Аддитивная задача с функцией Рамануджана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 4 (2011)

УДК 511.34

АДДИТИВНАЯ ЗАДАЧА С ФУНКЦИЕЙ РАМАНУДЖАНА 1

П. В. Снурницын (г. Москва)

Аннотация

В работе рассматривается аддитивная задача с функцией Рамануджана. Доказано что множество значений функции Рамануджана является аддитивным базисом множества целых чисел порядка 7544.

Функция Рамануджана т может быть определена как коэффициент разложения

<Ж <Х>

«П - «n)24 = Е т w.

n=1 n=1

(см. [1, 2]). В 2008 г. М.З. Гараев, B.C. Гарсиа, С.В. Конягин [3] рассмотрели аддитивную задачу с последовательностью значений функции Рамануджана. В их работе было доказано, что эта последовательность образует конечный аддитивный базис множества целых чисел порядка 74000. Другими словами, для любого целого числа N диофантово уравнение

74000

т (ni) = N

i=1

разрешимо в натуральных числах п1}... n74000. При этом выполняется следующее условие

max ni ^ IN 111.

КК74000

В работе [4] М.З. Гараев, B.C. Гарсиа, С.В. Конягин доказали, что для любого N

148000

т (ni) = N

i=1

разрешимо в натуральных числах п1}... n148000, причем

2 log \N \

max ni ^ IN 111 e-c log log \N\,

1^i^148000

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант N 01-00-433а.

где с> 0 — абсолютная постоянная.

В 2011 году в работах автора [5, 6] были получены значения порядка аддитивного базиса последовательности значений функции Рамануджана, равные 8012, 7940 соответственно. В данной работе доказывается, что значение порядка базиса равно 7544.

Теорема 1. Для любого целого числа N уравнение

7544

Хл(ni) = N

i=1

разрешимо в натуральных числах n1,... , n7544, причем

2

max ni ^ \N\11.

1<i<7544

Пусть M — достаточно большое четное число. Приведем некоторые результаты работы М.З. Гараева, B.C. Гарсиа, С.В. Конягина [3]. Обозначим

P = {p : p — простое, 23 < p ^ M11}.

Следующая оценка известна как гипотеза Рамануджана и была доказана Делинем [7]

\т(n)\ ^ n^+£.

Из этой оценки можно заключить, что N6 чисел вида

6

У^т(ni), 1 ^ ni,...,n6 ^ N,

i=1

являются целыми числами порядка O(N^+е). То есть, в среднем, каждое число представимо суммой шести значений многими способами. Имея в виду это замечание, рассмотрим подмножества P0 Е P, обладающие тем свойством, что уравнение

6 12

Хт (pi) = т (pi)

i=1 i=7

неразрешимо в числах р1,...р12 Е P0, p1 < ■■■ < p;6, p7 < ■■■ < p12,

(p1,... ,p6) = (p7,... ,p'12). Такие подмножества P0 будем называть допустимыми. В работе [3] доказано, что допустимые подмножества Р0 С P существуют и \P0\ ^ 12. Обозначим через P' допустимое подмножество P наибольшей мощности. То есть P' — это такое подмножество P, что \Р' \ ^ 12, и все суммы вида

т(р1) + ■■■ + т(p6), р1 < ■■■ <p6, p/1,...,p6 Е р,

различны.

Лемма 1. Для числа элементов множества Р' выполняется оценка

\Р' \ С М 11 132 .

Доказательство. См. [3]

Лемма 2. Для любого р Е Р \ Р1 существуют р[,...р'11 е Р' такие,

что

її

рп = хт (р'ір) - Xт (рр - т (р2)

і=ї

і=7

Доказательство. См. [3].

Лемма 3. Любое целое число г, 0 ^ г < 370944 представимо в виде

198

г = X т а)>

і=1

где ^ 105, 1 ^ г ^ 198.

Доказательство. См. [3].

Лемма 2 устанавливает связь между рассматриваемой задачей и задачей

о представлении целого числа суммой одиннадцатых степеней простых чисел. Будем использовать формулы и оценки, связанные с проблемами Варпнга Гольдбаха и Варинга. Для удобства обозначим V = 1/11. Пусть г —целое, В > 11(г + 1). Введем следующие обозначения

Положим

Р0 = Ми, Р = [Р0], Ь = 1с§ Р = V 1с§ М, її = МЬ

Б(а) = X е(ар11).

