Алгебра Клиффорда над телом кватернионов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.548

СП. КУЗНЕЦОВ, В.В. МОЧАЛОВ АЛГЕБРА КЛИФФОРДА НАД ТЕЛОМ КВАТЕРНИОНОВ

Ключевые слова: алгебра Клиффорда, кватернионные переменные, норма, оператор Лапласа, клиффордовозначные и регулярные функции.

Рассмотрена алгебра Клиффорда над кватернионными переменными. Получено представление нормы и оператора Лапласа в алгебрах Клиффорда, изучена структура регулярных функций и найдено интегральное представление для клиффордовозначных и регулярных функций.

S.?. KUZNETSOV, V.V. MOCHALOV CLIFFORD ALGEBRA OVER THE QUATERNION ALGEBRA

Key words: Clifford algebra, quaternion variables, norm, Laplas operator, Clifford value and regular functions.

In the article the Clifford algebra over the quaternion variables is considered. The norm and the Laplas operator in Clifford algebra are received, the structure of regular functions is studied and the integral approximation for Clifford value and regular functions is found

Введение. Пусть Rp - алгебра Клиффорда размерности m = 2n (n = p + q) с базисом ea= e t , 1 < i1 <... < ik < n , где мультииндекс a = i1...ik пробегает все подмножества в множестве {1,...,n}, совокупность которых обозначим через Гn . Пусть e0 = 1, e1,..., en - канонический базис. Произведение элементов в R p,q определяется соотношением

еге} + е}ег = 7.8 ijг i,

2 2 где гі = et = 1, i = 1,..., p, г г = et =-1, i = p +1,..., p + q.

Обозначим через f = Т faea , fa :Q ^R,a e Гn функцию со значениями

в алгебре Клиффорда, определённую в области Qc Rm, а через

D = — Т e a —д------дифференциальный оператор.

2n aeГп dxa

В работе [1] доказана теорема о разложении базиса Rp,q на в-множества,

состоящие из четырёх элементов. В этом случае произвольный элемент алгебры, клиффордовозначную функцию и дифференциальный оператор можно представить в виде:

U = Т eauBa , f (u) = ~во“ea , D = 2г ТeaDBa

aeГ n_2 во 0 2 ae^ °-

где

ив_ a = Т Хвa eP , gBa= Т fpa eP , DBa= Т ep

Рєво 0 peBo 0 BeB 0a дХ,

a

д

Заметим, что иВ - являются кватернионами, образованными на множе-

стве В0.

В работах [2], [3] получены представления нормы и оператора Лапласа в алгебрах Клиффорда, изучена структура регулярных функций, получено интегральное представление для клиффордовозначных и регулярных функций.

§1. Основные теоремы

1. Предварительные сведения

Пусть Яр д - произвольная алгебра Клиффорда. Коммутационные коэффициенты аар определяются из равенства: еаер - ааререа. Заметим, что аар = 1, если элементы еа и ер коммутируют друг с другом, и аар = -1, если элементы еа и ер антикоммутируют. В [4] показано, что коммутационные коэффициенты обладают следующими свойствами:

«ар°ау = «арДу , где РДа = (Р - У) ^ (У-Р).

Рассмотрим подалгебру А с Яру, канонический базис которой имеет вид

е{,...,е{-1,ег+1,...еп. Через ГП будем обозначать множество мультииндексов базиса этой подалгебры. Справедлива лемма [2].

Лемма 1. Пусть а = Г п, тогда

V « - ] 2п, если а = 0.

„V' ар 10; а Ф 0.

РеГп+1 ^

В-множеством называется множество базисных элементов

В - {еа ,...,еа }, которые удовлетворяют следующим условиям: для любых

2 2 где 8аі = Єаі , 8а # = Єа #

В дальнейшем будем считать, что алгебра Клиффорда совпадает с одной из следующих алгебр: Ярд, q > 3, Я„ 0, Я0 п, п = р + q > 3.

Базис алгебры разбивается на непересекающиеся В-множества из четырёх элементов следующим образом:

к1г = и (Во“и В'0а) = и Воа. (1)

Р ” аєГп-3 аєГп-2

Множества В0 и ВО образуют элементы:

В0 = {е0 , еп-2п—1 , еп-2п , еп-1п } В0 = еп-2В0 = {еп—2 , Єп-1 , Єп , Єп-2п-1п },

Остальные В-множества, состоящие из четырёх элементов, получаются

Гп—2 п—1п т"'

^ п = Г п—3.

