CC BY
37
УДК 336.77.067
АЛГОРИТМ И ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ КРЕДИТОВ С ЗАДАННЫМИ ПЛАТЕЖАМИ ОБСЛУЖИВАНИЯ
А. В. ЖЕВНЯК, кандидат физико-математических наук, директор — научный руководитель НП «Институт регионального экономического развития», г. Рязань E-mail: alzhevnyak@yandex. ru
В статье в развитие предложенного автором ранее метода конструирования кредитов описывается алгоритм проведения расчетов, предлагаются некоторые практические приемы, позволяющие учесть ограничения на величину платежей и разрабатывать графики обслуживания долга с приемлемыми для кредитора и заемщика свойствами. Описан способ построения составных кредитов, когда на различных временных отрезках в пределах срока кредитования используются растущие, постоянные или убывающие во времени последовательности платежей.
Ключевые слова: кредит, аннуитет, реинвестирование, дисконтирование.
Цель исследования и основные обозначения
Ранее, в работе [1] была поставлена задача конструирования кредитов с желаемым графиком платежей обслуживания. Она была решена способом модификации аннуитетного кредита при линейном росте или убывании этих платежей в течение срока кредитования. В предлагаемом исследовании в развитие результатов, представленных в работе [1], эта задача будет рассмотрена в практическом плане. Здесь будут получены оценки наибольших платежей обслуживания займа, которые должны быть согласованы с реальными возможностями заемщика. Также автор опишет алгоритм и конкретные приемы конструирования кредитов с заданными платежами обслуживания.
Напомним основные обозначения, которые использовались в работе [1] и которые будут применяться в настоящем исследовании:
п - срок кредита, измеряемый числом расчетных периодов;
у - порядковый номер текущего расчетного периода, 0 < у < п;
- сумма займа, выданного в начале первого расчетного периода, т. е. при у = 0;
Rj = Gj + Ру - текущий платеж (постнумеран-до) обслуживания кредита, состоящий из платежа по основному долгу Gj и процентного платежа Ру, который начисляется на остаток ссудной задолженности Sj = Sj_1 - Gj, S0 = S по ставке 5т = 5/т, где 5 - номинальная годовая процентная ставка кредита, т - число расчетных периодов в году.
При анализе кредита обычно не ограничиваются изучением потока платежей обслуживания {Яу, у = 1,2,...п}, а рассматривают и процесс реинвестирования поступающих кредитору от заемщика платежей Яу в новые кредиты (или иным способом) по некоторой ставке в для одного расчетного периода. Реинвестирование, в частности, учитывается при анализе доходности/затратности кредита для кредитора и заемщика соответственно (см., например, [2, 3]). При вычислении современной стоимости потока платежей обслуживания по этой ставке в производится дисконтирование. Некоторые другие обозначения будут вводиться далее по мере необходимости.
постоянной ренты) ф0 (s, n) =
В настоящем исследовании, как и в работе [1], будут существенно использоваться степенные
n jk
дисконт-функции фк (s,n) = ^-- степени k и
j=i(1 + s)
порядка n, которые были введены в научный оборот в работе [5, с. 11-107] и применялись во всех последующих работах автора. Простейшая дисконт-функция нулевой степени (коэффициент приведения
1_= (1 + s)n -1
j=1 (1 +¡7 = s(1 + s)n вычисляется суммированием геометрической прогрессии. Д-функции более высоких степеней могут быть найдены по рекуррентным формулам и даже выражены через ф0(s,n) [5]. Дисконт-функции являются обобщением результатов Я. Бернулли (Jacob Bernoulli) в классической задаче о вычислении суммы одинаковых степеней последовательных натуральных чисел с натуральными же показателями и обладают рядом важных свойств, позволяющих существенно упростить аналитическое исследование финансовых операций. Новизна подхода автора состоит в том, что автор рассматривает дисконт-функции не только и не столько как коэффициенты для вычисления приведенных сумм, сколько в качестве функций, обладающих определенными свойствами, которые решающим образом влияют на основные показатели финансовых операций. Это позволяет по-новому формулировать и в самом общем виде решать многие задачи финансового анализа, в частности сравнение эффективности операций (например сравнение эффективности различных видов кредитов).
согласование максимальных платежей с возможностями заемщика
В работе [1] была получена формула текущих платежей обслуживания кредита Rj = R[1 + 4( j -1)], где R = const > 0, j = 1,2...n, а параметр 4 может принимать значения из области допустимых значений ^ <4<4., где 40 =-(n -1)-1 <0 и 8
4, =-m-> 0 (нижняя и верхняя ее
(1 + 8m)n -1 - n8m
v m * m
границы). Понятно, что при 4 < 0 платежи обслуживания будут линейно убывать, а при 4 > 0, наоборот, линейно расти с ростом дискретного времени. При 4 = 0 имеет место обычный аннуитетный кредит с постоянными платежами Rj = R.
Условие 4-40 обеспечивает положительность первых (n - 1) платежей обслуживания
Я.,у = 1,2...,п -1 и неотрицательность последнего Яп. Все платежи обслуживания кредита положительны при 4>40, что автор и предполагает, а случай, когда 4 = 40 будет рассматриваться как предельный. Требование: 4-4* вводится для того, чтобы гарантировать неотрицательность выплат основного долга и процентов (при 4 = 4* первая уплата основного долга будет нулевой, но все другие платежи останутся положительными).
Выражение для Я выводится в работе [1] из условия полного гашения основного долга в момент окончания кредита и имеет вид:
5
R = -
Тогда
(1 Ч)ф0 (8m , n) + 4Ф (8m, n)'
R, = R[1 + 4( j -1)]
Я. = 5__.
у (1 Ч)Ф0 (5т, п) ±4ф (5т, п)
При конструировании кредита, разрабатывая график платежей его обслуживания, надо обеспечить, чтобы максимальные платежи были посильны данному конкретному заемщику. Для этого их необходимо вычислять заранее.