—Б

Рассмотрим интервал

0 ^ а < д, (а, д) = 1, д ^ ЬБ, положим

1 1

--------------• і--------------------------

ЇЇ ’ її

. Для целых чисел а, д таких, что

М(а, д)

а 1 а 1

д дЇЇ д дїї

Различные интервалы Ш(а,д) не пересекаются. Интервал бьем на два множества

11 --• 1-

ЇЇ її

разо-

т

д^Ьв ,а<д

(ад)=1

- 1;1 - 1

ЇЇ ’ ЇЇ

\ М.

Нам понадобится асимптотическая формула для интеграла

1 (М, г) = [ Б(а)ге(—аМ)в,а. ж

Пусть

Taq = £ e, (ai11), Ar (M,q) = £ (-ЭД eq (-aM ),

0^l<q 04,a<q

(l,q) = 1 (a,q) = 1

&(M,r) = Y, Ar(M,q). q=i

выражение &(M,r) будем называть особым рядом.

Лемма 4. При r ^ 23 имеет м,есто асимптотическая формула

J(M) = ^(-z +!)r Mrv-1 + _ ( Mrv-1 log log M )

( ) ( ) r(rv) (log M)r + ( (log M)r log M ),

Доказательство. Cm. [8].

Лемма 5. Если r ^ 23, M = r (mod 2), то существует не зависящая от M постоянная C > 0 такая, что

S(M,r) ^ C.

Доказательство. См. [8].

Лемма 6. Для любого В0 > 0 имеет м,есто оценка

Ро

max \S(а)\ ^ .

а£т LB°

Доказательство. См. [9].

Пусть U — целое число, удовлетворяющее условию

\U\ < Ро.

Введем следующие обозначения

S0(a) = X e(axn),

x^Po

IS |2r

Sa,q = X eq(ax11)> A'r(U,q)= X °2Г e,(-aU)’

y q2r q v

l^x^q a<q ^

(a,q) = 1

So(U,r) = X A;(U,q), q=1

выражение S0(U, r) будем называть особым рядом.

1

Yo(0 = [ e(ÇxU)dx,

Ф„(М,и,г)=у 170(г)Ге (-— ^

интеграл Ф0(М, и, г) будем называть особым интегралом.

Рассмотрим интервал ^—Р$1-1'; 1 — Р011—. Для целых чисел а, д таких, что

0 ^ а < д, (а, д) = 1, д ^ Р^, положим

M (a, q)

a _ P-11+v. a і р-11+v

Po . + P0

Интервал ы M' (a, q) не пересекаются. Введем следующее разбиение промежутка [-Р0-11+"; 1 - P„-11+v]

M' = у M (a,q),

q^PV ,a<q (a,q) = 1

m' = [~P-11+U ; 1 - P-11+v] \ M'.

Нам понадобится асимптотическая формула для интеграла

J'(M, U, r) = f |So(a)|2re(-aU)da.

M'

Лемма 7. Для любого е> 0 и для любого целого a, (a,q) = 1 имеем

Saq q1-+

Доказательство. См. [9].

Лемма 8. Для A'r(U,q) имеем

a;(U, q) ^е ql~2vr+2er.

Доказательство. См. [9].

Отсюда также следует, что особый ряд сходится при r > 11.

Лемма 9. Имеет место оценка

Yo(£) < ^o(С) = min(1, l^l~v).

Доказательство. См. [9].

Из последней леммы следует сходимость особого интеграла при 2r > 11. Лемма 10. При r > 11 имеет м,есто равенство

J'(M, U, r) = Фo(M, U)So(U)M2rv-1 + O (P02r-11-8v) ,

J (M, U, r) M

имеем

J' (M,U,r)=^Yl I |So (а)Г e(-aU)de.

q(PS Æ1»'(a,q)

Рассмотрим интеграл отвечающий интервалу M'(a,q). Запишем а Е M'(a,q)

в виде а = —+ в и преобразуем So —+ в • Переменная суммирования x qq изменяется в пределах 1 < x < Po, представим x в гаде x = qi+l, где 1 < l < q,

1 - l Po - l m

< i < ------. Тогда

qq

Sofi+e)=5» +e)x11)

T, Y, + e) (q* +l)11)

1</<q 1=1 << Po— 7 7

q < < q

eq(al11 ) X e (e(qi + l)11) .

