Алгоритм адаптации многолучевой антенны Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

АЛГОРИТМ АДАПТАЦИИ МНОГОЛУЧЕВОЙ АНТЕННЫ

© С.Г. Зайцев, Н.П. Федоров

Zaytsev S.G., Fedorov N.P. The adaptive algorithm of a multibeam antenna. An adaptive adjustment algorithm of a multibeam aerial weight factors vector is investigated on the basis of consecutive recurrent perpendicular to its own vectors of handicapes and noise selective correlation matrix in relaxation multipliers view. The modeling results for various cases of handicap and mistakes influence in calculations accuracy of multipliers relaxation are submitted.

В линиях (системах) связи с многолучевыми антеннами (МЛА), при адаптации к сигналыю-помеховой обстановке (СГІО). целесообразно использовать информацию об угловом положении постановщиков помех (ГТП) и сигналов. Информация об угловом положешш ПП и сигналов позволяет применять сложные критерии оптимальной настройки МЛА, учитывающие особенное™ функционирования рассматриваемой линии (системы) связи. В связи с этим, для формирования диаграммы направленности (ДН) МЛА, представляют интерес пол'лшемые на этане пеленгации собственные значения (СЗ) и собственные вектора (СВ) выборочной корреляционной матрицы (КМ) помех и шумов (КМТШІ). На возможность такого подхода указано, например, в [1], где приведено выражение для оптимального вектора весовых коэффициентов (ВВК) МЛА, вычисляемое по СЗ и СВ выборочной КМПШ. Критерием оптимальности настройки является максимальное отношение сигнал - (помеха + шум). Однако в системах связи с комплексной защитой от помех, использующих методы как пространственной селекции, так и сигнальные, на этапе пространственной обработки важно поддерживать заданное усиление в направлении полезного сигнала.

Целью работы является исследование алгоритма адаптивного формирования ДН МЛА с использованием найденных па папе пеленгации СЗ и СВ КМПШ, обеспечивающего минимизацию мощности помех с сохранением усиления в направлении на полезный сигнал, па основе идеологии последовательной рекуррентной ортогонализации, с использованием проекционных алгоритмов.

Ограничения на усиление в направлении прихода полезного сигнала запишем в виде

.<ГИ7=К, (1)

где IV - ВВК, определяющий амплітуді ю-фазовое распределение (АФР) по элементам МЛА, У комплексная пост оянная; £ - вектор, элементами которою являются СЗ КМПШ. ~ - знак эрмитова сопряжения.

Для нахождения оптимального ВВК, минимизирующего мощность помех на выходе МЛА. при выполнении условия (1), воспользуемся наиболее обидам подходом к построению проекционных алго-

ритмов. В данном случае решением (1) является уравнение вида

ЯИШ1У +а!У = Я , (2)

где ш - ковариационная матрица помех и шумов

(КвМГНП): а - малое положительное число, причем данное число отлично от нуля и не равно любому СЗ

вектора Л .

Уравнение (2) имеет одно единственное решение в виде [3]

нМлпш +а/)Л".

где / - единичная матрица размера Л' х Л’, .V - число каналов обработки. Решение уравнения (2) может быть также получено с помощью процедуры Лиувил-ля-Неймаиа, представленной в рекуррентном виде [3]

=а'|(^-Л11Ш/(7'1";), при Ж(0) = 0 (4)

Данное итерационное выражение фактически описывает алгоритм адаптивной иас'фойки МЛА. Решающее значение на поведение алгоритма оказывает выбор параметра а. Этот выбор должен отражать критерии и условия настройки. В каждом конкретном случае обоснование данного параметра необходимо производить согласно выбранным критериям.

Для конкре тного случая подействуем па обе части уравнения (4) сопряженным оператором 5 , прибавим

к обеим частям полученного уравнения IV справа, меняя сомножители местами и, перехода к итерационному выражению, получаем

при(Г(!1|=0. (5)

Комбинируя (3) и (5) и для упрощения решения

переходя к Л'. получаем выражение для ВВК на (н + 1 )-ом шаге

IV (,,+п = .V + [(/ - Ра )1\ ] IV (п), (6)

где Ра и Рь - операторы ортогонального проецирования, определяемые выражениями

-8 (V \) .V

(7)

где и} - матрица размера Л'х./, столбцами которой являются СВ КМПШ, где элементами являются й ,

/ = I./ . Подставляя в (6) операторы проецирования (7), получаем итерационный алгоритм вычисления оптимального ВВК

IV

(п+1)

/ -и

(г г )

IV

(п)

(8)

Для реализации алгоритма (8) необходимо вычислить помеховые СВ КМПШ.