При положительных 4 наибольший платеж в потоке платежей обслуживания производится за-
емщиком при j
R = S-
n и составляет 1 + 4(n -1)
(1 Ч)ф0 (8m , n) + 4Ф (8m , n)
Поскольку производная dRn-тельна, ибо d4
всегда положи-
(n -1)[(1 -£)Ф0 (5Я,n) + ^Ф1 (5Я,n)] -
dK = S [Ф1 (5„,n)-Ф0 (8„,n)][1 + 4(n -1)]
d4 m чч- /s „ч .с,- -м2
=S
[(1 -^)Ф0 (8m , n) + ^Ф1 (8„ , n)]
n - (1 + 8m )Ф0 (8m , n)
8m [(1 (8m , n) + ^Ф1 (8m , n)]2
> 0
в силу того, что ф0 (5т, п) < п(1 ±5т )-1, то на -ибольшее по 4 значение Яп достигается на верхней границе области допустимых значений при
4 = 4* =
8„
(1 + 8m)n -1 - n8n
mm
max R = R„L „ = S
и составит:
1 + 4* (n -1)
n n
4 = 4* (1 -4. )Ф0 (8m , n) + 4*Ф (8m , n)
S 8 (1 + 8m )n - 1 -8m = R* > 0.
- n max
(1 + 8m)n -1 - n8m
mm
Здесь учтено:
(1 -4* )ф0 (5m, п) + 4.ф (5т, п) _
(1 + пЪт )Фо (8М, n)- п _ _1_
5_ 5_
= Фо (8т , п) +4.
R1 = R =
(1 -4)Фо (8т , п) + 4Ф1 (8т , п)
Поскольку производная
dR_-s-
J 4
Ф1 (8т , П) -Ф0 (8т , П)
[(1 -4)Ф0 (8т , п) + 4Ф1 (8т , п)]2
< 0,
4
S(п - 1)8т _ R
1max *
dR0
,„(, + 8т ) - fiLt^
п -1
S(п -1)8„
dn [п - (1 + 8т )Фо (8т , п)]28т (1 + 8т )
[1П(1 + 8т ) -8т ]S(п - 1)8т
<
<-
dR
[п - (1 + 8т )Фо (8т, п)]2 8т (1 + 8т )
-(п - 1)(1 + 8т)п 1П(1 + 8т) +
+(1 + 8 )п -1 -8
^ т' т
< 0,
*
п max
dn
_ S 8
Г(1 + 8 )п -1 - п8 1
I v т' т I
< 0.
и затем условие: 1n(1 + 8т) > 8т
Фо (8т , п - 1)
п -1
, которое
При 4 < 0 наибольший платеж в потоке платежей обслуживания имеет место при у = 1 и 5
справедливо при п > 2 [5, с. 70].
Заметим также, что при п = 2 (случай п = 1 не представляет интереса) справедливо, что
R о
_ S (1 + 8т) _ R.
Но при п > 2
имеет место условие: Я1тах >Я*тах. Действительно, требуя выполнения условия:
п -1
то наибольшее по 4 значение этого платежа достигается при 4 _ 4о _ -(n -1)-1 < 0 и составит:
р р I S(п -1) max R1 _ R1 _-_
4_4° пФо (8т , п) -Ф1 (8т , п)
п - (1 + 8т )Фо (8т , п) Таким образом, начиная конструирование кредита, вначале надо выяснить размер посильного для заемщика платежа A и далее при нпзначенном кредитором значении процентной ставки 8т и заявленными заемщиком значениями суммы S и сроком кредита n проверить выполнение условия: A > Rnmax (если планируется кредит с возрастающими платежами), или условия: A > R°max (для кредита с убывающими платежами). Если они не выполняются, то следует уменьшить (для кредита с возрастающими платежами) или увеличить (для кредита с убывающими платежами) значение параметра 4 в пределах его области допустимых значений. При необходимости можно уменьшить сумму займа или увеличить срок кредита. Последнее объясняется тем, что rnmax и R0 монотонно
п шал 1 max
убывают с ростом срока кредита, поскольку
(1 + 5 )п -1 -5 — > —-—-— получим
п _ (1 +5т )фо (5т, п) (1 + 5т Г _ 1 _ п5т '
для п > 1 следующее выражение:
Е (5т, п) = (1 +5т )2 ф2 (5т , п) +
+[(п2 - 2п - 1)5т _ 2]фо(5т,п) - п(п - 2) > 0. Выполняя преобразование Е(5т, п) с учетом 2 + 5
Фо (5И,2) = -——тт и свойства Д-функции ну-
(1 + 5т )
левой степени ф0 (5т, п1 - п2) = (1 + 5т )п2 [Фо(5т,п) - Фо(5т,п)] [5, с. 56] пРи п1 = n, п2 = 2,
получим Е(5т, п) = фо (5т,п)фо (5И,п - 2) - п(п - 2)
[1 -5тфо (5т , п)].
Обозначим п = k + 1.
Тогда Е (5т , к) =фо (5т, к + 1) фо (5т , к -1) -- (к2 - 1)[1 -5тфо (5т , к + 1)].
С учтем фо(5т,к +1) = 1 + фо,к) [5, с. 62],
1 + 5т
фо (5т, к -1) =(1 + 5т )фо (5т, к) -1, запишем:
F(8т, к) _
(1 + 8т )ф2 (8т , k) + к28тФо (8т , к) - к2 1 + 8_ '
В последнем выражении после преобразования числителя получается условие:
(1 + 5т )п [-(п - 1)1п(1 + 5т ) +5тфо (5т , п - 1)] < 0
Положительность числителя этого выражения при к > 1 доказана в работе [5, с. 72].
Поэтому Е(5т,п) > 0 при п > 2. Следовательно, при растущих платежах (4 > 0) максимальный платеж заемщика будет несколько меньшим, чем при убывающих платежах (4 < 0), хотя в практически важном диапазоне изменения параметров 5т, п это отличие будет незначительным.
