CC BY
85
УДК 004.9:[514.744] ББК 22.14
А.Ю. ИВАНИЦКИЙ, СП. КУЗНЕЦОВ, ВВ. МОЧАЛОВ, В.П. ЧУЕВ
ОБРАТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ДЕЛИТЕЛИ НУЛЯ В АЛГЕБРАХ КЛИФФОРДА И ГРАССМАНА
Ключевые слова: теория кодирования сигналов, информатика, формулы Фробе-ниуса и Шура, блочные матрицы, алгебра Клиффорда, алгебра Грассмана, делители нуля, обратные элементы.
Построена математическая модель пошагового вычисления обратных элементов в алгебрах Клиффорда и Грассмана численными методами, которые могут быть использованы в информатике, в частности в теории кодирования сигналов. Рассматриваются алгебры Клиффорда и Грассмана. Найдены различные алгоритмы нахождения обратных элементов. В алгебрах Клиффорда получены формулы для нахождения обратных элементов, аналогичных матричным формулам Фробениу-са. Для действительных алгебр Клиффорда малых размерностей найдены уравнения для нахождения делителей нуля. Получены формулы для обратных элементов в алгебрах Грассмана. Построены численные методы вычисления обратных матриц с помощью формулы Фробениуса в исключительных случаях, когда определители блоков матриц обращаются в нуль.
Раздел математики алгебра Клиффорда и клиффордов анализ в последние сорок лет интенсивно разрабатываются. Важным приложением алгебр Клиффорда и Грассмана является теория кодов [3]. Основные идеи теории кодов, исправляющих квантовые ошибки, являются естественным обобщением теории классических корректирующих кодов. Для построения совершенных кодов используются алгебры кодирования (в частности, алгебры Грассмана и Клиффорда). Рассматриваются коды на многообразиях Грассмана и коды в градуированной алгебре Клиффорда над полем Галуа ОБ(2). Математический аппарат алгебры Клиффорда находит также приложение в физике [6], вычислительной математике и генетике [8, 10], демпфирующих системах и обработке сигналов [9, 11]. Математический аппарат алгебры Клиффорда можно сравнить с математическим аппаратом алгебры матриц. Эти два математических аппарата не заменяют, а взаимно дополняют друг друга.
Введение. Пусть Яр д (Срд) - действительная (комплексная) алгебра
Клиффорда размерности т = 2п(п = р + д) с базисом еа = е,1,...ек 1 < ц < ...4 < п, где мультииндекс а = ¿1...4 пробегает все подмножества в множестве {1,2,...,п} , совокупность которых обозначим через Гп. Пусть е0 = 1 единица алгебры, еье2,...,еп - канонический базис, ех = ее ••• еп , произведение в ^р,д (Ср,д) определяется соотношением
ее}- + ее = 28 у в,, (1)
где в, = е2 = 1,, = 1,..., р, в, = е2 =-Г, I = р +1,..., р + д.
Произвольный элемент w алгебры Клиффорда Яр,д (Ср,д) записывается в
виде
W = £Ыаеа ,
аеГ„
где иа - действительные числа для алгебры Яр,д и комплексные числа для алгебры Срд.
Множество элементов алгебры Клиффорда, коммутирующих со всеми элементами базиса, называется центром. Известно [7, 12], что для нечетной алгебры Клиффорда центр имеет вид и0е0 + ихвх; для четной алгебры Клиффорда центр представляется в виде и0е0.
Обозначим через АЕ, Е = Я или Е = С алгебру Грассмана над полем действительных или комплексных чисел. Пусть е0 - единица алгебры, канонический базис алгебры Грассмана образуют элементы е1, е2,..., еп, е2 = е2 =... = е2 = 0, которые удовлетворяют соотношениям (1). Любой элемент алгебры Грассмана АЕ (п) представим в виде
w = ^ аа еа,
аеГп
где еа = ек,...ек ,1 < ¡1 < ..лк < п, аа - действительные или комплексные числа.
Если п = 1, то мы имеем две действительные алгебры Клиффорда; Я01 и
Я10. В алгебре комплексных чисел Я0д любой элемент г = х0е0 + х1е1,
„2 1 - с - -1 г хоео_ х1е1 е{ =—1, отличный от нуля, имеет обратный элемент г 1 =—2 = —2-2—.
|г| хо + Х1
В алгебре двойных чисел Я10 элементы г = х(е0 ± е1), е2 = 1 являются делителями нуля и не имеют обратных элементов. Эти двойные числа расположены на прямых Хх = ± х0. Для чисел 2 = х0е0 + х^, е2 = 1, которые не являются де-
лителями нуля, обратный элемент г 1 = —-2е1. Элемент алгебры Грасс-
V2 _ V2
0 Л1
мана АЯ (1) имеет вид г = х0е0 + х^, где е12 = 0. Если х0 = 0, то элемент г = х1е1 является делителем нуля и не имеет обратного. Если х0 Ф 0, то
_1 х0е0 - х1е1 г 1 =-
х2 л0
Если п = 2, то мы имеем три алгебры Клиффорда Я0,2, Я2,0, Яи. В алгебре кватернионов Я02 = Н любой отличный от нуля элемент w = х0е0 + х1е1 + х2е2 + х12 е12, е2 = е2 = е22 = _1 имеет обратный
_1 w х0е0 _ ад _ х2е2 _ х12е12 w 1 =-2 =-2-2-2-2-. Заметим, что Я0д, Я0,2 - единственные
х^) + х1 + х-2 + х12
алгебры Клиффорда, где нет делителей нуля.