Для пояснения воспользуемся геометрической интерпретацией, рис. 1. Пусть в нашем случае имеем 5 - векторное подпространство, порожденное вектором S , - ортогональное дополнение к 5, - век-

торное подпространство, порожденное помеховыми

собственными векторами V, а именно, й .. / = \,.1

матрицы Л11Ш, Р - ортогональное дополнение к Р_. Пусть имеются Ри О], Рі_, О7 - ортогональные проекторы на X, 5±, Р, соответственно. Если вектор

IV принадлежит подпространству Р, то IV единственным образом восстанавливается по своей проекции, Л" = Ра IV , принадлежащей подпространству .Ь', если: {()}, где {()} - нуль-подпространство;

б) &(Р, > 0, т. е. 11 I < 1, где норма оператора

ОЛ ‘ '

ЩаРь\\ = эпр

X

1>аРь*\

(9)

II

Исходя из общего определения проекторов [2), получаем выражения для операторов ортогонального проецирования на подпространства 5, Л’ , Р. Р_. определяемые выражением (7). С учетом вышеприведенного получаем рекуррентное выражение дтя ВВК. ортогонального СВ /<И И1, по его проекции на подпространство оіраинчепий, определяемое выражением (8).

Для обеспечения более высокой скорости сходимости и точности вычислений воспользуемся методом множителей релаксации. Правильный выбор множителей релаксации обеспечивает требуемую скорость сходимости и точность вычислений, что представлено на рис. 2. С учетом множителей релаксации проектор Рь заменяется проектором Ть, Р., на Та вида

т„=і+х2{рь-і),т. =і+х1{рІІ-і).

(10)

где Л|, /,2 - параметры релаксации.

Заменяя в выражении (6) проекторы Ра и на ре-лаксированиїле проекторы Та и Ть, получаем окончательное выражение для алгоритма адаптации

сигнальный вектор е результата едаггтации

Рис. 1. Геометрическая интерпретация сходимости алгоритма

Рис. 2. Геометрическая интерпретация сходимости релаксировашюго алгоритма

«/(«).

(И)

Сходимость алгоритма гарантируется вследствие выполнения условий, накладываемых теоремой Юла [3]. При определении параметров релаксации возможны три варианта: параметры релаксации фиксированы и не меняются в течение всей процедуры адаптации; параметры релаксации меняются независимо друг от друга на каждом шаге процедуры адаптации (пошаговая релаксация); параметры релаксации меняются независимо друг от друга через несколько шагов (поцикловая релаксация).

Определим последовательность выбора параметров релаксации. Для упрощения анализа будем рассматривать двухшаговые алгоритмы

1 о//1

"2 Ор1

1<е [()Г 1" 11 -1У1"',(Ра !)и )|

(((Л,-')»7.,,!'

Яе[(іГ(н)-^1и,(^-/)^Іи^

I(Ръ -/)»У2

;и)

где IV (п |) - значение ВВК на (и - 1) шаге адаптации, ||ЛЦ - норма вектора (матрицы).

Для случая поцикловой оптимизации получаем выражения для оптимальных параметров релаксации

'“Хорі

\{-РьРа-Рь1+Ра-і)У

(«-!)

- + 2

РЛ

/ (И-1)

; (и-1)

,(15)

1Г]П=ГЛ(П)> И7'"-0 =?■/,„, ^(«+1) =тьТаІЇ°'\

(12)

К2ор, - * +

| (рь,рі">-рарь1р^

где IV, - промежуточный ВВК, получаемый па каждой итерации после первого шага. IV1"'- ВВК, полученный на л-ой итерации. Для пошаговой релаксации получаем

та, =1+^(Рл ~П, Т„=1+к2(Рь-1), (13)

где X, Д2 - параметры релаксации на н-ом шаге.

Для варианта пошаговой релаксации оптимальные значения Л|0р,, Х,20р| могут быть вычислены исходя из выражении

Яе |(іV (',_п -Рь1У{п).Рь1-У (п) -IV

У\,рьіу(п> -/-г 1";

Однако остается открытым вопрос о допустимом угловом рассогласовании сигнала и помехи, а также ошибок в точности вычислений множителей релаксации при определении работоспособности гшгоритма. Этот вопрос исследовался в ходе моделирования алгоритма на ЭВМ. Результаті,і моделирования алгоритма (12) для 8-лучевой МЛА приведены на рис. 3,4 и 5.

