О представлении решения гармонического и бигармонического уравнений в алгебрах Клиффорда Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.548 ББК В161.55

В.В. МОЧАЛОВ

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО И БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЙ В АЛГЕБРАХ КЛИФФОРДА

Ключевые слова: алгебры Клиффорда, оператор Лапласа, бигармоническое уравнение, регулярные клиффордовозначные функции.

Рассмотрены гармонические и бигармонические функции многих переменных. Получены представления решений гармонического и бигармонического уравнений в алгебрах Клиффорда.

V. MOCHALOV THE PRESENTATION OF THE SOLUTIONS OF HARMONIC AND BEHARMONIC EQUATIONS IN THE CLIFFORD ALGEBRAS

Key words: Clifford algebras, Laplas operator, Beharmonic equations, Clifford value regular functions.

In the Cliffords algebra found solutions of the harmonic and beharmonic equathions throw regulare functions.

Пусть Rp,q - алгебра Клиффорда размерности m = 2n (n = p + q) с базисом ea = eh...eit, 1 < i1 < ... < ik < n, где мультииндекс a = i1 ... ik пробегает все подмножества в множестве {1, ... n}, совокупность которых обозначим через Гп. Пусть Єф = e0 = 1, ei ... en - канонический базис ei2...n = ex и произведение в Rp,q определяется соотношением

eiej + ejei 2^ijSi, где Si = e2 = 1, i = 1,..., p, Si = ei =-1, i = p +1,..., p + q.

Обозначим через f = У fa (x)ea, x = У xaea, fa (x): Q ^ R функцию со

аєГ„ аєГ„

значением в алгебре Клиффорда, определённую в области QcRm, а через

1 d

D = — У ea------- дифференциальный оператор. Функция f є Fp(kq)(Q), если

2 n аєГn dxa

компоненты fa єС(k)(Q).

F. Brackx, R. Delanghe, F. Sommen [8] рассмотрели в алгебре Rp,q дифференциальные операторы

n д --- n д

D = £Se d~, D =Уe ,

i=o dx i=o dxf

действующие на функцию f = У fa (x)ea, где fa (x) - действительнозначная

аєГ„

функция, x = (x0, xb..., xn). Произведение D.D = D.D = Дп+ь где Дп+1 - обозначает оператор Лапласа в Rn+1.

М.П. Бурлаков, В.В. Показеев, Л.Е. Фрейдензон [2, 3] рассмотрели в алгебре Rpq дифференциальные операторы

D = — У Saea — , D = — У ea~^,

2n a^ dxa 2" ОЄП, дГа

действующие на функцию f = У fa (x)ea, где x = (x0, ..., xm). Произведение

оєГ"

этих операторов D.D не дает оператор Лапласа. В [3] показано, что в алгеб-

рах Клиффорда Rpq Ф R4n+2,0, индексы p и q которых удовлетворяют одному из условийp + q = 2k; p + q = 4k + 1, q - нечетно; p + q = 4k + 3, q - четно, оператор Лапласа можно представить в виде

Д = 2n+1 уР D,Р D = 2n+1 УР D.p D,

РеГ„_1 РеГ„_1

где pD = SpgpDep ,РD = SpgpDep,ep е Rp,q, Г„_1 - объединение подмножеств в

множестве (1,..., n-1}.

С.П. Кузнецов, В.В. Мочалов [4, 5] показали, что в произвольной алгебре Клиффорда Rpq Ф R21 индексы i, j, k можно выбрать таким образом, что оператор Лапласа имеет представление

Д = 2n+2 X PD.PD = 2n+2 уРD.pD,

Perñ^i РеГ^1

где pD = SpepDep,РD = SpepDep,ep еRp,q+1, ГП^ _ объединение подмножеств в множестве (1, ..., i-1, i+1, ..., j-1, j+1, ..., k-1, k+1, ..., n, n+1}.

Ф.А. Богашов, А.Г. Угодчиков [1] в алгебре кватернионов исследовали действительные функции fx0, x1, x2, x12), u(x0, x1, x2, x12), которые являются, соответственно, решениями гармонического и бигармонического уравнений:

ДГ = 0, Д2и = 0,

52 s2 s2 s2 (1)

Д=——;-.

5x2 5x2 Cxf Sx122

Получены представления решений через регулярные функции, удовлетворяющие обобщенной системе уравнений Моисила-Теодореску.