Графики зависимости по = f(A) корней по уравнения А = Я1отах для 0 < А = А 5 < 0,2 и 0 < 5т < 0,02 (до 24 % годовых при ежемесячном обслуживании) при 4 < 0 представлены на рис. 1. Из расчетных данных следует, что, например, при А = 0,07 и 5т = 0,02 срок кредита может быть установлен продолжительностью не менее 36 расчетных периодов. Аналогично в случае 4 > 0 могут быть построены графики для нижней границы срока кредитования п* по уравнению А = Яптах.
п _ 2
п _ 2
п—1
2
A
300
250
200
150
100
50
5m = 0,005 5m = 0,01 5m = 0,015 5m = 0,02
0
0,02
0,04 а
0,06
0,08
0,1
24
22
n
о «
о s а ü с X
s
«
ü а и и о а
о
20
18
16
14
12
10
О 23,4 А
\ V\ \\ Л\
\
• • ч Лч
•лч • « \ л\
• К
10 • «
0,1 0,12 0,14 0,16 б
0,18
0,2
рис. 1. Нижняя граница допустимых значений срока кредита п0 от величины приемлемого для заемщика максимального платежа А = А/Б (по горизонтальной оси) при убывающих платежах обслуживаниякредита (4 <0)для 0 < А < 0,1 (а)идля 0,1 < А < 0,2 (б)
0
Алгоритм конструирования кредитов с заданными линейно изменяющимися платежами обслуживания
Приведем в рафинированном виде алгоритм конструирования кредитов с линейно изменяющимися платежами обслуживания. Пусть заданы основные иараметрыкредита-сумма£, срок займа п, номинальная годовая процентная ставка 5 и число платежей обслуживания в году т.
1. На первом шаге вычисляются ставка начисления в расчетном периоде 5т =5/т и зна-
(1 + 5т)П- 1
чениядисконт-функций ф0^т,я) =
9i(S»>n)=
[l + (n + 1)ôm]q)0(ôm ,n) -n
S (1+ S )n
m m !
2. На втором шаге определяются нижняя
S_
(40 = -(n -1) ) и верхняя (4* = -
)
(1 + 5т )п -1 - п5 границы области допустимых значений параметра 4. Таким образом, параметр 4 можно изменять только в пределах 40 < 4 < 4*. Нарушение этого условия (при 4 < 40 или 4 > 4*) приведет к появлению отрицательных значений платежей.
3. Далее выбирается любое значение 4 из
области допустимых значений, ивычисляет-ся величина первого платежа обслуживания
я = п—^—^-ч—ё—^-ч. В дальнейшем
(1 -4)Фо ( т , п) + 4Ф (5т, п) можно проводить вычислительный эксперимент, изменяя значение параметра 4 для получения желаемого графика платежей, поэтому выбор начального значения 4 из области его допустимых значений непринципиале н.
4. Затем строится расчетная таблица с п строками (от 1 до п) и шестью столбцами: у (номера строк, т. е. текущее дискретное время), ф0(5т, у -1), ф1 (5т, у-1)), Я^ Рр^'р в каждойклеткекоторойвы-числяются значения, соответствующие столбцам составленной расчетной таблицы, в частности:
я ,=Я[1+4( у -1)],
1 -
P, = S Sm (1 +S„ )
(1 -4)Фо (SM, j -1) + 4ф (SM, j -1)
(1 -4)Фо (Sm , n) +4Ф1 (Sm , n) .
G. = R. - P .
j J J
Значения функций фо (Sm, j -1) и ф (Sm, j -1) вычисляются по приведенным ранее формулам с заменой n на j - 1. В современных табличных процессорах (например в Microsoft Excel) достаточно
сделать вычисления для одной строки таблицы и распространить введенные формулы на другие строки с автоматическим изменением ].
5. Для проверки могут быть вычислены суммы
С =£ GJ, Рп = £ Ру, М = ]Г Яу и сопоставлены
у=1 у=1 у=1
с результатом суммирования соответствующих столбцов таблицы.
Планируемые максимальные значения платежей обслуживания кредита должны соизмеряться с возможностями заемщика, как это было описано ранее.
Заметим, что в настоящем исследовании, как и в работе [1], для удобства аналитического исследования интервалы между платежами Я. приняты постоянными. Но на практике платежи обычно связаны с определенными календарными датами й., поэтому интервал между платежами й - получается непостоянным. Для построения графика платежей обслуживания, «привязанного» к конкретным датам, предлагаемый метод конструирования кредитов несколько модифицируется, например по схеме, описанной в заключительных замечаниях к работе [1].
Практические приемы конструирования кредитов
Здесь будет представлено несколько примеров конструирования кредитов с заданными платежами обслуживания, образующими в одном случае возрастающую, а в другом - убывающую последовательность платежей. Отдельно будет продемонстрирована возможность конструирования составных кредитов с ломаным графиком платежей обслуживания, когда на различных временных отрезках в пределах срока кредитования используются растущие, постоянные или убывающие во времени платежи.
Пример 1. В банк обратились два заемщика с заявлениями о предоставлении кредита в размере 100 000 ед. на срок 2 года по ставке не выше 18 % годовых. После изучения финансового положения заемщиков банк установил, что максимальный размер платежа обслуживания как для первого, так и для второго заемщика не должен превышать 7 000 ед. При этом первый заемщик высказывает пожелание иметь график с убывающими платежами обслуживания, а второй, наоборот, - с возрастающими платежами. Можно предположить, что второй заемщик
после приобретения на средства кредита некоторых потребительских товаров планирует уже без привлечения займа на собственные средства произвести еще какие-то расходы, что ограничивает его возможности по обслуживанию кредита в начальные периоды. Другой вариант мотивации к переносу больших по размеру платежей обслуживания ближе к концу срока кредита связан, например, с ожиданиями улучшения благосостояния молодых семей в будущем.
Будем считать, что оба заемщика вполне соответствуют требованиям банка к уровню обеспечения кредитов и кредитор согласен удовлетворить их пожелания при разработке графиков обслуживания долга. По согласованию сторон принимается номинальная годовая процентная ставка 5 = 0,18 (18 % годовых), срок кредита п = 24 мес. (т = 12), ставка начисления 5т = 0,015, 5 = 100 000 ед.