£, (%) С(Дб)

к (шаги)

Рис. 3. Зависимости выходного отношения сигнал - (помеха шум) (г (Дб) и математического ожидания эвклидовой нормы вектора потерь усилений относительно асимптотического с, (“,ь) от числа шагов п

На рис. 3 и 4 представлены -зависимости выходного отношения сигнал - (помеха + шум) О (дБ) и математического ожидания евклидовой нормы вектора потерь усилений относительно асимптотического £ (%) от числа итераций н (шагов) для четырех случаев: кривые 1, 2 соответствуют случаю, когда мощность сигнала Рс = 10, сигнал принимается по нормали к апертуре, мощность помехи Р„ = Ю, помеха принимается под углом 25° относительно нормали, мощность шума в каждом канале обработки Рш = 1 (кривая 1 - для асимптотической КМПШ, 2 - для выборочной КМПШ, причем размер выборки Л;в = 16Л- кривые 3, 4 соответствуют случаю, когда мощность сигнала Рс = 10, сигнал принимается по нормали к апертуре, на МЛА воздействуют- три помехи мощностью

Рп = 10, /=1,3. углы прихода помех составляют <2п! = -25°, Оп2 = 25°, <9п3 = 45° (кривая 3 - для асимптотической КМ11Ш, 2 - для выборочной КМПШ, размер выборки Л'в = 16). Анализ рис. 3 показывает, что независимо от объема обучающей выборки и числа помех обеспечивается сходимость алгоритма практически за две итерации. Однако уменьшение объема выборки приводит к потерям в эффективности (в данном случае при Л'в = 16 наблюдаются потери в отношении сигнал - (помеха + + шум) 10... 15 % от оптимального). Отметим, что уменьшение размера выборки (Л'в < 2Л’, где V -число антенных -элементов) приводит' к вырожден-ности КМПШ. В этом случае требуется введение регуляризации.

На рис. 4 приведены результаты моделирования для случая прихода помехи в главном лепестке ДН. Рассматриваются четыре ситуации, отличающиеся углом 0„. Во всех ситуациях мощность сигнала Рс = 10, мощность помехи Р„ = 10, мощность шума Рш = 1, размер обучающей выборки Л'в =16. Анализ рис. 4 показывает, что с уменьшением углового рассогласования между сигналом и помехой не только надает асимптотическое отношение сигнал - (помеха + шум), но и существенно ухудшается сходимость алгоритма. Интересно заметить, что пуль ДН формируется несколько в стороне от направления прихода помехи, это предохраняет главный лепесток ДН от разрушения. Интересно и то, что уменьшение размера обучающей выборки при подавлении помехи в главном лепестке сказывается в меньшей степени, асимптотические кривые совпадают с приведенными па рис. 3, чем при подавлении помех по боковым лепесткам.

На рис. 5 представлені,! зависимости потерь усиления ЛГ/ (%) от числа итераций и (шагов) при различных погрешностях вычисления параметров релаксации Л/. (%). Анализ показывает, что при погрешности в задании релаксаторов относительно оптимального значения до 10 % потери усиления составляют до 5 %. Увеличение погрешности до 40 % приводит- к потерям усиления до 6-8 %, что лучше, чем для не релаксированиого алгоритма. В пределе релаксированный алгоритм дает ошибку не более 1 %, однако достижение этого требует значительных вычислительных мощностей. Осо-

{,(%) С(Дб)

Рис. 4. Зависимости выходного отношения сигнал - (помеха -г шум) О (Дб) и математического ожидания эвклидовой нормы вектора потерь усилений относительно асимптотического % (%) от числа шагов п

ЛО(%)

Рис. 5. Зависимости потерь усиления Л О (%) от числа шагов п алгоритма для различных значений погрешностей задания параметров релаксации

бенноетью применения множителей релаксации является и то, что умеш>шение погрешности ВЫЧИСЛСШ1Я релаксаторов приводит к более быстрой сходимости алгоритма. Интересным является факт необходимости использования комбинированного алгоритма использования релаксаторов, а именно вначале пошаговую (от 1 до 3 шагов), а затем ноциклоьую релаксацию, что позволяет улучшить сходимость алгорт ма.

ЛИТЕРАТУРА

Генбриел /■ ’ГИГГЗ}’. ]У76. T 64 .Ys> 2

Стренг Г. Линейная алгебра и ее применение. М Мир. 1980.

i Si I с

l-'uhiy М.Л., Ross (.1. Nielo-Vespennus, Nuiser A.M.J. Encoding of information in inverse problems Opt Acta 29 P 23-40.

Поступила в редакцию 22 марта 1999 l.