Изоморфизм плотных и дискретных пространств Гильберта в цифровой обработке сигнала Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 510.8

С. С. ГРИЦУТЕНКО

Омский государственный университет путей сообщения

ИЗОМОРФИЗМ ПЛОТНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ ПРОСТРАНСТВ ГИЛЬБЕРТА В ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛА

В данной статье рассматривается изоморфизм плотных и дискретных пространств Гиль-берта. Исследуются конкретные примеры и причины нарушения изоморфизма. Вводятся критерии изоморфности. Вводится понятие модифицированной дельта-функции. Ключевые слова: ЦОС, изоморфизм, ДПФ, цифровые фильтры, дельта-функция.

Под цифровой обработкой сигнала (ЦОС) обычно понимают набор математических операций над последовательностями дискретных значений, то есть объектом ЦОС является последовательность. Но используют ЦОС чаще всего для обработки непрерывных функций (измерения, радиосвязь и так далее). Вследствие этого последовательности (дискретные значения) пытаются обрабатывать так, как обрабатываются в сходных ситуациях непрерывные функции. Но невозможно обрабатывать последовательности так же, как функции. Это совершенно разные математические объекты. Поэтому результаты операций при работе с дискретными значениями сишала и результаты аналогичных операций над непрерывной функцией могут серьезно расходиться. В этом случае говорят о нарушениях изоморфизма между плотным пространством функций и дискретным пространством последовательностей. Рассмотрим некоторые часто встречающиеся примеры того, что определенные операции над последова тельностями и аналогичные операции над функциями приводят к различным результатам.

Как известно, функцию х(() с периодом Рвозмож-но разложить в ряд Фурье. Коэффициенты этого ряда находятся при помощи формулы [ 11:

1 гг -Л Х(/с) = -Чх«)е <- dt.

(1)

а несимметричной последовательности х(п) = {5,1,1,1,1}, наоборот, соответствует действительное ДПФ: Х{к)= {9,4,4,4,4}.

Рассмотрим следующий пример. Для любой линейной системы, работающей с аналоговыми сигналами справедливо утверждение: для того, чтобы система имела линейную фазу необходимо и достаточно, чтобы ее импульсная характеристика имела ось симметрии [2].

Но данное утверждение ложно в отношении последовательностей. Для последовательностей возможно доказать только достаточ ность этого утверж -дения — для линейности фазы достаточно симметричности последовательности.

Покажем, что существуют системы с несимметричными импульсными характеристиками, но, тем не менее, с линейной фазой. Возьмем строго симметричную импульсную характеристику, например, Л(п) = = {1,2,3,3,2,1}. Так как последовательность Л(п) симметрична, то фаза сист емы линейна, и, следовательно, ее частотную характеристику можно представить в виде [3]: Н(со)е“/юТ', где Н( со) —строго действительная величина. Теперь получим из Л(л) новую импульсную характерист ику при помощи задержки на целое

число отсчетов (время Т2): Л, (п) = {0,0.1,2,3,3,2,1}. Эта

импульсная характеристика уже не является симметричной, по фаза ^(со) такой системы все еще ост ается линейной. Докажем это.

Коэффициенты разложения периодической последовательности х(л) находятся при помощи формулы дискретного преобразования Фурье (ДПФ):

n=N-1 -і1" „к

Х(*)= £ *(п)е ~

п~0

(2)

Н,(со) = Н(ш)е~іюТ'є ^ = H(to)e нг^т>'

Ft(m) = arctg

= arctg

H((o)sin(co(T, + Г2)) _

где N—длина последовательности.

Очевидно, что если х(<) — четная функция (симметричная относительно нуля), то коэффициенты Фурье строго действительны. Верно и обратное утверждение. Но из четности (симметричности) последовательности дейс твительность отсчетов ДПФ уже не следует. Так, симметричной последовательности х(п) = {1,1,5,1,1} соответствует комплексное ДПФ:

Х(к)= {9.0000,-3.2361-;2.3511,1.2361+ +/3.8042,1.2361-У3.8042, -3.2361+/2.3511},

H(o))cos(w(r, +Т2))

= -ш(Г,+7^)-

(3)

Что и требовалось доказать.

Наконец, опишем весьма необычный эффект, возникающий при интерполяции. Для этого возьмем КИХ фильтр, с импульсной характеристикой Л(л), изображенный нарис. 1.

