Комплексирование надежностных моделей интегральных модулей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рис.8. Тотальность кубической модели

/

/

/

У

/

/

А

У

/

к

Рис.9. Тотальность котетраэдной модели

В каноническом случае имеем единичный начальный куб, расположенный в основной котетраэдной части куба с ребром «к» и вычитание начального куба из объемлющего прямоугольного котетраэдра с ребром «к» алгоритмом включения-исключения даёт частный случай тождества Теппера [1]

правая часть которого называется тотальностью и представляет собой ещё одну моментную характеристику.

1. Егорычев ГЛ. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм. - Новосибирск: Наука, 1977. - 285 с.

2. Сачков В.Н. Вероятностные методы в комбинаторном анализе. - М.: Наука, 1978. - 288 с.

3. Макаревич О.Б., Саак Э.М., Чефранов АТ. Анализ загруженности однородных микропроцессорных вычислительных систем коллективного пользования// Автоматика и вычислительная техника, 1980, №4.

Одним из основных показателей качества интегральных модулей (ИМ) является их надежность. В отличие от других показателей, реальная надежность изделия проявляется и реализуется только в период эксплуатации и в натурных испытаниях. С целью обоснования постановки задачи работы по разработке и исследованию заявленного метода был проведен анализ известных моделей надежности изделий твердотельной электроники [4, 6]. По результатам анализа можно сделать следующие выводы: 1) формирование описанных моделей требует значительных объемов эмпирических данных, временных и материальных ресурсов в проведении испытаний; 2) неадекватность моделей надежности реальным процессам в ИМ; 3) инерционность модели «слабого звена» относительно эволюции технологии конст-.

j=0

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

АЛ. Самойленко, O.A. Усенко

КОМПЛЕКСИРОВАНИЕ НАДЕЖНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МОДУЛЕЙ

1. Постановка задачи. Задача работы заключается в разработке альтернативных надежностных моделей, реализующих физико-статистический метод измерения надежностных характеристик в масштабе реального времени испытаний в базисе прикладной теории выбросов случайных функций и теории статистики ма.

Метод должен быть реализован посредством традиционного персонального , -пытуемых ИМ и специального программного обеспечения, комплексируемого из автономных программных модулей статистической обработки эмпирических данных.

2. Предпосылка и разработка статистического метода верификации моделей надежности им. Предлагаемый метод основывается на математическом аппарате прикладной теории выбросов траекторий случайных процессов и статистике малых выборок [2, 5].

Изменения контролируемых параметров ИМ во времени обусловлены различными факторами технологического процесса, носят случайный для исследователя характер и могут быть описаны соответствующими случайными функциями времени, то есть слу-. , может считаться работоспособным, задаются значениями допусковых областей, определенных априорно по электронным эквивалентным моделям. Таким образом, проблема оценки и прогнозирования надежности ИМ может быть сведена к определению вероятностных характеристик времени достижения случайным процессом границ допусковой области, значений отклонений траектории от пределов допусковой области, и времени пребывания за ее пределами.

,

деградационных процессов в структуре ИМ, вызванных качеством технологического процесса производства ИМ, воздействием режима работы (испытания) на ИМ, от корреляционных зависимостей между параметрами, отображающих реализацию групповых методов технологии производства и однотипности элементов .

,

контролируемых параметров за границы допусковой области, в дальнейшем именуемые выбросами траекторий значений выходных параметров ИМ.

Особенностью предлагаемых моделей является использование математиче-, -тистики малых выборок эмпирических данных (и<5^10).

2.1. . -ность модели заключается в том, что с помощью квантования по уровню случай,

, .

Динамика контролируемого процесса представляется ориентированным вероятно, : , отказа и состояний ухудшения работоспособности (деградации) в зависимости от уровня кванта допусковой зоны, пересекаемой траекторией изменения значения параметра. Число вершин графа определяется числом градаций ухудшений работо-,

числу пересечений траекторией контролируемого параметра уровней квантования . -рактеристик надежности определяют решением системы дифференциальных уравнений Колмогорова-Чепмена, описывающих граф состояний ИМ.

