Аддитивные свойства произведений подмножеств поля Fp2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 511.235.1

АДДИТИВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДЕНИЙ ПОДМНОЖЕСТВ ПОЛЯ

А. А. Глибичук

1. Введение. Пусть на множестве X задана некоторая бинарная операция * : X х X — X. Рассмотрим А и В — произвольные подмножества X. Обозначим А * В = {а * Ь : а € А,Ь € В}. В частности, для подмножеств А и В некоторого кольца мы определим две операции: сумму множеств А + В = {а + Ь : а € А, Ь € В} и произведение множеств А ■ В = АВ = {аЬ : а € А,Ь € В}. В дальнейшем для некоторого к € N введем обозначения: к А = А + А + ... + А, Ак = А - А - ...■ А.

к к

Возьмем в качестве кольца конечное поле из д = р2 элементов, где р — любое нечетное простое число. Обозначим это поле Fg.

Для некоторого множества У будем обозначать множество его обратимых элементов через У * : =

у \{0}.

В [1, теорема 1.2] был получен следующий результат, доказанный для поля Fp.

Теорема 1. Существует константа С, такая, что для любого натурального п > 1, любых чисел е € (0;п)7 5 ^ любого простого р и любого подмножества А С Fp7 такого, что > р^, верно

П — £

'равенство NAn = Fp, где N ^ C4n log(2 + 1/е).

p>

Главная цель данной статьи — получить обобщение теоремы 1.2 работы [1] на случай поля Fg. При этом появляются сложности, связанные с особенностями структуры поля Fg. Мы разберем первую из них — наличие нетривиальных подполей в этом поле. Вторая трудность связана с тем, что аддитивная подгруппа, натянутая на произвольный элемент поля Fg, никогда не совпадает с Fg. Эту особенность и вызванные ею затруднения мы обсудим в пп. 2 и 3.

Назовем множество X С Fg особым, если оно является подмножеством мультипликативного сдвига некоторого подполя Fg.

Следует отметить, что если множество X особо, то для любых пар натуральных чисел N и n мы будем иметь \NXn| ^ p. Поэтому нельзя получить результат, аналогичный теореме 1 для особых множеств. Однако если множество неособое, справедлива

Теорема 2. Существует константа C, такая, что для любого целого числа n ^ 2, для любых чисел £ G (0;n],<S любого простого р и любого неособого множества А, такого, что А С Fg7 > q^,

мм умеем, NAn = F„ где N ^ С4п log (2 + .

Отметим, что в пп. 2 и 3 мы будем рассматривать поля нечетных характеристик. Случай малых характеристик поля будет проанализирован непосредственно в доказательстве теоремы 2.

2. Классификация инвариантных множеств вида Q[X; Y]. Рассмотрим произвольные подмножества X С Fg и Y С Fg, такие, что \Y\ > 1. Обозначим

Q[X-,Y\= х~х

(У - У) \ {0}

Определение. Назовем группой симметрии множества X множество, определенное следующим образом:

Буш^) = {Н : Н + X = X}.

Замечание 1. Ясно, что Sym1(X) — аддитивная подгруппа Fg. Более того, Sym1(X) — линейное подпространство над полем Fp С Fg.

Замечание 2. Если X — неособое множество, то оно содержит элементы по меньшей мере двух мультипликативных смежных классов по подгруппе F* С F*, т.е. в нем лежат как минимум два линейно независимых над Fp элемента.

Замечание 3. Если X — неособое множество, то из замечания 2 вытекает существование пары линейно независимых над Fp элементов а1 и а2, принадлежащих множеству X. Но тогда элементы 2а1 и а1 + а2 множества X + X также линейно независимы над Fp. Поэтому для неособого множества соотношение X + X С сШр невозможно ни для какого с! € F*.

Замечание 4. Если X таково, что 1+ X = X, то Fp С Яуш^Х).

Лемма 1. Пусть X и У — подмножества Fg, такие, что \Х + У \ = \Х|. Тогда У — подмножество некоторого аддитивного сдвига Яуш1(X), а X является объединением (аддитивных) смежных классов по подгруппе Яуш1 (X). В частности, если X + У = X, то У С Буш1 (X) и X имеет ту же аддитивную структуру.

Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент у £ У и соответствующее ему множество У = —у + У. Тогда 0 £ У' и IX + У \ = IX\. Так как X С X + У, то X = X + У, и поэтому У С у + Яуш^). Осталось доказать вторую часть леммы. Для этого достаточно показать, что произвольный смежный класс а + Буг^^) либо не пересекается с множеством X, либо в нем содержится. Действительно, пусть существует элемент Ь, такой, что Ь £ X П (а + Буг^^)). Тогда Ь + Буг^^) С X, но, с другой стороны, Ь + Буг^^) = а + Буш! (X), откуда вытекает утверждение леммы. Лемма доказана.

Лемма 2. Если X С ¥д и \Х\ > §, то X + X = ¥д.

Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент х £ Fg и множество х — X. Так как \х — X\ = |Х| > то множества х — X и X имеют непустое пересечение, т.е. существуют 01,02 € X, такие, что х — а\ = а2 ^ х = а1 + а2. А это как раз и означает, что X + X = Fg. Лемма доказана.

Лемма 3. Если X — произвольное подмножество Fg, такое, что 1 + Q[X; X] = Q[X; X], то либо Q[X; X] = Fp С Fg, либо Q[X; X] = Fg.

Доказательство. Из замечания 4 вытекает, что Fp + Q[X;X] = Q[X;X]. Согласно лемме 1, Q[X;X] является объединением аддитивных смежных классов по Fp. Заметим также, что (Q[X; X]*)-1 = Q[X; X]*.

Пусть

Fp С Q[X; X ]. (1)

Рассмотрим произвольный смежный класс Ьо + Fp С Q[X; X]*,Ьо £ Fp. В этом случае все элементы вида Ьо>+/г, Ь € Fp, содержатся в С^[Х; X]*. Если пара элементов ь ^ , ь0+к2' ^ ®г>> ^2 ^ ®г>> соДеРжится в одном классе смежности по Fp, то их разность — ь0+к2 лежит в Отсюда следует, что ^0+ь1хь0+Н2) ^

т.е. произведение (Ьо + Л-1 )(Ьо + Ъ>2) тоже лежит в Fp. Но для любого Лг £ Fp существует не более одного элемента Л-2 £ Fp, обладающего последним свойством. Значит, содержит по меньшей мере +1

смежных классов. Предположим, что Q[X;X] С Fg. Ввиду того что \ Q[X;X])-1 = Fg \ Q[X;X], аналогичным образом доказывается, что Fg \ X] содержит также по меньшей мере + 1 смежных классов. Это противоречит тому, что в Fg содержится только р смежных классов по Fp. Мы доказали, что из (1) следует Q[X; X] = Fg. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть X — подмножество Fg, такое, что X\ > IX неособое и для некоторого подмножества У С Fg выполнено множественное равенство X + У = У. Тогда У = Fg.

Лемма 4 следует из замечаний 1 и 2.

3. Вспомогательные результаты. Мы используем следующие леммы из работы [1].

Лемма 5. Пусть X и У — такие подмножества Fg, что X\\У\ > 2д. Тогда 8XУ = Fg.

Доказательство полностью повторяет доказательство леммы 2.2 из работы [1], которое опирается на доказательство теоремы 1 из работы [2].

Лемма 6. Пусть X — произвольное неособое подмножество Fg, такое, что X\ > 1. Тогда существует такое натуральное N0 ^ д — 1, что выполнено равенство NоXX = Fg.

Доказательство. Рассмотрим три случая.

Случай 1. Множество X не совпадает ни с одним множеством из семейства {ао + йУ : ао,й £ Fg,У С Fp}. Из леммы 1 следует, что для любого натурального N выполнено неравенство +1^\ ^ min(\NX\ + 1, д). В этом случае существует такое Щ £ М, N3 ^ д — 1, что NоX = Fg. Но тогда NоXX = Fg, и условие леммы для случая 1 доказано.

