Актуарный анализ на основе схемы гибели и размножения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 368.02:519.2

Актуарный анализ на основе схемы гибели и размножения

В. В. Лесин, Ю. П. Лисовец, А. М. Ревякин

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Актуарные расчеты являются обязательной частью любого вида страховой деятельности. Методика расчета страховых тарифов на основе модели гибели и размножения рассматривается применительно к страховым продуктам, связанным с утратой объекта страхования (страхование жизни, автомобилей от угонов, грузоперевозок и т. д.). Описание методики иллюстрируется примерами. В частности, получена формула расчета страхового тарифа для указанных видов страхования, обеспечивающего заданный доход страховой компании с выбранной вероятностью.

Ключевые слова: страхование; страховой тариф; модель гибели и размножения.

Страхование входит как составная часть в большинство видов экономической деятельности, чем обусловлена важность разработки математических моделей различных страховых схем, применяемых в страховании. Большие возможности для этого предоставляет модель гибели и размножения [1; 2], описывающая случайные процессы определенного типа.

1. Марковские случайные процессы с непрерывным временем и дискретными состояниями. Будем рассматривать случайный процесс |(t), t £ [0; ^), все сечения которого являются дискретными случайными величинами, т. е. процесс с непрерывным временем и дискретными состояниями.

Предположим, что ^(t) является марковским случайным процессом, т. е. для всех целых n > 2 и любых 0 < t1 < t2 < ... < tn его условные законы распределения

4xnK - i,

xi) = P{W < x№. - i) = x

n - 1

удовлетворяют требованию

, l(t1) = x1}

Fi(xX - 1, •••, x1) = Fi(xX - 1).

Одно из значимых приложений марковских процессов с дискретными состояниями, в том числе в вопросах страхования, относится к объекту S с конечным или счетным множеством возможных состояний {sk}. Если этот объект в случайные моменты времени t > 0 совершает случайные переходы между состояниями s{ ^ sk (причем вероятности plk этих переходов не зависят от пути, по которому он пришел в состояние s), то адекватной математической моделью объекта S будет марковский процесс с непрерывным временем и дискретными состояниями.

Для вероятностного описания случайных моментов переходов sl ^ sk используется понятие потока событий — последовательности однородных событий, появляющихся в случайные моменты времени (примеры в исследуемой нами области: поток заключаемых договоров страхования, страховых случаев, завершенных по срокам договоров страхования). Важнейшей для приложений его моделью является простейший поток, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия [1; 2].

© Лесин В. В., Лисовец Ю. П., Ревякин А. М.

Экономические и социально-гуманитарные исследования № 1 (5) 2015

38

_______________________Лесин В. В., Лисовец Ю. П., Ревякин А. М.____________

Оказывается [1], что число vt событий, появляющихся на промежутке длины t в простейшем потоке с интенсивностью (т. е. средним числом событий в единицу времени) X, есть случайная величина, распределенная по закону Пуассона:

vt ~ Pu (Xt).

При этом длительность т промежутка времени между двумя последовательными событиями в таком потоке имеет показательное распределение с параметром X: т ~ Ex(X), поэтому среднее значение этой длительности т = 1/ X.

Во многих приложениях используется обобщение простейшего потока — пуассоновский поток событий, отличающийся от простейшего тем, что не является, вообще говоря, стационарным: его интенсивность — это не постоянная величина, а функция времени X(t) > 0.

Два потока событий называют независимыми, если для любых промежутков времени число событий первого потока, появившихся на одном из промежутков, и число событий второго на другом промежутке являются независимыми случайными величинами.

Суммой потоков событий называется поток, состоящий из событий, образующих все складываемые потоки. Можно показать, что сумма конечного числа независимых пуассоновских потоков с интенсивностями Xk(t) есть пуассоновский поток событий с интенсивностью

X(t) = ZXk(t).

kk

Предположим, что рассмотренный выше объект S в случайные моменты времени совершает между состояниями {sk]nk = 1 случайные переходы s{ ^ sk, образующие независимые пуассоновские потоки событий с интенсивностями Xk(t). Тогда случайный процесс S(t), описывающий такой объект, будет марковским из-за отсутствия последействия в пуассоновских потоках переходов s{ ^ sk. Итак, S(t) есть марковский процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Одной из основных задач, возникающих при исследовании таких процессов, является вычисление вероятностей состояний

pk(t) = P{S(t) = sk}, te (0; те), k = 1, 2, ..., k.

