Алгебра электрического и слабого зарядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Алгебра электрического и слабого зарядов

к.т.н. доц. Калпина Н.Ю., к.т.н. доц. Кецарис А.А.

Университет машиностроения 8 (495) 223-05-23 доб. 1149, 1305 Аннотация. В статье исследуется связь между законами умножения векторов в контравариантной алгебре Клиффорда и матрицами электрического и слабого зарядов. В результате устанавливается, что алгебры электрического и слабого зарядов могут рассматриваться как подалгебры контравариантной алгебры Клиффорда. Структурные постоянные контравариантной алгебры Клиффорда рассматриваются над множеством действительных чисел, комплексных чисел и кватернионов.

Ключевые слова: матрицы электрического и слабого зарядов, контравари-антная ассоциативная алгебра, алгебра Клиффорда, структурные постоянные, структурные матрицы.

Объединение электрического и слабого взаимодействий стало возможным благодаря введению электрослабой группы U(1) х SU(2) [1]. Здесь U(1) - группа слабого гиперзаряда, а SU (2) - группа слабого изоспина. Соответствующие этим группам алгебры электрического и слабого зарядов вводятся дополнительно алгебре Дирака. В настоящей работе ставится задача установления связи алгебр электрического и слабого зарядов с формализмом релятивистской квантовой механики. При этом нужно учесть, что в рамках указанного формализма ковариантная алгебра Клиффорда C сводится , в частном случае, к алгебре Дирака [2]. Отсюда следует, что, не выходя за рамки релятивистской квантовой механики, алгебры электрического и слабого зарядов можно связать с контравариантной алгеброй Клиффорда C. Итак, в соответствии с нашим замыслом мы должны, пользуясь правилами умножения векторов в контравариантной алгебре Клиффорда C , найти структурные матрицы этой алгебры. Затем среди этих матриц найти матрицы, соответствующие подалгебрам электрического и слабого зарядов. В том случае, если такие матрицы будут найдены, мы подтвердим вывод о том, что в формализме релятивистской квантовой механики содержится возможность описания электрослабых взаимодействий.

1. Присоединенное представление базисных векторов

Введем в рассмотрение контравариантную ассоциативную алгебру C . Ее векторы запишем в следующем виде:

Y = sI-y1,

где: eI - базисные векторы, yI - координаты контравариантного вектора.

Запишем закон умножения базисных векторов в алгебре C следующим образом:

eK 0ei =eL ■ CLKI . (1)

Здесь Clki структурные постоянные алгебры. Они рассматриваются в виде матриц, называемых структурными. Индекс I нумерует сами матрицы. Номер матрицы совпадает с номером правого базисного вектора. Индекс L нумерует строки, а индекс K - столбцы структурных матриц. Сравнивая закон умножения (1) с законом умножения базисных векторов для ковариантной алгебры Клиффорда C [2], отметим два существенных различия этих законов между собой. Они имеют разный порядок умножения базисных векторов. Для (1) базисный вектор с номером структурной матрицы занимает правое место в произведении, а для алгебры C базисный вектор с номером структурной матрицы занимает левое место в произ-

ведении базисных векторов. Базисные векторы е1 в матричном виде изображаются вектором-строкой, а базисные векторы Ек изображаются вектором-столбцом.

Вполне естественно ожидать, что указанные отличия приведут к существенным отличиям структурных матриц рассматриваемой алгебры от структурных матриц ковариантной алгебры Клиффорда и матриц Дирака, в частности. Вместе с тем, с одной стороны, нужно понимать, что указанные отличия законов умножения являются в определенном смысле взаимно дополнительными. Поэтому следует ожидать, что структурные матрицы алгебр С и С также являются в некотором смысле взаимно дополнительными. С другой стороны, нужно помнить, что структурные матрицы алгебры С, в частном случае, представляют собой матрицы Дирака, ключевые для квантовой теории. Отсюда следует важный вывод: роль искомых нами структурных матриц алгебры С должна быть столь же существенна для релятивистской квантовой механики, как и матриц Дирака.

В соответствии с нашим общим замыслом необходимо для базисных векторов в1 найти

структурные матрицы Ськ1, пользуясь (1) и правилами умножения векторов в алгебре Клиффорда.