Случай 2. Множество X содержится в некоторой аддитивной подгруппе О С Fg. Так как X неособое, то мы получаем противоречие с тем, что аддитивные подгруппы в Fg совпадают с мультипликативными сдвигами подполя Fp.

Случай 3. Множество X имеет вид X = ао + йУ, где ао,й — некоторые линейно независимые над Fp элементы Fg и У С Fp — некоторое подмножество. Заметим, что из неособости X вытекает существование двух элементов Х\ и Х2, таких, что I1 ^ Fp. Тогда элементы х\, х\ и Х\Х2 различны. Далее рассмотрим

произвольные целые числа N ^ 2р — 2, к и I, удовлетворяющие следующим условиям: к,1 ^ 0, к + I ^ N. Очевидно, что элемент N — к — 1)х1 х2 + кх"2 + \х\ лежит в множестве NXX. Перепишем его в виде ^ — к — 1)х1х2 + кх\ + 1х2 = Nx1x2 + (х1 — х2)(кх1 + 1(—х2)). Из того что {кх1 + 1(—х2) : 0 ^ к,1 < р} = Fg, выводим равенство NXX = Fg. Лемма доказана.

Лемма 7. Пусть X = ао + йУ для произвольных линейно независимых элементов ао, й £ Fg и любого

подмножества У С Тогда

= (2)

Доказательство. Чтобы доказать (2), достаточно показать, что (ао + (Ъ\)(а0 + (Ъ2) = (ао + (Ъз)(а0 + (Ъ4) для любых Ъ1,Ъ2,Ъз,Ъ4 Е У, таких, что (Ъ1,Ъ2) = (Ъз,Ъ4) и (Ъ1,Ь2) = (Ъ4,Ъз). Действительно, пусть для некоторой четверки (Ъ^ Ъ2, Ъз ,Ъ4) Е У хУ хУ хУ выполняется равенство (а0+(1Ъ\)(а0+(Ъ2) = (а0+(Ъз)(а0 + (Ъ4) . Преобразуем его: (а0+(Ъ1)(а0+(Ъ2) = (а0+(Ъ3)(а0+(Ъ4) ^ а0((Ъ1 + Ъ2)+(2Ъ1Ъ2 = а0((Ъз+Ъ4)+(2ЪзЪ4. Если Ъ1 + Ъ2 = Ъз + Ъ4 или ЪХЪ2 = ЪзЪ4, то мы получаем противоречие с линейной независимостью элементов а0 и Таким образом, Ъ1 + Ъ2 = Ъз + Ъ4 и Ъ^2 = ЪзЪ4 одновременно. Отметим, что при заданных значениях величин Ъ1 + Ъ2 = 8 и Ъ1Ъ2 = р элементы Ъ1 и Ъ2 становятся корнями квадратного многочлена ж2 — вх + р и поэтому задаются однозначно (с точностью до перестановки). Отсюда получаем, что либо (Ъ1, Ъ2) = (Ъз, Ъ4), либо (Ъ1 ,Ъ2) = (Ъ4,Ъз). Лемма доказана.

Теорема 3 (Кнесер [3, теорема 5.5; 4]). Для любых подмножеств Х,У С Fg выполнено неравенство

\Х + У| ^ \Х + 8уш1(Х + У)| + \У + 8уш1(Х + У)| — ^(Х + У)| ^ \Х\ + \У\ — ^(Х + У)|.

Нам еще понадобится следующий ослабленный вариант теоремы Кнесера.

Теорема 4. Для произвольных подмножеств Х,У С Fg имеет место неравенство

\Х + У\ ^ шт(\Х\ + \У\ — р, д).

Следующая лемма используется при доказательстве теоремы 2.

