Активное оптимальное демпфирование колебаний кузова автомобиля Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

управляющих моментов производится выбором момента, с которого начинается торможение, по измерениям текущих параметров движения. Эффективность разработанного способа управления подтверждена данными математического моделирования.

Предложенный способ управления переориентацией КА позволяет значительно уменьшить динамические нагрузки, вызванные вращением КА около центра масс, что особенно важно в случаях, когда кинетический фактор оказывается определяющим для штатного функционирования КА и его бортовых систем.

список литературы

1. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 а

2. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408 а

3. Пат. 2153446RU, МКИ7 B64 G1/24, G06 G7/66, 7/122. Устройство определения параметров регулярной прецессии (варианты) / М. В. Левский // Бюл. 2000. № 21.

4. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука, 1988. 328 а

Рекомендована Институтом Поступила в редакцию

12.12.06 г.

УДК 62-50

Б. А. Крашенинников

Балтийский государственный технический университет „Военмех" им. Д. Ф. Устинова

Санкт-Петербург

АКТИВНОЕ ОПТИМАЛЬНОЕ ДЕМПФИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ

КУЗОВА АВТОМОБИЛЯ

Рассматривается задача автоматического управления динамикой колебаний кузова автомобиля. Представлены решения задачи оптимального управления силой воздействия на кузов с использованием различных критериев. Показана возможность формирования на борту в реальном времени оптимальных значений силового воздействия для обеспечения плавности хода.

Автомобиль является современным средством передвижения, эксплуатация которого производится в различных условиях. В случае вертикальных колебаний вследствие неровностей дорожного покрытия водитель не может самостоятельно вмешаться в управление движением автомобиля [1—3]. Усложнение математических моделей движения автомобиля в целях повышения уровня их адекватности реальному процессу связано с трудностями применения к ним современных методов исследования. В первую очередь, это касается проблемы оптимального управления автомобилем, так как реализовать такой алгоритм возможно лишь для простейших моделей. С другой стороны, управление автомобилем как сложной системой можно реализовать с помощью адаптивной информационной модели, используя алгоритмы на основе теории самоорганизующихся оптимальных регуляторов с экстраполяцией (СОРЭ) Красовского [4—6]. При этом в критерии качества вводятся заданные значения выходных показателей исследуемой системы, найденные, например, с помощью решения задачи оптимизации динамики простейшей модели.

В настоящей статье рассматриваются возможности активного оптимального демпфирования колебаний кузова автомобиля с использованием различных критериев качества (целевых функционалов) на примере:

1) критерия максимального быстродействия;

2) алгоритма управления с фиксированной программой прогноза движения;

3) критерия плавности хода с минимизацией затрат на ускорение кузова;

4) алгоритма, минимизирующего критерий Красовского;

5) алгоритма, минимизирующего иерархию из двух критериев Красовского.

В работе [1] представлено решение задачи оптимального управления силой воздействия на кузов по принципу максимума с учетом ограничений на средний квадрат ускорения кузова. В качестве модели использована простейшая модель х = и. Профиль дороги считался известным. Представим указанную модель в виде

х = Ах + Ви,

0 1 Т Т /

где А = 0 0 ; х = (х1,х2) ; В = (0,1) ; и2 = — управление, здесь т — масса кузова;

^ — сила, передаваемая подвеской на кузов; Х1, х2 — вертикальные координата и скорость

кузова соответственно.

Задача оптимального управления положением кузова решается с помощью минимизации различных критериев качества.

1. Использование принципа максимума [4] для решения задачи максимального быстродействия при переводе системы из состояния х(^) в состояние хё (¿у) с ограничением

¿у

|и(^)| < ит и минимизируемым критерием качества I = | Л приводит к переключению управ-

¿0

ления с одного предельного положения на другое в некоторый момент времени т (¿0 и ¿у — начальный и конечный моменты времени оптимизации). Численное моделирование при шаге интегрирования & = 0,01 с, х^ (¿у ) = 0, х2 ё (¿у ) = 0 и ит =2,1 Н/кг дает следующие значения:

т =1,24 с, ¿у =2,01 с, х^у) =0,013 м, х2{гу)=0,0045 м/с.

Алгоритм формирует оптимальную программу управления положением кузова на интервале [ ¿0, ¿у ]. Во время движения характеристики профиля дороги х^ (¿у) = х1 у,

х2g(¿у ) = х2у изменяются (¿0 = ¿у = I+Т — скользящий интервал оптимизации, Т — заданная величина), и алгоритм нужно применять заново.

2. Для упрощения процедуры пересчета управления можно использовать алгоритм управления с фиксированной программой прогноза движения. При этом за управление V принимается производная момента т переключения управления и, т.е. т = V. В качестве минимизируемого выбирается критерий Красовского [4]

1 у

I=Vg (^ ¿у)+- ]

¿у 2 2

^ А, <0 к

1 Т

где Vg = 2АхурДху; Ах = х-xg ; р = ё1а§(рь р2); к, р1, р2 — заданные коэффициенты.

