CC BY
54
УДК 004.942 К. А. КОРОЛЁВА
Омский государственный университет путей сообщения
МЕТОД
ОПТИМАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ НЕЙТРАЛЬНЫМ ПО СВЕРТКЕ ВЕКТОРОМ, ОПРЕДЕЛЕННЫМ НА ПРОСТРАНСТВЕ ГИЛЬБЕРТА___________________________
В статье исследуется задача интерполяции сигналов нейтральным по свертке вектором. Предложен метод интерполяции, имеющий оптимальный результат в смысле равномерного распределения среднеквадратичной ошибки интерполяции в спектральной области. Представлены результаты численного эксперимента на примере синусоиды. Показана эффективность предложенного метода в смысле повышения точности восстановления сигнала по дискретным отсчетам.
Ключевые слова: оптимальная интерполяция, окно Чебышева, теорема Котельникова, спектр.
Эффективность многих современных информационных систем в управляющем, телекоммуникационном и измерительном оборудовании существенно зависит от применяемых алгоритмов формирования и структурирования передаваемой информации, а также от качества функционирования алгоритмов приемников информации [1, 2]. В используемых электронных устройствах реальные непрерывные сигналы x(t) (являющиеся континуальными функциями) представляются дискретными числовыми значениями x(nT), т.е. набором их значений в узловых точках, взятых через равные промежутки [3, 4]. Однако на практике часто могут понадобиться значения сигнала и в других, отличных от узловых, точках. Например, в случае пересчета частоты дискретизации (resampling), необходимо по отсчетам сигнала x(nT1) вычислять отсчеты x(nT2). Подобное вычисление значений функции x(t) в промежуточных точках между узловыми значениями является задачей интерполяции.
Целью статьи является описание способа оптимальной интерполяции, в смысле равномерного распределения среднеквадратичной ошибки интерполяции в спектральной области, нейтральным по свертке вектором, обладающим свойствами дельта-функции Дирака, но определенным на пространстве L2 [5 — 7].
Сегодня на практике для восстановления сигнала по его дискретным отсчетам, поступающим в приемное оборудования, в виду более простой реализации наиболее распространено использование полиномиальной интерполяции, при которой рассматриваемую функцию f(t) представляют в виде интерполяционного многочлена:
f (t) = Gq + at + at + a4 + ^t +... + -t =
N-1
= £ ak ■tk. (1)
k=0
Данный многочлен в узловых точках t=nT принимает значения, равные f(nT). Для реализации задачи полиномиального интерполирования для N узловых
точек составляют систему линеиных уравнении М-го порядка.
О + аТ + а2Т2 + ... + = /(Т)
а0 + а12Т + о2(2Т)2 + ... + аы_1(2Т)М-1 = / (2Г)
■ о + а13Т + а2(3Т )2 + ... + аМ-1(3Т)М-1 = / (3Т) . (2)
а0 + щЫТ + а2(ЫТ)2 +... + а^^Т)^-1 = /(N1)
Таким образом, в результате решения системы (2) получают N значений коэффициентов ак. Степень интерполяционного многочлена в этом случае будет равна N—1. Точность полиномиальной интерполяции непосредственно зависит от порядка интерполяционного многочлена. Однако при большой степени многочлена решение системы (2) требует большого объема вычислений и представляет сложность в связи с необходимостью решения системы степенных уравнений.
Кроме того, в случае использования интерполяционных многочленов, ошибка интерполяции группируется в области высоких частот, как это представлено на рис. 1 [8]. Следовательно, интерполированные низкочастотные сигналы имеют максимальное сходство с исходным сигналом, однако даже с незначительным увеличением частоты сигнала ошибка интерполяции возрастает. Линейное изменение ошибки интерполяции на низких частотах связано с ошибкой квантования сигнала в АЦП.
В качестве примера в работе [8] интерполяции с использованием полиномов разных степеней подвергался синусоидальный сигнал. На графике отображался уровень максимальной гармоники интерполированного сигнала в зависимости от частоты этого сигнала. Таким образом, при равномерности спектра ошибки в частотной области данный вид интерполяции считаться оптимальным не может. В связи с этим задача повышения эффективности процедур интерполяции и совершенствование применяемых алгоритмов представляется актуальной.
