Алгебраическое описание логически определяемых языков Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 2. Если x* £ intD - решение задачи (1), то

Рп(х*)дЯ(х*) П Я(х*)дрп(х*) = 0. (5)

Доказательство. В соответствии с условием минимума субднфферен-цируемой функции для х* £ тШ ([3, с. 239]) должно выполняться 0р £ д^(х*), что в соответствии с формулой (3) эквивалентно

0р £ (рп(х*)Ж(х*) - Я(х*)дрЦ(х*))

или соотношению (5).

Теорема 3. Если точка х* £ Б является решением задачи (2), то

Rp (x*)dR(x*) - ppQ-1(x*)dpn(x*) П K +(x*, D) = 0, (6)

где K +(x*, D) - сопряженный конус к конусу возможных направлений мно-Dx

Доказательство. В соответствии с условием минимума субднфференцн-руемой функции на заданном выпуклом множестве [3, с. 239] должно выполняться соотношение d^2(x*) П K+(x*,D) = 0, которое, учитывая формулу (4), эквивалентно (6).

R(x)

ренциала функции pp(x), в которых отражается зависимость от нормы и множества D имеются в [2]. Это придает соотношениям (5) и (6) конструктивный вид и позволяет решать конкретные задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Боннезен Т. Фенхель В. Теория выпуклых тел, М,: ФАЗИС, 2002,

2, Дудов С. И. Златорунская И. В. Равномерная оценка выпуклого компакта шаром произвольной нормы //Мат.сб. 2000, Т. 191, №10, С, 13-38,

3, Демьянов В. Ф. Рубинов A.M. Основы выпуклого анализа и квазидифференциального исчисления, М,: Наука, 1990,

УДК 519.4

В.А. Молчанов

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛОГИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ЯЗЫКОВ

В настоящей статье продолжается исследование языков произвольных слов, начало которому было положено в [1]. Рассматривается конечный алфавит А и следующие множества слов: Wfin(A) - множество всех конечных слов, W^(А) - множество всех бесконечных вправо слов, W^(А) - множество всех бесконечных влево слов, W^(А) - множество всех бесконечных в

обе стороны слов и W(А) = Wfw(A) и W^(А) и и - множе-

ство всех слов над алфавитом А. Подмножества W (А) называются языками произвольных слов над алфавитом А.

В работе [2] показано, что класс Иео^(А) распознаваемых полугруппа-

А

единений множеств вида X, XУ, ХУ, X_У^, где X, У, ^ - рациональные языки над алфавитом А и X= {^и2 ... : и^и2, ••• Е X }, X= {...м-2м-1 : м-1,м-2, ••• Е X }. В работе [3] показано, что класс Иее^ (А) содержится в классе Иее^(А) всех таких языков произвольных слов, которые определяются формулами языка С монадической логики 2-го порядка сигнатуры О = {<, (Яа)аЕА}, состоящей из одного символа бинарного предиката < и семейства символов унарных предикатов Яа (а Е А). Целью настоящей работы является доказательство обратного включения Иееь(А) с Иее^(А).

Для языка Ь с W(А) и пустого слова Л положим: Lfin = Ь П ^^п(А), Ь^ = Ь П W^(A), Ь^ = Ь П W^(A), Ь" = Ь П W"(A), Ьт4 = Ь^ и Ь^ и Ь", Ь^п = Ь^п и Ь^ и {Л}, Ь^п = Lfm и Ь^ и {Л}. Согласно [1], рациональными операциями на множестве подмножеств W(А) являются тернарное произведение [...] и бесконечная степень которые определяются следующим образом: [К,Ь,М] = К^Ь^М^, = Ь+тиЬ+ЩиЬ_£иЬ^, где Ь+п = {и... ип : п Е N и иь..., ип Е Lfm}, ~Цт = {... и_1иои • • • : ип Е Lfin для всех п Е Ъ}.

Лемма 1. В результате применения к рациональным языкам над алА

Иее^ (А).

Согласно [3], для каждого словам Е W(А) (рассматриваемого как отображение некоторого отрезка множества Ъ в алфавит А) определяется алгебраическая О-система = (Ъ, <, (Яа)аЕА), где < - отношение сравнения

целых чисел ийа = и (а) (а е А). При этом слово и удовлетворяет формуле Ф языка С, если |= Ф. Множество всех слов и Е W(А), удовлетворяющих формуле Ф, называется спектром формулы Ф и обозначается Б(Ф).

Пусть Ф = Ф^,...,^,^,...^) - формула языка С, содержащая предметные переменные х1,..., хр и унарные предикатные переменные X!,... , значения которых в модели представляются с помощью интерпретации 0 = (О1, 02), где отображает предметные переменные в элементы множества М и 02 отображает унарные предикатные переменные в

М.