Исследования по нахождению обратных элементов и делителей нуля в алгебрах Клиффорда проводились в [4, 5, 7]. В монографии [7. С. 399] получены формулы для нахождения обратных элементов в комплексных алгебрах Клиффорда малых размерностей. В работе [5] получены формулы для нахождения обратных элементов в действительных алгебрах Клиффорда малых
размерностей. Для нахождения обратного элемента w—1 в [4] рассматривалось произведение w • W, где W элемент алгебры Клиффорда, полученный из (2) с помощью операций сопряжения. Если w • W = е0, то w—1 = W, если w • W - действительное или комплексное число, которое может обращаться в нуль, то мы получаем уравнения для делителей нуля элемента w. В работе [10] для действительных алгебр Клиффорда изучен вопрос существования обратных элементов и найден алгоритм для их нахождения.
В настоящей статье изучаются действительные и комплексные алгебры Клиффорда и Грассмана. В первом пункте рассматриваются матричные представления элементов этих алгебр, которые отличаются от известных представлений минимальной размерности. Изучены особые случаи формулы Фробениуса для нахождения обратного элемента блочной матрицы. Во втором пункте найдены формулы для нахождения делителей нуля в действительных алгебрах Клиффорда малых размерностей, получены формулы для нахождения обратных элементов в этих алгебрах. Найден алгоритм нахождения обратных элементов в произвольных действительных алгебрах Клиффорда. При этом рассмотрены все особые случаи. Получены аналоги формулы Фробениуса для нахождения обратных элементов в действительных алгебрах Клиффорда. В третьем пункте указан алгоритм нахождения обратных элементов в произвольных комплексных алгебрах Клиффорда, получены аналоги формулы Фробениуса для нахождения обратных элементов в комплексных алгебрах Клиффорда. В четвертом пункте в алгебрах Грассмана изучен вопрос существования обратных элементов и найдены формулы для их нахождения.
1. Матричные представления алгебр Клиффорда и Грассмана. На плоскости можно ввести следующие системы чисел: комплексные числа Я0д : г = x + ¡у, ¡2 = -1; двойные числа ^1,0: г = x + уу, у2 = 1 и дуальные числа ЛЯ (1): г = х + ву, в2 = 0. Известны матричные представления таких чисел:
Матрицы А изоморфны полю комплексных чисел, матрицы В изоморфны двойным числам, матрицы С изоморфны дуальным числам.
А. Кэли показал, что комплексные 2 х 2 матрицы определенного вида образуют алгебру, изоморфную алгебре кватернионов Я 2 [1. С. 335]:
Произвольному элементу w = х0е0 + хе + х2е2 + х12е12 алгебры кватернионов соответствует матрица
Известно, что вещественные алгебры Клиффорда Яр,д п = р + д изоморфны следующим матричным алгебрам [7, 12]:
В =
Х0 + 2Х\ Х2 + ¡Х\2 Х2 — ¡Х12 Х0 — Щ
п
ЫМ (22, Я), если р — д = 0,2(шо<!8);
Mat(2 2 ,R)0Mat(2 2 ,R), если p— q = 1(mod8);
n—1
Mat(2 2 , C), если p - q = 3,7(mod8);
n—1
Mat (2~, H), если p — q = 4,6(mod8);
n—1 n—1
Mat(2~,H) 0 Mat(2~,Н), если p — q = 5(mod8).
В дальнейшем будем использовать другое матричное представление элементов действительной и комплексной алгебры Клиффорда. Рассмотрим
блочную квадратную матрицу M = | A B | размерности 2n х 2n, где блоки
С Бу
А, В, С, Б - матрицы размерности 2 й"1 х 2 й"1. Свойства блочных матриц более общего вида описаны в монографии [2. С. 55-64]. Приведем некоторые из этих свойств, которые понадобятся нам в дальнейшем. П М (Ах В! 1 М (А2 В2 1
Пусть Мх = 1 „ _ I, М2 = 1 „ I, тогда выполняются следующие
V Сх Бху V С2 Б2у
соотношения:
' Ах + А2 Вх + В2
1) сложение блочных матриц Мх + М2 =, г» г» I'
V Сх + С2 Бх + Б2 у
2) б М М (АхА2 + ВхС2 АхВ2 + ВхБ2
2) умножение блочных матриц Мх • М2 = 1 „ . „ „ р
V СхА2 + БхС2 СхВ2 + БхБ2 у
3) формулы Шура. Если det А ф 0, тогда detМ = det(AБ + АСА -хВ), если Б ф 0, то det М = det(AБ + ВБ-хСБ);
4) формулы Фробениуса. Если det М ф 0, det А ф 0, тогда
„ , (А -х + А-хВН-хСА -х - А -хВН -х М-х =
- Н -хСА-х Н-х
где Н = Б - СА-хВ; если det М ф 0, det В ф 0, то
М х = ( К х " К хВБ"х 1
V" БСК-х Б-х + Б-хСК-хВБ-х у
где К = А - ВБ-хС; 5) особые случаи.