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013
Рис. 1. Зависимость ошибки интерполяции синусоиды от ее частоты полиномами 1-й, 3-й, 5-й, 7-й,
9-й, 11-й и 13-й степени
Рис. 2. Спектр ошибки интерполяции при использовании нейтрального по свертке вектора
Рис. 4. Нормированная частотная характеристика фильтра
Рис. 5. Исходная и восстановленная синусоиды при /=4
Для уменьшения ошибки в области высоких частот, за счет некритичного ее увеличения на низких частотах, предлагается использовать интерполяцию нейтральным по свертке вектором.
Известно, что спектр дискретизированного сигнала представляет собой сумму сдвинутых копий исходного непрерывного аналогового сигнала с шагом сдвига, равным частоте дискретизации. Очевидно, что если спектры копий не перекрываются, то по центральной копии спектра дискретного сигнала можно с абсолютной точностью восстановить исходный сигнал. Так как интерполяция противоположна дискретизации, по сути восстановление исходного аналогового сигнала по его выборкам может быть осуществлено с помощью идеального низкочастотного фильтра:
х (п -Аґ )= £
к=-¥
, ,, біп р(к - Аґ)
х(п - к)—, р( к - Аґ)
(3)
характеристикой
біп р(к - Аґ)
невозможна в кон-
р(к - Aí)
тексте обработки сигналов, а ограничение области суммирования функций Бтс прямоугольным окном приводит к появлению эффекта Гиббса в восстанов-
ленной функции. Наилучшим методом сглаживания резкого нарушения непрерывности на границах интервала, ограничивающего функцию Бтс, является использование оконных функций. При умножении функции Бтс на окно резкость перепада усеченных концов становится меньше.
В предложенном ниже методе использовано окно Чебышева шс11еЬ(п) длины N. Соответственно, при восстановлении сигнала х(п — М) возникнет ошибка г| (п):
N -1 2
х(п + Аґ) + л(п)= £ х(п - к) БІП р(к + Аґ) ^
р(к + Аґ)
ь(п).
На рис. 2 приведен спектр ошибки г| (п) [8]. Однако при реализации КИХ-фильтра с импульс-
ной характеристикой
біп р(к + Аґ)
ь(п )
возника-
где х(п) — исходные отсчеты сигнала в узловых точках; х(п — Дt) — интерполированные отсчеты сигнала, смещенные относительно исходных на величину Д1.
Восстановление сигнала производится при помощи функции Бтс, которая имеет бесконечную протяженность по времени и достигает максимального значения равного единице в нуле. Отсчеты функции являются узловыми точками. В интервале между отсчетами (узловыми точками) ограниченный окном Бтс имеет ненулевые значения. Суперпозицией этих значений по текущим значениям в момент времени I от всех Бтс, максимумы которых доходят до данного значения узлового отсчета в I и образуются значения восстановленного аналогового сигнала в интервалах между отсчетами (узловыми точками). Таким образом, результатом интерполяции является функция с большим числом промежуточных значений.
Реализация фильтра с бесконечной импульсной
р(к + Аґ)
ет эффект смещения нуля частотной характеристики ошибки интерполяции, как это показано на рис. 3, т.е. у спектра ц(п) появляется систематическая составляющая. Соответственно, избавившись от этой составляющей, можно повысить точность интерполяции. Такое смещение вызвано резким нарушением непрерывности на концах усеченной функции біпс в связи ограничением бесконечной по времени функции біпс окном и, как следствие, усечением ряда Фурье частотной характеристики фильтра. Уменьшение рассматриваемого интервала N не решает данную проблему, так как существенную роль играет нарушение непрерывности.
Для того чтобы решить задачу смещения спектра, предлагается следующий алгоритм. Находится максимальное и минимальное значение колебаний на интервале N/3, и вычисляется их среднее. Это значение принимаем за систематическую составляющую ошибки и нормируем значение спектра относительно данного значения. Так, ось симметрии колебаний ошибки смещается на нулевой уровень (рис. 4).