По аналогии с изложенным в работе [4] методом доказательства эквивалентности автоматов Буши и языка монадической логики 2-го порядка условие = Ф можно естественно описать с помощью нового алфави-

та B = A x {0,1}2m, элементами которого являются упорядоченные наборы b = (a, ki,..., k2m) для некоторого фиксированного натурального числа m > max{p, q}. В этом случае компонента a называется носителем слова b и обозначается a = n0(b), ki , . . . , k2m b

ваются его маркировками и обозначаются kj = nj(b) для всex i = 1, 2m. В результате каждому маркированному слову w G W(B) соответствует однозначно определенное слово w = п0(w) над алфавитом A и 2m двоичных слов Wj = nj(w) (i = 1, 2m). Тогда условие Mw = Ф можно описать с помощью однозначно определенного маркированного слова w^ G W (B), удовлетворяющего условиям: (1) (w#) = w, (2) для каждого i = 1,m значение 0i (xi) = n в том и только том случае, если соответствующая i-ая маркировка n-ой буквы слова w^ равна 1, (3) для каждого j = 1,m интерпретация 02(Xj) состоит го номеров всех таких букв слова w^, у которых (m + j )-ая

1. B

вать допустимыми, если соответствующие им двоичные слова wj при всех i = 1, m содержат точно одну 1. Множество всех допустимых слов над алфавитом B обозначим D.

Рассмотрим следующие множества маркированных букв: Cj = {b G B : ni(b) = 1}, Ci>a = {b G B : no(b) = a Л nj(b) = 1}, Ci>A = {b G B : n*(b) = 1 Л nk(b) = 1}, где 1 < i,k < 2m и a G A. Легко видеть, что множество D представляется в виде: D = Р|i<;i<m ([B^,Cj,BTO]\[B, CjB*Cj,Bи, значит, принадлежат классу языков Rees (B).

Таким образом, для формулы Ф над алфави том B однозначно определяется маркированный спектр Sв(Ф), состоящий из всех таких маркированных слов w0 G W(B), что Mw = Ф для некоторой интерпретации 0. Ясно, что при описанном подходе маркированный спектр атомарной формулы Ra(xj) будет состоять из допустимых слов, у которых па месте 0i(xi) стоит буква с носителем a, маркированный спектр атомарной формулы Xj < Xk будет

i1

меньше номера буквы с k-ой маркировкой 1, маркированный спектр атомарной формулы Xj = Xk будет состоять из допустимых слов, у которых помер буквы с i-ой маркировкой 1 равен номеру буквы с k-ой маркировкой 1, и маркированный спектр атомарной формулы Xj (xj) будет состоять из допустимых слов, у которых буквы с i-ой маркиров кой 1 имеют также (m + j )-ую 1.

Лемма 2. Маркированные спектры атомарных формул представляются в виде:

SB(Ra(Xj)) = D n [BTO,Cj>a,BSB(Xj < Xk) = D n [B*Ck,B~], Sb(Xj = Xk) = D П [B-,Cj>k,B~], SB(Xj(Xj)) = D n [B, Cj>m+j,B~],

w7 значит,, принадлежат, классу языков Rees(B).

Для каждого i = 1,2m обозначим отображение множества B на множество B' = A х {0,1}p+q-i, которое в маркированных буквах b = (a, k^ ..., k2m) из множества B удаляет i-ую маркировку, т.е. n-i(b) =

(a, ki,..., ki-i, ki+i ,...,k2m).

Лемма 3. Длл любых формул Ф, Ф языка С и значений 1 < i,j < m выполняются равенства: SB (Ф А Ф) = SB (Ф) П SB (Ф), Sb(ФУФ) = Sb(Ф)_иБв(Ф), SB(-Ф) = D\SB(Ф), п-<(3в(Ф)) = SB(№)Ф), n-(m+j) (S в (Ф))= S B' ((3Xj )Ф).

Теорема. Для любого предложения Ф язык а С спектр S (Ф) принадлежит классу языков RecS(A).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Moïchanov V.A. Nonstandard approach to general rational languages // Contributions to General Algebra. 2001. V. 13. P. 233-244.

2. Молчанов В.А. О распознавании языков полугруппами и автоматами // Математика. Механика: Сб. науч. тр. 2006. Вып. 8. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. С. 83-86.

3. Молчанов В.А. О логической определяемости языков на конечных автоматах // Математика. Механика: Сб. науч. тр. 2007. Вып. 9. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. С. 8386.

4. Buchi J.R. Weak second-order arithmetic and finite automata // Z. Math. Logik and Grundl. Math. 1960. V. 6. P. 66-92.

УДК 519.4

В.Е. Новиков

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ В ФОРМАЛЬНОМ КОНТЕКСТЕ

Статья продолжает исследование связи между структурой формальных

п

шепни, которые были начаты в [2].

Восстановим основные определения концептуального анализа [3], исполь-

п

отношением. Пусть р С М1 х • • • х Мп - п-арное отношение, где п := (1, 2,..., п), Мп := М1 х М2 х ••• х Мп, 11 = ¿1 и гк := (¿1, ¿2,..., г*), х^ := (х^, х^2, ...,х^к), М1к := М^ х М^2 х ••• х М^ для произвольных 1 < г1 < ... < г* < п, при этом также обозначаем С п. Говорим, что к-система х1к входит в отношение р, если существует п-спстема хп Е р, для которой элементы х^, х^2,..., х^к являются её соответствующими компонентами. Для С п а«8 Е М^, X С М^ обозначим:

Пк(Р) := {У!к Е М!к I Ьвх0Дит в р};

}(р) := {хп Е р 1 аь С хп}; р!к(хь> := П!к}(р));