Адекватность использования аналогий в цифровой обработке сигналов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Данные эксперимента позволяют сделать вывод о том, что причиной провалов напряжения являются броски тока намагничивания в момент подключения вторых выпрямительных агрегатов параллельно работающим. В соответствии со «Стратегией развития железнодорожного транспорта в Российской Федерации до 2030 г.», в которой акцентировано внимание на увеличение грузоперевозок и срока службы оборудования, процесс подключения выпрямительных агрегатов становится весьма актуальным и требует повышенного внимания, изучения и принятия конкретных технических решений, направленных на минимизацию броска тока намагничивания.

Это позволит улучшить качество электроснабжения устройств СЦБ и связи, а также нетяговых потребителей, что приведет к повышению надежности функционирования данных устройств и безопасности движения поездов.

1. Правила технической эксплуатации железных дорог РФ [Текст]. - М.: Транспорт, 2000. - 191 с.

УДК 004.62:510.8:517.98

С. С. Грицутенко

АДЕКВАТНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АНАЛОГИЙ В ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ

СИГНАЛОВ

В статъерассматриваются проблемы, возникающие при переходе отработы с аналоговыми сигналами к сигналам, представленным в дискретной форме, а также спектры функций и последовательностей и линейность фазы фильтров с конечной импульсной характеристикой. Предлагаются критерии аналогичности в широком иузком смыслах, на базе которых решаются проблемы аналогий. В конце статьи вводится модифицированная дельта-функция.

Современные железные дороги представляют собой комплекс сложных технических систем. Важное место среди этих систем занимают устройства связи и измерительное оборудование. В связи с быстрым развитием микропроцессорной техники актуален вопрос о переходе от обработки сигналов в аналоговой форме к цифровой обработке сигналов (ЦОС). Под ЦОС обычно понимают набор математических операций над последовательностями дискретных значений, т.е. объектом ЦОС является последовательность, но применяют ЦОС чаще всего для обработки непрерывных функций. Вследствие этого последовательности (дискретные значения) пытаются обрабатывать так, как обрабатываются в сходных ситуациях непрерывные функции. Однако обрабатывать последовательности так же, как функции, невозможно, так как это совершенно разные математические объекты. Поэтому результаты операций при работе с дискретными значениями сигнала и результаты аналогичных операций над непрерывной функцией могут серьезно расходиться. В этом случае говорят о проблеме аналогий.

Проблема аналогий - это невозможность подобрать операцию над пространством последовательностей, аналогичную операции над пространством функций, и наоборот. Рассмотрим несколько примеров.

Как известно, функцию х (г) с периодом Р можно разложить в ряд Фурье. Коэффициенты этого ряда вычисляются при помощи формулы:

1 Р - ■—И

X (к ) = — | х (г) в3^1 &. (1)

Р 0

Коэффициенты разложения периодической последовательности х (п) определяются при помощи формулы дискретного преобразования Фурье (ДПФ):

n=N~l -j^kn

X (Ik)= X х (n) eN , (2)

n=0

где N - длина последовательности.

Очевидно, что если х (t) - четная функция (симметричная относительно нуля), то коэффициенты Фурье строго действительны. Верно и обратное утверждение, но из четности (симметричности) последовательности действительность отсчетов ДПФ уже не следует. Так, симметричной последовательности х(n) = {1,1,5,1,1] соответствует комплексное ДПФ:

X (k) = {9,0000, -3,2361 - j2,3511,1,2361 + j3,8042,1,2361 - j3,8042, -3,2361 + j 2,3511},

а несимметричной последовательности х (n) = {5,1,1,1,1], наоборот, соответствует действительное ДПФ: X (k) = {9,4,4,4,4} .

Рассмотрим следующий пример. В учебниках по теории ЦОС часто приводится следующее утверждение: «Импульсная характеристика для физически реализуемых КИХ-систем (систем с конечной импулъснойхарактеристикой - прим. авторов) слинейной фазой обладает свойствами симметрии» [1]. И далее приводится формула, поясняющая какая именно симметрия имеется в виду:

h(n) = h(N -1 - n) , (3)

где h (n) - импульсная характеристикаКИХ-системы, a N - ее длинна.

То есть в КИХ-системе, по утверждению авторов, самый первый и самый последний элементы импульсной характеристики должны быть равными, если фаза линейна. Данное утверждение ложно, оно иллюстрирует одно из наиболее ярких проявлений проблемы аналогий.