Лемма 8. Пусть У таково, что \У\ > 2, У неособое и \Syrn1 (У + У)\ = р. Тогда

\У\2(д — 1)

\3У2 — ЗУ2\ >

\у\2 + (д — 1)'

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда ^[У; У] = Fp. Доказательство, данное в работе [1, лемма 3.6], переносится почти без изменений, но возникают некоторые затруднения, связанные с наличием особых и инвариантных подмножеств. Для успешного обобщения вышеуказанных аргументов на случай поля Fg необходимо проанализировать случай, когда имеется инвариантность множества ^[У; У] относительно прибавления элемента 1. Из леммы 3 следует, что ^[У; У] = Fg. Доказательство в этом случае абсолютно аналогично.

Докажем лемму для случая ^[У; У] = Fp. Легко понять, что У имеет следующий вид:

У = а0 + (Х, (3)

где а,0,( Е Fg — линейно независимые над Fp элементы(иначе У особо), а Х С Fp — некоторое подмножество. Рассмотрим множество (У + У)(У — У). Из (3) следует, что У + У = 2а0 + ((2Х) и У — У = ((Х — Х). Тогда (У + У)(У — У) = (Х — Х)(2а0( + (2(Х + Х)). Из линейной независимости а0 и ( следует попарная линейная независимость всех элементов вида 2а0( + (2а, а Е Fp, а это означает, что эти элементы принадлежат различным мультипликативным смежным классам по подполю Fp. Поэтому \(У + У)(У — У)\ = (\Х — Х\ — 1)\Х + Х\ + 1 = \У + У\(\У — У\ — 1) + 1. Согласно теореме 3, \У + У\ ^ 2 \У\ — 1. Отсюда

вытекает, что |ЗГ2-ЗГ2| ^ \(У+ У)(У-У)\ ^ (2\У\- 1)(|У| - 1) + 1 ^ \У\2 > • Лемма доказана.

Лемма 9. Пусть множество У таково, что \У\ > 1 и У неособое. Определим множество Х = КУк — КУк, где К — произвольное натуральное число и к > 1 — любое целое число. Тогда

Доказательство. Доказательство, данное в работе [1, следствие 3.7], обобщается дословно на случай поля Fg тогда, когда Ук-1 не лежит в множестве Б = SyШl(Q[У; Х]). Согласно лемме 4, из того что Ук-1 лежит в Б, следует, что ^[У; Х] = Fg. Доказательство в этом случае переносится без изменений. Лемма доказана.

Лемма 10. Пусть Х С Fg — произвольное подмножество и к — любое натуральное число. Тогда

\кХ\ > \Х\2— \Х — Х\1-21-к.

Доказательство. Лемма доказывается так же, как следствие 4.3 из работы [1]. □ Определим последовательность множеств: Х\ = 1,

5 1

Хк=МкХк-МкХк, ^ = где X — неособое множество, такое, что \Х\ > 5, и ^уш^Х + X)| = р. Таким образом,

X = X, X2 = 3X2 - 3X2, X3 = 13X3 - 13X3,....

Из лемм 8 и 9 получаем

^ ^ 1X11X^1+ (,-!)• (4)

Используя рассуждения п. 5 работы [1] и принимая во внимание (4), легко доказать следующие две леммы, являющиеся обобщениями лемм 5.2 и 5.3 работы [1] соответственно.

Лемма 11. Для любого к \Хк\ ^ | min ^|X|fc, ■

з 8

Лемма 12. Если + , то \ИкХк\ ^ ЦХ^"^.

4. Доказательство теоремы 2. Обозначим

По

log (¥

log \А\

Заметим, что По ^ 1, так как иначе из леммы 2 вытекает, что 2А = Fg, и утверждение теоремы тривиально. Далее, По ^ П — 1, поскольку

\А\П > д > ^ \А\П0. Легко понять, что достаточно доказать теорему при выполнении следующих условий:

е е (0; 1/2], (5)

р > 16807 = 75. (6)

Если (6) не выполнено, то р ^ 16807. Положим С = 168072 = 282475249, тогда утверждение теоремы будет следовать из леммы 6. Рассмотрим пять случаев.