Расчет для первого заемщика:
1) вычисляем значения дисконт-функций при заданных параметрах кредита 5 = 0,015 и п = 24. Получим фо (5т, п) = 20,0304 и ф1"(5т, п) = 236,1205;
2) при линейно убывающих во времени платежах обслуживания максимальный платеж приходится на конец первого месяца с момента выдачи кредита и составит при 4о =-(п -1)-1 =-0,04348 (на нижней границе области допустимых значений) величину
Я0
5
(1 "40)Ф0(5т , п) +4оФ1(5т, п) 100000
-= 9 403 ед.
1,04348 • 20,0304 - 0,04348 • 236,1205
Эта величина платежа превышает предельный размер платежа, приемлемый для этого заемщика (А = 7 000), поэтому приемлемое значение параметра 4 должно быть найдено из уравнения: R = А,
1ооооо „ппп
т. е. -= 7ооо. Получим
(1 -4) • 20,0304 + 4- 236,1205
значение 4 = -0,02658;
3 ) теперь может быть рассчитан график платежей обслуживания кредита по формуле Я. = Я[1 + 4( у -1)], где Я = 7 000 ед. (результат расчета представлен в табл. 1 и на графиках, представленных на рис. 2). В целях контроля вычисляется
п
сумма Мп = ^Яу и сравнивается с результатом
у=1
вычисления по формуле Мп = пЯ[1 + 0,54(п -1)]. В данном примере Мп = 116 638 ед.;
4) далее необходимо выполнить расщепление общего платежа обслуживания Я. на платежи по основному долгу Gj и процентные платежи Ру. Для
этого используются формулы, представленные в работе [1]:
P = 5 D. , = S5 (1 + 5 У-1
j m j-1 mV m'
1 -
j m j -1
(1 -4)фо (5m , j - 1) + 4Ф (5m, j - 1) (1 -4)Фо (5m , П) + 4Ф (5m, П)
j-1
G = R - R5 (1 + 5 )
] ] т V т'
{(1 - 4) [фо (5т , П) -Фо (5т , ] - 1)] +
4[ф (5т , П)-Ф1 (5т , ] - 1)]}.
Предварительно необходимо вычислить и занести в таблицу значения дисконт-функций Ф0 (5т,У -1) и ф1 (5т, ] -1). В принципе достаточно вычислить только Р или G, а затем использовать
У У'
разность G = Я - Р или Р = Я - G . В целях кон* ] ] ] ]]]
троля вычислительного процесса можно исполь-
п
зовать суммы Сп = ^Gj = 5 и Рп = Мп - 5 . Здесь
У=1
Рп = 16 638 ед., а Оп = 5 = 100000 ед., как и должно быть.
Расчет для второго заемщика:
1) значения дисконт-функций были найдены в расчете для первого заемщика;
2) найдем максимальный из платежей обслуживания при их линейном росте во времени. Он имеет место в момент завершения кредита и при выборе
5
параметра 4 = 4* =-т-= 0,215819 (на
Р Р Ь Ь (1 + 5т )п - 1 - п5т верхней границе области допустимых значений) и составит
я*тах = я
= S-
1 + 4.(n -1)
■ = 8 946 ед.
(1 -4.)Фо(8„, п) + 4.фД8„, п)
Таким образом, и для второго заемщика при выборе предельного значения параметра 4 = 4* размер максимального платежа оказывается неприемлемым. Здесь значение параметра 4 должно быть найдено из уравнения: Я = А, т. е.
100 000 [1 + 4(п -1)]
(1 -4) • 20,0304 + 4- 236,1205
= 7000. Получим
значение 4 = 0,051072;
3) рассчитаем график платежей обслуживания кредита по формуле Я у = Я[1 + 4( У -1)], вычислив вначале
100 000
R = -
1, 051072 • 20,0304 + 0,051072 • 236,1205 = 3 219 ед.
В целях контроля вычисляется сумма Kn = ^ Rj
j=1
и сравнивается с результатом вычисления по формуле Kn = nR[1 + 0,54(n -1)]. В данном примере К =122 627 ед.;
4) далее необходимо выполнить расщепление общего платежа обслуживания Rj на платежи по основному долгу Gj и процентные платежи P.. Для этого используются те же формулы, которые применялись для расчета графика платежей первого заемщика, но при 4 = 0,051072. Результаты проведенного расчета также представлены в табл. 1 и на графиках, представленных на рис. 2. Здесь Pn = 22 627 ед., а Gn = S = 100 000 ед.
Сравнительный анализ. Можно срав-нить сконструированные ранее кредиты с традиционным аннуитетным кредитом, где R. = R = S/ ф0 (5m, n), j = 1,2..., n. В таком случае при тех же параметрах кредита (S = 100 000 ед.,
5 = 0,015 и n = 24) получим R = 100000 = 4 992 ед. m * 20,0304
Тогда Kn = nR = 119 818 ед., Pn = 119818 -100000 = = 19818, т. е. сумма платежей обслуживания будет несколько большей, чем в кредите первого заемщика с уменьшающимися платежами (Kn=116 638 ед.), но меньшей, чем в кредите второго заемщика с растущими платежами (Kn = 122 627 ед.). Аналогично будут соотноситься и суммы процентных платежей.
Однако при сравнении кредитов надо опираться на прогноз изменения процентных ставок в будущем. Если они не изменятся в течение срока кредитования, то ставку реинвестирования можно принять равной ставке начисления в уже выданных кредитах, т. е. в = 5m. Тогда во всех кредитах современная стоимость ссудного капитала кредитора будет равна сумме займа (К n в = S), а наращен-
'в = 5m I
ная (терминальная) стоимость составит Кяв =
в = 5т
= S(1 + 5m)n = 100 000 • (1 + 0,015)24 = 142 950ед. Но, если сразу после выдачи кредита произойдет изменение рыночных процентных ставок и ставка реинвестирования уменьшится или увеличится, то современные и терминальные стоимости ссудного капитала кредитора в рассматриваемых кредитах изменятся по-разному. Здесь расчет можно сделать (1 -4)Ф0 (в, n) + 4Ф1 (в, n)
по формулам
= S-
для
(1 -4)Ф0 (5m , n) + 4Ф (5m, n)
современной и Knв = КnB (1 + в)п для терминальной стоимости [1].