Действительно, в отношении функций однозначно доказывается, что для линейности фазы необходимо и достаточно симметричности функции, но для последовательностей доказывается только достаточность этого утверждения - для линейности фазы достаточно симметричности последовательности. Необходимость же просто декларируется исходя из соображений «аналогичности».

Покажем, что существуют системы с несимметричными импульсными характеристиками, но тем не менее с линейной фазой. Возьмем строго симметричную импульсную характеристику, например, h (n) = {1,2,3,3,2,1]. Так как последовательность h (n) симметрична, то фаза системы линейна, и, следовательно, ее частотную характеристику можно представить в виде: H(«)e~'wT1, где H (ш) - строго действительная величина. Теперь получим из h(n) новую импульсную характеристику при помощи задержки на целое число отсчетов (время T2): h1 (n) = {0,0,...,1,2,3,3,2,1|. Эта импульсная характеристика уже не симметрична в смысле формулы (3), но фаза F1 (0) такой системы все еще остается линейной. Докажем это:

H1 (ю) = H (ю) e~j(oTe~jaTl = H (ю) e~jc°(T1 ); (4)

W \ ♦ Im(H1 H) ♦ H(®)sinHT+ T2))

F1 (ю) = arctg K ' = ^xctg—-—-v ' = -ю (T1 + T) 2, (5)

Re уH1 H (ю) cos («(T1 + T2 jj 2

что и требовалось доказать.

Наконец, опишем весьма необычный эффект, возникающий при интерполяции. Для этого возьмем КИХ-фильтр с импульсной характеристикой h (n), которая отлична от нуля только

на промежутке времени \T0, T1 ]. Вне этого отрезка она тождественно равна нулю. В момент

времени T0 на фильтр подается воздействие в виде дельта-последовательности

S (n) = {1,0,0,0,...}, а на выходе фильтра видим конечную реакцию h(n), которая длится до

момента T1.

Если провести интерполяцию импульсной характеристики КИХ-фильтра по интерполяционной формуле Котельникова (например, в десять раз - между двумя отсчетами добавим девять новых):

n=+» sin — (t - nT)

x (t)=X * (nT)-T-, (6)

t - nT)

то получим следующую картину: импульсная характеристика КИХ-фильтра перестанет быть конечной. После момента времени T1 у импульсной характеристики появляется продолжение.

Самое интересное заключается в том, что у импульсной характеристики появляется также и предыстория - ненулевые значения до момента времени T0 (момента подачи входного воздействия). Другими словами, получается, что сигнал на выходе системы опережает сигнал на входе.

Причина проблем аналогий, как отмечалось выше, состоит в том, что разработчик не всегда может найти для пространства последовательностей аналогию в пространстве функций (имеется в виду вектор пространства, операция над векторами и т. д.). Следовательно, должны существовать критерии аналогичности объектов пространства последовательностей и пространства функций.

Рассмотрим два критерия аналогичности - аналогичность в широком и в узком смысле.

Предположим, имеются два пространства Гильберта: пространство функций X = {x (t)}

и пространство последовательностей Xd = {x (nT)}. Векторы пространства Xd получают из векторов пространства X при помощи дискретизации с периодом T.

Определение 1: вектор пространства Xd считается аналогичным вектору пространства X в широком смысле, если

lim x ( nT) = x (t). (7)

T ^0

Определение 2: операция ^ наД вектором пространства Х( считается аналогичной операции ^ над вектором пространства X в широком смысле, если

Тт ^ [ х ( пТ )] = ^ [ х (г)]. (8)

Для иллюстрации введенного понятия рассмотрим алгоритм измерения энергии сигнала. Для этого введем определение энергии функции (аналогового сигнала) на интервале г е [а, Ь]:

ь

Е =| х2 (г) (И (9)

a

a

и энергии последовательности (дискретного сигнала) на том же интервале:

Еа = Х х2 (пТ)

(10)

Очевидно, что если период дискретизации Т взять, например, в два раза меньше, то энергия последовательности Е'с1, вычисляемая по формуле (10), увеличится, так как увеличится и количество отсчетов:

ь

п =— Т

= Х х2 (пТ) + Х х

ь

п =— /- х

Т

,2

Т

V V

1

п +

= Еа + Е"а ,

(11)

где Ьа - энергия новых отсчетов.

Таким образом, очевидно, что преобразование (10) не аналогично преобразованию (9), так как при уменьшении интервала дискретизации Т энергия последовательности х (пТ)

пропорционально возрастает и не стремится к энергии функции.

Предложим преобразование, которое будет аналогичным в широком смысле.