Для нахождения конечных результатов не требуется знание всех вероятностных характеристик случайных функций, необходима лишь статистическая оценка интенсивностей пересечения рассматриваемыми случайными функциями фиксированных уровней квантования. Это существенно сокращает объемы и виды ис.

2.2.

траекторий значений параметров. Модель представляет собой систему уравне-, -, , , а также оценки времени достижения траекторией контролируемого параметра границы допусковой области. Указанным распределениям и оценкам соотнесены показатели надежности: интервалу времени между фиксированным моментом (нача-) -ковой области - время безотказной работы ИМ; распределению вероятностей нахождения значения параметра внутри допусковой области - вероятность безотказ-. (

) . -сти выражаются посредством двумерных функций распределения изменений случайного процесса во времени и по значению.

2.3. Модель аддитивной аппроксимации эмпирических значений параметров симметричными распределениями (вкладами). Задача извлечения максимума из малого числа данных о значениях контролируемых параметров испытуемой ИМ является главной особенностью предлагаемой модели. Эта способность модели вести интерполяционную и экстраполяционную оценку надежности испытуемых изделий ИМ в реальном масштабе времени делает ее адаптивной и .

К определению малой выборки можно подойти с информационных позиций: какое количество информации содержится в выборке заданного объема и какое необходимо для получения результата с заданной точностью и достоверностью? С этих позиций будем считать выборку малой, если при ее обработке методами, основанными на группировке, нельзя достичь заданных точности и достоверности. Самым существенным в определении является необходимость при обработке малой выборки индивидуального (точечного) подхода к каждому элементу х1 е X, / = 1, п выборки. В работе будем считать выборку малой, если ее невозможно разбить на подынтервалы при и<10^15.

Оценку плотности распределения для малых выборок выразим линейной суммой двух компонент: априорной и эмпирической. При этом эмпирическая компонента, в свою очередь, вычисляется как линейная сумма определенных (б^ис-ных) функций. Итак, искомая плотность распределения имеет вид

/ *(х) = -

п

(1)

/о(х) + X ^ х(х)

1=1

где /0(х) - априорная плотность распределения значения контролируемого параметра X на априорно задаваемом интервале [а, Ь], в качестве которой используется любая симметричная базисная функция с плотностью распределения /0(х).

Формирование эмпирической составляющей осуществляется на основе индивидуального подхода к каждому д^еХ значению выборки хь х2, ... хп, при котором ьму значению приписывается элементарная плотность, описываемая функци-

п

ей плотности распределения вероятности в соответствии с принятым симметричным распределением (например, равновероятным распределением, распределени-, ).

Линейное суммирование с равными весами по (1) /)(х) - априорной плотности и вкладов уХ1(х) для всех элементов х,еХ, выборки приводит к искомой оценке плотности/*^).

(1) ,

1 осуществляется нормирование оценки эмпирической плотности /*(х). Таким

п + 1

, -

( ). (1)

дает приемлемой эмпирической плотности, построенной по п значениям случайной величины X. Дело в том, что для некоторых значений х1 соответствующие функции вклада уХ1(х) будут выходить за пределы интервала [а, Ь] и, значит, функция /*(х) будет отлична от нуля и находится вне этого интервала. Поэтому вводят правило : [ , Ь]

а 1 %,>Ъ 1

Д5, = | -йЪти Д$ = | -,

%1 <а Ъ

где £еХ, х1е[а,Ь], х,еХ данного вклада отбрасывается, а над оставшимся

, [ , Ь], -

ся как дополнительный вклад. Исправленные таким образом функции вклада вно-(1).

Задаваясь определенным значением «ширины» функции вклада d = к(Ь - а), где к - некоторый коэффициент, нетрудно синтезировать алгоритм вычисления /*( )

X. Затем графическим или численным интегрированием можно получить функцию распределения Р*(х).

Прежде чем перейти к рассмотрению синтеза статистических моделей на основании различных алгоритмов реализации вышеупомянутого метода, следует обратить внимание на особенности рассматриваемого метода с точки зрения центральной предельной теоремы [3].

