CC BY
17
2. Субботин Ю.Н. Новый кубический элемент в МКЭ // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2005. Т. 11, № 2. С. 120-130.
3. Куприянова Ю.В. Об оценке производной по направлению Эрмитова сплайна на треугольнике // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов, 2006. Вып. 8. С. 59-61.
УДК 519.4
В.А. Молчанов
О ЛОГИЧЕСКОЙ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ ЯЗЫКОВ НА КОНЕЧНЫХ АВТОМАТАХ
В работе [1] предложен унифицированный подход к теории языков конечных автоматов на основе методов нестандартного анализа [2]: здесь естественно введено понятие распознаваемого автоматом Буши языка произвольных слов и описан класс Reeg(A) таких языков. В последующей работе [3] с помощью методов нестандартного анализа естественно введено понятие языка произвольных слов, распознаваемого конечной полугруппой, и описан класс Rees(A) таких языков. Проведенные исследования показывают, что в отличие от равносильности понятий распознаваемых автоматами и полугруппами языков конечных слов [4] класс Rees (A) значительно шире класса Reeg(A). С другой стороны, в работе [5] введено понятие обобщенного автомата Мюллера и доказано, что класс RecM(A) распознаваемых такими автоматами языков произвольных слов содержит класс Rees (A). С целью доказательства обратного включения ReeM (A) С Rees (A) в настоящей статье развивается теоретико-модельный подход к языкам произвольных слов, разработанный Буши [6] для языков конечных слов и языков бесконечных вправо слов.
В основе такого подхода лежит возможность описания языков над конечным алфавитом A формулами языка L монадической логики 2-го порядка [7] сигнатуры Q = {<, (Ra)aGA}, состоящей из одного символа бинарного предиката < и семейства символов унарных предикатов Ra (a G A). Алфавит такого языка L, помимо символов < и Ra, содержит знак равенства =, символы логических связок —, Л, V, ^ и кванторов V, 3, предметные переменные x,y,..., предикатные унарные переменные X, Y,... и скобки. Атомарными формулами языка L являются выражения x = y, x < y, Ra(x), X (x), где x,y - предметные переменные и X - предикатная унарная переменная. Из таких атомарных формул с помощью логических связок и кванторов обычным образом [7] строятся формулы языка L.
Интерпретируются формулы языка L в алгебраических ^-системах M = = (M, <м, (RM)ae^) с помощью отображения 0\ предметных переменных в элементы множества M и отображения в2 предикатных переменных в подмножества множества M. При этом символы предикатов < и Ra (a G A)
интерпретируются как сигнатурные отношения <м и Rf (a £ A) алгебраической ^-системы M. В результате такой интерпретации каждая формула Ф языка L становится истинным или ложным утверждением о свойствах алгебраической ^-системы M. Например, атомарная формула x = y истинна, если 9^x) = ^i(x), формула x < y истинна, если #i(x) <f ^i(x), формула Ra(x) истинна, если ö1(x) £ Rf, и формула X(x) истинна, если 9i(x) £ 92(X). В случае истинности полученного из формулы Ф утверждения о системе M будем говорить, что формула Ф выполняется на алгебраической ^-системе M при интерпретирующем отображении 9 = (9^92) и записывать M = Ф. Будем говорить, что формула Ф тождественно истинна на алгебраической ^-системе M и записывать M = Ф, если M = Ф при любом интерпретирующем отображении 9 = (9i ,92).
Рассмотрим конечный алфавит A. Пусть Wfin(A) - множество всех конечных слов, W^(A) - множество всех бесконечных вправо слов, W^(A) -множество всех бесконечных влево слов, W^(A) - множество всех бесконечных в обе стороны слов и W(A) = W/in(A) U W^(A) U W^(A) U W~(A) - множество всех слов над алфавитом A. Подмножества W(A) называются языками произвольных слов над алфавитом A.
Поскольку каждое слово w £ W (A) можно рассматривать как отображение некоторого отрезка (конечного или бесконечного в любую сторону) множества целых чисел Z в алфавит A, то для слова w канонически определяется алгебраическая ^-система Mw = (Z, <, (Ra)a£A) , где < - отношение сравнения целых чисел и
Ra = w (a) для каждого a £ A. Будем говорить, что слово w удовлетворяет формуле Ф языка L, если Mw = Ф. Множество всех слов w £ W(A), удовлетворяющих условию Mw = Ф, называется спектром формулы Ф и обозначается символом S(Ф).
Для сокращения записи формул введем следующие обозначения:
x < y := (x < y V x = y), x<y := (x < y Л —3z(x < z < y)), D(x) := \J Ra(x), x = min := (D(x) Л Vy(D(y) ^ x < y)),
a£Ä
x = max := (D(x) Л Vy(D(y) ^ y < x)).
