Алгоритм коррекции допусков на контролируемые параметры авиационных технических объектов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 658.5.012.1

АЛГОРИТМ КОРРЕКЦИИ ДОПУСКОВ НА КОНТРОЛИРУЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ АВИАЦИОННЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

А.Б. КУЗЬМИН, В.Ю. КРИВОНОСОВ

В работе обсуждаются особенности аппроксимации реальной области работоспособности технического объекта (ТО) допусковой областью. Исследуются статистические зависимости (независимости) между контролируемыми параметрами ТО, установленных на борту воздушного судна (ВС) при эксплуатации этих объектов. На основе установленных статистических зависимостей разработан алгоритм коррекции допусков на параметры, обеспечивающий сокращение числа отказов ТО и материальных затрат на эксплуатацию.

Ключевые слова: алгоритм коррекции, статистические зависимости, методика исследования.

Введение

На этапе проектирования ТО определяется перечень тактико-технических характеристик

(ТТХ) его функционирования /, і = 1, т и задаются требования к их значениям. Требования могут быть заданы в виде двухсторонних ограничений Д, / 2 ] и односторонних ограничений, когда задаётся только нижняя граница [/il, ¥ (чем больше, тем лучше), либо только верхнее ограничение [—¥, /2 ] (чем меньше, тем лучше).

Величины /г, і = 1, т согласно заданным требованиям обеспечиваются за счёт значений

контролируемых и управляемых параметров ху, у = 1,п составных частей ТО: элементов, плат, модулей, блоков, агрегатов и т.п., которые являются аргументами функций и функционалов

/ (ху),і = 1, т ; у = 1, п . Рассматриваются два типа параметров:

- количественные параметры, которые принимают бесконечное множество значений из области их определений;

- качественные параметры (альтернативные двоичные и т.п.), принимающие в формализованном виде два значения ноль и единица.

Если бы аналитические виды зависимостей /(Ху), і = 1, т ; у = 1, п были точно известны, то

реальная область работоспособности ТО на множестве значений параметров Q (Ху ), у = 1, п определялась адекватно в виде пересечения множеств

<3(ху ) = Д (ху X Д2 (ху )] П Д (ху X ¥] П [(—¥ Д (ху )] (1)

В большинстве практических случаев виды зависимостей /і (ху ) из перечня і = 1, т ; у = 1, п известны только частично, поэтому адекватное определение реальной области работоспособности Q (ху X у = 1 , п является проблематичным.

Один из возможных подходов к определению неизвестных зависимостей fi (х() основан на применении методов планирования эксперимента [1]. Однако в этих методах не формализовано определение класса функций, в котором производится нахождение fi (xi) , а практическая реализация требует больших материальных затрат.

Другой подход, применяемый в настоящее время на практике, связан аппроксимацией

Л

2 (х X у' = 1, п с допусковой областью 2(х у ), j = 1, п, что позволяет существенно упростить:

- понятие отказов параметров и ТО в целом;

- способы управления значениями параметров для обеспечения работоспособности ТО. Пусть б (ху ) точно не известна в силу неизвестности части зависимостей (х}-) из переч-

Л

ня i = 1, т . При аппроксимации допусковой областью 2(Ху ), у' = 1, п проектировщиками и квалифицированными экспертами принимается гипотеза о независимости параметров ху, у = 1, п.

Исходя из знаний части зависимостей fi (ху), у = 1, п из перечня i = 1, т , априорных сведений функционирования прототипов разрабатываемого ТО, опыта эксплуатации и т.п. на параметры назначаются независимые двухсторонние [ху1,ху2] и односторонние ¥]> [-¥ху2] допуски.

Если параметры х у £ [хуху2], х у £ [ху ¥], х у £ [-¥,ху2], то ТО по этим параметрам

считается отказавшим. По качественному параметру значение единица - отказ, ноль по этому параметру ТО работоспособен.

Если хотя бы один количественный параметр вышел за поле допуска или качественный параметр принял значение, равное единице, то объект является отказавшим.

