АКУСТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПОЛУСФЕРИЧЕСКОЙ КАПЛИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Серия: Физика

УДК 532.5

Акустические колебания полусферической капли

А. О. Иванцов

Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Акад. Королева, 1 Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Исследуется поведение капли на твердой подложке, совершающей вибрации акустической частоты. В этом случае необходимо учитывать сжимаемость жидкости. Получены частоты собственных колебаний капли; исследованы резонансы акустической моды и колебаний формы. Проводится сравнение решений, полученных без учета поверхностных сил и при малом поверхностном натяжении. Показано, что при наличии поверхностных сил вблизи поверхности капли появляются мелкомасштабные течения. Построены амплитудно-частотные характеристики. Рассмотрен предельный случай слабосжимаемой жидкости.

Ключевые слова: капля на подложке, сжимаемая жидкость, вибрации.

1. Введение

Ситуации, когда жидкость находится в окружающем газе в виде капель, являются весьма распространенными в технике. В качестве примера можно указать процессы разделения фаз в контейнерах с криогенным топливом, процессы, связанные с испарением, конденсацией и т.д. Одним из перспективных способов управления поведением многофазных сред является вибрационное воздействие.

В работах [1, 2] изучено поведение полусферической несжимаемой капли, помещенной на твердую осциллирующую подложку. Для описания динамики краевого угла использовалось граничное условие, предложенное Хокингом [3]. В [1] получены собственные частоты и декременты затухания колебаний полусферической капли (для осе-симметричных мод); изучены линейные и нелинейные колебания капли, в частности, возникающие резонансные явления. Влияние инерции жидкости, окружающей каплю, изучено в работе [2]. В этой же работе рассмотрены неосесиммет-ричные моды собственных колебаний.

В работе [4] проведено численное моделирование движения свободно подвешенной капли в вибрационном поле. С учетом эффектов сжимаемости окружающей среды исследованы колебания формы и поступательное движение капли. Рассмотрен случай, когда форма поверхности слабо отличается от сферической; для аналитического описания ис-

Вып. 3 (21)

пользовались полиномы Лежандра. В случае конечных отклонений поверхности динамика капли исследовалась с помощью метода граничных элементов. Показано, что в определенной области параметров квазиравновесное состояние устойчиво.

В настоящей работе исследуются колебания капли, находящейся на осциллирующей твердой подложке. Рассматриваются такие частоты колебаний, при которых необходимо учитывать сжимаемость жидкости.

2. Постановка задачи

Рассмотрим поведение капли жидкости, помещенной на осциллирующую твердую подложку. Вибрации нормальны к плоскости подложки и происходят по гармоническому закону r = r0 + af cos at, где а и a - частота и амплитуда звуковой волны, f - единичный вектор, направленный вдоль оси z (геометрия задачи и оси координат показаны на рис. 1).

© Иванцов А. О., 2012

Амплитуда колебаний предполагается малой по сравнению с радиусом капли. Каплю окружает газовая среда, плотность которой мала; влиянием силы тяжести пренебрегается. Предполагается, что в отсутствие вибраций краевой угол прямой, т.е. капля имеет форму полусферы.

Считается, что толщина образующегося около твердой поверхности динамического пограничного слоя мала по сравнению с равновесным радиусом капли: юП у/Я2, где V - кинематическая вязкость жидкости, Я - равновесный радиус капли. Вследствие этого при описании колебаний капли можно использовать уравнения идеальной жидкости.

Кроме того, длина звуковой волны, соответствующей частоте ю, сравнима с характерными размерами капли ю П с/Я (с - скорость звука в жидкости). В этом случае в капле возникает звуковая волна, и для описания динамики капли необходимо учитывать сжимаемость жидкости.