Таблица 1
Фо (8m ,j -!) Ф (8„, j -1) Первый заемщик Второй заемщик
Текущие платежи D j (остаток основного долга) Текущие платежи D. j (остаток основного долга)
Я 1 (общий платеж) Pj проценты) G. i (долг) Я (общий платеж) Pj (пРоценты) G. j (долг)
0 - - - - - 100 000 - - - 100 000
1 0 0 7 000 1 500 5 500 94 500 3 219 1 500 1 719 98 281
2 0,9852 0,9852 6 814 1 418 5 396 89 104 3 383 1 474 1 909 96 372
3 1,9559 2,9265 6 628 1 337 5 291 83 812 3 548 1 446 2 102 94 270
4 2,9122 5,7955 6 442 1 257 5 185 78 628 3 712 1 414 2 298 91 972
5 3,8544 9,5642 6 256 1 179 5 076 73 552 3 876 1 380 2 497 89 475
6 4,7826 14,2055 6 070 1 103 4 966 68 585 4 041 1 342 2 699 86 776
7 5,6972 19,6928 5 883 1 029 4 855 63 731 4 205 1 302 2 904 83 873
8 6,5982 26,0000 5 697 956 4 741 58 989 4 370 1 258 3 112 80 761
9 7,4859 33,1017 5 511 885 4 626 54 363 4 534 1 211 3 323 77 438
10 8,3605 40,9730 5 325 815 4 510 49 853 4 698 1 162 3 537 73 902
11 9,2222 49,5897 5 139 748 4 391 45 462 4 863 1 109 3 754 70 147
12 10,0711 58,9279 4 953 682 4 271 41 191 5 027 1 052 3 975 66 172
13 10,9075 68,9646 4 767 618 4 149 37 042 5 192 993 4 199 61 973
14 11,7315 79,6769 4 581 556 4 025 33 017 5 356 930 4 426 57 547
15 12,5434 91,0428 4 395 495 3 899 29 117 5 520 863 4 657 52 889
16 13,3432 103,0406 4 209 437 3 772 25 345 5 685 793 4 891 47 998
17 14,1313 115,6491 4 023 380 3 642 21 703 5 849 720 5 129 42 869
18 14,9076 128,8476 3 836 326 3 511 18 192 6 014 643 5 371 37 498
19 15,6726 142,6160 3 650 273 3 377 14 815 6 178 562 5 616 31 883
20 16,4262 156,9346 3 464 222 3 242 11 573 6 342 478 5 864 26 018
21 17,1686 171,7840 3 278 174 3 105 8 468 6 507 390 6 117 19 902
22 17,9001 187,1455 3 092 127 2 965 5 503 6 671 299 6 373 13 529
23 18,6208 203,0006 2 906 83 2 823 2 680 6 836 203 6 633 6 897
24 19,3309 219,3314 2 720 40 2 680 0 7 000 103 6 897 0
Сумма - - 116 638 16 638 100 000 1 109 223 122 627 22 627 100 000 1 508 443
8 000 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0
8 000 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000
0 3 6 9 12 15 18 21 24
Срок кредита (число расчетных периодов)
а
Рис. 2. Текущие платежи
Р, G, Р, Я, при 5 = 100 000, ] ] ] ] г
8 = 0,015, п = 24 в зависимости
т ' '
от дискретного времени ] в кредите с убывающими (а) и возрастающими (б) платежами
при = -0,043348 < < 0,21582 = =
1 - общий платеж; 2 - долг; 3 - проценты
0 3 6 9 12 15 18 21 24
Срок кредита (число расчетных периодов) б
Примем для примера, что сразу после выдачи кредита ставка реинвестирования увеличилась до уровня в = 1,28т = 0,018 или уменьшилась до уровня в = 0,88т = 0,012. Результаты расчета приведены в табл. 2.
Расчеты подтверждают общий вывод, сделанный в работе [1]. Ожидая в будущем снижения ставок реинвестирования, кредитору выгоднее замедлять оборот ссудного капитала, оставляя у заемщика как можно большую часть своих кредитных
0
Таблица 2
результаты расчета для в = 1,25 = 0,018 и для в = 0,85 = 0,012
тип кредита в = 0,85 = 0,012 ' m ' в = 1,25 = 0,018 m
® „ в ® n в ® „ в в
Первый заемщик (уменьшающиеся во времени платежи, 4 = - 0,02658) 103 028 137 179 97 106 149 002
Постоянные платежи (аннуитет), 4 = 0 103 573 137 904 96 601 148 227
Второй заемщик (растущие во времени платежи, 4 = 0,051072) 104 054 138 545 96 154 147 542
ресурсов, поскольку при в < 5m за счет реинвестирования (новых кредитов) он не сможет получить такие проценты, какие приносит уже выданный кредит. И, наоборот, прогнозируя рост ставок реинвестирования, кредитору выгоднее быстрее вернуть размещенные кредитные ресурсы с процентами, чтобы вновь их разместить на рынке уже по более высоким ставкам. В стабильной ситуации (в = 5m) ссудный капитал Йяв = S не зависит от 4 .
Пояснение. В данном примере конструировались кредиты при отсутствии каких-либо комиссионных сборов, которые, однако, нередки на практике. Без комиссионных сборов доходность кредитора и затратность кредита для заемщика, определяемые по методике Банка России как внутренняя норма доходности IRR (официально именуется полной стоимостью кредита, ПСК), будут равны эффективной процентной ставке (ЭПС) 5ef = (1 + 5m)m -1. В представленном примере это 19,56 % годовых.