Следует заметить, что даже при точно известной области 2 (ху X у = 1,п задача определения допусков не тривиальна. В работе [2] рассматривается пример, в котором известная область

работоспособности 2(ху X у = 1, п - п- мерный шар. При аппроксимации шара допусковой обЛ

ластью 2(ху ), у = 1, п в виде п- мерного куба приведены три случая: куб вписывается в шар,

куб описывается около шара, объем куба равновелик объему шара.

Строго доказано, что в первом случае при увеличении размерности параметров п объём куба по отношению к объёму шара стягивается в точку, т.е. растёт вероятность ложного отказа. В других двух случаях объём шара по отношению к объёму куба также стягивается в точку и увеличивается вероятность необнаруженного отказа. Таким образом, даже при извест-

Л

ной 2 (ху X у = 1, п задача аппроксимации допусковой областью 2(ху ), у' = 1, п является довольно сложной и до конца нерешенной с точки зрения оптимизации методической достоверности контроля параметров ТО, зависящей от ложных ошибок и необнаруженного отказа.

Одним из выходов в этой ситуации является исследование зависимости между контролируемыми параметрами ТО и использование этой зависимости для коррекции (уточнений и согласований) допусков на параметры, выбранных эмпирическим способом.

Цель работы - разработка практической методики исследования статистической зависимости между контролируемыми и управляемыми параметрами ТО и для уменьшения числа отказов объекта и материальных затрат на эксплуатацию за счет коррекции допусков на параметры.

Постановка задачи

Пусть имеется N однотипных ВС, на которых установлены одинаковые виды ТО (по планеру и двигателю, авиационному, радиоэлектронному оборудованию и т.п.). Производится подготовка бортовых ТО к полётам, т.е. осуществляется контроль и регулировка параметров для обеспечения работоспособного состояния ТО. Известны допуски на каждый количественный параметр и значения 0, 1 на качественные параметры. Для правильного сбора статистической информации и эффективного её использования необходимо выполнить следующие условия:

- на каждом из N ВС выделить один тот же ТО с перечнем х у, у = 1, п контролируемых и

управляемых параметров;

- по возможности обеспечить примерно одинаковые характеристики внешних воздействий на ТО (климатических условий, паспортных данных, используемых приборов, вспомогательных средств эксплуатации, квалификации исполнителей и т.п.).

Результаты контроля приведены в табл. 1.

Таблица 1

\^ТО Контр>-^ параметрьі\^ 1 2 3 N

х1 х11 Х12 Х13 ... Х1Ы

Х2 0 0 1 ... 0

... ... ... ... ... ...

хп Хп1 Хп2 Хп 3 ... ХпЫ

В первой строке табл. 1 номера ТО на N ВС, в первом столбце перечень контролируемых параметров ТО, во второй и последующих строках значения количественных и качественных параметров.

Требуется с помощью приведённых исходных данных в табл. 1 разработать методику исследования статистических зависимостей между параметрами и использовать полученные зависимости для коррекции допусков на параметры.

Решение задачи

В каждой і - й строке табл. 1 считается число Іі, количественных параметров, вышедших

за поле допуска, и качественных параметров, принявших значение 1. По этим вычислениям производится оценка вероятностей отказов по каждому параметру

Р * = —

Р = Ы ’ і = 1 п . (2)

* ^

Выдвигается гипотеза о независимости параметров и определяется оценка Р истиннои вероятности отказа объекта Р в виде

- п п 1

Р*=1 -П<>-О =1 -П<! (3)

¿=1 ¿=1 ™

Далее в табл. 1 считается суммарное число столбцов Ь , в которых отказал хотя бы один количественный или качественный параметр и оценивается истинная вероятность отказа Р объекта как

п* Ь

Р = —, Ь = 0,1,2,..., N . (4)

N

Если принятая гипотеза о независимости отказов параметров справедлива, то должно выполняться приблизительное равенство

А

*

Р » Р(5) Сравнение величин точечных оценок (3) и (4) не дает достоверной информации о степени от-

и*

клонения их друг от друга. Другими словами возникает вопрос, значимо ли отклонение Р от

А

ч*

Р или это отклонение является случайным? Если это отклонение значимо, то гипотеза о независимости параметров следует отвергнуть, т.е. параметры зависимы, но какие из них неизвест-

но. При случайном отклонении P от P параметры независимы.