В.В. Мочалов [6] в алгебре бикватернионов Hs для определенных в R8 действительных функцийfzo, Z1, Z2, Z12), u(zo, Z1, Z2, Z12), где Zk = xk + sy, s2 = 0, удовлетворяющих (1), получил представления решений через регулярные функции.

В работе В.В. Мочалова [7] в алгебре Клиффорда R30 получены представления решений гармонического и бигармонического уравнений в R8 через

регулярные слева (справа) функции.

В настоящей статье в произвольной алгебре Клиффорда RpqФ R2,1 получены представления решений гармонического и бигармонического уравнений через регулярные слева (справа) функции.

1. Свойства коммутационных коэффициентов.

Пусть Rpq - произвольная алгебра Клиффорда. Коммутационные коэффициенты aap определяются из равенства: eaep = eapepea. Если ea и ep коммутируют, то aap = 1, если элементы ea, ep антикоммутируют, то aap = -1. В [2] доказано, что коммутационные коэффициенты обладают следующими свойствами:

aap аау aap Ду , p^y = (p \ У) ^(У \ p),

aap = (_1)l ^lp_anp,

где |а| обозначает длину элемента а.

Рассмотрим подалгебру A с Rp,q, канонический базис которой имеет вид e1, ..., ei_1, ei+1, ..., en. Через ГП будем обозначать множество мультииндексов базиса этой подалгебры. Аналогичный смысл вкладывается в обозначение njk (из канонического базиса исключены элементы ei, e;, ek).

Справедливы следующие леммы [2, 5]: Лемма 1 . Пусть аеГ„, тогда [2]

n ; n

El 2 , если а = 0 или а = х, n - нечетно ааВ =\ ^

pein I 0, в остальныхслучаях

где х - индекс элемента ex = e1 ... en.

Лемма 2. Пусть аеГ„, тогда [5]

у =|2n, еслиа = 0,

pjf ^ a<xp [0, в остальныхслучаях

В работе [3] доказано, что в алгебрах Клиффорда Rpq Ф R4n+2,0, индексы p и q которых удовлетворяют одному из условий p + q = 2k; p + q = 4k + 1, q - нечетно; p + q = 4k + 3, q - четно, оператор Лапласа можно представить в виде

Д = 2n+1 у p D.p D = 2n+1 у p D.p D, (2)

РеГп-1 реГ„_1

где pD = SpepDep,РD = SpepDep,ep e Rpq, Гп-1 - объединение подмножеств в

множестве {1, ..., n-1}.

С.П. Кузнецов, В.В. Мочалов [4, 5] показали, что в произвольной алгебре Клиффорда Rpq Ф R21 индексы i, j, k можно выбрать таким образом, что оператор Лапласа имеет представление

Д = 2n+2 ypD.p D = 2n+2 yp D.pD, (3)

_ _ per,n?1 fe»?

где pD = SpepDep, D = SpepDep,ep e Rpq+1, Г? - объединение подмножеств в

множестве {1, ..., i-1, i+1, ..., j-1, j+1, ..., k-1, k+1, ..., n, n+1}, индексы i, j, k

выбираются так, чтобы e2 = -1, если v= ij, v= ik, v = jk. Соотношение (3)

справедливо при n = p + q > 3, при n < 3 считаем, что Гп+1 = {n + 1}, а оператор

Лапласа представляется в виде

Д = 2 n+1(D.D+n+1D.n+1 D) = 2 n+1 (D.D+n+1 D.n+1D),

где D = Sn+1en+1Den+1, D = ^n+1en+1 Dn+ben+1 e Rp,q+1.

Обозначим через f = Уfаeа, действительнозначную функцию со зна-

аеГи

чениями в алгебре Клиффорда, определенную в области QcRm. Функция f (w) e Fp,q(Q), если компоненты f,^ e C1 (Q).

Определение 1. Функция f (w) e Fp,q (Q) называется регулярной слева (справа) в области Q, если она удовлетворяет условиям

D.f = 0 (f D = 0). (4)

2. Алгебра R20. Сначала получим представление решений уравнений (1) в алгебре R20.