Из (1) следует алгоритм вычисления структурных матриц, соответствующих базисным векторам. Сначала нужно установить номер структурной матрицы в соответствии с номером базисного вектора. Затем для вычисления элемента структурной матрицы с номером 1, расположенного в строке с номером К и в столбце с номером Ь, необходимо базисный вектор, номер которого совпадает с номером столбца матрицы, умножить справа на базисный вектор, номер которого совпадает с номером структурной матрицы. Далее нужно определить базисный вектор, на который проецируется это произведение, и численное значение проекции. Тогда номер Ь указанного базисного вектора определит номер строки, на пересечении которой с рассматриваемым столбцом, необходимо поставить указанное численное значение проекции.

Теперь вычислим структурные матрицы СЬк1 по приведенному алгоритму. В том случае, когда необходимо подчеркнуть размерность образующего пространства алгебры Клиффорда, используется обозначение С4 вместо обозначения С. Это особенно полезно при выделении подалгебры алгебры Клиффорда. Например, подалгебру алгебры С4 с тремя образующими базисными векторами (например, ех, е2, е3) удобно обозначать С3.

Вычисления структурных матриц выполним для двух случаев:

1) алгебра С3 с тремя образующими базисными векторами ех, е2, е3;

2) алгебра С4 с четырьмя образующими базисными векторами е1, е2, е3, е4.

2. Контравариантная алгебра Клиффорда С3

2.1. Действительное представление

Обращение к матрицам Дирака [1] научило нас тому, что компоненты векторов и матриц необходимо рассматривать в следующей последовательности индексов:

(32, 13, 21, 0, 1, 2, 3, 123).

Таким образом, будем записывать слагаемые вектора в следующей последовательно-

¥ = е32 • у32 + е13 • у13 + е21 • у21 + е0 - у0 + е1 - у1 + е2 - у2 + е3 - у3 + е123 • у123. (3)

В результате получим действительные матрицы 8*8 присоединенного представления базисных векторов е1. Они приведены в разделе 2.4. Помимо действительного представления рассмотрим комплексное и кватернионное представления базисных векторов алгебры Клиффорда, удобные в силу своей компактности._

2.2. Комплексное представление

Остановимся на вопросе о представлении произведения алгебр Клиффорда. Алгебру Клиффорда Сп можно записать в виде произведения Cm х C(n_m). И затем представить алгебру Сп_т) как алгебру гиперчисел. Например, вектор (3) алгебры С3 можно записать в следующем виде:

Y = ei3(e21 'У3' + 80 V3) + 80(821 'У2' + 80 'У0) + e2(e21 V + 80 'У2) + 8123(8 21 ' У^ + 8 0 V^)-

Эта запись соответствует записи алгебры С3 в виде произведения С2 х С1. Базисными векторами алгебры С3 являются e13, e0, e2, e123; базисными векторами алгебры С1 являются e21, e0. Пространство С1 можно рассматривать как пространство комплексных чисел. Для этого базисному вектору e21 алгебры С1 поставим в соответствие мнимую единицу i с обратным знаком, имея в виду, что sign e21 = _1, а базисному вектору e0 алгебры С1 поставим в соответствие действительную единицу. В результате получим вектор алгебры С3 в комплексном представлении:

Y = e13 (i 'У32 + У13) + e0 (i 'У21 + У0) + +e2 (i 'У1 + У2) + e123 (i' У31 + У123).

Комплексное представление дается матрицами 4*4, в которых блоки заменены базисными единицами 1 и i. Они приведены в раздел 2.4.

2.3. Кватернионное представление

Напомним, что кватернионы - это числа вида:

0 12 3

a0' q +a1 - q +a2 - q +a3 - q ,

0 12 3

где: a0, a1, a2, a3 - действительные числа, а q , q , q , q - базисные кватернионы, для которых выполняются следующие правила умножения:

О 0 П „i „i „0 0 i i 0 „i (■ 1 О

q o q = q , q o q = _q , q o q = q o q = q , (/ = 1, 2, 3) ,

12 213 23 321 31 132

q o qz =_q o q = q3, qz o qJ = _qJ o qz = q1, qJ o ql = _ql o qJ = qz.

Кватернионное представление базисных векторов основано на следующем разложении вектора:

Y = (e32 ' У32 + 813 ' У13 + £21 ' У21 + 80 ' У 0)£0 + (£32 ' У1 + 813 ' У2 + 8 21 ' У3 + 80 ' У1- (4)

Это представление соответствует записи алгебры С3 в виде произведения С1 х С2. Базисными векторами алгебры С1 являются e0, e123; базисными векторами алгебры С2 являются e32, e13, e21, e0. Так как sign e32 = sign e13 = sign e21 = _1, sign e0 = 1, то пространство

С2 можно рассматривать как пространство кватернионов. Для базисных кватернионов введем обозначения a' I, b' I, i' 1, 1. Заменяя в (4) базисные векторы e32, e13, e21, e0 базисными кватернионами, получим вектор алгебры С3 в кватернионном представлении:

Y = (a' I 'У32 + b' I 'У13 + i' I 'У21 +У0)80 ++(a' I 'У1 + b' I 'У2 + i' I 'У3 + y123)e123.