1<Z<q 1 — << Po-l

Нетрудно показать, что

q

е(в(qi + l)11) = i е(в(qi + l)11)di + O(1) =

Po

11

- ejpxn)dx + O(1) = - Y(e ) + O(1),

qq

о

где

Po

Y (e >=/e(ex11)dx-

0

см., например, [10]. Следовательно,

So (■a + в) = Y (в) + O P ).

qq

По лемме 9, Тогда

и имеем откуда

7 (в) « % (в ) = Ро шіп(1, \Р^в\-").

5° + /?)

“л7(в) « % (в).

\7(в)\2; + О (%(в)2г-'Р0")

а,, \

Я

2г

5°(а+в)1 е( -(а+в)и)

15 |2Г

1 а,Я1 -е, (-аи)\7(в )\2г е(-ви) + О(% (в )2'-1Р0")

Я

Так как по лемме 9

— Р Р

% (в )2'-1 р" ¿в « Р2

2г-1+"-11

Г 11V —11 /1V—11 ”1 _

то для интеграла отвечающего интервалу — Р° ; Р° ] получим

— Р * Р

■%{т, + в)| е (-{-д + в)и)

Р V-1 Р

\5 \2г г

а,я \

ЦТ ^

е, (-аи) і 7 (в )Г е(-ви )М + О(Р02'-1+"-11)

Суммируя по всем промежуткам, образующим множество М, получаем

ро —11

.Г (М, и, г) ='£ Е / + в) е а + ^ и) ¿в

Я^Ро . а<Я Рї-11 (а, ,)=1-Ро

___ I С |2г

Е Е ^е,(-аи)

Я^Ро а<,

0 (а,,)=1

\7(в)\2'е(-ви)І0 + О Р'-11-8")

Еа;(и,я) \7(вге(-ви)й0 + О (Р2'-11-8") .

Я<Ро

Преобразуя первое слагаемое последней суммы, получим

Преобразуем y(1)

Po 1

Y(в) = J e(exn)dx = P0 J е(вР01х11 )dx = Ро7о(вРо1)-

0

0

Тогда для интеграла в асимптотической формуле получим

J Iy{ilf e(-BU)de = P? J Y(BPl')\2re(-BU)dz =

= P2r-11 J |Y0(z)|2re f-Ц,) dz = M2rv-1%{M, U).

Окончательно, получаем

J'(M, U, r) = Фо(М, U, r)S(M, r)M2ru-1 + O {P2r-11-8v) =

= Фо(M, U, r)&(M, r)M2ru-1 + O (M2rv~1-8v2) .

Из лемм 9, 8 следует, что при r > 11 сходятся особый ряд и особый интеграл. Лемма доказана.

В дальнейшем нам понадобится также оценка тригонометрической суммы во (а) на точках второго класса.

Лемма 11. Для точек второго класса m' имеем

Доказательство. См. [9].

Докажем следующее утверждение о представимости чисел суммой одиннадцатых степеней простых чисел.

Лемма 12. Для достаточно большого четного М уравнение

max |во(а)1 С Pg1 р,

2о 4

i=1

разрешимо в числах p1,... ,р2о4 Е P\Р'.

Доказательство. Пусть s — натуральное число. Положим

1 1_ 1 1 1

Pо = mn, P1 = 4Pо, P2 = 2р 11, ..., ps = 2P.-111.

Определим следующие множества

% = {и : и Е P \ P ',Pi <и< 2Pi}, 1 ^ i ^ s.

Из асимптотического закона распределения простых чисел (см. [10]) для числа элементов в множестве %i имеем

l%l х n(2Pi) - n(Pi),

или

W х iogp. (1)

r

р1 + ■ ■ ■ + р^ + и11 + ■ ■ ■ + и11 + и1+1 + ■ ■ ■ + и11 = М, (2)

в числах, удовлетворяющих условиям

Р1,. .. ,Рг Е P, U1,Us+1 Е %1,. .. ,Us,U2s Е %.