Формулы Шура и Фробениуса применимы только в случае, когда либо det А ф 0, либо det Б ф 0. Для матрицы М рассмотрим случай, когда det А = 0, det О = 0, det В ф 0, det М ф 0. Умножим матрицу М на матрицу ( О Е1
М' = I е о / где О - нулевая матрица, а Е - единичная матрица размерности 2й-1 х 2й-1. Имеем ММ' = (А Б] (О О] = (Б С) Если det М ф 0, то det(MM') ф 0 и М-х = М'(ММ')-х.
n—1
n—1
Остается рассмотреть случай, когда detM ф 0, det А = det В = det С = det Б = 0. В этом случае рассмотрим матрицу М • Мт, где М т - эрмитова транспонированная матрица. Обозначим блоки этой матрицы А1, В1, С1, Б1. Имеем
М • Мт =| С1 В1 ]. Получившаяся матрица является положительно опреде-V С1 Б1)
ленной и, следовательно, det А1 ф 0, det Б1 ф 0. Это означает, что к матрице М • Мт можно применить формулы Шура и Фробениуса. По формулам Шура мы можем найти квадрат определителя матрицы М, а по формуле Фробениу-са обратный элемент матрицы М 1 будет иметь вид М 1 = Мт (ММт )-1.
2. Действительная алгебра Клиффорда. Пусть ЯРЛ - действительная
алгебра Клиффорда. Рангом базисного элемента еа назовем длину мультиин-декса а. Произвольный элемент алгебры можно представить в виде (2). Эле-
п
мент w е Ярч запишем в виде суммы элементов рангов от 0 до п: w = ^ . В
к=0
монографии [7. С. 95-97] введены три операции сопряжения: реверс, четно-стное сопряжение, клиффордово сопряжение. Операция сопряжения реверс: w ^ W такова, что она обращает порядок следования множителей в произведении генераторов: (е4 е2...ек ) = ек ...е2 ек. Для элемента w е Ярд имеем
п к (к-1)
W = ^ (-1) 2 wk. Операция четностного сопряжения w ^ wх такова, что
к=0
нечетные элементы умножаются на -1, а четные элементы не меняются:
п
wх = ^ (-1) kwk. Клиффордово сопряжение - это суперпозиция четностного
к=0
сопряжения и реверса: w ^ W = Wх. Для элемента w е Яр,д имеем
п к (к+1)
W = ^ (-1) 2 wk. Эти операции обладают свойствами [7. С. 95-97]:
к=0
W = W, (ыу ) = V • м, (и + V ) = и + V, wхх = w, (ыу)х = ЫХУХ, (и + = ЫХ + Vх, W = w, (uv) = V • и, (и + V) = и + V.
2.1. Алгебры ^2,0 , ^1,1 . Алгебра Я2, 0 - это действительная ассоциативная некоммутативная алгебра размерности т = 4, порожденная элементами е1, е2. Базис алгебры образуют элементы {еа }аеГ2 = {е0, е1, е2, е12} , где е0 - единица алгебры, е1 = е| = е0, е122 = -е0. Произвольный элемент алгебры представим в виде
w = ^ Ха еа = Х0е0 + ад + Х2е2 + х^е^.
аеГ2
Введем сопряжение W = х0е0 - х1е1 - х2е2 - х12е12, которое совпадает с со-
пряжением Клиффорда. Произведение w • W = W • w = х2 - х12 - х| + х122 является действительным числом. Делители нуля в Я2 0 [4] определяются равенством
w • W = W • w = х^ - х,2 - х| + х122 = 0. (3)
Если х0 Хц Х2 + Ф
то обратный элемент существует и имеет вид
й • й Х02 -х2 - х2 + Х122
(4)
Рассмотрим алгебру Дд. Базис алгебры образуют элементы {ва }«ег2 = {в0, в1, в2, в12}, где в? = в22 = в0, = -в0. Алгебра Я1Д изоморфна алгебре Л2,0: в2 ^ в12, в12 ^ в2. Поэтому делители нуля определяются равенством
й • й = й • й = х02 -х\ + х| - х122 = 0. Если х02 - х12 - х| + х122 ф 0, то обратный элемент существует и имеет вид (4). 2.2. Алгебры Л30, Л12, Л2Д, Ло,з. Алгебра Паули Къ 0 — это действительная ассоциативная, некоммутативная алгебра размерности т = 8, порожденная векторами в1, в2, в3, в2 = в| = в| = в0. Базис алгебры образуют элементы
{ва}аеГз = {в0,в1,в2,е^,вз,в1з,в2з,в12з}, где Г3 - совокупность подмножеств в множестве {1, 2, 3}. Заметим, что е122 = е123 = е|3 = в223 = -е0. Центр алгебры Я3,0 образуют элементы е0 и е123. Произвольный элемент алгебры можно представить в действительной и комплексной форме
й = £ хава=£ 2ава, (5)
аеГ3 аеГ2
где ¿0) = х0е0 + х123е123 , ¿1 = х1е0 + х23е123 , ¿2 = х2е0 х13е123 , ¿12 = х12е0 - х3е123 —
комплексные числа (е123 - заменяет мнимую единицу); множество {е0,в1,е2,в12} совпадает с базисом алгебры Я20 и обладает теми же свойствами. В алгебре Паули сопряжение й введем следующим образом:
(6)
= х0е0 - х1е1 - х2в2 - х12е12 - х3е3 - х13е13 - х23е23 + х123е123 ,
что опять является сопряжением Клиффорда. Умножая й на W, получаем комплексное число й • й = й • й = ¿2 - ¿2 - ¿2 + ¿22. Делители нуля в Л3 0 определяются равенством
w • W = W • w = - - + = 0. (7)
Если в равенстве (7) положить х3 = хХ3 = х23 = хш = 0, то получим равенство (3) для делителей нуля в алгебре Я2,0. Если ¿0 -¿2 -¿2 + ¿22 Ф 0, то обратный элемент й 1 существует и определяется равенством
Ав0 -Вв123) й • •
А2 + В2 Ф 0, (8)
А2 + В2 А2 + В2 где Ав0 + Вв123 = ¿0 ¿2 ¿2 + ¿22, А = х2 — х2^ — х^2 + х^3 — х2 + х123 + х22 — х32,
в = 2(х0х123 - х1х23 + х2х13 - х3х12).