Система дифференциальных уравнений, описывающих колебания капли в системе отсчета, связанной с подложкой, имеет следующий вид:

do - _- 1 „ 2 -

--\-v-vv=--vp + aa у cosat,

dt p

— + div po = 0 . dt

(2.1)

(2.2)

do 1 2 -— =--vp + aa у cos at,

dt Po

dp- + Po div O = 0. dt

(2.3)

(2.4)

На свободной границе ставятся динамическое и кинематическое граничные условия. Вследствие малости амплитуды колебаний граничные условия можно перенести с движущейся свободной поверхности на невозмущенное положение поверхности капли. В результате получим

r = R:

p =^(AJ + 2f), f = -o , r 3 J' dt r

(2.6)

где A = sin 1 3 d/d3 (sin3 d/dS) - угловая часть оператора Лапласа, а - коэффициент поверхностного натяжения, ог - радиальная компонента скорости. На основании капли необходимо поставить условие непротекания:

3= —: о= 0. 2 3

(2.7)

Здесь и - угловая (нормальная к подложке) компонента скорости. Будем для простоты считать, что при колебаниях капли краевой угол остается прямым:

r = r, : f = o.

2 d3

(2.8)

Ввиду того что амплитуда вибраций предполагается малой, уравнение движения (2.1) линеаризуется; легко показать, что отношение нелинейного слагаемого к первому слагаемому порядка а / Я . Такой же порядок малости имеет отношение пульсационного отклонения плотности р' = р- р0 к ее среднему постоянному значению р0. В силу этого р заменяется на р всюду, за исключением первого слагаемого в формуле (2.2). Таким образом, вибрационное поведение капли описывается уравнениями линейной акустики с неоднородным слагаемым, обусловленным силой инерции

Система уравнений (2.3), (2.4) не замкнута, необходимо добавить уравнение состояния системы. Так как необратимые процессы диссипации несущественны, в качестве такого уравнения состояния следует использовать адиабатический закон

p

P=

(2.9)

Перейдем к безразмерным переменным, выбирая в качестве единиц расстояния - Я , времени -Я/с, отклонения поверхности от среднего - а, скорости - аю , возмущений плотности - р0 а ¡Я , давления - р0 ас2 /Я .

Переписывая уравнения (2.3), (2.4), (2.9) и вводя потенциал скорости соотношением и = Уф, получим пульсационную задачу в безразмерной фор-

ме:

dv 1 - - ,

— = — p + у • r k cos kt, dt k

1 ^ + Av = 0.

k dt

(2.10)

(2.11)

Форма капли описывается уравнением

r - R + f (3, t) = 0,

(2.5)

где /(3, /) - пульсационное отклонение поверхности от среднего (здесь и далее используются сферические координаты г,3,ф ).

P = p :

(2.12)

где к = юЯ/с - безразмерная частота вибраций.

Уравнение поверхности (2.5) в безразмерных переменных принимает вид

r + ef (3, t) = 1,

(2.13)

где е = а / Я - безразмерная амплитуда вибраций. Как уже отмечалось выше, амплитуда колебаний предполагается малой, следовательно, е □ 1. Граничные условия перепишутся в виде

3 = *: < 0,

2 д3 r = 1: f = _д^,

dt дг

k% + + 2f ) = f • г k2coskt,

(2.14)

Аф + k 2ф = k 2r cos 3.

(2.16)

3=^: < = 0, 2 д3

~ дф r = 1: j = -l-,

dr

(2.17)

k < + Р(аз f + 2 f) = k2 cos 3.

Кинематическое граничное условие позволяет записать условие (2.8) на контактной линии в виде

r = 1,3 = -: 2

д 2ф d3dr

= 0.

(2.18)

поверхностным натяжением. Отбрасывая в задаче (2.16), (2.17) слагаемые, описывающие влияние колебаний подложки, и исключая £ получим

Аф + k < = 0,

3=^: д< = 0, 2 д3

r = 1: kW(A3+2)|< = 0,

(3.1)

(3.2)

где p=aj(pc2R) - безразмерный параметр, характеризующий поверхностное натяжение жидкости. В большинстве случаев параметр ¡¡ можно считать малым. Например, для капли воды (a □ 100 дин/см , p = 1 г/см3, c □ 1.5 • 105 см/с ) радиусом 1 см ¡¡и5-10_9.