А 1

Случай 1: ^ 4. Из неравенства > д > д« получаем, что 4га > д и ^ 2. Из леммы 6 следует, что ХАА = Fg при N = 4П — 1, откуда вытекает утверждение теоремы для этого случая. Далее мы будем рассматривать случай

\А\ > 5. (7)

Случай 2: ^уш^А + А)\ = р и выполнено неравенство (6). Тогда либо А + А = ао + для некоторых элементов ао,! е Fg, либо \А + А\ ^ 2р. Если выполнено первое условие, необходимо рассмотреть два подслучая: элементы ао и ! линейно зависимы над подполем Fp и они линейно независимы над ним. В первом подслучае выполняется соотношение А + А = !Мр. Если предположить неособость множества А, то мы получим противоречие с замечанием 3. Во втором подслучае из леммы 7 вытекает, что \(А + А)(А + = > Используем лемму 2 и получаем соотношение 2(А + А){А + А) = Fg. При выполнении

второго условия лемма 5 дает нам равенство 32АА = Fg, откуда вытекает утверждение теоремы для данного случая. Далее мы будем считать, что

^уш^А + А)\ = р. (8)

Случай 3: выполнены условия (6), (8) и п = 2. Если ^уш^А + А)\ = 1, то из теоремы 3 следует, что \2А\ ^ шш(2\А\ — 1,д). Если 2А = Fg, то доказательство очевидно. Рассмотрим случай, когда \2А\ ^ 2\А\ — 1 > 2р — 1. Из последнего неравенства выводим \ 2А \ 2 > (2р — 1)2 > 2д, и из леммы 5 следует, что 32АА = Fg. В этом случае утверждение теоремы установлено. Далее будем полагать, что

П ^ 3. (9)

Случай 4: выполняются условия (5)—(9) и справедливо равенство П0 = п — 1. Используя леммы 11 и 12, получаем неравенства

Рассмотрим число k =

i 2

+ 3. По лемме 10

п— 11 ^ 3, ,|ra_i_2i-fc| 3. ,.n_i_iLJi 3 ,,n_i_e

В силу леммы 4 получим

\ 8кЫп-1 Ап-1 \ ^ ш1п(3 \А\п-1-£ — 7р; д). Если 8кМп-1Ап-1 = Fq, то теорема доказана. Рассмотрим случай, когда

\ 8кЫп-1Ап-1 \ ^ 3 \ А\п-1-£ — 7р. (10)

Заметим, что из неравенств (5) и (9) следует, что ^ Это соотношение вместе с неравенством (6)

дает следующую цепочку:

П — Е — 2 1 -I П — 1 — £ -I -I

Р-— ^ рь > 7 \А\п~1~£ > >7р<* 3\А\п~1~£ -7р> 2|А\п~1~£. (11)

Из (10) и (11) выводим \ 8кМп-1 Ап-1 \ \ А \ > 2д. Согласно лемме 5, 64кЖп_1 Ап = Fq. Условия теоремы для этого случая доказаны.

Случай 5: выполняются условия (5)—(9) и справедливо неравенство П0 < п — 1. Последнее условие

означает, что |А|га-1 > Применяя леммы 11 и 12, получим

3

¡Мп.гА"-1 - Мп.гА"-^ > -(<? - 1),

16

Q о

|Лгп-гАп~1\ > \NnoAn°\ > > -{q - 1)\А\~".

8 16

Из леммы 10 выводим Согласно лемме 4, имеем

га-li ^ 3 ( л \ I

raj-l^ („ ill /II 66

iW^A^lZ-iq-lM 16

^JVn-iA*-1! ^ min ( ^(q - 1)|A|"I - 6P]q ) .

Если 28Nn-iAn 1 = F„, то теорема доказана. Рассмотрим случай, когда

21

|28Л^-lA™"1! ^ -(q - - 6р. (12)

16

66

Заметим, что при условии р > 7767 выполнены неравенства 16 > р2 ^ |А|. Далее рассмотрим цепочку преобразований

56 г\ -1 гч

< Ш 15 > 32^Т ^ Wiq ~ ~6р> 8iq -(13)

Соотношения (12) и (13) дают нам неравенства

8

Из (6) и (7) выводим q — 1 > |q, |Д|бб > 2. Поэтому \28Nn_iAa~l\\A\ > 2q, и из леммы 5 следует, что 224Nn_\Ап = Fg. Осталось отметить, что во всех случаях Nn_\ <С 4п, к <С log (2 + Теорема доказана.