ь

п=— Т

Ес = Т X х2 (пТ) .

(12)

В соответствии с критерием аналогичности и определением интеграла Римана имеем:

ь

п=— Т

Еа = Нш ¿Т х2 (пТ) Т = | х2 (г) а = Еа = Е.

(13)

Таким образом, преобразования (12) и (9) аналогичны.

Из аналогичности в широком смысле не следует, что результаты аналогичных операций для пространства последовательностей и пространства функций будут совпадать, они будут совпадать только в пределе, при Т ^ 0. Это не всегда удобно, поэтому для операций предлагается ввести также критерий аналогичности в узком смысле.

Определение 3: операция над вектором пространства Хс считается аналогичной операции ^ над вектором пространства X в узком смысле, если

[х (пТ)] = ^ [х (г)].

(14)

Для иллюстрации введенного понятия рассмотрим алгоритм измерения энергии сигнала для функций с ограниченным спектром, по Котельникову, и последовательностей, полученных из данных функций при помощи дискретизации, т. е. докажем аналогичность формулы

Еа = \ х2 (г) Сг

—<х>

и формулы

п=-ю

Ес = Т X х2 (пТ).

п=-ю

Разложим в формуле (15) функцию х(г) по формуле (6):

(15)

№ 2(2) 2010

си

Еа = |

Ж

\2

й=+ю бш (г - пТ)

I * (пТ )■ Т

(' ~ пТ)

си

а. = |

Ж

I=+<х>

бш—(г - 1Т)

X * ('Т )■

I=-«

('",т)

Ж

г=+ю бш (г - гТ)

I *(ГТ) Т

(' -г)

аг. (17)

После перемножения многочленов в скобках получается сумма членов вида:

00

* (1Т) * ( гТ) |

Б1П г - 1Т)

(г -1Т)

б1п г - гТ)

(г - гТ )

(18)

Так как функции в скобках являются ортогональными, то все члены, для которых выполняется условие I Ф г, равны нулю, в а случае, когда I = г = п, получается табличный интеграл:

гр ии

(пТ)^ I

тг •>

б1п г - пТ)

(г - пТ)

т Ю -2

а £(г - пТ) = *2 (пТ)- \ ^^ а* = *2 (пТ) • т.

Т ж *

(19)

Формула (15) приобретает вид:

ю п=+<х>

Еа = \ *2 (г) аг = Т X *2 (пТ) = Е

(20)

что и требовалось доказать.

Начнем решение проблем аналогии в том порядке, как они были поставлены.

Действительность спектров несимметричных последовательностей объясняется неаналогичностью стандартной формулы ДПФ. ДПФ, как известно, разлагает исходную последовательность на последовательности косинусов (действительная часть спектра) и последовательности синусов (мнимая часть), но если в формуле вычисления коэффициентов разложения функции (1) косинус - строго симметричная (четная) функция, то в формуле ДПФ (2) последовательность косинуса несимметрична. Например, если взять последовательность косинуса с частотой в четверть частоты дискретизации, получим следующее:

{1,0,-1,0}.

(21)

А так как за действительную часть спектра «отвечают» несимметричные последовательности, то симметричную последовательность по ним разложить невозможно. Поэтому появляется мнимая часть спектра. Следовательно, при традиционном ДПФ базисные последовательности не аналогичны базисным функциям при разложении в ряд Фурье.

Казалось бы, для решения проблемы аналогичности достаточно сдвинуть все отсчеты, например, на половину Т (интервала дискретизации), но возникает вопрос: а как сдвигать на половину Т дельта-последовательность {1,0,0,0,...}? Как это сделать с точки зрения аналогичности, рассмотрим позже.

Линейность фазы КИХ-фильтров с несимметричной импульсной характеристикой объясняется неправильной формулировкой заявленной теоремы. Ниже приведем правильную формулировку.

Теорема: последовательность *(п) имеет линейную фазу на интервале ]-п, тогда и только тогда, когда функция * (г), получаемая из интерполирующей формулы Котельникова (5), имеет хотя бы одну ось симметрии.

*

Сначала докажем условие достаточности - если х (г) имеет ось симметрии, то последовательность х (п) имеет линейную фазу.

Доказательство.

1. Функция х (г) имеет ось симметрии.

2. Следовательно, спектр этой функции X (ю) имеет линейную фазу.

3. Спектр функции х (г) на интервале ] -%, л:[ в точности соответствует спектру последовательности х ( п).

4. Следовательно, спектр последовательности имеет линейную фазу на интервале ]я[.

