kh = — 2 2, 2Hh = 0.

Vm2 + 1 (m2 + 1)2

Для данной поверхности LGT-линии и асимптотические линии совпадают и имеют вид:

и = const или v = const.

Значит, для прямого геликоида :

1) LGT- сеть совпадает с координатной сетью;

2) LGT-сеть совпадает с сетью асимптотических линий.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дубнов Я. С. Тензорные характеристики некоторых классов поверхностей и принадлежащих им сетей. Труды сем. по вект. и тенз. анализу, т.ІУ (1937), с.197-204

2. Ефимов Н. В. Инвариантные характеристики некоторых сетей и поверхностей, Труды семинара по вектор. и тензор. анализу, вып.У, 1941, стр.148-172.

3. Безкоровайная Л. Л.,Вашпанова Т. Ю. LGT-сеть поверхности и ее свойства //Вестник Киевского национального университета им.Т.Шевченка,Сер.физ.-мат. науки, вып.2, 2010, с.7—12.

4. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. - М.-Л.: Гостехиздат. - т. I. - 1947. - 512 с; т. II. - 1948. -407 с.

5. Безкоровайна Л. Л. Ареальні нескінченно малі деформації і врівноважені стани пружної оболонки: Навчальний посібник. - Одеса: Астропринт, 1999. - 168 с

6. Шуликовский В., И. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении. М., Физ-матгиз, 1963, 540 с.