Эти вероятности удовлетворяют системе дифференциальных уравнений Колмогорова (см. [1]):

1= 1 l^k

Z hi(t)

i=i

Pk

(0,

k = 1, 2, ., k.

Систему уравнений (1) следует дополнить начальными условиями

(1)

Pk(0) = Pko > 0 k = 1 2 . k ¥“=1.

, k,

2. Марковские процессы гибели и размножения. Во многих приложениях используется частный случай марковского процесса S(t) с дискретными состояниями и непрерывным временем, у которого допустимыми являются только переходы s} ^ sk, удовлетворяющие условию |k — /| = 1; он называется процессом гибели и размножения.

Экономические и социально-гуманитарные исследования № 1 (5) 2015

39

______________Корпоративное управление финансово-экономической деятельностью________

В дальнейшем интенсивности переходов Xlk(t) будем обозначать Xlk(t) = X(t) при k = l + 1 и Xlk(t) = цДО при k = l - 1. Тогда уравнения Колмогорова (1) для процесса гибели и размножения с числом n возможных состояний примут вид:

Po(t) = ^(t)pi(t) - X0(t)p0(t),

p*(t) = Xk- i(t)pk- i(t) + Ц + i(t)?k + i(t) - - (Xk(t) + ht(t))pk(t)> k = 1, 2, ..., n - 1, (2)

P’n(t) = Xn - 1(t)Pn - 1(t) + h„(t)P„1(t).

Пример 1. Рассмотрим использование модели гибели и размножения для расчета характеристик процесса страхования в следующих условиях: пусть в начальный момент времени у страховой компании имеется n однотипных бессрочных договоров страхования. Новые договоры не заключаются. Из статистических данных известно среднее время т = 1/ц от момента заключения договора до наступления страхового случая, после чего действие договора завершается. Оценим вероятности pk(t) того, что к моменту t в компании осталось ровно k действующих договоров (состояние sk), и среднее время, в течение которого в компании остаются действующие договоры данного типа.

Предположим, что поток страховых событий является простейшим с интенсивностью ц. В состоянии sk система S содержит k действующих договоров, поэтому интенсивность перехода sk ^ sk - 1 равна ц = k^.

Решение уравнений Колмогорова (2) с начальными условиями pn(0) = 1; pk(0) = 0, k = n - 1, n - 2, ..., 0 имеет вид

pk(t) = Ckne-kht(1 - е-ц()и - k, k = 0, 1, ..., n.

Вычислим среднее время, в течение которого в компании остаются действующие договоры. Пусть t1 < t2 < ... < tn — моменты страховых событий, а т1 = t1, т2 = t2 - t1, т3 = t3 - t2, ., Tn = tn - tn - 1 — длительности промежутков между ними. На первом промежутке действуют все n договоров, следовательно, интенсивность потока страховых случаев равна пц, поэтому т1 ~ Ех(пц) и средняя длительность этого промежутка т1 = М[т1] = 1/пц. На втором промежутке действуют n - 1 договоров, поэтому

т2 = 1/(n - 1)ц

и т. д. Таким образом, среднее время действия договоров данного вида страхования в компании равно

£ Tk = (1 + 1/2 + ... + 1/п)/ц.

k = 1 k

Пример 2. Пусть S(t) — число однотипных договоров страхования, действующих в страховой компании на условиях примера 1 к моменту t.

Считая потоки заключения договоров и страховых случаев по ним простейшими с интенсивностями X и ц соответственно и полагая, что в начальный момент действующих договоров не было, найдем основные характеристики процесса S(t): математическое ожидание m(t) и дисперсию D(t).