Представим пульсационное давление, отклонение поверхности и потенциал скорости в виде

p = p cos kt, f = f cos kt, ф = ф sin kt, (2.15)

где q , f, ф - зависящие от координат амплитуды соответствующих полей. Очевидно, что данный вид полей соответствует стоячим волнам. Подставляя (2.15) в (2.10), получим волновое уравнение для амплитуды потенциала скорости:

где к - искомая собственная частота.

Осесимметричное ограниченное в начале координат решение уравнения (3.1), удовлетворяющее граничным условиям на твердой поверхности, имеет вид

Ф = ХCj2n (kr)P2n (cos3).

(3.3)

Граничные условия для амплитуд запишутся следующим образом:

где j2n (kr) - сферические функции Бесселя первого рода, Р2и (cos 3) - полиномы Лежандра четного порядка. Заметим, что каждое слагаемое в (3.3) удовлетворяет условию (2.18), поэтому произвольный член ряда является собственной функцией задачи и может рассматриваться отдельно.

Условие на свободной границе дает дисперсионное соотношение

j (k ) - (2n -1)(2n + 2 ) j (k ) = 0 . (3.4)

Здесь штрихом обозначена производная по аргументу.

Проанализируем это условие при малых значениях ¡} . Для конечных значений меридионального

числа n второе слагаемое можно отбросить. В результате получаем уравнение, определяющее собственные частоты акустической моды:

Í2„ (К, ) = 0.

(3.5)

Для решения, не зависящего от угла 3 (n = 0), функция Бесселя имеет вид j0 (x) = sin x/x . Собственные частоты, соответствующие данной моде, равны корням уравнения sin x = 0.

Собственные волновые числа звуковых колебаний, соответствующие главным модам

Знак тильды над амплитудами давления, потенциала скорости и отклонения поверхности далее опускается.

3. Собственные колебания капли

Проанализируем сначала собственные звуковые колебания полусферической капли, т.е. колебания, происходящие в отсутствие переменных внешних сил и обусловленные сжимаемостью жидкости и

n 0 1 2 3

km 3.1416 5.7635 8.1826 10.513

kn2 6.2832 9.0950 11.7049 14.2074

kn3 9.4248 12.3229 15.0397 17.6480

Решения уравнения (3.5) для более высоких п приводятся в таблице. Учет поверхностного натяжения дает поправки порядка р к собственным частотам, определяемым (3.5).

n=0

Однако имеется другая ветвь спектра, соответствующая высшим гармоникам колебаний формы. При рпъ П 1 вторым слагаемым в (3.4) пренебрегать нельзя. При больших значениях п и конечных к для сферической функции Бесселя справедлива степенная асимптотика:

12л

< * >=(4^ f1 + ° (^ ^)),

(3.6)

т.е. к)« 2пк 1 _/2и (к). Тогда уравнение (3.4)

дает собственные частоты колебаний формы сферической капли несжимаемой жидкости (четные моды) [5]:

k2 = 2л (2л -1) (2л + 2 ) р и (2л )3 р .

(3.7)

d w 2 dw - +—

dx x dx

' 2л (2л +1)

(4.2)

X = Т.алР2л (x) '

а = -

(4 л + 1)Р2л (0) (2л -1)(2л + 2)

. (4.3)

Ограниченное в начале координат решение уравнения (4.2) может быть записано следующим образом:

w = x +(4л-1)!!

q„K(x) у qs

2—i 2s+1

(4.4)

где й2и (кг) - сферические функции Бесселя второго рода.

Коэффициенты q вычисляются по формулам

q0 =( 2л -1)( 2л + 2),

qk = qk_x [2л (2л +1) - (2k - 2) (2k -1)] .

(4.5)

Нетрудно видеть [6], что с точностью до множителя -(4п-1)!Щп ряд в (4.4) дает главную часть разложения \п. Исходя из условия на свободной поверхности имеем

С =-

kwn (k)-р(2л -1)(2л + 2)w'n(k)-k2 j (k)-р(2л-1)(2л + 2);2„ (k)

(4.6)

Как видно, для высоких значений меридионального числа сжимаемость жидкости не играет существенной роли. Действительно, в этом случае характерной длиной, на которой существенно меняется течение, является Я/п , что намного меньше длины звуковой волны (порядка Я при конечных значениях к ).