Как видно из рисунка, импульсная характеристика фильтра отлична от нуля только на промежутке времени [7;„T,J. Вне этого отрезка она тождественно равна ігулю. В момент времени Ти на фильтр подается воздействие в виде дельта-последовательности 5(л) = = {1,0,0,0,...}, а на выходе фильтра мы имеем конечную

1

І

Рис. 1. Импульсная характеристика КИХ фильтра

Шь

•»*****»

реакцию /і(п), которая длится до момента 7). Пока никаких проблем нет. Но если провести интерполяцию импульсной характеристики КИХ фильтра по интерполяционной формуле Котельникова (например, в десть раз — между двумя отсчетами добавим девять новых) [4):

х(0= Хх(лТ)-

віп Ц-пТ)

(4)

Аі-пТ)

то получим следующую картину: импульсная характеристика КИХ фильтра перестанет быть конечной! После момента времени Г, у импульсной характеристики появляется продолжение (рис. 2).

Но самое интересное заключается в том, что у импульсной характеристики появляется также и предыстория (рис. 3) — ненулевые значения до момента времени Т„ (момента подачи входного воздействия).

Другими словами, получается, что сигнал на выходе системы опережает сигнал на входе.

Причина проблем с изоморфизмом, как отмечалось выше, состоит в том, что разработчик не всегда может найти для пространства последовательностей аналогию в пространстве функций (имеется в виду вектор пространства, операция над векторами и так далее). Следовательно, должны существовать критерии изоморфности объектов пространства последовательностей и пространства функций.

Рассмотрим два критерия изоморфности — изо-морфность в широком смысле и изоморфность в узком смысле.

Предположим, имеются два пространства Гильберта [5): пространство функций X = {х(£)1 и пространство последовательностей X,, = {х( л Г)}. Векторы пространства Х() получают из векторов пространства X при помощи дискретизации с периодом Т.

Определение I: вектор пространства Х() считается изоморфным вектору пространства X в широком смысле, если

1іпіх(лГ) = х(0-

г-»о

(5)

Нш^,[х(лГ)]= р[х(Г)].

(6)

Еа = }х*((№ •

(7)

и энергии последовательности (дискретного сигнала) на том же интервале:

Рис. 2. Интерполированная характеристика КИХ фильтра после момента времени Г,

Рис. 3. Интерполированная характеристика КИХ фильтра до момента времени Т0

П— —

Еа = £х*{пТ).

(8)

Очевидно, что если периодлискретизации Твзять, например, в два раза меньше, то энергия последовательности Е'(1, считаемая по формуле (8), увеличится, так как увеличится и количество отсчетов: ь ь

Е'„ = £ х2(лГ) + І х2(г(л + М = Е,(+Я*,

и= п=а '

(9)

где Е", — энергия новых отсчетов.

Таким образом, очевидно, что преобразование (8) не изоморфно преобразованию (7), так как при уменьшении интервала дискретизации Тэнергия последовательности х(лТ) пропорционально возрастает и не стремится к энергии функции.

Предложим преобразование, которое будет изоморфным в широком смысле.

П=-

Е„=Т^хг(пТ)

(10)

Определение 2: операция над вектором пространства Х() считается изморфной операции Я над вектором пространства X в широком смысле, если

Для иллюстрации введенного понятия рассмотрим алгоритм измерения энергии сигнала. Для этого введем определение энергии функции (аналогового сигнала) на интервале £ е[а,Ь]:

В соответствии с критерием изоморфности и определением интеграла Риманаимеем:

(>

Л»= ь

Е,1 = Нш X хг(пТ)Т= [х2(^йГ = Я =Е. (11)

Т->11 а *

л= а

Т

Таким образом, преобразования (10) и (7) изоморфны.

Из изоморфности в широком смысле не следует, что результаты аналогич ных операций для пространства последовательностей и пространства функций будут совпадать. Они будут совпадать только в пределе, при 7 _> о • Это не всегда удобно. Поэтому для операций предлагается ввести также критерий изоморфности в узком смысле:

Определение 3: операция Р(1 над вектором пространства Х(| считается изоморфной операции Рнад вектором пространства X в узком смысле, если:

Р„[х(пГ)]-Р1х(*)].

Для иллюстрации введенного понятия рассмотрим алгоритм измерения энергии сигнала для функций с ограниченным спектром, по Котельникову и последовательностей, полученных изданных функций при помощи дискретизации. То есть докажем изоморф-ность формулы

и формулы

Е„=Г2У(лГ) .