Алгебра Я12 изоморфна алгебре Я3,0. Базис алгебры образуют элементы
{ва}аеГ3 = {в0,в1,в2,в12,в3,в13,в23,вш}, где в2 = в22 = в2, = в0, в22 = в'2 = в23 = е2^ = -в0.
Произвольный элемент алгебры представим в виде (5), где ¿0 = х0в0 + х123в123, = х1в0 + х23в123, ¿2 = х2в0 + х13в123, ¿12 = х12в0 + х3в123. Сопряженный элемент IV определяется равенством (6). Делители нуля имеют вид
й • й = й • й = ¿2 - ¿2 + ¿2 -z222 = 0.
w-1 =
Если ¿2 + ¿2 + ¿2 + ¿\22 ф 0, то обратный элемент w~1 существует и определяется равенством (8), где А — х2 - х1223 + х? - х23 + х| - х123 + х122 - х32,
В = 2( х0 х123 + х1х23 + х2 х13 + х3 х12)-
В алгебре Я0,3 базис образуют элементы (еа}аег3 —{е0,е\,е2,е\2,е3,е\3,е23,е\23}, где е0 - единица алгебры, е\ = е2 = е2 = е122 = е123 = е23 =-е0, е\223 = е0. Произвольный элемент алгебры представим в виде (5), где ¿0 = х0е0 + х123е123, ¿1 = х^0 - х23е123, ¿2 = х2б0 + х^еш, ¿12 = х^ - х3е12э - двойные числа. Сопряженный элемент определяется равенством (6). Делители нуля имеют вид [4] $ • $ — $ • $ — ¿2 + ¿2 + ¿2 + ¿2 = 0. Обратный элемент определяется равенством
$-1 = Ае0 - Ве123 ) = $ • ^ ^ , А2 - В2 ф 0, (9)
А2 - В2 А2 - В2 где — х,2 + х123 + х1 + х-^3 + х-^ + х13 + х12 + ,
В — 2(х0х123 - х1х23 + х2х13 - х3х12 ).
В алгебре Я21 базис образуют элементы {еа}аеГ3 —{е0,е1,е2,е12,е3,е13,е23,е123}, где е0 - единица алгебры, е12 — е2 — е123 — е23 — е1223 — е0, е32 — е\22 — -е0. Произвольный элемент алгебры представим в виде (5), где ¿0 — х0е0 + х123е123, ¿1 — хе + х23е123, ¿2 — х2б0 - ххъеу2ъ, ¿12 — хие0 - х3е123 - двойные числа. Сопряженный элемент определяется равенством (6). Делители нуля имеют вид $ • $ — $ • $ — - ¿2 - ¿2 + ¿\2 — 0. Обратный элемент, если он существует, определяется равенством (9), где А — х0 + х123 — х2 — х23 — х2 — х-р3 + х22 + х'2, В — 2(х0х]23 — х]х23 + х2х\3 — х3х\2 ). 2.3. Алгебры Л4,0 и Л1;3. Базис алгебры Я4 0:
{еа }аеГ4 — {е0, е\, е2, еп, е3, ев, е23, еш, е4, ем, е24, ет, е34, ет, е234, е^},
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 где е\ — е2 — е3 — е4 — е\234 — e0, е\2 — е\3 — е23 — е\4 — е24 — е34 — е123 — е124 — е134 — е234 ——е0.
Центр алгебры образуют элементы вида х0е0. Произвольный элемент алгебры можно представить в действительной и комплексной форме
$ — ^ хаеа — ^ ¿аеа, (10)
аеГ4 аеГ|
где Г43 - обозначает совокупность подмножеств в множестве {1,2, 4},
¿0 — х0е0 + х123е123 , — х1е0 + х23е123 , ¿2 — х2е0 — х13е123 , ¿12 — х12е0 — х3е123 , ¿4 — х4е0 + x\234e\23 , ¿14 — х\4е0 + х234е\23 , ¿24 — х24е0 — х\34е\23 , ¿124 — х\24е0 — х34е\23 .
Заметим, что первые четыре комплексных числа совпадают с комплексными числами алгебры Я3 0. Запишем равенство (7) в виде
$ — (¿0е0 + ¿е + ¿2е2 + ¿^2^0 + (¿4е0 + ¿ие\ + ¿24е2 + ¿124 е^К. Введем сопряжение Клиффорда
$ — (¿0е0 - ¿^1 - ¿2е2 - ¿12е12)е0 - е4 (¿4е0 - ¿ме\ - ¿24е2 - ¿\24e\2). Умножим элемент $ на $ . Имеем цепочку равенств
$ • $ — (¿ 2 - ¿2 - ¿2 + ¿\22 - ¿4 + ¿\24 + ¿224 - ¿\224 ) +
+ е4[(¿4е0 - ¿\4е\ - ^2 + ¿\24е\2)(¿0е0 - ¿\е\ - ¿2е2 - ¿\2е\2) -
- (Z0e0 -- Z2e2 + Zl2el2)(Z4eo - Zl4el - Z24e2 - Zl24el2)] = M + e4 N. Здесь M = (z(2 - z12 - z2 + z122 - z4 + z124 + z24 - z1224), N = 2 >оеш + 2 >^2 + 2 >2^3 + 2 ^3, у0 = 1т^0z4 + Z1Z14 + z2z24 + z12z124) ,
У1 = Яе( Zo 11 24 - Z1Z24 + z2z14 - z12z4) , >2 = 1т(-z0-224 + - z2z4 + z12z14) ,
>3 = 1т(-Zoz14 - z1 z4 - z2^24 - z12z24) .