Кватернионное представление базисных векторов дается структурными матрицами 2*2. Эти матрицы приведены в следующем разделе.

2.4. Структурные матрицы контравариантной алгебры Клиффорда С3

В этом разделе приведем структурные матрицы контравариантной алгебры Клиффорда С3. При преобразовании матриц от действительного представления к комплексному исполь-

зованы следующие обозначения для блоков 2x2: 1 =

1 , а = I ъ - -I 1

1 1 > и 1 1 1

Алгебра системы чисел {1, а, Ь, г} представлена законами умножения:

а2 = Ь2 = 1 , г2 = -1, а ■ Ь = -Ь ■ а = г, а ■ г = -г ■ а = Ь, г ■ Ь = -Ь ■ г = а. При преобразовании матриц от комплексного представления к кватернионному использованы следующие обозначения для блоков 2x2:

В результате имеем следующую таблицу базисных структурных матриц контравари-антной алгебры Клиффорда С3:

13 и 2 12а 3-2 21 I 3

а 123

13 2

32 13 Л а 1 2 3

ш

1 1 1

1 % 1 1

I 1

I 1

я

Л

13

о 2

153 О

123

13 0 2 123 32 21 1 3

О 123 13 2

£-1

32 13 21

0

1 2 3

123

1 1 ■1 1

1 1 1 ■1

1 ]

1 1

6

-I

13

0

1 123

О

123

13 О 2 123 32 21 1 3

-21

32 13 21

¿1 О

2 3 123

1 1 1 3

1 1 1 1

О 123 13 2

!

1 1

5 1

О 123

13

О 2

123

0

123

13 0 2 153 32 21 1 9

0 123 13 2

-35

32 13 21

0

1 Я

э

123

I I I 1

1 1 1 1

а

1 1

I 1

0 123

13

о 2

123

О 123

Среди полученных матриц выделим матрицу, которая в комплексном представлении имеет вид г ■ 51к . Именно эту матрицу нужно считать ответственной за электромагнитное взаимодействие, так как на эту матрицу умножаются компоненты потенциала электромагнитного поля в уравнении Дирака. Такой матрицей является матрица, соответствующая базисному

вектору е21. Отсюда следует, что алгеброй электрического заряда является подалгебра кон-травариантной алгебры Клиффорда, построенная на базисных векторах е0 и е21.

3. Контравариантная алгебра Клиффорда С4 3.1. Действительное представление

Структурные матрицы алгебры С4 будем вычислять для особого порядка индексов, обобщающего порядок индексов, указанный в разделе 2.1:

(32, 13, 21, 0, 42, 14, 1324, 34, 1, 2, 3, 123, 134, 234, 4, 124) . То есть будем записывать слагаемые вектора в следующей последовательности:

Т = е32 ■ у'2 + £ ■ У1' + е21 ■ У21 + £ "У0 + е42 ■ У42 + £14 ■ У14 + 1324 34 1 2 3 123

+ £1324 ■У + £34 ■У + £1 У +£2 ■У + £3 ■У + £123 У + 134 234 4 124

+ ¿>134■У +£234■У + £ ■ У + £124 ■ У .

В результате получим матрицы 16*16 действительного представления базисных векторов е1. Они приведены в разделе 3.4.

3.2. Комплексное представление

Комплексное представление основано на следующем разложении вектора:

Т = £13 0 (е21 ■ У32 + £0 ■ У13) + £0 0 (е21 ■ У21 + £0 ■ У0) +

/ 42 14\ / 1324 34\

+ е14 0 (е21 У +£0 У ) + е34 0 (е21 У +£0 У ) +

+ е2 0 (е21 У1 + £0 ■ У2) + е123 0 (е21 У' + £0 ■ У123) + / 134 234\ / 4 124\

+ е234 0 (е21 У + £0 У ) + е124 0 (е21 У + £0 У ).

Это представление соответствует записи С4 в виде произведения С3 х С1. Базисными векторами алгебры С3 являются:

е13, е0, е14, е34, е2, е123, е234, £124,

базисными векторами алгебры Сх являются е21, е0.