Как известно, в методике расчета IRR принято условие, что именно по этой наперед неизвестной ставке IRR и производится реинвестирование (для заемщика под реинвестированием подразумевается потенциально возможное доходное размещение тех средств, которые по договору займа приходится выплачивать кредитору в виде процентных платежей). На практике как кредитором, так и заемщиком реинвестирование производится по некоторой доступной каждому из них рыночной процентной ставке, которая может существенно отличаться от вычисленного значения IRR. Тогда доходность/затратность кредита может оцениваться операционной ЭПС [3, 4], где суммарные процентные доходы кредитора и затраты заемщика соизмеряются с суммой остатков основного долга. При отсутствии комиссий операционная ЭПС не зависит от ставки реинвестирования и для одного расчетного периода равна ставке начисления 5m; в годовом исчислении это будет ЭПС, определяемая по приведенной ранее формуле для 5ef. Однако существует достаточно распространенное представление о том, что эффективность кредита (доходность/затратность) может
оцениваться уровнем переплаты, т. е. величиной суммы процентных платежей (плюс комиссионные, если они есть), отнесенной к номинальной сумме займа (см., например, [7]). Это неверно, потому что сумма процентных платежей зависит от срока кредита и менее доходный, но более длительный кредит даст большую сумму процентных платежей, чем более доходный, но короткий кредит. Для устранения влияния фактора длительности кредита можно попытаться оценивать эффективность кредита величиной инвестиционной ЭПС, которая представляет собой среднегеометрический темп роста суммарных платежей обслуживания. В годовом исчислении (annual calculation) при отсутствии комиссий она вычисляется по формуле ra = [1 + Р„/S]т!" -1. Таким образом, в рассмотренном примере для кредита первому заемщику ra1 = 0,08 (8 % годовых), второму - ra2 = 0,1074 (10,74 % годовых), а в обычном аннуитетном кредите raa = 0,0946 (9,46 % годовых). Но такие показатели существенно ниже номинальной годовой процентной ставки (15 % годовых). Природа возникающей ошибки состоит в том, что сумма процентных платежей здесь соизмеряется с номинальной суммой займа, хотя в процессе обслуживания кредита часть заемных средств возвращается кредитору в виде платежей в погашение основного долга и используется им в ходе реинвестирования. По сути, в хозяйственном обороте заемщика в разное время использовалась лишь часть заемных средств, которую можно оценить суммой текущих остатков основного долга, а каждый из этих остатков (в любом расчетном периоде) меньше номинальной суммы займа (подробно этот вопрос рассмотрен в работах [3, 4]).
Представленное пояснение относительно доходности/затратности кредита дано исключительно для того, чтобы показать, что при отсутствии комиссий все рассмотренные кредиты с различными графиками платежей обслуживания одинаково эффективны для кредитора и заемщика, хотя суммарные процентные платежи в них различны. И второй заемщик вполне справедливо выплачивает большую
Таблица 3
Результаты оценки эффективности кредитов на основе операционной ЭПС р(е) = 5т (1 + Ри 8) при наличии единовременной комиссии кредитора в момент выдачи кредита в размере aS
Тип кредита в = 0 в = 8 т
Рп р(0) Р 11 п 8 Р(8т)
Первый заемщик (уменьшающиеся во времени платежи, 4 = - 0,02658) 16 638 8т (1 + 6,01а) 14 798 8т (1 + 6,76а)
Постоянные платежи (аннуитет), 4 = 0 19 818 8т (1 + 5,05а) 17 421 8т (1 + 5,74а)
Второй заемщик (растущие во времени платежи, 4 = 0,051072) 22 627 8т (1 + 4,42а) 19 738 8т (1 + 5,07а)
(22 627 ед.), чем первый (16 638 ед.), сумму процентных платежей кредитору, так как в течение срока кредита в его распоряжении находился больший объем заемных средств (сумма остатков основного долга 1 508 443 ед. против 1 109 223 ед. у первого заемщика, см. табл. 1), отвлеченных из бизнеса кредитора. При этом как у первого, так и у второго заемщика отношение суммы процентных платежей к сумме остатков основного долга составляет 8т = 0,015, что при 12 расчетных периодах в году соответствует номинальной процентной ставке 18 % годовых и эффективной ставке 19,56 % годовых.
Результаты оценки эффективности кредитов на основе операционной ЭПС р(в) = 8т (1 + а5/ Ря в) при наличии единовременной комиссии кредитора в момент выдачи кредита в размере а5 представлены в табл. 3.
Становится понятным, что при наличии комиссионных расходов заемщика доходность/затратность кредита существенно зависит от соотношения комиссионных платежей и суммы процентных выплат. Поэтому при одинаковых процентных ставках и ставках комиссии доходность/затратность кредита соответственно для кредитора и заемщика уменьшается с возрастанием суммы процентных выплат. Особенно тяжелым бременем для заемщика будут комиссионные сборы в коротких кредитах, где сумма выплаченных процентов относительно мала.
Пример 2. Требуется сконструировать 2-летний кредит, в котором в течение первого года имеют место линейно возрастающие во времени платежи обслуживания, а весь второй год они линейно убывают. Пусть, как и в предыдущем примере, п = 24 мес., 8т = 0,015, 5 = 100 000 ед. Ради простоты будем считать, что ограничений по размеру платежей здесь нет. Для сравнения будем использовать кредит, где в течение второго года платежи обслуживания постоянны.
Расчет:
1) здесь общие параметры (процентная ставка, сумма и срок займа), а, следовательно, значения Фо(8т,п) = 20,0304 и ф1 (8т,п) = 236,1205 будут такими же, как в предыдущем примере. На первом этапе кредита примем максимально возможное зна-
с
чение 4(1) = 4. =-т-= 0,21582;
(1 + 8т)п -1 - п8т
V т ' т
2) составим график платежей обслуживания, вычисляя Я = Я[1 + 4»(7 -1)], 7 = 1,2...п, где
я =_5_=
(1 )Ф0 (8т, п) + 4»ф (8т , п)
_100000_
=-= 1500 ед.