4 ВМУ, математика, механика, № 1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Glibichuk A., Konyagin S. Additive properties of product sets in fields of prime order // Additive combinatorics. Centre de Recherches Mathematiques. Proceedings and Notes. Vol. 43. Providence: AMS, 2007. 279-286.

2. Глибичук А.А. Комбинаторные свойства множеств вычетов по простому модулю и задача Эрдеша-Грэхэма // Матем. заметки. 2006. 79, вып. 3. 384-395.

3. Tao T., Vu V. Additive combinatorics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2006.

4. Kneser M. Abschatzungen der asymptotischen Dichte von Summenmengen // Math. Z. 1953. 58. 459-484.

Поступила в редакцию 21.02.2007

УДК 519.233.3, 519.246.8

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О "ДРЕЙФЕ" ПАРАМЕТРОВ В МОДЕЛИ

СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО

И. Г. Эрлих

1. Введение. Последовательные процессы используются в статистическом анализе временных рядов давно и успешно. Например, с их помощью строят тестовые статистики для проверки различных гипотез о разладке в линейных и нелинейных моделях временных рядов. Рассмотрим два примера.

Стандартным предположением при статистическом анализе временных рядов (оценивании, проверке гипотез, прогнозировании) является предположение о независимости и одинаковой распределенности инноваций {е^. Поэтому содержательной задачей представляется проверка самого этого предположения. Рассмотрим для краткости задачу проверки одинаковой распределенности инноваций применительно к простейшей модели линейной стационарной авторегрессии АИ(1)

щ = ви-1 + ег, \в\ < 1, £ е Ъ. (1)

Итак, рассматривается гипотеза Но, при которой наблюдения (ио,и1,... ,ип) суть выборка из строго стационарного решения уравнения (1). Здесь в — неизвестный параметр, {ег} — независимые, одинаково распределенные случайные величины (н.о.р.с.в.) с неизвестной непрерывной функцией распределения (ф.р.) ¥(х), Ее1 = 0, Ее2 < ж. Альтернативой к Но возьмем гипотезу Н1, при которой {ег} независимы и до неизвестного момента [п^] ,ь* е (0,1), имеют неизвестную ф.р. ¥1, после него — неизвестную ф.р. ¥2, отличную от ¥1.

Пусть верна гипотеза Но и пусть (Зп — оценка неизвестного параметра в, построенная по наблюдениям (ио, щ,..., Щп). Пусть ег := иг — впЩ-1, t = 1,...,п, суть остатки, а ¥,п,з(х) и ¥пд-8(х), 8 е [0,1], — эмпирические функции распределения, построенные по остаткам е1,...,е[п8] и е[п8]+1,...,еп соответственно.

Рассмотрим статистику типа Колмогорова !)п := вир

жек,«е[о,1]

Вп{х, з) = (1 - М) (Рп>3{х) - ¥пЛ.3{х)) .

При Но статистика Оп слабо сходится к О := вир^ \В(в,£)\, где В(в,Ь) — непрерывный гауссовский процесс на [0,1]2 с нулевым средним и ковариационной функцией Е [В(в,и)В(£, V)] = (в Л £ — в£)(и Л V — иу). Распределение О табулировано в [1], что позволяет использовать статистику Оп для проверки Но.

Описанная задача была решена для модели АИ(р) в [2], для модели АИМА(р, д) — в [3], для нелинейных моделей с аддитивным "шумом" — в [4] и для модели АИСН(р) — в [5].

Другая задача разладки рассмотрена М.В. Болдиным в [6, 7]. Исследуем ее применительно к модели (1). В качестве альтернативы к Но рассматривается гипотеза Н1п, при которой наблюдения (ио,... ,ип) порождаются моделью

иг = (в + п-1/2Ьг,п) иг-1 + ег, \в\ < 1, £ е Ъ. (2)

Bn(x,s)

где