Заменяя базисный вектор е21 мнимой единицей, а базисный вектор е0 действительной единицей, получим вектор алгебры С4 в комплексном представлении:

Т = е13 0 (/ ■ у32 + У13) + е0 0 (I ■ У21 + У0) + + £ 0 (I У1 + У2) + £23 0 (I ■ У31 + У123) + + £ 0 (I ■ У1 + У2) + £123 0 (I ■ У3 + У123) +

+ £234 0 (/ ■ У134 + У234) + £124 0 (/ ■ У4 + У124) .

'234

Комплексное представление базисных векторов дается структурными матрицами 8*8, в которых соответствующие блоки заменены базисными единицами 1 и 1. Эти матрицы приведены в разделе 3.4.

3.3. Кватернионное представление

Кватернионное представление базисных векторов основано на разложении вектора:

Т = (£32 ■ У'2 + £13 ■ У1' + £21 У21 + £0 У0) 0 £0 +

/ 42 14 1324 34\

+ (£32 У + £13 У +£21 У +£0 У ) 0 £34 +

+ (£32 ■ У1 + £13 ■ У2 + £21 У' + £0 ■ У123) 0 £123 + / 134 234 4 124\

+ (£32 У +£13 У +£21 У +£0 У ) 0 £124 .

Это представление соответствует записи алгебры С4 в виде произведения С2 х С2. Базисными векторами одной алгебры С2 являются е0, е34, е123, е124; базисными векторами другой алгебры С2 являются е32, е13, е21, е0. Как и прежде, заменяя последнюю группу базисных векторов базисными кватернионами, получим вектор алгебры С4 в кватернионном представлении:

Т = (а ■ I ■у32 + Ь ■ I ■у13 + г ■ I ■у21 + у°) ое0 + + (а■ I ■у42 + Ь ■ I ■у14 + г ■ I ■у1324 + у34) о е34 + + (а ■ I ■у1 + Ь ■ I ■у2 + г ■ I ■у3 + у123) о е123 +

+ (а ■ I ■у134 + Ь ■ I ■у234 + г ■ I ■у4 +у124) о е

Кватернионное представление базисных векторов дается структурными матрицами 2x2. Эти матрицы приведены в следующем разделе.

3.4. Структурные матрицы контравариантной алгебры Клиффорда С4

В этом разделе приведем структурные матрицы контравариантной алгебры Клиффорда С4. Для компактности статьи мы приведем только четыре матрицы из шестнадцати.

34 2 133 124

32 21 12 1324 1 3 134 4

О 31 123 124 13 14 2 13-1

13 О 11 34 1 123 231 121 33 51 ЛИ 1324 1 3 134

0 34 123 121 13 14 2 131

Эти матрицы соответствуют базисным векторам алгебры электрического заряда С1 и

алгебры слабого заряда С2. Обозначения для блоков 2x2, использованных при преобразовании матриц от действительного представления к комплексному и при преобразовании матриц от комплексного представления к кватернионному, приведены в разделе 2.4.

Среди полученных структурных матриц контравариантной алгебры Клиффорда С4 кандидатами на структурные матрицы алгебры слабого заряда являются такие, которые изоморфны алгебре кватернионов, с одной стороны, и не включают в себя структурную матрицу, соответствующую базисному вектору e21, с другой стороны, так как этот вектор уже отнесен к алгебре электрического заряда. Такие требования оставляют единственную возможность для выделения подалгебры слабого заряда, которой является подагебра контравариантной алгебры Клиффорда С4, построенной на базисных векторах e0, e4, e123, e1324.

Выводы

Алгебры электрического и слабого зарядов можно ввести, не выходя за рамки формализма релятивистской квантовой механики, если эти алгебры рассматривать как подалгебры

контравариантной алгебры Клиффорда С4. Тогда алгеброй электрического заряда является

подалгебра контравариантной алгебры Клиффорда, построенная на базисных векторах e0 и

e21, а алгеброй слабого заряда является подагебра контравариантной алгебры Клиффорда С~4 , построенной на базисных векторах e0, e4, e123, e1324.

Литература

1. Окунь Л.Б. Физика элементарных частиц, М., «Наука», 1988, 272 с.

2. Кецарис А.А. Алгебраические основы физики. Пространство-время и действие как универсальные алгебры, М., Издательство УРСС, 2004, 280 с.

3. D. Hestenes, A. Weingartshofer, The electron, new theory and experiment, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991.

4. D. Hestenes, G.Sobczyk, Clifford algebra in geometric calculus, Riedel Publishing Company, Dordrecht, 1984.