Возможный вариант проверки справедливости одной из гипотез основан на применении интервальных оценок неизвестного истинного значения вероятности отказа объекта P, который реализуется следующим образом.

Распределение вероятностей P(L) числа отказов объекта в выборке из N объектов L = 0,1,2,...,N подчинено биномиальному закону

N!

P( L) =-----—-----Р L (1 - P)N-L, (6)

L!(N - L)! W

где P - истинная вероятность отказа ТО.

А* Л*

Распределение P(P ) оценки P также имеет биномиальный закон распределения в силу линейной функции (4), с математическим ожиданием М и среднеквадратическим отклонением (СКО) s , равными

Jp(i - P)

M = P , s = —— ----- . (7)

N

А

В соответствии с [3] закон P(P ) аппроксимируется гауссовской плотностью вероятностей с математическим ожиданием и СКО (7). Далее осуществляется преобразование случайной вели-

Л

*

чины P в случайную величину Z, равную

А

*

P - P

Z = , , (8)

P(1 - P)

V N

с нулевым математическим ожиданием и единичным СКО.

Выбирается величина доверительной вероятности Рд и с помощью гауссовской плотности вероятностей

1 2

ж (г) =-=ехр(- )

л/ 2р 2

(9)

определяются нижняя и верхняя границы доверительного интервала для истинной неизвестной

л

вероятности отказа объекта Р

Л

*

а 2^ + кР -к„л[Х Р1 =------------ ----

2( N + к р)

а 2 N Р + к Р + крл/А Р 2 =-----------------------

2( N + кр)

Д = д14 ^*(1 - Р*) + к р

(10)

(11)

(12)

а значение коэффициента к р зависит от выбранной величины РД .

Интервал

Р1, Р 2

с вероятностью Рд содержит в себе неизвестное истинное значение ве-

роятности отказа Р . Величину Рд выбирают достаточно большой. Однако следует заметить,

что чем больше Рд , тем больше размер интервала

Р1, Р 2

и ценность применения интерваль-

ного оценивания снижается. К сожалению, нет формального правила определения Рд и она выбирается эмпирическим образом, потребителем исследуемой статистической информации.

По аналогичной методике следовало бы определить доверительный интервал

Р1, Р 2

для Р по

известной оценке Р * и заданной Рд . Однако разработка такой методики наталкивается на трудность, связанную с нахождением закона распределения оценки Р * по функциональной зависимости (2). Распределения вероятностей Р (//) каждого параметра подчинены биномиальному закону

N и ,

Р(/) =,,„ „,Р/(1 -Р) ' (13)

/(М-/,)! '' "

с различными неизвестными истинными значениями вероятностей отказов по каждому параметру Р{, I = 1, п..

Функциональная зависимость (3) является достаточно сложной, поэтому трудно идентифицировать вид и найти характеристики распределения оценки Р* . Предлагается выход из этой ситуации, основанный на сравнении относительных положений доверительного интервала

а а

Р1, Р 2

г>*

и оценки Р .

Л

А

А

а а

Л А

Если интервал

А А

Рі, Р 2

содержит в себе оценку Р*, т.е. Р* є

А А

Рі, Р 2

то принимаются

решения о случайном отклонении Р от Р, незначимом отличии Р от Р и независимости

параметров объекта. В случае Р * Ї

АА

Рі, Р 2

принимается альтернативное решение о зависимо-

сти параметров, но при этом неизвестно какие из них зависят друг от друга.

Основными достоинствами независимости параметров являются:

- возможность автономного управления значениями параметров в поля своих допусков, т.е. регулировка одного параметра не влечет изменения значений других параметров;

- отсутствие необходимости коррекции (согласования) допусков на параметры.