0,78418 • 20,0304 + 0,21582 • 236,1205
Реально на первом этапе заемщиком будут сделаны платежи Я7,7 = 1,2..., п1, где пх = 12, которые обозначим как я71 , а первый платеж Я1(1) = Я;
3) платежи Яу,7 = п1 +1,п1 + 2...п останутся нереализованными, поскольку при 7 = пх график обслуживания кредита «ломается» и платежи обслуживания второго этапа будут совсем иными. Для того чтобы их определить, найдем сперва приведенную стоимость условных (нереализованных) платежей второго этапа кредита в момент времени 7 = п., вычисляя
1в=8„
= I Я (1 + 8т)п1 -7 =
7=7'+1-«1
= (1 + 8т )"1
1в=8„
В = 8т
где ЖпВ|в=8 =1 ЯГ (1 + ~т
= 1 Я(у \1 + 8т) 7 - стоимость плате-
т 7=1
жей первого этапа, приведенная к моменту начала кредитования по ставке дисконтирования в = 8 ,
1в=8.
= 1 Я} (1 + 8т )-7 и
= 5 согласно
¿-и J 4 т' "в|в=8
^т у=1 т
основному свойству кредита [3] (условие замыкания контура финансовой операции [6, 8]).
п в
В рассматриваемом случае
/1 . £ 1
Фо(«т,П) = (о „ т; ~ = 10,90750, ф1 (5т,п) =
5 (1 + 5 )п
т V т '
[1 + (п1 + 1)5т ]фо (5т, п1 ) - П
5
= 68,96458,
= Яу1 + 4*(7 -1) = £ (1 + &тУ
Я[(1 - 4.)фс(5т, П1) + 4.Ф1 (5т, п)] =
= 1500[0,784181 -10,90750521 + 0,215819 • 68,96458149] = 35 156 ед.,
= (1 + 0,015)12 [100000 - 35 156] = 77 529 ед.
в=8,. Величину
1е=5т
надо рассматривать в
качестве суммы нового займа
5(2) = Ё2
1е=5_
Я =
(1 -4)ф0 (5т, П) + 4Ф1 (5т , П)'
После этого вычисляются все реальные платежи второго этапа обслуживания кредита по формуле
Я(2) = Я(2)[1 + 4(2)(У-п -1)], 7 = п +1,п + 2...п
или
Я(2) = Я(2)[1 + 4(2)(7 -1)], 7 = 1,2...п2.
Теперь можно составить общий график платежей, объединяя платежи первого и второго этапов:
и реальные процентные платежи второго этапа рассчитывать уже по этой сумме при п2 = п - п1 = 12, 402) =-(п2 -1)-1 =-0,09091 и
4*2) =-т-= 0,96042. Тогда, при
(1 + 5т)п2 -1 - п25т
V т * 2 т
убывающей во времени последовательности платежей обслуживания на втором этапе надо выбрать 402) <4(2) < 0 . Подчеркнем важность выбора 4(2) >4о2), поскольку при 4(2) = 402), как отмечалось в работе [1], последний платеж обслуживания становится нулевым, что означает сокращение срока кредита на один расчетный период и противоречит условию кредитного договора. Вообще говоря, на практике при проектировании кредитов удобно вместо выбора значения 4 > 40 задавать величину последнего платежа Яп > 0 и находить соответствующее 4 из уравнения [1]
5[1 + 4(п -1)]
Я(+) = 1 Я0, 7 = 1,2.п
7 | Я®, 7 = п1 +1, п + 2...п.
Здесь текущий платеж составного кредита обозначен как Я(+\ чтобы отличать его от предварительно рассчитанного потока, из которого часть платежей (для 7 < п1) образовала поток обслуживания на первом этапе, а другая часть (для п +1 < 7 < п) - была пересчитана в новый кредит с платежами обслуживания Я(2);
4) далее необходимо выполнить расщепление общего платежа обслуживания Я(+) на платежи по основному долгу G(+> и процентные платежи Р(+\ Для этого применяются формулы, представленные в работе [1], которые уже использовались и в настоящем исследовании при расчетах кредитов первого примера. Предварительно необходимо вычислить и занести в таблицу значения дисконт-функций фо (5т, 7 -1) и Ф1 (5т, 7'-1) при 1 < 7 < п на первом этапе кредита, а также Ф0 (5т, 7 - п -1) и Ф1 (5т,7 - п -1) при п +1 < 7 < п на втором этапе. Причем, поскольку в данном приме -ре п1 = п2, то Фо (5т, 7 - 1) =Фо (5т, 7 - п1 - 1) и
Ф (5т, 7 - 1) =Ф1 (5т , 7 - п1 - 1).
Как уже отмечалось в первом примере, для
расщепления общего платежа достаточно вычислить, например, Р(+), далее по нему найти
В рассматриваемом примере это уравнение G(+) = Я« - р(+). Тогда для платежей первого этапа
имеет вид:
Яп2) =
5(2)[1 + 4(2)(п2 - 1)]
используется формула
(1 -4(2))Фо (5т , п2 ) +4(2)Ф1 (5т , п2 У
откуда при 5(2) = 77529 ед., Ф0 (5т, п2) = 10,90751, Ф1 (5т, п2) = 68,96458, выбирая Я(п2) = 200 ед., получим 4(2) =-0,08957. Поэтому
5 (2)
Я(2) __5_=
(1 -4(2)}фс(5т, п2) +4(2У(5т , п2)
__77 529__
" 1,08957-10,90751 -0,08957• 68,96458 " = 13 584 ед.
(1 -4(1))фо (5т , 7 " 1) +4(1)Ф1 (5т , 7 " 1)
Р?> = 5(1)5т (1 + 5т )7-1
(1)„
1 -
(1 "4(1))фо (5т , п) +4(1)Ф1 (5т , п)
(1)„
7 = 1,2... п1.
Но на втором этапе применяется другая фор-
мула
Р(2) = 5(2)5т (1 + 5т )
(2)
]-п1 -1
1-
(1 - 4(2) )Фо (5т, 7 - П1 -1) + 4(2)Ф (5т, 7 - п -1) (1 -4(2))Фо (5т, п2 ) + 4(2)ф (5т, п2 )
7 = п1 +1, п1 + 2...п.
