Функциональные зависимости в формальном контексте Текст научной статьи по специальности «Математика»

Для каждого i = 1,2m обозначим отображение множества B на множество B' = A х {0,1}p+q-i, которое в маркированных буквах b = (a, k^ ..., k2m) из множества B удаляет i-ую маркировку, т.е. n-i(b) = (a, ki,..., ki-i, ki+i ,...,k2m).

Лемма 3. Длл любых формул Ф, Ф языка С и значений 1 < i,j < m выполняются равенства: SB (Ф А Ф) = SB (Ф) П SB (Ф),

Sb(ФУФ) = Sb(Ф)иSB(Ф), SB(-Ф) = D\SB(Ф), П-(SB(Ф)) = SB(№)Ф),

n-(m+j) (S в (Ф)) = S в, ((3Xj )Ф).

Теорема. Для любого предложения Ф язык а С спектр S (Ф) принадлежит классу языков RecS(A).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Moïchanov V.A. Nonstandard approach to general rational languages // Contributions to General Algebra. 2001. V. 13. P. 233-244.

2. Молчанов В.А. О распознавании языков полугруппами и автоматами // Математика. Механика: Сб. науч. тр. 2006. Вып. 8. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. С. 83-86.

3. Молчанов В.А. О логической определяемости языков на конечных автоматах // Математика. Механика: Сб. науч. тр. 2007. Вып. 9. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. С. 8386.

4. Buchi J.R. Weak second-order arithmetic and finite automata // Z. Math. Logik and Grundl. Math. 1960. V. 6. P. 66-92.

УДК 519.4

В.Е. Новиков

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ В ФОРМАЛЬНОМ КОНТЕКСТЕ

Статья продолжает исследование связи между структурой формальных концептов и структурой функциональных зависимостей [1] на п-арном отношении, которые были начаты в [2].

Восстановим основные определения концептуального анализа [3], исполь-

п

отношением. Пусть р С Мх х • • • х Мп - п-арное отношение, где П := (1, 2,..., п), Мп := Мх х М2 х ••• х Мп, г = ¿1 и г := (¿1, ¿2 ,...,«*) х1к := (х{1, х{2,...,Х{к), Мц := М{1 х М{2 х ••• х М{к для произвольных 1 < ¿х <...< ¿к < п, при этом также обозначаем гк С п. Говорим, что ^-система х1к входит в отношение р, если существует п-система хп £ р, для которой элементы Х{1, х{2,..., х{к являются её соответствующими компонентами. Для г3,]к С п, ац £ Мц, X С Мц обозначим:

(Р) := £ Мц 1 ^входит в р};

}(Р) := {хп £ Р 1 ац С хп}; Рц (хц> := }(р));

р-к (X) := П{р-(х-,> : х-, е X}; р(X) :=р-, (р- (X)).

Формальный контекст, определяется как тройка К = (МП,М-, р), где зафиксирован Т8 С п. М- называется множеством объектов, Мп - декартово произведение базисных множеств атрибутов, р С Мп - некоторое п-арное отношение на базисных множествах атрибутов. Если X = р--к (X)

и р- (У) = X для У С М-к, то X называется Т 8-концептом по % ж У -Тк-генератор ом Т 8-концеп та X. В этом случае элементы множества X будем называть объектами, а элементы множества У - атрибутами Т-концепта X по Тк, Тк будем называть индексом генератора или атрибута.

Будем говорить, что в отношении р С Мп имеет мес то Г- зависим остъ М1ч ^ М-к, I чС п, если р-к (х ->, х - е М-, определяет отображение

(р) ^ п-к (р).

Пусть р С Мп — произвольное п-арное отношение, Iя, Тк С п и X С М-, определим срез ^ерез множество X:

р-к (X) := и{р--к(х-,> : х-, е X}; р-,- (X) :=р-, (р- (X)). Из определений следует р -- (X) Ср--к (X).

Предложение 1. Пусть в отношении р С Мп имеет мес то Г-

зависимость М/ ^ М-к, 1Я, Т С п, тогда для любого X С М-к выполняется

'р-- ) =

Предложение 2. Пусть в отношении р С Мп имеет место Г-зависимость М/д ^ М-к, 1Я , Т С п, и р-к (х - > = х-к7 тогда

р-к(х - > С р-к(х

-к

Теорема 1. Пусть в отношении р С Мп имеет мес то Г-зависимость М/ ^ М-к, Т, Тк С п, тогда для любого г8 С п каждый Т8-концепт по 1д содержится в некотором Та-концепте по ]к, и каждый Т 8-концепт по ]к содержит в себе некоторый Т8-концепт по Iд. А именно каждыйТ 8-концепт по Тк является объединением некоторых Т8-концептов по 1Я.

На рис. 1 с помощью кругов Эйлера показан один из возможных вариантов соотношений между этими концептами. Штрихованной линией указаны Т-концепты по I ^непрерывной линией — два Т-концепта по Тк-

Рис, 1

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Мейер Д. Теория реляционных баз данных, М,: Мир, 1987,

2, Новиков В.Е. Концепты и функциональные зависимости // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во С арат, ун-та, 2007, Вып. 9, С, 68-70,

3, Ganter В., Wille R. Formal Concept Analysis, Mathematical Foundations, Berlin: Springer-Verlag, 1999,

4, Вагнер В.В. Теория отношений и алгебра частичных отображений // Теория полугрупп и её приложения. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 1965, Выи.1. С, 3 - 178,

УДК 519.95: 681.31

А.А. Орел

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ МОДЕЛЕЙ БИЗНЕС-ПРОЦЕССОВ, ОСНОВАННЫХ НА СЕТЯХ ПЕТРИ, К SADT-МОДЕЛЯМ

В работе [1] была рассмотрена технология проектирования бизнес-процессов, состоящая из двух этапов. На начальном этапе применяется методология структурного проектирования SADT [2] и создается функциональная модель, а затем на ее основе строится имитационная модель с использованием аппарата сетей Петри. Отмечено, что зачастую при построении имитационной модели лежащая в ее основе функциональная модель недостаточно точна и допускает неоднозначную трактовку. Для устранения обнаруженной неточности или неоднозначности требуется изменение функциональной модели и возврат к построению новой имитационной модели. Таким образом, реализуется некоторый итерационный процесс, в результате которого создаются все более точные модели рассматриваемой предметной области. Процесс завершается, когда устраняются все неточности и неоднозначности функциональной модели или когда достигается достаточная согласованность между функциональной и имитационной моделями.

Циклического процесса уточнения функциональной модели можно избежать, если на первом этапе проектирования построить имитационную модель на основе сети Петри. Это оправдано в случаях, когда наиболее важен