Алгебра R20 - это действительная ассоциативная некоммутативная алгебра размерности m = 4, порожденная векторами e1, e2. Базис алгебры образуют элементы {e0, e1, e2, e12}, где e0 - единица алгебры, e12 = e1e2, а элементы e1, e2, e12 обладают свойствами e2 = e| = e0, e^ = -e0, eftj + e^j = 0, i Ф j. Эти соотношения определяют операцию умножения в R20, которая записывается с помощью таблицы Кэли:

Є0 Є1 Є2 Є12

Є0 Є0 Є1 Є2 е12

Є1 Є1 Є0 Є12 Є2

Є2 Є2 -Є12 Є0 -Є1

Є12 Є12 -Є2 Є1 -Є0

(5)

В этой таблице приводятся результаты умножения символов, расположенных в первом столбце, на символы, расположенные в первой строке. Произвольный элемент алгебры можно представить в виде V = х0е0 + Х\в\ + х2е2 + х12е12, сопряженный элемент V = х0е0 + Х1е1 + х2е2 - Х12е12. В алгебре В2,0 норма определяется равенством

||^|2 = 2(ж^А.12 V) = 2(ж^+12ж12 V),

где

12 ¥ = 812в12¥Єп = ХоЄо - Х1Є1 - Х2Є2 + Хі2Є12 ,

12 ¥ = 812 Є12 ^Є12 = Хо Єо - Х1Є1 - Х2Є2 - Х12 Є12 .

Обозначим через /(м) = М¥)е0 +/1(м)е1 + /2(¥)е2 + /12(м~)е12 действительнозначную функцию со значениями в алгебре В2,0, определенную в области О с В4,

а через Б =11 е0 ——— + е1 ——— + е2 ——— + е12 — | - дифференциальный оператор.

4 ^ —Х0 —х1 —х2 —х12 )

С помощью (5) получим представление оператора Лапласа в алгебре В2,0 А = 8( Б .Б+12Б.12 Б) = 8( ББ +12Б.12 Б),

(6)

где 12 Б = 812Є12 БЄ12, 12Б =812 Є12 Бе^.

Рассмотрим функцию /(¥) є ^2,0(О), О є В4, регулярную слева. Равенство (4) равносильно системе уравнений

—/> + —/1 + —/2 —/12 = 0 —Х0 —Х1 —Х2 —Х12

—/0 ! —/1 ! —/2 —/12 = >

—Х1 —Х0 —Х12 —Х2

—/0 —/1 + —/2 +/ = 0

—Х2 —Х12 —Х0 —Х1

—/0 —/1_+/ +—/12 = 0

(7)

Х12 —Х2__—Х1 —Х0

Условие регулярности справа / .Б = 0 равносильно системе уравнений

—/> +/+/-/ = 0

—Х0 —Х1 —Х2 —Х12

/+-—И- /2. + —/12 = 0

—Х1 —Х0 —Х12 —Х2

/+_—+І/і -—1і = 0

—Х2 —Х12 —Х0 —Х1

—У 0 - + / + —/ц = 0

—Х12 —Х2 —Х1 —Х0

Пусть и = и(х0, х1, х2, х12) - действительная функция, удовлетворяющая гармоническому уравнению Аи = 0.

Теорема 1. Действительная функция и = и(х0, х1, х2, х12), удовлетворяющая гармоническому уравнению, может быть представлена в виде

и = ф+12 Ф = Ф+12 ф, (9)

где Ф(¥) = /0(¥)е0 + /1(м)е1 + /2(¥)е2 + /12(¥)е12 является либо регулярной слева, либо регулярной справа функцией:

ф (¥) = /о(¥)е0 + /1(¥)е1 + /2(¥)е2 - /12 (¥)е12,

12 ф(¥) = 812е12фМе12 = /0 (¥)є» - /1 (¥)е1 - /2 (¥)Є2 + /12 (¥>12,

12 ф (¥) = 812е12 ф (¥)е12 = /о(¥)є» - /1 (¥)е1 - /2(¥)е2 - /п^)^.

Доказательство. Согласно (6) уравнение Лапласа запишем в следующем виде:

Аи = 8(Б .Б.и+12Б.12 Би) = 8( ББ и+12Б.12 Би). (10)

Обозначим Б.и = / Учитывая действительность функции и, имеем

Б.и = /, 12Б.и=12/, 12Би=12/

Равенство (10) можно записать в виде

Б ./ + 812е12Б ./е12 = 0, У .Б + 812е12/.Бе12 = 0.