B0 ea B0 {lea , ean - 2n-1 ,e an - 2n ,e an-in }

B'a = eB'=(e e ee }

0 a 0 I an - 2’ an-^ an’ an - 2 n-ini*

Произвольный элемент U = Е raea, дифференциальный оператор и

a a • aєГ„

клиффордовозначную функцию представим в виде

U = Е eaUBa + eaen-2UB'a = Е eaUBa ,

aєГ„—з aєГ„—2

UBa = rae0 + ran-2n-ien-2n-1 + ran-2„Єп-2n + ran-1nen-1n ,

D 1 Е д 1 Е d

D = — Е ea-------= — Е ea DB0a ,

0n r a дГ ')n r a 0

2 aєГ n ^a 2 Г n-2

— д д де

DB0a = Є0Т + en - 2 n-lT------+ en - 2 nT--+ en-1n

n — 2 n — 1 ^ n — 2 n ^ n— in 7

dx0 &an-2n-1 dxn-2n ^an-m

У _ 2 ea fa ~ 2 ea <?Ba _ 2 *~Ba ea ,

Ш=г„ ^^-2 ^„-2

’ fae0 + fan-2n-1en-2n-1 + f an-2n en-2n + fan-1 nen-ln ,

’ Ba = fa e0 + aan - 2 n-1fan - 2n-ien - 2n-1 + aan-2 nfan - 2 n en - 2 n + a an-1nfan-1 nen-ln •

Функция f (U) e q (Q), если компоненты fa e C '(Q).

Функция f (U) e F'p (Q) называется регулярной слева в Q, если для

всех v є Г nj+i

D* f = 0 в Q,

где У Ъ = ву еу йеи, ГП+ обозначает множество мультииндексов подалгебры ,д+1, порожденной элементами ег егЄ; Є;+1,...Єк

ек+1,...еп+1, индексы і,і,к подбираются так, чтобы е2 = е2к = е^к =_1.

Если алгебра Клиффорда обладает указанными выше свойствами, то условие регулярности можно записать в виде

" Ъ./ = 0, у = Г п+1 п_2п_1п . (2)

2. Представление нормы и оператора Лапласа

Норма в алгебре Клиффорда задаётся соотношением

!!^!!2 = 2п £ха2,

аєГ п

где и = £ хаеа - произвольный элемент алгебры.

аєГ п

Теорема 1. Если базис алгебры Клиффорда Яр разбивается на 5-множества из четырёх элементов (1), то норма представима в виде

!! и ||02 = 4 £ти-т и =4 £ 1 и? и,

°и = Е еаива , и = Е^а ива еа,

аеГп-2 0 аеГ п-2

Уи = Е еуеуеаетива = Е ауаеаива ,

аеГ„-2 аеГ„-2

^ = Е £а иВо“Ву еу еаеу = Е ^уа ив? еа •

аеГ„-2 аеГ„-2

Доказательство. С помощью леммы 1 и свойств коммутационных коэффициентов имеем цепочку равенств:

Еуи.и = е ( Е аУаеаива-)( Е ерауРиваеР) =

УЄГп_1п_2 уєГп_!2 аєГ„_2 _ РєГ„_2

= £ £ еаиВоаВривр ер- Е а уа а ур =

аєГ„_2 РєГп_2 0 уєГп_2 _

= £ £ вреаив» ив? ер £ аУадр = 2п_2 £ и^» .и^ = 2п_2 £ хр2ео.

аєГп-2 РєГп_2 уєГп_2 аєГ„_2 аєГп

Следствие 1. Если базис алгебры Клиффорда Лр ч разбивается на непе-ресекающееся В-множества из четырёх элементов (1), то оператор Лапласа

д2

А = Е —2е 0 представим в виде

аеГп дха

А = 2п+2 ЕУ Ъ1Ъ = 2п+2 ЕУЪ1Ъ, (3)

УеГП-!2 уеГ п-2

где

Ъ = ЕеаЪвоа, Ъ = -П Е 1„Ъв; еа,

2 аеГп-2 2 аеГп-2

У— 1 — 1 —

Ъ = — Е £аеуеаеу Ъв5=— Е ауаеа ^0“ ,

2 аеГ п-2 2 1«еГ п-2

УЪ = — Е 8аЪво“8УеУеаеУ = Е 8<*Ъв" •

2 аеГ п-2 2 аеГ п-2

3. Регулярные функции

Рассмотрим теперь регулярные функции / (и), удовлетворяющие (2). Теорема 2. Условия регулярности (2) эквивалентны условиям регулярности по 5-множествам, состоящим из четырёх элементов:

Ъвоа./ = ° ае Г п-2.