1. Математическое ожидание ms(t) в данном случае удовлетворяет уравнению m’(t) = X - цт (t) (см. [1]). Поскольку S(0) = 0, то и ms(0) = 0. Решив задачу Коши для этого уравнения с начальным условием m (0) = 0, найдем среднее число действующих договоров:

ms (t) = X(1 - е-ц()/ц. (3)

40

Экономические и социально-гуманитарные исследования №1(5) 2015

___________________Лесин В. В., Лисовец Ю. П., Ревякин А. М.

2. Дисперсию D(t) можно найти решением задачи Коши

dDs(t)

dt

= 2X - Хе-ц - 2ц£ (t), Ds (0) = 0.

Можно показать, что

D(t) = X(1 - e ц()/ц.

3. Расчет страховых тарифов на основе схемы гибели и размножения. Одной из главных характеристик любого вида страхования является страховой тариф B, связывающий страховую премию q со страховой суммой Q по формуле q = BQ. Рассмотрим методику расчета страховых тарифов на основе модели гибели и размножения применительно к страховым продуктам, связанным с утратой объекта страхования (страхование жизни, автомобилей от угонов, грузоперевозок и т. д.) (см. также [3—5]).

Предположим, что с начального момента введения данного вида страхования (t = 0, единица измерения t — 1 год) заключаемые договоры образуют простейший поток событий с интенсивностью X. Такое предположение обычно удовлетворительно описывает потоки заявок на договоры страхования. Величина X есть среднее число договоров, заключаемых в единицу времени, ее можно оценить из статистических данных.

Предположим также, что поток страховых событий для любого числа k объектов страхования также является простейшим с интенсивностью k^. Параметр ц есть интенсивность потока страховых случаев, приходящаяся на один объект страхования; в качестве его оценки можно использовать среднее число страховых случаев в единицу времени, происходящих для N застрахованных объектов, деленное на N. Например, если речь идет о страховании жизни, то оценка ц совпадает с вероятностью смертного случая для человека данной возрастной группы в течение периода страхования.

Рассмотрим обычные условия страхования на период T (как правило, равный 1 году). Страховая сумма Q выплачивается при наступлении страхового события в течение времени T с момента заключения договора, а при отсутствии страхового случая за этот период страховой взнос q = BQ идет в доход компании.

Обозначим черезp.(t) вероятность того, что в момент времени t по данному виду страхования в компании будет ровно i действующих договоров (т. е. таких, срок действия которых не истек и по которым не наступили страховые события). Предполагается, чтоp0(0) = 1;pk(0) = 0, k = 1, 2, ..., так как в момент введения данного вида страхования (t = 0) число заключенных договоров равно нулю.

Среднее число m (t) действующих к моменту t договоров найдем так же, как в примере 2:

mjf) = X(1 - е-ц()/ц, t < T. (4)

При t > T математическая модель рассматриваемого процесса изменяется, так как помимо случайных потоков заключаемых договоров и страховых случаев появляется поток договоров, срок действия которых истек. Можно показать (см. [1]), что

mact(t) = X(1 - е-ц()/ц, t > T. (5)

Введем следующие обозначения:

■ m(t) — среднее число договоров, заключенных к моменту t, включая и те, по которым выплачена страховая сумма или срок действия истек;

Экономические и социально-гуманитарные исследования № 1 (5) 2015

41

__________Корпоративное управление финансово-экономической деятельностью_____

- mc(t) — среднее число договоров, по которым произошли страховые события;

■ m0(t) — среднее число договоров с истекшим сроком действия.

Тогда, согласно свойствам простейшего потока событий,

m(t) = X • t,

(t) =(0 при t < T, mo() jx t = X e-ptt при t > T, m(t) = mjt) + mo(t) + mc(t).

(6)

(7)

(8)

Из равенства (8) с учетом соотношений (5)—(7) получаем:

m (t) = J X[t - (1 - e-pt)/p] при t < T, cW \ X[(1 - e-p7)t + e-pT(1/p + T) - 1/p] при t > T.

Теперь можно найти

q(t) = Xqt = XBQt,

(9)

(10)

где q(t) — средняя сумма страховых премий по данному виду страхования, поступивших в компанию к моменту t;

Q(t) = Qmc(t), (11)

где Q(t) — средняя сумма страховых вознаграждений, выплаченных компанией по данному виду страхования к моменту t.