Таким образом, функция Б.и = / либо регулярна слева, либо регулярна

справа. Складывая равенства Б.и = / и 12 Б и=12/ или равенства Б .и = /,

12 Б.и=12/, получим

2 ^=/+12 /=/+12 /.

2 —Х0

Проинтегрировав эти равенства по х0, мы найдем представление решения гармонического уравнения _ _

и = 2| /<Ях 0 + 2112 / йх0 = 2| / йх0 + 2112 /оХ0.

Обозначим 2 | /dx0 = Ф(и), получаем (9).

Пусть теперь и(х0, х1, х2, х12) - действительная функция, удовлетворяющая бигармоническому уравнению А2и = 0. Найдем представление решения бигармонического уравнения через регулярные слева (справа) функции.

Теорема 2. Действительная функция и(х0, х1, х2, х12), удовлетворяющая бигармоническому уравнению, представима в виде

и = — ([ ¥¥йх0 +|12 ¥12 ¥йх0)+ 2(|ф^х0 +|12 Фdx0),

2...........................10 + '

и = 2 (( ^^^х» +|12 ¥12 ¥йх0)+2(|фаХ0 +|12 фаХ0),

где Ф(¥), ¥(м) - регулярные слева функции; или в виде

и = -2 ([ ~¥¥дх0 +112 ¥12 ¥йх0)+ 2([фсХ0 +112 Фdx0),

(11)

1 ¥¥

где Ф(¥), ¥(м) - регулярные справа функции.

и = 2 ( ¥¥дх0 +112 ¥12 ¥дх0)+ 2( ф^х0 +112 Фdx0),

Доказательство. Обозначим Аи = V, тогда Ау = 0. Из теоремы 1 следует, что действительная функция удовлетворяет неоднородному уравнению Лапласа

Ап = 2(¥ +12 ¥ ), (13)

где ¥(я) регулярная слева (или регулярная справа) функция. Решение уравнения (13) представимо в виде п = п1 + п2, где п1 - решение однородного уравнения Лапласа, а п2 - частное решение неоднородного уравнения. Из теоремы 1 следует, что п1 = 2(|ФйХ0 +| 12ФйХ0), где Ф - регулярная слева (или

регулярная справа) функция.

Чтобы найти частное решение уравнения (13), запишем его в виде

8(В.В.п2 +12В.12 В.п2 )= 2(¥+12¥ ). (14)

Обозначим В.и2=р. Учитывая действительность функции п2, имеем В .п2 = р, 12В.и2 = р , 12В .п2 =12р. Перепишем равенство (14) в виде

8(В. р + 812 в12 В. Ре12 )= 2(^ + 12^ ). (15)

С помощью равенств (7) можно показать, что р = — ¥я , где ¥ - регулярная слева функция, является частным решением (15). Таким образом, В.п2 = —(¥я), 12В.п2 = -^(12^12¥). Складывая эти равенства, получаем

1

—- = —(¥я+12я12¥). Проинтегрировав это равенство по х0, находим частное

дх0 2

решение (14):

п2 = 2 ([ ¥^йх0 +112 w12Fdx0).

Таким образом имеем представление (11).

Равенство (13) представимо в виде_ _

8(р.В +812Є12 рВв12 )= 2(¥+12¥ ). (16)

С помощью равенств (8) можно показать, что р = — я¥, где ¥ - регулярная справа функция, является частным решением (16). Отсюда следует представление (12).

3. Алгебра Клиффорда Яр,ч Ф Я21.

Произвольный элемент алгебры записывается в виде я = Ухава, сопряжен-

аєГ„

элемент и = Ухаеа = Уха8аеа, где 8а = в\ .

аеГи аеГи

В алгебре ЯРА норма определяется равенством ||и||2 = 2п У ха. В [5] дока-

аєГ„

і|2

зывается, что норма представима в виде ||я|| = 4 У8увуяяву = 4 У1я1 я, где

у^гП'+1 уєгпі

1 я = 8у ву яву, 1 я = 8у ву Яву.