Уравнения прогнозирующей модели имеют следующий вид:

х1 = х2, х2 = и+А и1(^- т), т = 0;

р1 = ^ Р2 =-Pl, Рт = Р2аи50-т);

Р1('у ) = Р1Д х^у ), ) = р 2 А х2(гу ), рх ) = О,

здесь управление V = -к рт; 1('-т), 5('-т) — единичная и дельта-функции соответственно;

р(') — вектор сопряженных переменных.

Алгоритм устойчиво работает при достаточно больших отклонениях в задании начальных условий для т(^)е[А t, ^ ] без изменения параметров к, рь Р2. При этом формируется

оптимальное позиционное управление, что позволяет учесть отклонения реального движения от программного.

Результаты моделирования при шаге интегрирования Аt = 0,01 с и значении

2

ит = 2,1 Н/кг следующие: х10 =1м, х20 =1м/с, х1 у = 0, х2у = 0, к =1, р1 = р2 =1, t1 = 2 с,

т = 1,24с, Х1 у = 0,008 м, Х2у = -0,008 м/с. Значения параметров рь Р2, к критерия вначале

определялись согласно принципу равных вкладов максимальных отклонений [4], затем уточнялись в процессе моделирования.

Ввиду трудности практической реализации алгоритмов максимального быстродействия с переключением управления целесообразно использовать другие критерии качества.

3. Рассмотрим критерий плавности хода с минимизацией затрат на ускорение кузова 1 '{и 2

I = — I—— при обеспечении заданных граничных условий х('у ) = ху ('у ).

'0

Уравнения, определяющие решение по принципу максимума, имеют следующий вид:

тт 1 и2 ,2

Н = Р1 х2 +Р2и+--2, рр1 = 0, Р2 =-Р1; и = -к P2, 2к

где Н — гамильтониан системы.

Численным моделированием при А' = 0,01 с, 'у- = 2с, хю =1м, Х20 =1м/с, Х1 у = 0,

Х2у = 0 получено: Х1 у = 0,48-10"11 м, Х2у =-0,3 8-10"5 м/с.

4. Алгоритм с использованием прогнозирующей модели [4] для данной задачи с критерием Красовского

1 и2 + и0

Г и +ир!

в( х, ') -'

имеет вид

2

'0 '0

= 2АхтрАХу, Ах = х-х§, р = ё1а§(рь Р2, Рз), х=(х1, Х2, хз)т, Q=2аХ3

х1 = х2 , х2 = х3 , х3 = 0 ;

р1 = 0, р2 =-Ръ р3 =-Р2-ах3; Р1 ('у)=Р,-А х,- ('у), *=1,3, и=-к2 Pз, здесь Р1, Р2, Р3, а, к — заданные коэффициенты.

Численным моделированием для А' = 0,01 с, 'у = 2 с, хю =1м, х20 =1м/с, х1 у = 0, х2у = 0 при а = 1, р1 =10, р2 = 3 получено: х1 у = 0,79 м, х2 у =-1,18 м/с.

5. Для управления подвеской автомобиля с использованием прогнозирующей модели при ограничениях терминального типа можно применить алгоритм последовательной оптимизации по иерархии критериев Красовского [6]:

1 ¿у г 2

11 (x, ¿у)+21 г(и1 + и2 )2 +(и1° + и2 У

к 2 йг;

0

12 = Vg2(х, ) +1 (и22 +(и2° ) ) к22сН;

0

Vgl = | Р 2г х2(*/) - х2 g ]2, Vg2 = 2 Р1г xl(t/) - xlg ]2,

Т

где х = (х1, х2, хз) ; Xlg, х2g — заданные конечные значения переменных х1, х2; щ, г = 1, 2, — управление на г-м уровне значимости, соответствующее приведенным выше критериям; и° — оптимальное значение щ ; Р1, Р2, к , к2 — заданные коэффициенты. Система представляется в следующем виде:

х- = х2 , = хз , хз = и + и2 . В данном случае [6] на первом уровне алгоритм включает прогнозирующую модель

х- = х2 , У^2 = хз , хз = 0

Т

и систему для сопряженных переменного Р1 = (р>1 Р1х2, РЦ ) :

р1х1 = 0 , Р1х2 = -Р1х1 , Р1хз = -Р1х2 ,

решаемые при граничных условиях Р^у ) = ^ Рщ^у ) = Р2[х2(^у ) - х2g Ь Рь^Оу ) = 0. Из выражения дН1 / дщ = 0 , где

Н1 = Р1х1 х2 + Р1х2 хз + Р1хз (и1 + и2) + 2[(и1 + и2 )2 + (и1° + и2 )2 ]к1-2 , 2

находим управление и1 =-к1 Р1хз (и2 = 0). Для второго уровня имеем:

— систему х- = х2, х2 = хз, хз = и1;

— систему для Р2 = (Р2 х^ Р2 х^ Р2 хз)Т в виде Р2 х1 = 0, Р2 х2 =-Р2 х , Р2 хз =-Р2 х2 с гра-

д V

ничными условиями Р2 ^(¿у ) = Р1[ х(Гу ) - xg ], Р2 X2(tу ) = -П1х2 (^у Р2 хз (^у ) = 0;

д х2

— систему для ТЦ = (Пц , П2х2 , П2хз )Т : ПЦ = П1х2 , П1х2 = Пц , П1хз = -81 с граничными условиями П1 = 0 ;

— соотношения Р2 хз + к1- 2 81 = 0, Р2 хз + к22 щ = 0 (из выражений дН^ дц = 0 и

дН2 /ди2 = 0), из которых следует 81 =-к12 Р2Хз О) , и2 =-к22 Р2хз 0) .