Прежде всего, покажем, что уравнение

U11 + ■ ■ ■ + и11 = и1+1 + ■ ■ ■ + и11 (3)

имеет только решения вида u1 = us+1,u2 = uS+2,... ,us = u2s. Действительно, пусть u1 = uS+1. Тогда, с одной стороны,

К1 - u1+1| = |U1 - Us+1 ||и1о + U^Us+1 + ...u1+1| ^ 11|U1 - Us+11P1, с другой стороны,

|u21 + ■ ■ ■ + u11 - uS+2- ■ ■ ■- u2^ ^ (2P2) 11 = Pl0,

что невозможно. Из этого следует, что число решений уравнения (3) не превос-

ходит

|%1||%21 ...

Пусть I(М) = I(М; r, s) — число решений уравнения (2). Как и выше положим $ = М(log М)-в, B > 11(r + 1) ■ Тогда

1

I (М ) = J S (a)r Т1(а)2 ...Ts(a)2e(-aM )da =

о

l~r ^

r 2 2

S(a)rTl(a)2 ... Ts(a)2e(-aM)da,

где

Ti(a) = е(аи11), 1 ^ i ^ s.

U&%i

Рассмотрим разбиение интервала интегрирования.

M = У M(a,q),

m

q^LB ,a<q (a,q)=1

11 -' 1-

$ $

\ M.

Соответственно этому разбиению для I(М) имеем

I (М ) = Im(M )+ Im(M ),

где

IM(M )= ( S (a)r T1(o)2 ...TS (а)2 e(-aM )da,

M

Im(M) = j S(a)rT1(o)2 .. .Ts(o)2e(-aM)da.

m

Рассмотрим IM(M). Меняя порядок интегрирования и суммирования в Ti(a), получим

Im(M )= X ■■■ X js (a)r е(-а(М - и11---------------------u1S ))da.

U1,Us + 1&%1 Us,U2s&%s m

Для интеграла

f S(a)re(-aM1)da

M

по леммам 4, 5 при r ^ 23 справедлива асимптотическая формула

I S(a)re(-aM1)da = е(М1)Цц}- M1\ . + O ( M\ . l°gl°gM) ,

J K 1 K 1 T( 111 r)(log M1)r [(log M1)r log M1 Г

M

M

f M nr-1 r M^r-1

S(a)re(-aM1)da ^ C------—, S(a)re{-aM{)da ^ C-

(log M )r’J (log M )r'

MM

Откуда получаем следующие неравенства для Im(M )

2 Миr-1 2 Миr-1

Im(M) ^ C (|%11... —, Im(M) ^ C (|%1|...

В интеграле по точкам второго класса 1т(М) вынесем максимум модуля суммы Б (а) и распространим интегрирование по всему отрезку

\Im(M)| = / S(a)rT1(a) .. .Ts(a) e(-aM)da

^ max\S (a)\r0 \S (a)\r-l\Tl (a)\2 ... \Ts(a)\2da ^

a£m

1

^ max S (а)|ro |S (а)| r1 T (а)| ... |TS(a)| da,

a€m J

о

где r = го + 2r1, го = ^^ли r нечетно, го = 2, если r четно. Последний интеграл равен числу решений уравнения

р11 + ■ ■ ■ + р11 + и11 + ■ ■ ■ + u11 = p11+1 + ■ ■ ■ + р111 + и1+1 + ■ ■ ■ + u11 ,

где р1 ,р-1+1 ...,рГ1 ,р2-1 Е P, u1,uS+1 Е %1,... ,us,u2s Е %S. В свою очередь, число решений этого уравнения не превосходит числа решений уравнения

х11 +----+ х11 + и11 +-+ и11 = х11+1 +-+ х211 + и1+1 +---+ и21,

где 1 ^ х1,... ,хг ^ М тг, и1, uS+1 Е %1,... ,us, u2s Е . Поэтому

1

\Im(M )\ ^ max\S (a)\r0 \So(a)\2r1\Ti(a)\2 ... \Ts(a)\2da,

a£m J

o

где

S0(a) = X e(axn).

x<M 11

Рассмотрим интеграл

J (M)= I \So(a)\2r1 \Ti(a)\2 ... \Ts(a)\2da =

i—p-11+^

\So(a)\2r1 \Ti (a)\2 ... \Ts(a)\2da.