Обозначим • = М-е4N. Тогда имеем ^ • #)
(w • = (М + е4N)(М - е4N). = М • М - N* • N, где N * = ълелШл = -2 >06123 + 2 >1612 + 2 >2613 + 2 >3623. Делители нуля в Я4, о определяются равенством
М • М-^-N = -^2 - Z12 - z2 + z122 ^ + z124 + z24 — z1224) •
• (^ - ^ - ^^ + 'z\2 - ^^ + ^ + ^ - ^ ) - 4(Уо2 - >12 - >2 - >32) = о. Обратный элемент определяется равенством
w-1 = ЩМ-е^Ю М• М-N* • N ф о. (11)
М • М-N *• N
Рассмотрим теперь алгебру Дирака Я13. Базис алгебры образуют элементы (еа }аеГ4 = {ео, е1, е2, е12, е3, е13, е23, е123, е4, е14, е24, е124, е34, еш, е234, е1234 }, где
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Р^ —р^ —р^ —р^ —р^ —р„ р^ —р^ —р^ —р^ —р^ —р^ —_р„ р^ —р^ —р^ —р^ —_р„
Ч _е12 _ 43 _44 _е234 _ е2 _ е3 _ М _ е23 _ е24 _ е34 _ е123 _ е124 _ е134 _ е1234 _ ^0-
Центр алгебры образует элемент ео. Произвольный элемент представим в виде (10), где Zo = Хоео + х^ш, ^ = хе + Х23е123, Z2 = Х2ео + х^е^ , Zl2 = Х12ео + Х3еш,
z4 = х0е4 + х1234е123 , z14 = х14е0 + х234е123 , z24 = х24е0 + х134е123 , ^24 = х124е0 + х34е123 -
комплексные числа. Заметим, что первые четыре комплексных числа совпадают с комплексными числами алгебры Я12. Проводя аналогичные рассуждения, найдем делители нуля в алгебре Дирака. Делители нуля определяются равенством
М • М - N * • N = (z2- z12 + z2- z122 + z42- z124 + z24 - z1224) •
• (^ - ^ + ^ + ^ + ^ - Zi24 + ^ - ) - 4(>02 - > 12 - >2 - >3^ = 0.
Здесь М=(z2 - z12 + z2 - z122 + z2 - z124 + z24 - z1224), N = 2 >оеш + 2 >1е12 + 2 >2ев + 2 >3е23, >0 = Im(z0 z4 + ^и z2 z24 z12 z124),
>1 = Re(z0^24 z1z24 + z2z14 z12z4) , >2 = 1т(-z0z24 + Z1Z124 - z2z4 + z12z14) ,
>3 = 1т(-Zo ^14 - ziz4 + z2 ^124 + ^ ^4), N * = в 4е4Ш4.
Обратный элемент, если он существует, определяется равенством (11). 2.4. Произвольная алгебра Клиффорда Лр,ч. Пусть Ярл - действительная алгебра. Произвольный элемент алгебры можно представить в виде w = ^ хаеа , где ха - действительные числа. Введем две другие операции
аеГл
сопряжения. Обозначим W = ^вахаеа, w*=в„e„we„, где ва = еа,в„ = е^.
аеГп
Введенные операции сопряжения обладают свойствами:
W = w, w1 + w2 = w1 + w2, w1w2 = w2 • w1,
/ \ * * * / \ * * * * * /1^4
(Wj + w2) = w* + w*, (WjW2) = w1 w2, w = w . (12)
Построим матричное представление элементов алгебры Клиффорда
(p + q = n), отличное от приведенных ранее, методом математической индукции. Представим произвольный элемент алгебры Клиффорда Rp,q в виде
w = woeo + w1en, где w0 и w1 элементы алгебры Клиффорда на единицу меньшей размерности. Заметим, что
w = wo^o + w*e„ = wo^o + e„w!. (13)
Если еП = -1, то по аналогии со случаем n = 2 элементу (13) сопоставим матрицу
Л "'Л (14)
- w1 wo)
Если е2 = 1, то матричное представление (13) имеет вид
w w | (15)
w1 wo)
где wo и w1 также представляются в матричном виде. Проверим, что при таком соответствии операции сложения и умножения сохраняются. Пусть
w = woeo + w1en и u = uoeo + щеп (e^ = -1) - два элемента алгебры Клиффорда. Тогда имеем
w + u = (wo + uo)eo + (w1 + U1)en; w • u = (woeo + w^n )(uoeo + U1en) = (wuo - wuOeo + (wou + wuSK. Сложение и умножение матриц вида (14) приводят к тому же результату wo w1 I + f uo u1 I = f wo + uo w1 + u1 - w* woo) f-u* uo) (w1 + u^* (wo + uo)" wo w1 I f uo u I = f wouo - w1uf wou1 + w1uj - w* wo J u* uo ) wf uo - wou* - wf u1 + wouo„ Если e2 = -1, то сопряженный элемент w = woeo + enw1 = woeo - enw1. Этому элементу соответствует матрица
w ofw -wJ. (16)
I w1 w1 )
Если e2 = 1, то сопряженному элементу w = woeo + enw1 = woeo + enw1 соответствует матрица
w of w I1*) (17)
f w1 w1 )
Матрицы (16), (17) транспонированы матрицам (14), (15), соответственно. Действительно, если n = 2, то элементу z = x + e1y соответствует матрица
A = | Х У I, если e,2 =-1, или матрица B = |X У I, если e1 = 1. Сопряжен-
1 - y x) fy Х)
ному элементу z = x + e1 y соответствуют транспонированные матрицы
,1 =fx -y| BT =fХ У
AT = | I, BT = | I. Доказываемое утверждение следует из метода
f У x ) f У x) математической индукции.