4. Вынужденные колебания

4.1. Общее решение

Очевидно, что вследствие симметрии задачи форму колеблющейся капли можно считать осе-симметричной. В данном случае решение задачи (2.16), (2.17) имеет вид

03 а

V(r, 3) = ^~fP2n (cos 3) [Cnj2n (kr) + wn (kr)], (4.1)

n=0 k

где wn (x) - решение неоднородного уравнения

По известному решению для потенциала скорости, используя граничное условие (2.17), легко найти пульсационное отклонение поверхности от ее среднего положения.

Суммирование рядов (4.1) проводилось с помощью математического пакета Maple. При этом ряды (4.1) заменялись рядами с конечным, но достаточно большим верхним пределом N. Сравнение результатов, полученных для различных значений N , показывает, что необходимо вычислять не менее 30-40 слагаемых, чтобы обеспечить точность порядка 1%. Расчеты проведены при N = 50 . Тестовые вычисления показали, что ряд (4.1) вблизи вершины капли (3 = 0) знакопеременный и, несмотря на то, что он сходится, абсолютные величины слагаемых уменьшаются достаточно медленно. Ввиду необходимости вычислений сферических функций Бесселя достаточно высокого порядка расчеты проводились с количеством значащих цифр до шестидесяти.

4.2. Предел слабосжимаемой жидкости

Для тестирования алгоритма суммирования рядов (4.1) результаты вычислений сравнивались с решением, полученным в пределе малых k. Для низких частот вибраций подложки решение задачи (2.16), (2.17) можно искать в виде разложений по малому параметру к2:

В формуле (4.1) ап - коэффициенты разложения х по четным полиномам Лежандра при 0 < х < 1:

> = > + k 2> + -

(4.7)

В нулевом порядке получим задачу о колебаниях капли несжимаемой жидкости [1]:

Д> = 0 ;

З = ^:

д%

2 дЗ

= 0.

(4.8)

(4.9)

г = 1: /о = Ф фо +Р(Аз+ 2)~ф~ = 0083.(4.10)

Здесь введен новый безразмерный параметр, равный квадрату отношения собственной частоты колебаний формы к частоте колебаний подложки,

+

w„ = x.

x

л=0

s=0

¡3 = р/k2 = aj(p0Къа2). Очевидно, что в случае

слабосжимаемой жидкости ¡3 должен быть конечен. Решение (4.8)-(4.10), удовлетворяющее уравнению Лапласа, запишем в виде

00

% = X Ar2nP (cos3). (4.11)

n=0

Коэффициенты разложения Аи определяются из динамического граничного условия. Решение задачи нулевого порядка имеет вид

% =ya P2n(cos3) r -

% ^ (1 -n2J)r

(4.12)

где 0.п = 2п(2п - 1)(2п + 2). Аналогичный результат получен в [1] для случая фиксированного краевого угла.

В первом порядке получим неоднородную задачу:

Д% = -% - r cos 3,

3 = ^: %=0 2 д3

(4.13)

(4.14)

r = 1: f = % % +3(Д3+ 2)^ = cos3. (4.15) dr dr

Решение задачи первого порядка запишем в ви-

де

% = Xa„r2nP2n (cos3) +

n=0

00 +XV2n+2P2n (cos3)+ r3XCA (cos3).

(4.16)

Здесь первое слагаемое - решение однородного уравнения, второе и третье - решения неоднородных уравнений Д% = -% и Д% = -r cos 3 . Коэффициенты разложений, как и в задаче нулевого порядка, определяются из граничных условий. Таким образом, возмущение поверхности для слабосжи-маемой жидкости может быть вычислено по формуле

f=-X

P2n (cos3)

0 (1 -o.2np)

(

+k2

2n +

1

1

2n + 4 (4n + 3)(1 -nlP)

(4.17)

О 0.2 0.4 0.6 0.8

к

Рис. 2. Изменение амплитуды колебаний объема капли в зависимости от частоты при р = 0.001, е= 0.02 . Линией показаны результаты, полученные в пределе слабосжимаемой жидкости, точки - решение для конечных к

На рис. 2 показана зависимость амплитуды колебаний объема капли от частоты вибраций подложки. Видно, что формула (4.17) достаточно хорошо описывает отклонение поверхности при к < 0.6 . Таким образом, вычисления, проведенные при малом значении параметра к , хорошо согласуются с результатами, полученными в пределе слабосжимаемой жидкости.