Доказательство. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений (2). Складывая эти равенства, непосредственно получаем:

Ъв00/ = 0.

Запишем равенства (2) в виде

Р Ъ./ = ^ Е ара еа Ъваа./ = 0, Ре Гп-2п-1п. (4)

2 аеГ п-2

Умножая равенства (4) на ару и складывая их, с помощью леммы 1 имеем

Е °РУ в П/ = Е °Ру Е «Раеа Вва ■/ = Е еа ПВо“ / Е °Ру «Ра =

Рєг"-?"-1" Рєг;;-^1" аєГ„_2 _ аєГ"-2 РеГ";?"-1"

= Е еа Вваа/ Е аРуДа = еу ^ / = 0, У Є г„_2.

осТ О^Т'"-2 "-1"

аеГ "-2 РеГ"+1

Обратное утверждение очевидно.

Следствие 2. В алгебрах Клиффорда Яр q > 3, Япо, Яоп, " = р + q > 3, компоненты регулярной функции / = Е ~ ва еа, удовлетворяющие усло-

ЄеГ"-2 Во

вию (2), удовлетворяют равенствам:

Ввоа .~Вв = ° а, Ре г"-2. (5)

в0

Таким образом, компоненты регулярной функции

/ (и) = Е §0 а (и в о, и 1,..., и , )еа удовлетворяют условию слабой регуляр-

В0 В0 В0 В0

аєГ

а

о "-2

ности по всем кватернионным переменным.

4. Интегральное представление

Обозначим через / = £ /аеа = £ ~ва еа функцию со значением в ал-

аеГ" аєГ"

) т ^ "

гебре Клиффорда, определённую в области Ос Л0”, т = 2" . Рассмотрим дифференциальный оператор

п = 1 ^ 5 = 1 „ п

П = „ " Е Єа " Е Єа Пв а .

аеГ "

2" аЄГ" а дха 2" " а в0

С этим оператором свяжем (т-1) форму объёма ° ст = — Е (-1)к“ ^х? ,

2 аєГ"

где йха = йх1 л... л йха-1 л йха;1 л... л йхт , а ка есть порядковый номер индекса а в Г" . Форму объёма можно записать в виде

0 1 Е СТ = Т" Е е«П В.а .

2 аєГ"-2 0

Рассмотрим дифференциальные операторы

у — 1 — 1 —

П = Т" Е £аеуеаеу ПВо = " Е «уаеа ПВо .

2 аеГ"-2 2 аеГ"-2

Форма объёма т ст, связанная с оператором 1П , имеет вид 11

ТСТ 2 " Е 8а еуе а еуСТ в? 2 " Е «Та еаСТ в“ .

2 аєГ"-2 2 аєГ"-2

Для любых / и & е (О) и да -цепи С в О имеет место формула

Стокса[4]

I & У°/ = | [(& ■ Щ/ + & (1 Я/ )]<*х, (6)

дС С

где ёх = ёхх л ёх2 л... лёхт .

Обозначим через S с О т -мерное компактное ориентируемое дифференцируемое многообразие с границей . С помощью представления оператора Лапласа (3) и формулы Стокса (6) доказывается теорема [2].

Теорема 3. Если базис алгебры Клиффорда раскладывается на В-мно-жества из четырёх элементов (1), то для любой функции / є ^р^) (О) справедливо интегральное представление

I Е Кв, (У-Х)ств, /(У)- Е Кв,,х, Ъв,./(у)йу

З^аеГ"-! а аеГ"-2 а ’ ’

^ / Ч 1 Е ЄРеР(уР - хР) ст = Е (-1)кр-1е й У

где Квп Х) =Е ------------- ---- ---, СТ Ра Е ( 1) ерйу Р .