(12)

(13)

Разложим в формуле (12) функцию х(() по формуле (4):

Е°= \

5ІП и-пТ)

£х(лГ)—^---------

"м0 (1-пТ)

(14)

8ІП“Р-ІЛ Л-1Т)

I - 400 і

віп (ї-гГ)

І х(гГ)-^І----------

гв-* (і-гТ)

сіі.

После перемножения многочленов в скобках получается сумма членов вида:

х(1Т)х(гТ) I

ЗІП *(1-1Т) віп ^ (£ - гТ)

1 р 1 и 1

(Н. (15)

Так как функции в скобках являются ортогональными, то все члены, для которых выполняется условие 1ф г , равны нулю, в а случае, когда 1 = г = л, получается табличный интеграл [6]:

ПГ С£

Xі(ПТ)- \

тг *

БІП (1-пТ)

т

I т

(1-пТ)

сг^«-лт)=

■І. Т *г БІП2 X 2 х (лТ)— Г

тг *

К X

Формула (12) приобретает вид:

йх = х (пТ)-Т.

Я„= /х^=ГХх>Г) = Е-

(16)

(17)

Что и требовалось доказать.

Начнем решение проблем изоморфизма в том порядке, как они были поставлены.

Действительность спектров несимметричных последовательностей объясняется неизоморфностью стандартной формулы ДПФ. ДПФ, как известно, разлагает исходную последовательность на последовательности косинусов (действительная часть спектра) и последовательности синусов (мнимая

часть) [71. Но если в формуле вычисления коэффициентов разложения функции (1) косинус — это строго симметричная (четная) функция, то в формуле ДПФ (2) последовательность косинуса не симметрична. Например, если мы возьмем последовательность косинуса с частотой в четверть частоты дискретизации, то получим следующее:

{1,0,-1,0}. (18)

А гак как за действительную часть спектра отвечают несимметричные последовательности, то симметричную последовательность по ним разложить невозможно. Поэтому появляется мнимая часть спектра. Вывод: при традиционном ДПФ базисные последовательности не изоморфны базисным.

Казалось бы, для решения проблем изоморфизма, достаточно сдвинуть все отсчеты, например, на половину Т(интервала дискретизации), но возникает вопрос: а как сдвигать на половину Т дельта-последовательность {1,0,0,0,...} ? Как это сделать сточки зрения изоморфности мы рассмотрим позже.

Линейность фазы КИХ фильтров с несимметричной импульсной характеристикой объясняется неправильной формулировкой заявленного утверждения. Ниже приводится правильная формулировка.

Теорема: последовательность х(л) имеет линейную фазу на интервале ]- 7Т, 7т[ тогда и только тогда, когда функция х(0, получаемая из интерполирующей формулы Котельникова (4), имеет хотя бы одну ось симметрии.

Сначала докажем условие достаточности — если х(() имеетесь симметрии, то последовательность х(л) имеет линейную фазу.

Доказательство.

1. Функция х(^) имеет ось симметрии.

2. Следовательно, спектр этой функции Х(со) имеет линейную фазу.

3. Спектр функции х({) на интервале |-л, п| в точности соответствует спектру последовательности х(п).

4. Следовательно, спектр последовательности имеет линейную фазу на интервале ]-я,я[.

Что и требовалось доказать.

Докажем условие необходимости — если последовательность х(л) имеет линейную фазу, то функция х(0 имеет хотя бы одну ось симметрии.

Доказательство.

1. Спектр последовательности х(л) имеет линейную фазу.

2. Спектр функции х(0 на интервале | — тт, тг{ в точности соответствует спек тру последовательности х(л).

3. Следовательно, спектр функции х(£) на интервале 1 — 7Г, я( имеет линейную фазу, а сама функция х(() имеет ось симметрии.

Что и требовалось доказать.

Наконец, чтобы понять, что происходите причинностью, необходимо разобраться, что же представляет собой дельта-последовательность на самом деле.

Для того, чтобы понять, что такое дельта-после-довательность, необходимо сначала ответить на следующий вопрос: почему при дискретизации «обычной» функции мы имеем последовательность из значений этой функции в моменты дискретизации, а при дискретизации дельта-функции Дирака [8) мы имеем нечто иное — дельта последовательность {1,0,0,...} (9), хотя по аналогии можно было ожидать последовательность вида {+аз ,0,0,...}.