4.3. Колебания капли

в отсутствие капиллярных сил

Начнем изучение пульсационного движения капли с анализа ситуации, когда частота колебаний подложки велика по сравнению с собственными частотами колебаний формы капли: со2 а!(рЯъ) (р □ 1).

В этом случае влиянием поверхностного натяжения можно пренебречь. Условие баланса нормальных напряжений (2.17) на свободной поверхности запишется просто:

г = 1: < = соъ&. (4.18)

Решение задачи (2.16), (2.17), (4.18) имеет вид

%(r,3) = X~rP2n (cos3) •

n=0 k

К (k)-k

j2n (k )

j2n (kr) + + Wn (kr)

(4.19)

Рост амплитуды колебаний слабосжимаемой капли при увеличении частоты вибраций происходит по квадратичному закону.

На рис. 3 изображены максимальные по периоду колебаний отклонения поверхности при амплитуде вибраций, равной 0.02 радиуса капли. Штрихпунктирная линия соответствует моменту времени, когда подложка находится в верхнем положении, сплошная линия показывает форму капли через полпериода колебаний.

Полученные изолинии потенциала скорости показаны на рис. 4. С приближением к к первому собственному значению к возрастает радиальная компонента скорости, увеличивается амплитуда колебаний объема капли.

0.03

с

0.02

0.01

0

n=0

n=0

a

n

----

/\ 1 02 -1 -0.5 " 0.5 1

(а)

Рис. 3. Колебания капли при р = 0 , 8 = 0.1 : (а) — к = 1; (б) — к = 2.5 . Штриховой линией показана средняя

(полусферическая) форма капли, сплошная и штрихпунктирная линии — максимальные отклонения поверхности

-0.5 -1 1 0.5

(а) (б)

Рис. 4. Изолинии потенциала скорости при р = 0 : (а) — к = 1, (б) — к = 2.5 . Изолинии на левом рисунке проведены через 0.05, на правом шаг изолиний равен 0.1

Наблюдается резонанс акустической моды: если частота колебаний подложки совпадает с акустическими частотами колебаний капли, амплитуда отклонения поверхности неограниченно возрастает.

При дальнейшем увеличении к происходит резонанс с более высокими акустическими модами колебаний. Показано, что резонансы, соответствующие собственным частотам к0х, где 5 - четное число, отсутствуют.

Вблизи контактной линии отклонение поверхности и, соответственно, нормальная компонента скорости пульсационного течения стремятся к бесконечности, т.е. ряд (4.19) расходится.

Этот результат объясняется несогласованностью граничных условий: на свободной поверхности потенциал скорости линейно возрастает с увеличением нормальной к подложке координаты, а на основании капли нормальная производная потенциала равна нулю, т.е. на линии контакта дф/д3 терпит разрыв. Однако можно

показать, что в пределе г ^ 1, 3 ^ ж /2 пульсацион-ное отклонение поверхности

/=жКН. (420)

Таким образом, вблизи контактной линии особенность для отклонения поверхности / логарифмическая, т.е. интегрируемая. Следует также отметить, что потенциал скорости всегда остается конечным.

4.4. Вынужденные колебания с учетом поверхностного натяжения жидкости

При наличии поверхностных сил ряд (4.1) сходится при любых 3 . На рис. 5 показаны полученные в результате вычислений формы капли.

Отклонения поверхности соответствуют моментам времени, когда подложка находится в верхнем и нижнем положениях. Учет поверхностного натяжения, как уже отмечалось выше, приводит к появлению дополнительного набора собственных частот колебаний формы капли. Однако, т.к. параметр р мал, частота колебаний подложки велика по сравнению с первыми (наименьшими) частотами колебаний формы, т.е. резонансным образом могут возбуждаться только высокие моды колебаний формы капли.