Так как формула D(x) в алгебраической ^-системе Mw определяет множество dom w, то в языке L найдутся такие формулы Ф/ш, Ф^, Ф^ и Ф^, которые определяют соответственно свойства конечности, бесконечности вправо, бесконечности влево и бесконечности в обе стороны слова w, т.е. выполняются равенства S(Ф/ш) = W/in(A), S(Ф^) = W^(A), S(Ф^) = W^(A) и S(Ф^) = W^(A). Например, слово w конечно в том и только том случае, если оно удовлетворяет формуле Ф/^п := 3x3y(x = min Л y = max), и
бесконечно вправо, если оно удовлетворяет формуле
Ф^ := 3x(x = min ЛVy3z(y<z Л D(z))).
Пусть А = (ф, А, Е, с, Е, I, ^, Т) - некоторый обобщенный автомат Мюллера [5] с множеством состояний ф = {1, 2,...,п}, множеством переходов Е С ф х А х центральным состоянием с £ множеством заключительных состояний Е С левой и правой таблицами состояний I, ^ и таблицей состояний Т. Из результатов работы [7] следует, что существование в автомате А пути с меткой и £ W (А) можно определить с помощью формулы
При этом в языке С найдутся такие формулы Ф1, Ф2, Ф3 и Ф4, которые определяют успешность такого пути соответственно для конечного, бесконечного вправо, бесконечного влево и бесконечного в обе стороны слова и. Например, конечное слово и успешно в автомате А в том и только том случае, если оно удовлетворяет соотношению Ф1 := Хс(шт) Л \/Х(шах), и бесконечное вправо слово и успешно в автомате А в том и только том случае, если оно удовлетворяет условию
Теорема. Для обобщенного автомата Мюллера A спектр формулы
3Xi... 3Xn (Фо Л (Фfin ^ Фх) Л (Ф- ^ Ф2) Л (Ф^ ^ Фз) л (ф~ ^ Ф4))
совпадает с распознаваемым автоматом A языком произвольных слов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Molchanov V.A. Nonstandard approach to general rational languages // Contributions to General Algebra. 2001. Vol. 13. P. 233-244.
2. Альбеверио С., Фенстад Й., Хеэг-Крон Р., Линдстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике. М.: Мир, 1990. 616 с.
3. Молчанов В.А. О распознавании языков произвольных слов конечными полугруппами // Известия Сарат. ун-та. Нов. сер. 2006. Т. 6. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1/2. С. 96-108.
4. Pin J.E. Finite semigroups and recognizable languages: an introduction // Semigroups, Formal Languages and Groups, NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Sciences. 1993. Vol. 466. P. 1-32.
Л (VxVy (x<y A D(x) A D(y) ^ \J (X(x) A Ra(x) A Xj(y))
Ф2 := Xc(min) A (Vx (D(x) ^ 3y (x < y A X(y))))
5. Молчанов В.А. О распознавании языков полугруппами и автоматами // Математика. Механика: Сб. науч. тр. 2006. Вып. 8. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, С. 83-86.
6. Buchi J.R. Weak second-order arithmetic and finite automata // Z. Math. Logik and Grundl. Math. 1960. Vol. 6. P. 66-92.
7. Perrin D., Pin J.E. Semigroups and automata on infinite words // Semigroups, Formal Languages and Groups, NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Sciences. 1993. Vol. 466. P. 49-72.
УДК 519.853.3 + 517.518.82
Е.А. Нарыжная
О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ НЕПРЕРЫВНОЙ СЕГМЕНТНОЙ ФУНКЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПОЛИНОМОМ
1. Пусть gi(t) и g2(t) - непрерывные на отрезке [c, d] функции, причем gi(t) < g2(t) при t Е [c,d]. Обозначим через Pn(A,t) = а0 + a1t + ... + +antn полином n-й степени с вектором коэффициентов A = (a0,a1,... , an). ^(t) = [gi(t), g2(t)] - сегментная функция (с.ф.), сопоставляющая каждому значению t Е [c, d] соответствующий сегмент.
Рассмотрим следующую задачу о наилучшем приближении с.ф. Ф^) полиномом n-й степени:
p(A) = max(p^(t),P„(A,t)) + p(Pn(A,t), Ф(t))) inf , (1)
где
р(ФВД, Pn(A, t)) = max {g2(t) - Pn(A, t), Pn(A, t) - gi(t)} есть уклонение с.ф. от полинома,
p(Pn(A, t), Ф(t)) = max {Pn(A, t) - g2(t), gi(t) - Pn(A, t), 0}
есть уклонение полинома от с.ф.
Очевидно, что функция F(A,t) = p(Ф(t), Pn(A, t)) + p(Pn(A,t), Ф(t)) выпукла по A на Rn+i при каждом фиксированном t Е [c, d]. Следовательно (см., например [1]), и функция ^(A) является выпуклой на Rn+i. Обозначим через
R(A) = {t Е [c, d] : p(A) = F(A, t)} ,
Ri(A) d {t E R(A) : Pn(A*,ti) - g2(ti)+ gi(ti) > o} ,
R2(A) d {t E R(A) : Pn(A*,ti) - g2(ti)+ gi(ti) < o} ,