т РеВа II У - х||

2"Ут РеВа ||у - х\Г ■ “ Рев,

Следствие 3. Для регулярных функций / (х) , удовлетворяющих системе уравнений (2), имеет место аналог интегральной формулы Коши

I £ ^аО’.х)^ /ООФ = |о/',(хх)'О‘\“'’

д£аеГ п-2

§2. Примеры

В этом параграфе в качестве иллюстрации выводов теорем рассмотрим алгебры Клиффорда Я30, Я40, которые используются в физических приложениях.

1. Алгебра Паули Я3 0. Базис алгебры состоит из восьми элементов

ЮаеГп = {e0, е^ е2 , е12 , е3 , el3, е23 , е123 }, где е0 - единица ЗЛгебры е1 = ^ =

2 2 2 2 2 = е3 = е0, е12 = е13 = е23 = е123 =-е0, ет = е123 - коммутирует со всеми элементами базиса. Базис разобьём на 5-множества из четырёх элементов.

{еа}аеГ3 = 50 ИВ0 , где 50 = {е0 ,е12,е13,е23 }, }0 = е150 ={е1,е2,е3,е123 }.

Произвольный элемент алгебры и ему сопряжённый элемент можно представить в виде _ _ _

и = Е еаива=е0ив + е1МВ0 , и = Е£а и5а е а =иВ°° е0 + иВ0 el,

аеГ 1 0 0 аеГ 1

где ив0 = х0е0 + х12е12 + х13е13 + х23е23 , МВ0 = х1е0 + х1е12 + х3е13 + х123е23 — ква-

тернионные переменные.

Для получения представления нормы обозначим

и = Е £ 2 е2 еа е2 иВ “= е0иВ 0 — е1иВ0 , ^ = Е иК£2 е2 еа е2 = иВ0 е0 — иВ'0 е1.

аеГ: 0 0 аеГ 0

Отсюда непосредственно получаем представление нормы в алгебре Паули

\\42 = 23 Ех2 = 22(и.и+2и 2и) = 22(ии+2и2и).

аеГ3

Дифференциальный оператор В и сопряжённый ему оператор В имеют вид

В = ^т(е0 Вв0 + е1 Вв0 ), В = “21Г(Вв0е0 + ВВ0е1),

— 5 5 5 5

Ъво = е0 Т" + е12 Т" + е13 Т" + е23 Т" ,

5х0 бх12 5х13 бх23

г. 5 5 5 5

ЪВ0 = е0 е12 "Т" е13 "Т е23 "Т ,

0 5х0 6х12 5х13 бх23

— 5 5 5 5

Ъв0 = е0 Т + е12 "Т + е13 "Т + е23

5х1 бх2 5х3 бх123

5 5 5 5

ЪВ0 = е0 Т е12 "Т" е13 Т е23 "Т" .

0 5х1 бх2 5х3 бх123

Оператор Лапласа в алгебре Я3 0 представим в виде

Д = Е -д-2е0 = 25(Ъ.Ъ+2Ъ.2Ъ) = 25(Ъ.Ъ+2ъ.2Ъ),

аеГ3 5ха

1 — — 2 1

где п = ^Т(е0пВ0 -е1 ЪВ0), п = пв0е0 -пв0е1).

Функцию / (и) е ^3(0) (О), Ос Я8 запишем в виде

/(и) = ~в0 (иК + ~в, (и)е1,

в0 в0

ёв (и ) = /0е0 + /12 е12 + /13е13 + /23е23, ё в (и ) = /0 е0 - /2 е12 - /3 е13 - / 123 е123 . в0 в0

Компоненты регулярной функции удовлетворяют уравнениям

Ъв00.£в00 = 0 Ъв°.~в0 = 0,

Ъв0 .~в° =0, Ъв0 .~в0 = °.

Найдём интегральное представление для функции /(и) е ^30(О). С дифференциальными операторами 0Ъ = ~г(ео Ъв0 + е1 Ъв0) и 2Ъ=~3(ео Ъв0 - е1 Ъв'0) свяжем (т -1) формы объёма

0 ст= ^0ств0 + е1ств0' ) и 2 СТ = Т’3"(е0СТв0 - е1ств0' ),

лллл лллл

где Св = е0^х0 — е^ёх^ — е^ёх^ + е23ёх23, Св' =—е0<ё%1 + е12$х2 + е^*^ — е23^х^3.