В данном случае при р = 0.001 наиболее сильный отклик наблюдается у пятой четной моды капиллярных колебаний, соответствующей Р10 (см. (3.7)). В результате форма полученной поверхности капли выглядит значительно сложнее, чем рассмотренное ранее решение задачи без учета поверхностных эффектов.

Полученные решения для потенциала скорости приведены на рис. 6. Как видно, поля потенциала, вычисленные без учета и с учетом поверхностного натяжения, качественно схожи. Однако в последнем случае вблизи поверхности возникают мелкомасштабные течения, соответствующие резонансному возбуждению колебаний формы. По мере приближения волнового числа к к к также возрастает радиальная компонента скорости.

Определена зависимость амплитуды колебаний капли от параметра к . Аналогично решению, найденному без учета поверхностного натяжения, при совпадении частоты колебаний подложки с акустическими частотами колебаний капли наблюдается резонанс. Кроме этого, появляются новые резонансы, соответствующие колебаниям формы.

На рис. 7 кроме двух резонансов акустической моды (при к = 3.14 ; 5.76) видны пять резонансов формы. В приведенном примере четвертый резонанс, соответствующий колебаниям формы, и первый акустический резонанс происходят на достаточно близких частотах.

(а) (б)

Рис. 5. Колебания капли с учетом сил поверхностного натяжения: (а) -к = 1, р = 0.001; (б) - к = 3 , Р = 0.009 . Результаты приведены при е = 0.02. Штриховой линией показана средняя (полусферическая) форма капли, сплошная и штрихпунктирная линии - максимальные отклонения поверхности

-П.5 -I

(а) (б)

Рис. 6. Изолинии потенциала скорости для полусферической капли при (а) - к = 1, Р = 0.001; (б) - к = 3 , Р = 0.009 . Шаг изолиний слева 0.05, справа 0.2

1

/

0.5

Спк2

-0.5

-1

0 1 2 3 4 5 6 £

Рис. 7. Изолинии потенциала скорости при Р = 0.001: (а) - к = 1, (б) -к = 2.5 . Изолинии на левом рисунке проведены через 0.05, на правом шаг изолиний равен 0.1

4.5. Анализ колебаний капли при малых р

Проведем анализ решения (4.1) при сколь угодно малых значениях Р . При конечных значениях п слагаемым, содержащим Р , можно пренебречь. Тогда конечные п дадут вклад в потенциал (4.1), совпадающий с аналогичным вкладом для решения, полученного без учета поверхностного натяжения.

При достаточно больших значениях меридионально-

го числа п

(Рп3 □ 1)

поверхностное натяжение играет

определяющую роль, но можно пренебречь сжимаемостью жидкости. Тогда, выполняя разложение сферических функций Бесселя и пренебрегая частным решением неоднородного уравнения ^ , получим

(4п +1)!! Р^п - к

N3

(4.21)

(N + и- п)(N2 + п2 + Ш )'

Здесь введено обозначение к2/Р = 8(N + ¡и)3, 2N - номер резонансной рэлеевской моды для данной частоты колебаний подложки, и (Ц — 12) характеризует отличие частоты от резонансной. Параметром и можно пренебречь по сравнению с N, для больших п также приближенно считается « 8п3.

Вклад (4.21) в ряд для потенциала (4.1) и для отклонения свободной поверхности имеет вид

ЪапспГ2Р(соз5), -X2папепР2п(соз5) .(4.22)

пП 1 пП 1

Эта часть решения совпадает с найденной в [1] резонансной частью решения на больших частотах (для фиксированного краевого угла).

Используя формулу Стирлинга [6], получаем, что аы □ 1, т.е. резонансная гармоника дает вклад порядка N3/2/и в колебания поверхности в полюсе и порядка N1 и - на подложке. Таким образом, вклад высших гармоник оказывается существенным даже вдали от точки резонанса (и ^ 0 ).

Кроме резонансного возбуждения N -ной и соседней с ней гармоник поверхностное натяжение также приводит к эффективному обрезанию ряда (4.19).