Пусть w е Яр,д,р + д = п и элемент w обратим. Представим его для определенности в виде (13); w = woeo + w1en, где еП = -1. Формулы для обратных элементов в алгебрах малых размерностей известны. Если wo и w1 обратимы, то по индукции будем считать, что известны формулы для обратных элементов w01, w1-1. Тогда w—1w = ео + w—1w1en. Элемент w—1w также обратим как произведение обратимых элементов. Обозначим w'= ео -w—1w1en. Тогда w'w—1w = (ео -w((1w1en )(ео + w—1w1en) = ео + w—1w1w(* 1w1*. Получили, что элемент w'wo1w принадлежит алгебре Клиффорда на единицу меньшей размерности. Покажем, что w' также обратим. Элементу ео + w—1w1en соответствует матрица
Е ВЛ
В Е/ (18)
где Е - единичная матрица, а В - матрица, соответствующая элементу wo1 w1, которые имеют размерности 2п- 1 х 2п-1. Элементу w' соответствует матрица
Е ЕВ) С9)
По формулам Шура матрицы (18) и (19) имеют одинаковый определитель. Отсюда следует, что элемент w' также обратим.
Найдем формулу для обратного элемента. Пусть w = woeo + w1en, где wo,w1 е Яп- 1,е1 = вп. Пусть wo - обратим, тогда w—1w = ео + w—1w1en. Произведение элементов (ео -w((1w1en)wo1w = ео -вnw—1w1w(* 1w1* е Яп- 1 и обратимо. Таким образом,
w-1 = (ео -вnw—1wlwf )-1(ео -w—1Wlen)w—1. (20)
Получили аналог формулы Фробениуса для элементов алгебры Клиффорда Яр,д.
Если элемент wo необратим, а элемент w1 обратим, то, умножая w справа на ет получим wen = woen - w1. Пришли к предыдущему случаю.
Если элементы wo и w1 необратимы, то умножим w на W. Получаем V = ww = woeo + VI е„, у которого элементы уо,у? обратимы. Это следует из соответствующих матричных представлений w и w .
3. Комплексная алгебра Клиффорда Срл. Произвольный элемент алгебры представим в виде w = ^ zаeа , где zа - комплексные числа. Введем в
-а^а
аеГn
алгебре Ср,д две операции сопряжения. Обозначим w = ^ваzаeа, где
аеГn
ва = еа,вп = е%, означает комплексное сопряжение. Введенные операции обладают свойствами (12). Представим произвольный элемент алгебры Клиффорда Срл в виде w = woeo + w1en, где wo и w1 - элементы алгебры Клиффорда
на единицу меньшей размерности. Элементу w соответствует матрица
М = Г ^* ^
^BnWl Wo
Комплексно сопряженному элементу ^ = w0e0 + enw1 = w0e0 +вnw1*en соответствует матрица
м, = ( Wo 8nWf
w0
которая является эрмитово сопряженной матрицей для М.
Пусть w е Ср,д,р + д = п и пусть элемент w обратим. Представим его в
виде w = Woe0 + w1en. Дословно повторяя рассуждения в п. 2.4, получим аналоги формулы Фробениуса вида (20).
4. Алгебра Грассмана. Пусть АЕ (п) (Е = Я или Е = С) - алгебра Грасс-мана над полем действительных или комплексных чисел. Пусть e0 - единица алгебры, канонический базис алгебры Грассмана образуют элементы el,e2,...,en, где e12 = e2 = ... = en = 0, которые удовлетворяют соотношениям (1). Любой элемент алгебры Грассмана АЕ (п) представим в виде
w = ^ а^а = aoeo + ^ а^а, (21)
аеГп аеТп
где eа = eil,...eit 1 <ц <...4 <п, аа - действительные или комплексные числа, гп =Гп \{0}. Элемент w = а^0 + a1e1 алгебры Грассмана А (1) имеет матричное представление
с = ( а0 а1 С 10 а0
Произвольный элемент алгебры Грассмана можно записать в виде: w = v0 + ад,,, где у0, у1 еАЕ (п -1). Ему соответствует матричное представление
М = (Vo V
Элементы v0 и v1 также можно представить в матричном виде. В результате получим, что М является нижней треугольной матрицей, все элементы которой на главной диагонали равны а0. Определитель этой матрицы det М = ап. Следовательно, элемент w обратим тогда и только тогда, когда а0 ф 0.
Укажем метод нахождения обратных элементов в алгебре Грассмана. Найдем обратный элемент в алгебрах АЕ (2) и АЕ (3). Произвольный элемент в АЕ (2) представим в виде: w = a0e0 + а^ + а^2 + а^12. Обозначим W = a0e0 - (а^ + а^2 + а^п). Произведение w • W = a0¡eo. Поэтому
w-1 =—, а0 ф 0. В алгебре Грассмана АЕ (3): w = a0e0 ааeа = а^0 + w1,
а0 аеГ3
W = а^о - ^ aаeа = а^0 - w1. Найдем произведение w • W. Имеем
аеГ3
w • W = ao2eo - w2 =a0}e(} - (2а^3 - 2а2а13 + 2aзal2)eш,
w • W(ao2eo + w2) = (а^ - w2 )(а2 + w12) = a4eo.