Воспользуемся формулой Стокса (6) для операторов 0 В и 2 В, имеем

10 &0С/ — I 0 &0С/ = I[(0&00 В)/+0&(0 В./)]ёх, (7)

д5 дК 5—V

12 & V — 12 & V = I [(2& .2 В)/+2& (2 В/)]ёх, (8)

д5 дк 5—V

где 5 с О - замкнутая цепь с гладкой границей, V (х, у) - шар радиуса г с центром в точке х:

V(х, У) = {у :|| У - х|| < г}, ||у - х\\ = I I(У а - ха ) 2

аеГ3

Складывая равенства (7) и (8), получим

К0 0_ . 2 2_\ г ґ/0 0_ . 2 2^ \ г

ё ст+ ё ст)/ - I( ё ст+ ё ст)/ =

д5 __ дУ __ ___

= I [(0 ё .0 п+2ё 02 п) / +(0 ё (0 п./)+2 ё (2 п./)]йх.

Полагаем в (9) 0& = р(х,у).0В, 2& = р(х,у)2 В, где р(х,у) = ||у — х|| -фундаментальное решение уравнения Лапласа в пространстве Я8. Так как ,0 0 ,2-2_ч _,„.л,0^0_.2^2_ч 3(У — х)В0 СВ0 + (У — х)В0СВ0

(0ё.0 ст+2ё2Ст) = р(х,У)(0пи ст+ п2 ст) = ■

16 11у - х11

0 ё1Гп+2ё Тп =(0п."°п+2п ~2п) р( х, У) = Др (х, У) = 0,

-— 2_ 3 (у - х)в пв0 / + (у - х)в пв'„ /

0 ё (0 п./)+2 ё (2 п./) = 4 0 " 0 ,

16 У-х

где (У - х)в0 = е0(У0 - х0) - е12(У12 - х12) - е13(У13 - х13) - е23(У23 - х23 ),

(У - х)в0 = е0 (У1 - х1) - е12(У2 - х2) - е13(У3 - х3) - е23 (У123 - х123).

Получили равенство

,(У - х)в0 ств0 +(У - х)в0 ств0 / Л(У - х)в0 ств0 + (У - х)в0 ств0)/

1 II I 8 ^

д5 У - х

її ду ||у - х8

Г (У - х)в0пв0/ +(У - х)в0 пв0/ У.

= 1 II II8 ^

5-У у - х

Вычислим интеграл по сфере дК. Применяя формулу Стокса, имеем

((У — х)в0 Св0 + (У — х)в0 Св0 )/ = 1

I ^---------------- в0 в0 = — I ((у - х)в00 пв0 ) + ((У - х)в0 пв0 )/ +

дУ у - х Я у

+ І I (У - х)в 0 Ов0 / + (у - х)в0 (пв0 /).

Я V

Так как (у - х) , пв00 = 4, (у - х) пв0 = 4,

в0 в0

Устремим у ^ х, получаем интегральное представление

1 г (У - х) в0ст вр +(У - х) в0ст в0 +

23 У8 і II у - х\\8

, 1 г(у - х)в 0 пв0/ +(у - х)в0 пв0./ й { /(х), х є і"!,

+ 23 У8 1 ||у - х||8 йУ = І0, х е°-1

где У8 - объём единичного шара в 8-мерном пространстве.

2. Алгебра Д,,0. Базис алгебры образуют элементы

{еа }аеГ4 = {е0 , е1 , е2 , е12 , е3 , е13 , е23 , е123 , е4 , е14 , е24 , е124 , е34 , е134 , е234 , е1234 ;

Базис разобьём на в-множества из четырёх элементов

kt.r4 = о в;,

аеГ 2

B0,={e0, ^23 , e24 , e34 }, ^ B0 = ex BQ {gj, ^23, em, e23 },

B0 = e2B0 ={e2,e3,e4,e234 }, }0 = ei2B0 ={ei2,ei3 ,ei4 ,ei234 }

Произвольный элемент алгебры R4 0 и ему сопряжённый элемент можно представить в виде

U = 2 eaUBa = e0UB0 + eiUB! + e2UB2 + ei2UBi2 ,

aGr B0 B0 B0 B0 B0

U = 2 UBa ea= Ub0 e0 + Ubo ei + Ub2 e2 + Ub02 ei2 ,

;єГ

^в0 = х0е0 + х23е23 + х24е24 + х34е34 , и'в'0 = х1Є0 + х123Є23 + х124е24 + х134е34 , и в 20 = х2 е0 + х3е23 + х4 е24 + х 234 е34 , ^ вп0 = х12 е0 + х13 е23 + х14 е24 + х1234 е34 .