Обозначим через /(я) = У /ава - действительнозначную функцию со

аєГ„

значением в алгебре Клиффорда Яр,ф определенную в области О є Ят, а через 77 1 ^ д

В =— у ва—- дифференциальный оператор. В [5] доказано, что в произ-

2” аєГ„ Ха

вольной алгебре Клиффорда, отличной от Л21, оператор Лапласа можно представить в виде

д = 2П+2 = 2”+2 рВ, (17)

_ _ тєгїі уєг£і

где рВ =8рЄрВЄр, Р В =8рЄр Вер.

Пусть и = и(х0, х1, ..., хх) - действительная функция, удовлетворяющая гармоническому уравнению Ди = 0.

Теорема 3. Действительная функция и = и(х0, х1, ..., хх), удовлетворяющая гармоническому уравнению, может быть представлена в виде

и = 4 ^8рерФер, (18)

РєГ»

где Ф(ж) = X /а (Ч)еа является либо регулярной слева, либо регулярной

аєГ„

справа функцией.

Доказательство. Согласно (17) уравнение Лапласа запишем в следующем виде:

Ди = 2”+2 ХрВрВ.и = 2”+2 Хр В Ви = 0. (19)

УєГ^1 уеГ»

Обозначим В.и = / Учитывая действительность функции и, имеем Б.и = /, рВ.и = /, рВ.и = /. Равенство (19) можно записать в виде

Ди = 2”+2 Хр/.рВ = 2”+2 ХрВр/ =

У^ГЙ! _ уеГ» _

= 2”+2 ^8ре^./.Вер = 2”+2 ^8рЄрВ ./ер = 0.

УЄГ^1 уеГ»

Таким образом, функция В.и = / либо регулярна слева, либо регулярна справа.

1 Зи

Складывая равенства В.и = / рВ.и =р/, реГ^, получим--------------= Хр/.

4 Зх0 ре8Г»1

Проинтегрировав это равенство по х0, мы найдем представление решения гармонического уравнения и = 4 X |рМх0 = 4 X 8рер([/ёх0)ер.

реГ^1 ре-»

Пусть теперь и = и(х0, х1, ..., хх) - действительная функция, удовлетворяющая бигармоническому уравнению Д2и = 0. Найдем представление решения бигармонического уравнения через регулярные слева (справа) функции.

Теорема 4. Действительная функция и = и(х0, х1, ..., хх), удовлетворяющая бигармоническому уравнению, представима в виде

и =^Г1~1 X 8рер([¥яйх0)ер + 4 X 8рер([Фdxo)ер, (20)

2 реГ|;+1 реГП+1

где Ф(я), F(w) - регулярные слева функции, или в виде

и = Т“2 X 8рер(wFdxo)ер + 4 X 8рер(Фdxo)ер, (21)

2 реГП+1 реГП+1

где Ф(я), F(w) - регулярные справа функции.

Доказательство. Обозначим Ди = V, тогда Ду = 0. Из теоремы 3 следует, что действительная функция и удовлетворяет неоднородному уравнению Лапласа

Ди = 4 X 8рер([/±х0)ер, (22)

реГП+1

где /М) - регулярная слева (или справа) функция. Решение уравнения (22) представимо в виде и = и1 + и2 , и1 - решение однородного уравнения Лапласа, а и2 - частное решение неоднородного уравнения. Из теоремы 3 следует, что

и = 4 X 8рер([ Фdxo )ер,

реГП+1

где Ф - регулярная слева (или регулярная справа) функция.

Чтобы найти частное решение уравнения (22), запишем его в виде 2п+2 X рВрВ.и = 2п+2 XРDрВ.и = 4 X 8рер([Фdxo)ер = 4 X8рeрFeр, (23)

УеГП+1 УеГП+1 реГП+1 реГП+1

где F = |Фdx0. Обозначим В.и2 = р. Учитывая действительность функции и2, имеем р В.и2 = рр. Перепишем равенство (21) в виде

2п+2 XРD.Рр = 2п+2 XРРрВ = 4 XРF. (24)

УеГП+1 уеГП+1 рєГП+1

Покажем, что р=FW, где F - регулярная слева функция, является частным решением (24). Имеем F(м) = X/аеа, М = Xхрёр = Xхр8рер,

аеГп реГп реГп

В 1 V З

В =— X еу-------.