2

к

Сп =

2

Действительно, верхний предел в сумме (44) должен быть много меньше N, что предотвращает расходимость ряда в окрестности контактной линии.

Разумеется, к обрезанию ряда (4.19) будут приводить также и эффекты вязкости, наиболее сильно проявляющиеся для высших гармоник. Оценим, каким должно быть соотношение малых параметров и

82 = у/еЯ , чтобы резонансное возбуждение колебаний формы по-прежнему имело место. Очевидно, что для мелкомасштабного течения наибольший вклад даст объемное затухание, а не наличие пограничного слоя вблизи твердой или свободной поверхностей. Затухание N -ной гармоники на периоде будет мало, если

с» VN2. (4.23)

Я2

Подставляя в (4.23) значение N , получаем условие резонансного возбуждения колебаний формы: Р 2 »а2/З6, или в размерном виде а <<а2 / р2у3. К примеру, для капли воды это условие выполняется при всех разумных значениях частоты.

5. Заключение

В работе изучено влияние высокочастотных вибраций на форму капли, помещенной на осциллирующую твердую подложку. Решение задачи найдено аналитически в виде рядов по полиномам Лежандра. Получены частоты собственных звуковых колебаний полусферической осесимметричной капли. Обнаружены резонансы акустической моды колебаний капли. Вычисления показали, что вблизи контактной линии пульсационные отклонения поверхности стремятся к бесконечности. Этот результат объясняется несогласованностью граничных условий на линии контакта в отсутствие поверхностного натяжения. Несмотря на это, потенциал пульсационной скорости всегда конечен.

Получено решение пульсационной задачи с учетом поверхностного натяжения жидкости. Показано, что при

наличии поверхностных сил отклонения поверхности ограничены. В данном случае резонансным образом возбуждаются высокие моды колебаний формы капли, вблизи поверхности капли появляются мелкомасштабные течения.

Рассмотрена задача о вынужденных колебаниях капли в пределе слабосжимаемой жидкости. Показано, что рост амплитуды колебаний при увеличении частоты вибраций происходит по квадратичному закону. Проведен анализ решения для сколь угодно малого поверхностного натяжения. Показано, что в этом случае резонансным образом могут возбуждаться высокие моды колебаний формы капли. Даже вдали от точки резонанса вклад высших гармоник оказывается существенным.

Работа выполнена при финансовой поддержке из средств гранта Президента РФ (МК-2368.2011.1).

Список литературы

1.Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Shklyaev S.V. Behavior of a drop on an oscillating solid plate // Physics of Fluids. 2006. Vol. 18, N. 1. P. 012101.

2.Любимов Д.В., Любимова Т.П., Шкляев С.В. Неосесимметричные колебания полусферической капли // Изв. РАН. МЖГ. 2004. №6. С.8-20.

3. Hocking L.M. The damping of capillary-gravity waves at a rigid boundary // J. Fluid Mech. 1987. Vol. 179. P.253-266.

4.Feng Z.C., Su Y.H. Numerical simulations of the translational and shape oscillations of a liquid drop in an acoustic field // Phys. Fluids. 1997. Vol. 9, N. 3. P. 519-528.

5. Стрэтт Дж. (Лорд Рэлей). Теория звука. Т.2. М., 1948. 476 с.

6.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977. 831 с.

Acoustic oscillations of semispherical drop

A. O. Ivantsov

Institute of continuous media mechanics UB RAS, Academ. Koroleva St. 1, 614013 Perm Perm State University, Bukireva St. 15, 614990 Perm

The behavior of a drop placed on rigid plate that oscillates with acoustic frequency is investigated. In this case the compressibility of the fluid should be taken into account. The eigen frequencies of the drop oscillations are found, the resonance effects of acoustic mode and shape oscillations are studied. The comparison of obtained results is performed for the situations when surface effects can be neglected and for the case of small surface tension. It is shown, that influence of surface forces leads to generation of small-scale flows near free surface. Amplitude-frequency characteristics are plotted. The particular case of weakly compressible fluid is studied.

Keywords: sessile drop, compressible liquid, vibrations.