Напомним, что центральные предельные теоремы устанавливают условия, при которых распределение суммы независимых случайных величин асимптотически стремится к нормальному закону при условии, что случайные величины имеют равные математические ожидания и что ни одна из них не имеет дисперсии, превалирующей над дисперсиями остальных величин, а число слагаемых п неограни.

(

11т 8ир

\

= 0. (2)

Ех -ф{

\ \1=1 У ;

(1)

приводила бы всегда к нормальному закону, и идентификация эмпирического распределения была бы проблематичной. Однако в работах современных математиков [3] , (2) -

тематических ожиданий распределение суммы случайных величин анормально, то есть по теореме Берри-Эссеена

8ир

¥

л

Ф 0. (3)

У

При аппроксимации значений выборки симметричными вкладами возникает вопрос об оптимальном значении d ширины вклада, точнее о значении к. По результатам проведенных исследований для разных распределений различно (кпт=0.2^0.6). Поскольку априори неизвестно распределение X, то в алгоритме необходимо предусмотреть оператор определения кот по наилучшему значению ( ) /*( ) /( ) традиционного распределения путем перебора значений ке [0^1], задаваясь величиной Дк шага, например Дк=0.1.

(1)

(эмпирических вероятностей Р*, / = 1, X) осуществляется на основе гистограммы, построенной в диапазоне [а, Ь], который разбивается на X=(10^15) подынтервалов (р^рядов) и подсчитываются площади 5/, попавшие в каждый у'-й подынтервал. Вероятности попадания хуеХ в у'-й подынтервал определяют как отношение IX X

5. ^5/ , где ^5/ - общая площадь эмпирической гистограммы. Такое решение / /=1 /=1

позволяет при идентификации использовать практически все известные критерии .

Малый объем выборки, процедура ее аппроксимации симметричными вкладами являются основными источниками «р^мытости» эмпирической гистограм-

,

ее одним распределением в процессе одного цикла алгоритма практически трудно ввиду «неудовлетворительного» значения критерия согласия. Разрешение этого конфликта заключается в формировании упорядоченного ряда значений соответственно одноименных (Пирсона, энтропийного и наименьших квадратов) критериев согласия по результатам идентификации эмпирической гистограммы посредством перебора ряда классических распределений, выбранных по эмпирическим значениям критериев вариации, асимметрии и эксцесса.

Если в результате анализа выборки малого объема различные критерии согласия обеспечивают оптимальные значения для различных классов законов рас,

системы и дальнейшие исследования выборки путем варьирования ширины вклада d, изменения диапазона возможных значений и т.п., а также за счет привлечения

.

(1)

значений малой выборки Х={хь..., хп} по другому алгоритму аддитивной аппроксимации, основанному на принципе ядерного имитационного моделирования.

Совпадение гипотез по выбору одноименного закона распределения при идентификации по результатам реализации исследуемых алгоритмов будет подтверждением адекватности выбранной модели динамике изменений значений реального технологического параметра.

Принцип ядерного имитационного моделирования заключается в следующем. Априорную составляющую выражения (1) представим значениями N0 слу-,

(ядра) 0.5(b+a) числовой оси X с математическим ожиданием Mf (x) = 0.5(b - а) и дисперсией Dfо (x) = (b - а). Эмпирическая составляющая будет представлена совокупностью значений (nxN) равнораспределенных чисел, причем (N1=N2=....=Nn=N). В окрестности d каждого значения xt выборки X размещаются Nj, (i = 1, n) равнораспределенных случайных чисел с математическим ожиданием M¥ = Xj и дисперсией dv = d-Сложение чисел (N0, nxN) не производится, они

размещаются на интервале [а, b] согласно своим значениям. Таким образом, осуществляется переход от малой выборки (N=5^10) к выборке стандартного объема , (N0+nxN) -

лизаций случайных значений.

Величины N0 и N априорно задаются, исходя из требуемой точности, возможности применения интервального метода оценивания, и подбираются эмпирическим путем [6]. Дальнейшая статистическая обработка производится по стандартному алгоритму интервального метода оценивания. Идентификация стандарт, ,

.