Таким образом, если а0 Ф 0, то обратный элемент находится по формуле
-1 - Wl)(ao2eo + w2) w =---.
а
Пусть Ар (п) - произвольная алгебра Грассмана, а еа - произвольный
элемент базиса. Рангом элемента еа (га^(еа)) назовём длину |а| элемента а. Элементы базиса длины |/| будем называть элементами / ранга. Рассмотрим произведение еаер двух базисных элементов. Произведение еаер Ф 0, если апр = 0, га^(еа ер) = га^(еа) + га^(ер). Коммутационные коэффициенты аар определяются из равенства еаер = ааререа. Заметим, что аар = 1, если элементы еа и ер коммутируют друг с другом, и аар = -1, если элементы еа и ер антикоммутируют друг с другом. Если еаер Ф 0, то коммутационные коэффициенты определяются из равенства
аар= (-1)1 а|"|р|. (22)
Произвольный элемент алгебры Грассмана возьмём в виде (20). Обозначим
W = а0е0 - £ ааеа = а0е0 - Wl.
_ -*аса
аеТ'п
Найдём произведение w • W. Имеем
w • w = ао2ео - ( £(2а^а) = ао2ео - Wl2. (23)
аеТ,
В (23) отсутствуют элементы базиса первого и второго рангов. Действительно, так как еа Ф ео, то в (23) нет элементов первого ранга. В силу равенства (22) aiajeiej + aiajejei = 0, поэтому в (23) нет элементов второго ранга. Таким образом, в выражении w12 = ( £ааеа)2 могут оставаться элементы
аеТ,
третьего ранга и выше. Применяя аналогичные рассуждения, с помощью (22) можно показать, что в выражении w14 = ( £ ааеа )4 могут оставаться элементы
аеТ,
седьмого ранга и выше, в выражении w8 = ( £ ааеа)8 могут оставаться эле-
аеТ,
менты пятнадцатого ранга и выше. Таким образом, найдется такое к, что w12i = 0. Справедливо равенство
w(aoeo -Wl)(aOeo + w12)(a4eo + w14)...(a(f—1'ео + w12k—') = а(к.
Обратный элемент находится по формуле
-1 (аоео -Wl)(ao2eo + Wl2)(a4eo + Wl4)...(ao2k—'ео + w2k—') w =-2к-. (24)
2к ао2
Заметим, что если 1 < п < 3, то к =1, w-1 = -
ао
Для алгебр Грассмана АЕ (п), 3 < п < 7, максимальное число множителей
/0/|Ч - -1 (аоео - Wl)(ao2eo + Wl2) в (24) равно 2, w 1 =-—0-—.
ао4
Для алгебр Грассмана Ар (п), 7 < п < 15, максимальное количество мно-
~ о -1 (аоео - Wl)(ao2eo + w2)(a4eo + Wl4) жителей в (24) равно 3, w 1 =-0-1-0-—.
а8
Для алгебр Грассмана Ар (п), п < 2к+' -1 обратный элемент находится по формуле (24).
Таким образом, в статье получены формулы для обратных элементов в действительной и комплексной алгебре Клиффорда и алгебре Грассмана. Исследована проблема нахождения делителей нуля в этих алгебрах. Для действительных алгебр Клиффорда малых размерностей получены формулы для нахождения делителей нуля. Для произвольных действительных и комплексных алгебр Клиффорда получены аналоги формул Фробениуса.
Выводы. В настоящей статье изучаются действительные и комплексные алгебры Клиффорда и Грассмана. В первом пункте рассматриваются матричные представления элементов этих алгебр, которые отличаются от известных представлений минимальной размерности. Изучены особые случаи формулы Фробениуса для нахождения обратного элемента блочной матрицы. Во втором пункте найдены формулы для нахождения делителей нуля в действительных алгебрах Клиффорда малых размерностей, получены формулы для нахождения обратных элементов в этих алгебрах. Найден алгоритм нахождения обратных элементов в произвольных действительных алгебрах Клиффорда. При этом рассмотрены все особые случаи. Получены аналоги формулы Фробениуса для нахождения обратных элементов в действительных алгебрах Клиффорда. В третьем пункте указан алгоритм нахождения обратных элементов в произвольных комплексных алгебрах Клиффорда, получены аналоги формулы Фробениуса для нахождения обратных элементов в комплексных алгебрах Клиффорда. В четвертом пункте в алгебрах Грассмана изучен вопрос существования обратных элементов и найдены формулы для их нахождения.
Выражаем благодарность доктору физико-математических наук, профессору Ю.М. Семенову за помощь в работе над статьей.
Литература
1. Ван-дер-Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976. 648 с.
2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 548 с.
3. Думачев В.Н. Модели и алгоритмы квантовой информации. Воронеж: Воронеж. ин-т МВД России, 2009. 232 с.
4. Кузнецов С.П., Мочалов В.В., Чуев В.П. О группах Клиффорда и делителях нуля в алгебрах Клиффорда // Вестник Чувашского университета. 2015. № 2. С. 164-172.
5. Кузнецов С.П., Мочалов В.В., Чуев В.П. Об обратном элементе в алгебрах Клиффорда // Математика в образовании: сб. ст. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2016. Вып. 12. С. 182-187.
6. МарчукН.Г. Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда. Ижевск: РХД, 2009. 302 с.