Ответ достаточно прост: мы не можем дискретизировать дельта-функцию Дирака. Дискретизации подлежат только функции со спектром ограниченным

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (83) 2009

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ МСТНИК №3 (83) 2009

по Котельникову. А спектр дельта-функции Дирака бесконечный и, следовательно, неограниченный. Таким образом, необходимо найти среди сигналов с ограниченным спектром аналогию дельта-функции Дирака.

Дельта-функция Дирака 6(() определяется из своего фильтрующего (стробирующего) свойства [10]:

x(f)= Jx(x)5(f — т)с/т.

(19)

Свертка функций х(<) и 6(0 во временной области эквивалентна произведению спектров этих функций в частотной области. Ноесли х(() имеет спектр Х(ю), ограниченный по Котельникову отрезком на оси частот [- 0,0], то возможно подобрать функцию 5т(<) с таким спектром Л(ц>), что будет выполняться соотношение:

Х(со) = Х(со)Л(со).

В том случае, если

fl.co с [-0,0]

Л(ш) =

0,Ш(Г [-0,0]

ТО

«.(«) =

О sin (Of) _ 1

7t Ol ~T

sinf71 f) T

(20)

(21)

122)

Очевидно, что 5m(t) является модифицированной дельта-функцией: с одной стороны, она ограничена по Котельникову, а с другой — в отношении нее истинно соотношение (19) для любой функции x(t), также ограниченной по Котельникову.

Так как 6m(f) является обычной функцией sine, то становится понятен парадокс нарушения принципа причинности. Собственно, никакого нарушения принципа причинности нет. Просто надо учитывать, что функция sine не является финитной, то есть не имеет начала. Соответственно, отклик на такую функцию тоже начала не имеет.

В заключение приведем выводы.

При цифровой обработке разработчик может столкнуться с так называемыми проблемами изоморфизма, которые возникают в случае механического переноса алгори тмов над функциями на последова-

тельности. Основной причиной этих проблем является попытка применения математического аппарата Гильбертовых пространств к векторам, данным пространствам не принадлежащим, как это имеет место быть при попытках использования дельта-функции Дирака, при работе с функциями, ограниченными по Котельникову. Для решения этой проблемы предложена модифицированная дельта-функция, которая, с одной стороны, входит в пространство функций, ограниченных по спектру, а с другой — обладает фильтрующим (стробирующим) свойством в отношении всех функций этого пространства.

Библиографический список

1. Кори Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Определения, теоремы, формулы -СПб.: Лань, 2003. - 832 с.

2. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. — М.: Техносфера, 2006. — 856 с.

3. Романюк Ю. А. Основы цифровой обработки сигналов. В 3-х ч. Ч. 1. Свойства и преобразования дискретных сигналов : учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. — М.: МФТИ, 2007. — 332 с.

4. Рабинер Д., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. — М.: Мир, 1978. — 835 с.

5. Морен К. Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. - 570 с.

6. Двайт Г. Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 2-е изд., исправ. — М.: Паука, 1966. — 228 с.

7. Романюк Ю. А. Дискретное преобразование Фурье в цифровом спектральном анализе: учеб. пособие. — М.: МФТИ. 2007. - 120 с.

8. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики, — М. : Наука, 1979. — 408 с.

9. Капелиини В., Константинидис А. Дж., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применения. — М. Энергоиздат, 1983. — 360 с.

10. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: учеб. пособие. — СПб.: Питер, 2003. — 608 с.

ГРИЦУТЕНКО Станислав Семёнович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Системы передачи информации».

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 15.09.2009г.

© С. С. Грицутеико

Книжная полка

Шипачев, В. С. Курс высшей математики [Текст]: учеб. для вузов / В. С. Шипачев; под ред. А. Н. Тихонова. — 4-е изд., испр. — М.: ОНИКС, 2009. — 599, [1 ] с.: рис. — 15ВЫ 978-5-488-02067-2.

В учебнике излагается материал по важным разделам высшей математики, таким, как сведения из теории множеств и теории вещественного числа, теория пределов последовательностей и функций, основы дифференциального и интегрального исчисления функций одной или нескольких переменных, элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве, некоторые вопросы линейной и векторной алгебры, теории рядов и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Существенное внимание уделено решению типовых примеров и задач теоретического и прикладного характера.