Что и требовалось доказать.

Докажем условие необходимости - если последовательность х (п) имеет линейную фазу, то функция х (г) имеет хотя бы одну ось симметрии.

Доказательство.

1. Спектр последовательности х (п) имеет линейную фазу.

2. Спектр функции х (г) наинтервале ] -%, л:[ в точности соответствует спектру последовательности х ( п).

3. Следовательно, спектр функции х (г) наинтервале ] -п, имеет линейную фазу, а сама функция х (г) имеет ось симметрии.

Что и требовалось доказать.

Наконец, чтобы выяснить, что происходит с причинностью, необходимо разобраться, что же представляет собой дельта-последовательность на самом деле.

Для того чтобы понять, что такое дельта-последовательность, необходимо сначала ответить на вопрос, почему при дискретизации «обычной» функции мы имеем последовательность из значений этой функции в моменты дискретизации, а при дискретизации дельта-функции Дирака, мы имеем нечто иное - дельта-последовательность {1,0,0,...], хотя по аналогии можно было ожидать последовательность вида {+<»,0,0,...}.

Ответ достаточно прост: мы не можем дискретизировать дельта-функцию Дирака. Дискретизации подлежат только функции со спектром, ограниченным по Котельникову. А спектр дельта-функции Дирака бесконечный и, следовательно, неограниченный. Таким образом, необходимо найти среди сигналов с ограниченным спектром аналогию дельта-функции Дирака.

Дельта-функция Дирака 6 (г) определяется из своего фильтрующего (стробирующего) свойства:

+<х>

х (г)= | х г -т) дт. (22)

—<х>

Свертка функций х (г) и <5(г) во временной области эквивалентна произведению спектров этих функций в частотной области, но если х (г) имеет спектр X («), ограниченный, по Котельникову, отрезком на оси частот [-О, О], то можно подобрать функцию 8т (г) с таким спектром А(^), что будет выполняться соотношение:

X («) = X (^)Л(^). (23)

В том случае, если

. . |1,юс[-П, О],

ЛН = 1 г 1 (24)

4 7 [0,ю<г[-П, П]; *,(') = = - (25)

71 Ох Т ^ Т

Очевидно, что 8т (г) является модифицированной дельта-функцией: с одной стороны, она ограничена по Котельникову, а с другой стороны, в отношении нее истинно соотношение (20) для любой функции х (г), также ограниченной по Котельникову.

Так как 8т (г) является обычной функцией бш, то становится понятным парадокс нарушения принципа причинности. Собственно никакого нарушения принципа причинности нет. Просто надо учитывать, что функция бш не является финитной, т. е. не имеет начала. Соответственно отклик на такую функцию тоже начала не имеет.

В заключение сделаем некоторые выводы. При цифровой обработке разработчик может столкнуться с так называемыми проблемами аналогий, которые возникают в случае механического переноса алгоритмов над функциями на последовательности. Основной причиной этих проблем является попытка применения математического аппарата гильбертовых пространств к векторам, данным пространствам не принадлежащим, как это имеет место быть при попытках использования дельта-функции Дирака, при работе с функциями, ограниченными по Котельникову. Для решения этой проблемы предложена модифицированная дельта-функция, которая, с одной стороны, входит в пространство функций, ограниченных по спектру, а с другой стороны, имеет фильтрующее (стробирующее) свойство в отношении всех функций этого пространства.

1. Оппенгейм, А. В. Цифровая обработка сигналов / А. В. Оппенгейм, Р. В. Шафер. - М.: Связь, 1979. - 416 с.

УДК 681.3.06+519.6

С. С. Лутченко, Е. Ю. Копытов

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕХНИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ РАДИОСТАНЦИЙ В СРЕДЕ АОТЬ001С

В статье рассматривается одна из актуальных проблем - определение реальных сроков между обслуживанием изделий технологической радиосвязи. Исследована модель определения оптимального времени между техническим обслуживанием изделий технологическойрадиосвязи. Проведена разработка модели процессов технического обслуживаниярадиостанций в среде AnyLogic.

Определение реальных сроков между обслуживанием изделий технологической радиосвязи является одной из главных задач на этапе эксплуатации. Периодичность контроля и технического осблуживания (ТО) зависит от многих случайных факторов. Одним из методов учета воздействия этих факторов на изменение параметров изделий технологической радиосвязи является математическое моделирование реальных технических объектов, процессов их функционирования, контроля и технического обслуживания, а затем - разработка матема-