2п уЄг„ Зху

Условие регулярности слева В ^ = 0 равносильно равенству

2^X1/ еу еа= 0 (25)

£ уе8Гп аеГп и&у

Так как F.w = X X/ахр8реаер = 0, то согласно (25) имеем цепочку равенств:

аеГп реГп

В ^ = 27 X X X еу—Т 8реу еаер = — X XX еу

Зх

8рер +

и V У

2п ує8Гп аеГп реГп Зху 2п ує8Гп аєГп рєГ,

+ -1 X X X /аЗі8реуеаер = 2- X X X/а^р8реуеаер =

2 уе8Гп аеГп реГп Зху 2 ує8Гп аєГп рєГп

X X /а8уеуеаеу = ~~ X X /аааХ8у еуеа = ~~ X /аеа X ааХ .

2 уєГп аєГп 2 уєГп аєГп 2 аєГп уєГп

Из леммы 1 следует, что В .FW = /0е0, если п - четно, В .їїм = /0е0 + /хех, если п - нечетно. Таким образом, В.и2 = 2FW, рВ.и2 = ^8рeрFWeр, р є Г^.

Складывая эти равенства, получаем--------------2 = —- X8рeрҐмер. Проинтегриро-

4 Зх0 2”+2 рєГ»+1

вав эти равенства по х0, находим частное решение уравнения (22)

U2 = ^ Z SPep(fFwdx0)еР•

2 P^i

Таким образом имеем представление (20). Воспользуемся равенством (23)

2”+2 ZPDPD u = ZsPepFgp, (26)

рег'» pergi

Можно показать, что функция p = wF, где F - регулярная справа функция, является частным решением (26). Отсюда следует представление (21).

Замечание 1 . Если за основу взять представление оператора Лапласа (2), то решение гармонического уравнения Au = 0 представимо в виде

и = 2 Zsp^ep,

РеГ„-1

где Ф^) является регулярной слева, либо регулярной справа функцией. Решение бигармонического уравнения A2u = 0 представимо в виде

и = т1т Z spep(Fwdxo )p + 2 Z spep(Фdxo ),

2n 1 per„_i per„_i

где Ф(w), F(w) - регулярные слева функции, или в виде

и = -2- Z spep(f(Fdxo)p + 2 Z spep(fФdxo),

2” 2 pd^ per„_i

где Ф(w), F(w) - регулярные справа функции.

Литература

1. Богашев Ф.А., Угодчиков А.Г. Пространственные комплексные потенциалы в бигармо-нической задаче // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Все-союз. межвуз. сб. Горький: Горьк. ун-т, 1992. Вып. 50. С. 3-16.

2. Бурлаков М.П., Показеев В.В., Фрейдензон Л.Е. Клиффордов анализ. Ч. 1. Алгебры Киф-форда. Грозный: Изд-во Чечено-Ингуш. ун-та, 1988. С. 22. Деп. в ВИНИТИ 11.03.1988 г. № 1959.

3. Бурлаков М.П., Показеев В.В., Фрейдензон Л.Е. Клиффордов анализ. Ч. 2. Интегральные представления функций со значениями в алгебре Клиффорда. Грозный: Изд-во Чечено-Ингуш. ун-та, 1988. С. 51. Деп. в ВИНИТИ 11.03.1988 г. № 1960.

4. Кузнецов С.П., Мочалов В.В. Автоморфизмы алгебры Клиффорда и сильно регулярные функции // Известия вузов. Математика. 1992. № 10. С. 83-86.

5. Кузнецов С.П., Мочалов В.В. Представление оператора Лапласа и сильно регулярные функции в алгебрах Клиффорда // Актуальные задачи математики и механики: сб. науч. тр. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1995. С. 56-70.

6. Мочалов В.В. О представлении решения гармонического и бигармонического уравнения в алгебре бикватернионов // Известия НАНИ ЧР. 1999. № 4. С. 5-10.

7. Мочалов В.В. О представлении решения гармонического и бигармонического уравнения в алгебре Паули // Математические модели и их приложения: сб. науч. тр. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. Вып. 13. С. 24-29.

8. Brackx F., Delanghe R., Sommen F. Clifford analysis // Research Notes in Mathematics. 1982. № 76. 307 p.

МОЧАЛОВ ВЛАДИМИР ВИКТОРОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дискретной математики и информатики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (m622573@gmail.com).

MOCHALOV VLADIMIR - candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of Chair of the Discrete Mathematics and Computer Science, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.