Исследуем получившийся фильтр на примере. В качестве дискретного сигнала зададим синусоиду
/ 2тс
у = БШ\ п +-----------
10
2
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013
Рис. 6. Среднеквадратичная ошибка интерполяции значений сигнала при использовании вектора, нейтрального по свертке
Числом дискретных отсчетов установим равное 20 / N N „лт,
(пусть----< п <----1). Исходная и интерполирован-
ная синусоиды по предложенному методу представлена на рис. 5.
Важной задачей является оценка достижимой точности интерполяции, а следовательно, требуется найти ошибку интерполяции (среднеквадратичную ошибку интерполяцию).
Далее, чтобы проследить графически среднеквадратичную ошибку интерполяции на разных частотах, изменяем частоту синусоиды от единицы до половины частоты дискретизации с единичным шагом именно в середине между узловыми точками.
Для вычисления среднеквадратической ошибки все ошибки для каждого отсчета возводятся в квадрат и суммируются, полученное значение делится на общее число отсчетов, затем из этого выражения извлекается квадратный корень. Полученное в результате число характеризует суммарную ошибку, значения которой на разных частотах отложены по вертикальной оси на рис. 6. Среднеквадратичную ошибку интерполяции вычисляли в значении строго посередине между дискретными отсчетами.
Анализируя полученный график распределения среднеквадратичной ошибки интерполяции, можно сделать вывод о том, что по сравнению с интерполяцией полиномами, произошло ухудшение значений на низких частотах. Однако при увеличении частоты сигнала уровень ошибки остается на том же уровне, что и на низких частотах. Другими словами, произошло равномерное распределение ошибки интерполяции на всем частотном диапазоне. Такое распределение может считаться оптимальным. При интерполяции сигналов с частотой, меньшей половины частоты дискретизации, восстановленный сигнал будет повторять исходный с одинаковой точностью, кроме частот, близких к половине частоты дискретизации, где ошибка интерполяции резко возрастает. Следовательно, представленный метод имеет преимущество перед методом интерполяции полиномами, за исключением низкочастотных сигналов.
Библиографический список
1. Грицутенко С. С. Адекватность использования аналогий в цифровой обработке сигналов / С. С. Грицутенко // Известия ТрансСиба - 2010. - № 2. - С. 80-86.
2. Грицутенко, С. С. Компенсация эффекта Доплера в OFDM-сигнале / С. С. Грицутенко, А. С. Сидоренко // Известия ТрансСиба. - 2011. - № 3. - С. 100-105.
3. Грицутенко, С. С. Метод линеаризации характеристики преобразования АЦП / С. С. Грицутенко, А. Г. Панюков // Известия ТрансСиба. - 2012. - № 1. -С. 78-83.
4. Фирсанов, К. А. Основные подходы, используемые при создании высокопроизводительных библиотек математических функций для цифровых сигнальных процессоров с фиксированной точкой / К. А. Фирсанов // Известия ТрансСиба. -2011. - № 4. - С. 79-87.
5. Грицутенко, С. С. Введение понятия «дельта-вектор» в пространстве Гильберта для корректного представления данных в информационных системах / С. С. Грицутенко // Известия ТрансСиба. - 2010. - № 1. - С. 73-78.
6. Грицутенко, С. С. Дельта-вектор в пространстве Гильберта / С. С. Грицутенко // Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени А. С. Попова. Серия: Цифровая обработка сигналов и ее применение. - 2010. - Вып. XII-1. - С. 141-144.
7. Грицутенко, С. С. Векторы с фильтрующим свойством в сверточных алгебрах / С. С. Грицутенко // Вестник Ижевского государственного технического университета. - 2010. -№ 2. - С. 146-149
8. Biberdorf, E. A new principle of dynamic range expansion by analog-to-digital converting / E. Biberdorf, S. Gritsutenko, K. Firsanov // Proceedings of IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS'09) / Kharkov National University of Radioelectronics. - 2009. - P. 193-195.
КОРОЛЁВА Ксения Андреевна, аспирантка кафедры «Системы передачи информации», инженер отдела «Нанотехнологии ».
Адрес для переписки: jokie-ksu@mail.ru
Статья поступила в редакцию 28.01.2013 г.
© К. А. Королёва