Для получения представления нормы обозначим

и =,Ег Є1е1еае1ив0а = е0ив00 + ^ - е2ив02 - е12иві2 , и = ,Ег Є 2е2еае2ива = е0ив00 ~ ^в] + е2ив02 - е^в^ ,

и = Е Є12е12еае12ива = е0ив0 - е1ив1 - е2ив2 + е12ив12 ,

аег в0 в0 в0 в0 в0

Норма в алгебре Я4 0 представима в виде

\\и\\0 = 24 ех2 = 23(ии+1и 1й+2и2и+12и12и).

аеГ 4

Дифференциальный оператор п и сопряжённый оператор п имеют вид

п = ~(е0 пв0 + е1 ^ + е2 пв0 + е12 п = ^(пв00 е0 + ^ е1 + е2пв02 е2 - ^ е12),

— д д д д пв0 = е0 Т + е23 Т + е24Т + е34

где

^ 23 ^ 24 ^ 34 ^ ^

дт0 дт23 дт24 дт34

д д д д

Db0 _ е0 "Г + е23^ + е2^^ + Є34 "Z"

ox1 дт123 дг124 дг134

д д д д

Db02 _ е0 IT” + е23 + е24 Т- + е34------------,

ox2 ox3 ox4 дт234

д д д д

Db012 _ е0~----------+ Є2ЗТ---------+ Є24Т----+ Є34

^ 23 ^ 24 ^ 34 ^

дт12 дт13 дт14 дт1234

Оператор Лапласа в R4,0 представим в виде

Л_ Е 0 _ 2б (D*D + 1 D*1D + 2 D*2 D + 12 D*12 D) _

;єГ4 cX.

_ 2б (D*D+1D1D+2D2D+12D12D),

где

2п = ^^(е0 пв0 - е1 пв» + е2 пв0 - е0 пв03 ),

12п = ^4^ пв0 - е1 пв0 - е2 пв0 + е0 пв03 ).

Функция /(и) е Д4(10| (О), О с Я16 запишем в виде

/(и) = Е ~ва еа ,

аеГ 2 в0

ёв0 (и) = /0е0 + /23е23 + /24е24 + /34е34 ,

~ в0

ёв0 (и) = /1е0 + /123е23 + /124е24 + /134е34 ,

,?в2 (и) = /2е0 - /3е23 - /4е 24 + /234 е34 ,

~ в0

ёв02 (и) = /12е0 - /13е23 - /14е 24 + /1234 е34 .

Компоненты регулярной функции /(и) = Д4'0(О) удовлетворяют уравнению пв„• ~вр= 0, а,Ре Г2.

в0 в0

Замечание. Аналогичный результат получится, если подмножество Г2 заменить на Г2 = {е0, е1, е3, е13}.

Литература

1. Кузнецов С.П. в-множества в алгебре Клиффорда / С.П. Кузнецов // Исследования по краевым задачам и их приложениям. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1992. С. 91-96.

2. Кузнецов С.П. Представление оператора Лапласа и сильно регулярные функции в алгебрах Клиффорда / С.П. Кузнецов, В.В. Мочалов // Актуальные задачи математики и механики Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1995. С. 56-70.

3. Кузнецов С.П. Структура некоторых классов регулярных функций со значениями в алгебре Клиффорда / С.П. Кузнецов, В.В. Мочалов // Известия Национальной академии наук и искусств Чувашской Республики. 2003. № 3. С. 19-29.

4. Бурлаков М.П. Клиффордов анализ. Интегральные представления функций со значениями в алгебре Клиффорда / М.П. Бурлаков, В.В. Показеев, Л.Е. Фрейдензон. Грозный: Изд-во Чечено-Ингуш. ун-та, 1988. С. 51. Деп. в ВИНИТИ 11.03.88 №1960.

КУЗНЕЦОВ СЕРГЕЙ ПЕТРОВИЧ - старший преподаватель кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (ronaldin@yandex.ru)

KUZNETSOV SERGEY PETROVICH - senior lecturer of mathematical analysis and differential equations department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

МОЧАЛОВ ВЛАДИМИР ВИКТОРОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (oper@chuvsu.ru).

MOCHALOV VLADIMIR VIKTOROVICH - candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of mathematical analysis and differential equations department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.