В целях контроля вычислений можно исполь-
п
зовать суммы Оп = ^ С- = S и Рп = Кп - . Здесь
-=1
Кп = 122 071 ед., Рп = 22 071 ед.,а Оп = 5 = 100000
ед.
14 000
12 000
10 000
8 000
6 000
4 000
2 000
12 421 о\ ■ ж 3 584
• Ж • к • 1 ■ • *
4 (1)= 2)= - 0,21. 0,08 58 96 •ш Л
1\ 2 5 06 1
1 50 0 У • •• • ** 3 8 40 3 / ■
• 1 221 1 163 20 0 \ 197 ^
• •• ••
Результаты расчета представлены в виде графиков на рис. 3 (а, б), где также даны значения платежей нарастающим итогом (в, г). Для сравнения на рис. 3 (справа) приведены и графики кредита, в котором на втором этапе используется обычный
14 000
12 000
10 000
8 000
6 000
4 000
2 000
4(1) = 0,2158 £?)= 0
7 003
0 3 6 9 12 15 18 21 24
Срок кредита (число расчетных периодов)
0 3 6 9 12 15 18 21 24
Срок кредита (число расчетных периодов)
а
140 000
120 000
100 000
80 000
60 000
40 000
20 000
122 071
£ £ (1) = 2) = 0,21 0,0 58 96
1 ч • * • / •
• • # • -2
39 366 Я И • я • Ж Ш Т •
» • • 22 471 22 071
Тел Ш 16 89 5 ч3
0 3 6 9 12 15 18 21 24
Срок кредита (число расчетных периодов)
140 000
120 000
100 000
80 000
60 000
40 000
20 000
— £(1) = £ 0,2 2) = 158 0 124 660 р
Р • • • • • • •
• • г • г •
39 366 • г • / •
• / /22 471, 24 660
Л( г*1 6 895
0 3 6 9 12 15 18 21 24
Срок кредита (число расчетных периодов)
г
Рис. 3. Текущие Р- , С- , Rj (а, б) и наращенные Р-, G- , М- (в, г) платежи по кредиту при 5т = 0,015, п = 24 в зависимости от дискретного времени 1 < - < 24 (месяцев) в течение срока кредита для различных значений параметра Е; 1 - общий платеж; 2 - долг; 3 - проценты по кредиту
0
0
0
0
Таблица 4
~ ^ Я,
результаты расчета современной К Е = У--—- и терминальной (наращенной) стоимости
п р! (1 + Е)7
ссудного капитала Мп Е = Мп Е (1 + е)п кредитора при различных значениях ставки
реинвестирования (дисконта)
Тип кредита на втором этапе Е= 0 Е = 0,85т = 0,012 Е =5т = 0,015 е = 1,25т = 0,018
К п Е = К Е= К я К п Е К Е К я Е К я Е К я Е К Е
Уменьшающиеся платежи, 4 = - 0,08957 122 071 103 997 138 470 100 000 142 950 96 189 147 595
Постоянные платежи, 4 = 0 124 660 104 410 139 020 100 000 142 950 95 820 147 029
аннуитетный кредит с платежами обслуживания в виде постоянной ренты. Расчет второго этапа такого составного кредита производится по аналогичной процедуре с учетом 4(2) = 0
Сравнительный анализ. На первом этапе платежи в обоих сконструированных кредитах совершенно одинаковы. Различия проявляются только на втором этапе при 7 > п1. Здесь в одном кредите все платежи монотонно убывают, а во втором - общий платеж обслуживания сохраняется постоянным, хотя при этом выплаты в погашение основного
долга растут, а процентные платежи убывают. Ре-
пЯ
зультаты расчета современной ЁпЕ = У ^—и
терминальной (наращенной) стоимости ссудного капитала КпЕ = КпЕ (1 + е)п кредитора в этих кредитах при различных значениях ставки реинвестирования (дисконта) представлены в табл. 4. Из расчетных данных следует, что в случае, если сразу после выдачи кредита рыночные ставки доходного размещения денежных средств упадут (е < 5т), то большее приращение ссудного капитала кредитору как по современной, так и по наращенной (терминальной) стоимости даст кредит с постоянными платежами обслуживания на втором этапе. И, наоборот, если рыночные ставки размещения вырастут (Е>5т), то больший прирост ссудного капитала кредитору обеспечит кредит с уменьшающимися платежами обслуживания на втором этапе. При е = 5т оба кредита дадут одинаковый результат.
Пояснение. Важно отметить, что в данном примере конструирования составных кредитов на втором этапе возникает существенный скачкообраз-
ный рост размера платежей обслуживания. Чтобы его уменьшить (или даже сделать отрицательным), необходимо, как показано в работе [1], уменьшить сумму займа или увеличить срок кредита. Это кредитору придется сделать, если будет принято условие ограниченности платежей до посильного для заемщика уровня (как в первом примере), однако в рассмотренном примере расчет проводился без такого ограничения.
Список литературы
1. Жевняк А. В. Конструирование кредитов с заданными платежами обслуживания // Финансы и кредит. 2012. № 33.
2. Жевняк А. В. Математические модели и общие свойства кредита // Финансы и кредит. 2012. № 15.
3. Жевняк А. В. Операционная и гомогенная эффективные процентные ставки как меры стоимости кредита // Финансы и кредит. 2012. № 18.
4 . Жевняк А. В. Стоимость кредита и как на нее влияют комиссионные платежи заемщика кредита // Финансы и кредит. 2012. № 19.
5. Жевняк А. В. Математическая теория дисконтирования денежных потоков. Математическая теория кредита. Рязань: Ринфо. 2010. 384 с.
6. Кузнецов Б. Т. Финансовая математика. М.: Экзамен. 2005. 128 с.
7 . Федоров Б. В. Как правильно взять и вернуть кредит: на покупку недвижимости, автомобиля, техники. СПб.: Питер. 2008, 203 с.
8. Четыркин Е. М. Финансовая математика. М.: Дело. 2002. 397 с.