Недостаток независимости параметров связан с достаточно большими материальными затратами на эксплуатацию ТО, так как требуется контролировать весь перечень параметров х(, / = 1, п .

Зависимость параметров позволяет сократить материальные затраты на эксплуатацию за счет контроля одного параметра и вычисления значения другого, но возникает потребность в коррекции (согласовании) допусков на параметры, т.е. формальном уточнении допусков, выбранных при аппроксимации эмпирическим способом. Потребность в коррекции (согласовании) допусков на параметры обусловлена тем, что один параметр, находясь в допуске, за счет связи с другим параметром может увести последний за поле допуска.

Пусть принята гипотеза о зависимости параметров. Необходимо выяснить, какие параметры, и в какой степени зависимы между собой, как использовать зависимости параметров между собой для коррекции допусков на них?

Алгоритм коррекции допусков включает в себя следующую последовательность действий.

Сначала в табл. 1 выделяются пары количественных параметров, и формируется табл. 2.

Таблица 2

х- хі1 хі 2 хі3 хіШ

х] х]1 х] 2 Х] 3 х] N

По строкам табл. 2 определяются минимальные хі тіп, X] и максимальные хі

значения параметров. В прямоугольной системе координат строится диаграмма рассеивания [4]. Масштабы по осям выбираются так, чтобы поле диаграммы представляло собой квадрат.

В поле квадрата наносятся точки с координатами (х^, х^), (хі 2, х]2),., (хш, х]ы ), т.е. всего N

точек (рис. 1).

Л

Рис. 1. Диаграмма рассеивания

По взаимному расположению точек делается качественное заключение о типе и степени зависимости параметров. Тип и степень зависимости параметров используются для аппроксимации положения точек детерминированной функцией

=Ф (X). (14)

Существует много подходов к аппроксимации, основанных на методах регрессионного анализа, методах интерполяции, равномерного и среднеквадратического приближений и т.п. Рекомендуется применить метод наименьших квадратов, позволяющий учесть все особенности в расположении точек и обеспечить минимум суммы среднеквадратических отклонений их от функции (14). Далее в прямоугольной системе координат совмещаются существующие допусковые области работоспособности и функция (14). Вариант такого совмещения представлен на рис. 2.

Рис. 2. Две допусковые области работоспособности в двухмерном пространстве

На рис. 2 [ху Ху2], [хп,хі2] - допуски на параметры, допусковая область работоспособности и функция (14). Из рис. 2 видно, что хі принадлежит своему допуску в интервале [хік хі2], а из-за зависимости (14) параметр ху выходит за поле допуска. Аналогичная ситуация: Ху находится в поле допуска, но уводит Хі за поле допуска (заштрихованные области). Чтобы исключить подобное явление, необходимо произвести коррекцию (согласования) допусков в сторону их уменьшения и назначить допуски на хі и ху соответственно [хг1,хік2] и

[х. , х . ], в которых хік2, х . - скорректированные границы допусков.

^ к 1 ^2 ^ ^ к 2

Сложнее решается задача коррекции допусков, когда зависимы три и более параметров между собой.

Пусть зависимы три параметра хі, ху, х^ . По вышеизложенному алгоритму определяются скорректированные допуски и получены три допусковые области работоспособности в трёх-

Л Л Л

мерном пространстве 2^у, Qiт, Qiт, показанные на рис. 3.

Рис. 3. Три допусковые области работоспособности в трехмерном пространстве

Окончательно скорректированные допуски [хкрх1к2], [х, ,х,к^], \.хтк1,хтк2] на пара-

метры получаются в результате пересечения допусков в каждой паре плоскостей, и они отмечены на рис. 3 жирными отрезками. Вопрос о нахождении окончательных допусков при зависимости четырёх и более параметров остаётся открытым и требует дальнейших исследований.