С помощью равенств (9)—(11) найдем выражение для средней общей суммы доходов C(t), полученных компанией по данному виду страхования за время t:

C(t) = XBQt -

Qm (t) = (XQ[t(B - 1] + (1 - e-pt)/p], 0 < t < T,

Qmc(t) lXQ[(B + e-pT - 1)t - e-pT(1/p + T) + 1/p], t > T.

(12)

Используя соотношение (12), можно найти страховой тариф B, обеспечивающий требуемый средний доход компании из условия

S(t) > R(t), (13)

где R(t) — минимальный планируемый средний доход компании по данному виду страхования за время t. Пусть, например,

R(t) = |3S(t) = eXqt, (14)

т. е. предполагаемый средний доход в единицу времени — постоянная величина, а в < 1 — доля собранных страховых взносов, идущая в доход компании.

Анализ соотношений (13), (14) с учетом (12) показывает, что требуемый средний доход достигается при

B > (1 - e-pT) / (1 - в). (15)

Пусть, например, p = 0,02 1/год (это приближенно соответствует среднему показателю смертности населения), T = 1 год, в = 0,3 (т. е. предполагается, что 30 % собранных страховых взносов идет в доход компании). Тогда, согласно (15), страховой тариф B > 0,0283.

Формула (15) не включает рисковой надбавки, гарантирующей требуемый доход с доверительной вероятностью 1 - а.

42

Экономические и социально-гуманитарные исследования № 1 (5) 2015

_________________________Лесин В. В., Лисовец Ю. П., Ревякин А. М._________________

Можно показать, что с учетом этой надбавки формула для оценки страхового тарифа принимает вид

В>

1

1-р

х(1-е-«)/ц-«,^х(1 -е*)/ ц

\t + U\_a'Tkt

(16)

где и1 _ а — квантиль порядка 1 — а стандартного распределения Гаусса; t — время работы компании, для которого рассчитывается страховой тариф B.

Рассмотрим пример расчета брутто-ставки по формуле (16). Пусть

ц = 0,02 1/год; а = 0,1,

т. е. доверительная вероятность 1 — а = 0,9; в = 0,3, т. е. доходы компании составляют 30 % от собранных сумм. Зависимость страхового тарифа B от времени работы компании t для различных значений интенсивности заключения договоров X показана на рисунке.

Описанный нами подход к анализу работы страховой компании, основанный на схеме гибели и размножения, позволяет исследовать и другие формы страхования, например, с отложенной страховой выплатой, когда она производится только по страховым случаям, наступившим через определенный период после заключения договора.

Литература

1. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. 383 с.: ил. (Физ.-мат. б-ка инженера).

2. Волков И. К., Зуев С. М., Цветкова Г. М. Случайные процессы / Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2000. 448 с.: ил. (Математика в техническом университете. Вып. XVIII).

3. Лесин В. В., Лисовец Ю. П., Ревякин А. М. Расчет страховых тарифов на основе модели гибели и размножения // Вестник МГАДА. Серия: Экономика. 2012. № 2 (14). С. 174—178.

Экономические и социально-гуманитарные исследования № 1 (5) 2015

43

_______________Корпоративное управление финансово-экономической деятельностью______________

4. Расчет брутто-ставки на основе модели гибели-размножения / В. В. Лесин, Ю. П. Лисовец, А. М. Ревякин, Р. А. Митюшкин // Математические методы и приложения: Труды XIX математических чтений РГСУ. М.: РГСУ, 2010. C. 143-147.

5. Методика расчета характеристик одной схемы накопительного страхования жизни / В. В. Лесин, Ю. П. Лисовец, Р. А. Митюшкин, А. М. Ревякин // Вестник МГАДА. Серия: Экономика. 2010. № 4 (4). С. 114-117.

Лесин Виктор Васильевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики № 1 (ВМ-1) МИЭТ. E-mail: victor.lesin@gmail.com

Лисовец Юрий Павлович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры ВМ-1 МИЭТ. E-mail: lisovec@gmail.com

Ревякин Александр Михайлович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики № 2 (ВМ-2) МИЭТ. E-mail: arevyakin@mail.ru

44

Экономические и социально-гуманитарные исследования № 1 (5) 2015