Состояние ИМ отображается m контролируемыми параметрами xm(t), (m = 1, m) с соответствующими допусками [ xm, хнт ], каждый из которых представляет собой случайную функцию xm(t, £, S) от времени t, динамического состояния S и режима функционирования £ (рис. 2). Очевидно, что процесс функционирования ИМ может быть отображен последовательностью выбросов значений контролируемого параметра, представленного случайным процессом x1(t, £, S), ..., xm(t, £, S),

m = 1, m ).

Процесс контроля над состоянием ИМ может быть сведен к измерению значений {д^,...,A4n}, |С,...,temn}, которые и образуют малые выборки для стати. , m- -

раметра (m = 1m) можно представить двумерной плотностью распределения вероятностей превышений xm(t, £, S) значений параметра над допусковыми границами:

fm (, xm)=f д ) (/ д^е),

0 0

где fm(A^B) - плотность распределения амплитуды выброса; f^f/Ax”) - относительная плотность распределения времени пребывания значения xm параметра над

[ ].

статистического оценивания по описанным алгоритмам.

Выводы. 1. Предлагаемый метод верификации моделей качества производства ИМ представлен тремя альтернативными надежностными моделями, выбор каждой из которых определяется наличием соответствующей эмпирической ин-.

2.

ИМ ограничивается числом вершин ее состояний. Характеристики надежности могут быть определены посредством программного инструментария пакетов MatLab, MatCad.

над априорно заданными границами допусков Д[а,b] = |^xe,%"J (

3. По второй модели оценкам надежности соотносятся характеристики выбросов траекторий значений параметров ИМ: времени безотказной работы - время достижения траекторией параметра границы допусковой области; интенсивности

- -ней области, лежащие за допусковой зоной и т.д.

4. Модель оценки надежности ИМ основана на квантовании по уровню и дискретизации по времени траектории контролируемого параметра с последующей аддитивной аппроксимацией дискретных эмпирических значений параметров симметричными распределениями (вкладами).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Самойлелко АЛ. Основы теории надежности автоматизированных систем обработки информации и управления. - Таганрог: ТРТУ, 2000. - 122 с.

2. Гаскаров Д.В., Шаповалов В.И. Малая выборка. - М.: Статистика, 1978.

3. . . . -

М.: Наука, 1986. - 416 с

4. Козырь И.Я. Качество и надежность интегральных микросхем. - М.: Высш. школа, 1987.

5. Тихонов В.И., Хименко В.И. Выбросы траекторий случайных процессов. - М.: Высш.

школа, 1987.

6. . ., . .

в условиях эксплуатации. - М.: Сов. радио, 1990.

Н.К. Лисяк, В.В. Лисяк О РЕШЕНИИ ЗАДАЧ МАШИННОЙ ГРАФИКИ НА СУПЕРЭВМ

Геометрические преобразования определяются как биективные отображения координатного пространства в себя. При этом не затрагивается прежняя структура изображения, т.е. сохраняются отношения инцидентности между точками изображения (например, отношения типа «принадлежит прямой, дуге, куску поверхности и т.д.) [1].

Использование однородных координат для представления точки объекта позволяет совершать объединённые преобразования поворота, масштабирования, переноса и перспективы путём одного умножения на матрицу, т.е. с помощью одного линейного преобразования. В результате получается однородное координатное представление соответствующей точки проекции.

Реализуются однородные координаты введением дополнительной компоненты в векторы положения точек. Представление двухмерного вектора трехмерным или в общем случае n-мерного вектора (n+D-мерным вектором называется однородным координатным преобразованием, которое выполняется в (n+1)-, n- -

ся с помощью обратного преобразования, т.е. деления координат на величину дополнительной компоненты. Тогда преобразование в однородных координатах описывается следующим соотношением

[X Y Z H] = [x y z 1] T,

[x*y* z* 1] = [X/H Y/H Z/H 1]. где x,y,z, - координаты исходной точки в пространстве; x* y* z* - преобразованные координаты точки; Т - матрица преобразования размерностью 4x4. На рис.1 показана структурная реализация макрооперации трёхмерного геометрического преобразования, содержащая операции умножения, деления и функция F. На