При поиске зависимостей в смешанной паре количественных и качественных параметров и паре качественных параметров диаграмма рассеивания не даёт информации о виде и степени зависимости, ибо точки расположены на гранях квадрата, или в его углах и аппроксимация (14) не имеет физического смысла. Единственным выходом является количественная оценка степени линейной зависимости с помощью вычисления коэффициента корреляции представленных для смешанной пары табл. 3 и пары качественных параметров табл. 4.

Таблица 3

х' х'1 х' 2 х' 3 хш

х- 0 0 1 0

Таблица 4

х, 0 0 1 0

х, 1 0 0 0

По одинаковой методике для обеих таблиц по строкам вычисляются: средние значения

1 N “ 1 Ы

х, = — У х,т , х I = — у х, ;

оценки СКО

N

N У Х>/1 - х')2

1 N -

— У(х, -х,)2;

(15)

(16)

оценка смешанного момента

N

sn = — Е(xim~ Xi )(xjM~ xJ);

n

оценка коэффициента корреляции

Pi j =

SlS]

(17)

(18)

значения которой принадлежат интервалу -1 £ р £ 1.

По знаку и величине р*у принимается решение о типе и степени линейной зависимости

(независимости) хі и х у . К сожалению, не существует формального правила принятия того

или иного решения. На практике при р*, Р 0.5 зависимостью пренебрегают, а при

Pi

> 0.5 с

ней следует считаться и использовать для управления техническим состоянием ТО. Так как функция (2.10) отсутствует, то нельзя произвести коррекцию допусков, более того на качественный параметр допуск вообще не назначается.

В смешанной паре при

Pi

У 0.5 можно только экспериментальным путём, варьируя положением и размером допуска, уменьшить число отказов количественного параметра либо принять конструктивные меры.

В паре качественных параметров при р* < 0.5 никаких мер не принимается и объект эксплуатируется до отказа. В случае р*, У 0.5 в табл. 4 выделяются столбцы, одновременно содержащие единицы, и принимаются конструктивные меры по предупреждению отказов.

Таким образом, представленная методика исследования статистической зависимости между параметрами и коррекции допусков на них позволяет по реальным статистическим данным эксплуатации ТО уточнить размеры допусков на контролируемые параметры, уменьшить количество отказов и снизить материальные затраты на контроль ТО.

s

ЛИТЕРАТУРА

1. Адлер Ю.П., Марков Е.В., Гриновский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. - М.: Наука, 1971.

2. Кузьмин А.Б. Достоверность допусковых методов контроля // Автоматика и телемеханика. - 1987. - №10.

3. Смирнов Н.В., Дудин-Барковский В.И. Краткий курс математической статистики для технических приложений. - М.: Физматгиз, 1959.

4. Статистические методы повышения качества / под ред. Хитоси Кумэ. - М.: Финансы и статистика, 1990.

ALGORITHM OF CORRECTION OF ADMISSIONS ON CONTROLLABLE PARAMETERS OF AVIATION TECHNICAL OBJECTS

Kuzmin A.B., Krivonosov V.Y.

In work features of approximation of real area of working capacity of technical object of the admission are discussed by area. That is investigated statistical dependences (independence) between controllable parameters, established onboard an aircraft (Aircraft), at operation of these objects. The algorithm of correction of admissions on parameters on the basis of the established statistical dependences is developed.

Key words: algorithm of correction, statistical dependences, a research technique.

Сведения об авторах

Кузьмин Александр Борисович, 1949 г.р., окончил Военно-воздушную инженерную академию им. проф. Н.Е. Жуковского (1976), Московский государственный университет им. М.В Ломоносова (1981), доктор технических наук, профессор, старший научный сотрудник ВВА им. проф. Н.Е Жуковского и Ю. А.Гагарина, автор более 100 научных работ, область научных интересов - эксплуатация сложных технических объектов и систем.

Кривоносов Владимир Юрьевич, 1974 г.р., окончил Военно-воздушную инженерную академию им. проф. Н.Е. Жуковского (2003), начальник группы 295 военного представительства Министерства обороны Российской Федерации, автор 5 научных работ, область научных интересов - управление качеством производства сложных технических систем.