При этом

Н2 = Р2х1 х2 + Р2х2 хз + Р2хз (и1 + и2)+1(и2 +(и2 У У к2 2 -

- П1х2 Р1х1 - П1хз Р1х2 + 81 (Р1хз + к1- 2 и1). В рассматриваемом примере краевая задача решается аналитически. В результате получаем

(у - *)2

Р2хз(') = Р1[x1(t/)-x1g]-Г--nlx2(t/^¿у -1);

, 3к12Р1(х1 у-х1я)('у-'0)4 П1х2 ) =-ого , ,2 „-773^-

- 0

2

8[3+к{ р2('у - ^Л

Р1х3 ) = Р1х3 ) + Р1х2 - 0+Рц )

22

Результаты моделирования при А' = 0,01 с, р1 = 140, р2 = 500, к1 = 0,001, к2 = 0,1 следующие: х1 у =-0,085 м, х2 у = - 0,083 м/с.

В отличие от приведенного полного решения в упрощенном варианте алгоритма последовательной оптимизации [6] интегрированием модели первого уровня из условия х2('у)~х2^ находим путем итераций модельное значение х3м(') = х3(')+Ах3 (это минимизирует гамильтониан Н1 по параметру х3м). Таким образом, имеем Р1 «0 и и1«0 при выбранном значении х3м . На втором уровне получаем Н2м = Р2х1 х2 + Р2х2 х3, и для определения управления следует найти Р2х3 из исходной системы при х3м = 0 и х3(')+Ах3, а также из системы для Р2 с соответствующими граничными условиями при V = 0 . Управление реализуется в виде и = 5(')Ах3 -к2 Р2^ .

При Р1 = 4000, к2 = 0,1 результаты вычислений следующие: х1 у = 0,035 м,

х2у =-0,110-5 м/с (полагалось 5(') = 1/ А'). При этом характер траекторий управляемого

движения не изменяется по сравнению с предыдущим полным решением.

Применение рассмотренных выше для модельных условий (при постоянных значениях интервала оптимизации и компонент вектора состояния на правом конце траектории) алгоритмов управления к изменяющемуся профилю дороги показало [7], что наилучшие результаты дают алгоритм с использованием критерия минимума энергетических затрат и алгоритм последовательной оптимизации.

При реализации этих алгоритмов в активной системе демпфирования колебаний для выбранного профиля дороги и скользящего интервала оптимизации [', '+Т ] расхождение между начальными условиями, определяющими компоненты вектора состояния, и текущим изменением профиля дороги гасится с установившейся погрешностью при отслеживании профиля, составляющей примерно 4 мм. При уменьшении скользящего интервала вдвое алгоритм с использованием критерия минимума энергетических затрат дает на порядок меньшую погрешность. С уменьшением скользящего интервала прогнозирования хорошую точность обеспечивает и алгоритм, минимизирующий один критерий Красовского (см. п. 4).

Таким образом, с помощью полученных алгоритмов определена оптимальная динамика кузова автомобиля как несложной системы. Для использования полученных результатов при управлении автомобилем в реальных условиях необходимо применить их в качестве входных воздействий в алгоритме активного демпфирования колебаний кузова с помощью СОРЭ [6]. СОРЭ использует информационную динамическую модель, которая строится в бортовом компьютере по текущей информации с датчиков автомобиля.

список литературы

1. Динамика системы „дорога — шина — автомобиль — водитель" / Под ред. А. А. Хачатурова. М.: Машиностроение, 1976.

2. Управляемость и устойчивость автомобиля: Сб. статей / Пер. с англ.; Под ред. А. С. Литвинова. М.: Машгиз, 1963.

3. Roppenecker G. Fahrzeugdynamik: Grundlagen der Modellierung und Regelung // Automatsierungstechnik. 1994. N 10. S. 429—441.

4. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987.

5. Красовский А. А. Адаптивный оптимальный регулятор с переменным порядком наблюдателя и временем экстраполяции // Автоматика и телемеханика. 1994. № 11. С. 97—112.

6. Кабанов С. А. Управление системами на прогнозирующих моделях. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997.

7. Кабанов С. А., Крашенинников Б. А. Оптимальное управление подвеской автомобиля. // Тр. XXIV Рос. школы по проблемам науки и технологий. Т. 2. Наука и технологии. М.: Изд-во РАН, 2004. С. 329—339.

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

систем обработки информации 07.12.07 г.

и управления