7. Марчук Н.Г., Широков Д.С. Введение в теорию алгебр Клиффорда. М.: ФАЗИС, 2012,
590 с.
8. Петухов С.В. Матричная генетика, алгебры генетического кода, помехоустойчивость. М.: РХД, 2008. 316 с.
9. Чернов В.М. Арифметические методы синтеза быстрых алгоритмов дискретных ортогональных преобразований. М.: Физматлит, 2007. 264 с.
10. Dorst L., Doran C., Lasenby J. Applications of Geometric Algebra in Computer Science and Engineering. New York, Springer-Verlag Inc., 2013, 478 p.
11. Garvey S., Prells U., Friswell M.I. Modal Correllation Measures for General Viscous-Damped Structures. Proc. 19th Int. Modal Analysis Conf. Orlando, Florida, USA, February 2001, pp. 653-660.
12. Lounesto P. Clifford Algebras and Spinors. Cambridge Univ. Press, 2011, 346 p.
ИВАНИЦКИЙ АЛЕКСАНДР ЮРЬЕВИЧ - кандидат физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой актуарной и финансовой математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (phiz-matdek@mail.ru).
КУЗНЕЦОВ СЕРГЕЙ ПЕТРОВИЧ - старший преподаватель кафедры дискретной математики и информатики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (chevchenka@mail.ru).
МОЧАЛОВ ВЛАДИМИР ВИКТОРОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дискретной математики и информатики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (m622573@gmail.com).
ЧУЕВ ВАСИЛИЙ ПЕТРОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дискретной математики и информатики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (570065@mail.ru).
A. IVANITSKIY, S. KUZNETSOV, V. MOCHALOV, V. CHUEV
REVERSE ELEMENTS AND ZERO DEVISORS IN CLIFFORD AND GRASSMAN ALGEBRAS Key words: signals coding theory, informatics, Frobenius and Schur formulas, block matrices, Clifford algebra, Grassmann algebra, zero divisors, inverse elements.
The mathematical model of step-by-step calculation of inverse elements in the Clifford and Grassmann algebras by numerical methods which can be used in computer science, and in particular in the theory of signal coding is constructed. Clifford and Grassmann algebras are considered. Various algorithms for finding the inverse elements are found. In Clifford algebras, formulas are obtained for finding the inverse elements of the analogous Frobenius matrix formulas. For the real Clifford algebras of small dimensions, equations are found for finding zero divisors. Formulas for inverse elements in Grassmann algebras are obtained. Numerical methods for computing inverse matrices using the Frobenius formula are constructed in exceptional cases, when determinants of matrix blocks vanish.
References
1. Van-der-Varden B.L. Algebra [Algebra]. Moscow, Nauka Publ., 1976, 648 p.
2. Gantmakher F.R. Teoriya matrits [The theory of matrices]. Moscow, Nauka Publ., 1988, 548 p.
3. Dumachev V.N. Modeli i algoritmy kvantovoi informatsii [Models and algorithms for quantum information]. Voronezh, 2009, 232 p.
4. Kuznetsov S.P., Mochalov V.V., Chuev V.P. O gruppakh Klifforda i delitelyakh nulya v al-gebrakh Klifforda [The Clifford groups and the divisors of zero in Clifford algebras]. Vestnik Chu-vashskogo universiteta, 2015, no. 2, pp. 164-172.
5. Kuznetsov S.P., Mochalov V.V., Chuev V.P. Ob obratnom elemente v algebrakh Klifforda [The reverse element in the Clifford algebra]. Matematika v obrazovanii. sb. st. [Mathematics in education: collection of articles]. Cheboksary, Chuvash University Publ., 2016, iss. 12, pp. 182-187.
6. Marchuk N.G. Uravneniya teorii polya i algebry Klifforda [Equations of field theory and Clifford algebras]. Izhevsk, 2009, 302 p.
7. Marchuk N.G., Shirokov D.S. Vvedenie v teoriyu algebr Klifforda [Introduction to the theory of Clifford algebras]. Moscow, FAZIS Publ., 2012, 590 p.
9. Petukhov S.V. Matrichnaya genetika, algebry geneticheskogo koda, pomekhoustoichivost' [Matrix genetics, algebras of the genetic code, noise immunity]. Moscow, 2008, 316 p.
10. Chernov V.M. Arifmeticheskie metody sinteza bystrykh algoritmov diskretnykh ortogon-al'nykh preobrazovanii [The arithmetic methods of synthesis of fast algorithms of discrete orthogonal transforms]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2007, 264 p.
11. Dorst L., Doran C., Lasenby J. Applications of Geometric Algebra in Computer Science and Engineering. New York, Springer-Verlag Inc., 2002, 453 p.
12.Garvey S., Prells U., Friswell M.I. Modal Correllation Measures for General Viscous-Damped Structures. Proc. 19th Int. Modal Analysis Conf. Orlando, Florida, USA, February 2001, pp. 653-660.
IVANITSKIY ALEXANDR - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of the Department of Actuarial and Financial Mathematics, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
KUZNETSOV SERGEY - Senior Lecturer, Department of Discrete Mathematics and Computer Science, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
MOCHALOV VLADIMIR - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Discrete Mathematics and Computer Science, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
CHUEV VASILIY - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Discrete Mathematics and Computer Science, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
Ссылка на статью: Иваницкий А.Ю., Кузнецов С.П., Мочалов В.В., Чуев В.П. Обратные элементы и делители нуля в алгебрах Клиффорда и Грассмана // Вестник Чувашского университета. - 2017. - № 3. - С. 207-221.