-P-11+v

Рассмотрим разбиение отрезка интегрирования

M = У M(a, q),

m

-P11-11; 1 - P11'

q<,P v ,a<q (a,q) = 1

1

Соответственно разбиению, имеем

3 (М) = 3ш (М) + 3т (М),

где

3ш (М ) = !\Бо(а)\2г1 \Тг(а)\2 ... \Та(а)\Ча, ш

3т (М ) = I БоНГ1 \Тг(а)\2 ... \Т3(а)\2 ¿а. т

Рассмотрим 3М' (М). Меняя порядок интегрирования и суммирования в Тг(а), запишем 3ш/ (М) в виде

••• / \Бо(а)\2г1 е(а(и\1 + ••• + и\1 — и\1+1 — ^^ — иЦ))3,а,

и1,иа+1 &%1 иа ,«2в &иа Ш

при этом

|и 11 + • • • + и11 — и\\ 1 — • • • — и211 ^ (2Р1 )1 1 = 2 11М11 С М11.

Для интеграла

[ \Бо(а)\2г1в(—аи)3,а,

Jш,

где

и = и(и1,... и2в) = —и]^1 — • • • — и]1 + и]+1 + • • • + иЦ,

по лемме 10 при г1 > 11 имеем

[ \Бо(а)\2г1 е(—аи)в,а = ^о(М, и)М ПГ1-1 + О (ы ПГ1-1-, ш

откуда

3ш' (М ) = М11Г1-1 X ••• X Уо(М,и (и1,...Щэ)) +

П1,Пв+1&и1 и3,П2з&из

+ о ({т! ... \т.$\)2м 11Г1-1-ззг).

Так как особый интеграл ограничен, то получаем следующее равенство

з„. (м ) = о (аш |... \и,\)2М11 '--1)+о (т...\щ)2М * *'-1-ш),

или

3ш'(М) = о ((\т!\... \т3\)2МЛГ1-1).

Перейдем к оценке (М). Вынесем максимум модуля тригонометрической

суммы на втором классе за знак интеграла и распространим интегрирование на единичный отрезок, получим

\Jm (M)\ ^ max\S0(a)\2ri Ti(a)2 ...Ts(a)2da.

і

2 rp /\2,

a£m'

Интеграл в правой части равен числу решений уравнения (3), то есть не превосходит \Ш11... \Ш8\. По лемме 11 имеем

max S^a) ^ М11 (1-р), р

aem' 1 ич л ’ Г 7657

Отсюда получаем оценку

\Jm' (M)\ << |Ui| ... lUsl M П(1-P)2ri.

Таким образом, для интеграла J(M) получаем

J(M) = O [i\Ui\... \US\)2MTtri-1) + O (\Ui\... \Us\ MTtri-Ttpr^ .

Возвращаясь к оценке Im(M), имеем

Im(M) = O (max\S(a)\r°(\Ui\...\U\)2MTt r—) +

V aem J

+ O (max\S(a)\r°\Ui\... \Us\ Mttrr-ttргЛ . \ aem J

По лемме 6 для любого B0

M tt

max \ S(a)\ ^

aem (log M)Bo

Отсюда

/ о M11r-i \ f Mttr-tt ргЛ

J-(M) = O (< 1 * \ • • • \ *\ )2 oOgMJBo) + O (\ *1 1 • • •1 * 1 -(lOgMW)

Тогда для I(M) = IM(M) + Im(M) получаем

n2 MTTr-i

I(M) ^ Ci (\*1 \... \*s\))

(log M )r

о MTTr-i mTtr—TTPri

- C2( \ *i \ . . . \ *s \ )2T^JB - Сз \ *i \ • • • \ *s \

(log M )B 31 i|"'1 s| (log M )B

Выбирая В0 достаточно большим так, чтобы В0 > r, получаем

2 MTT r-1 M TTr-TTpri

i(M) s Cl ( | U\... \ U\ )2(oM - °21U '...' U1 Ть—“. (4)

Из оценки (1) имеем

M 1-( TT )s m 1-( TT)S

Сз n ^ ^ I Ui I... I Us I ^ C4 -

(log M )s (log M )s

Подставляя эти оценки в (4), будем иметь

т(л/г\ ^ п -2-2(TT)s Mttr-1 Г1 M1-(rl)s MTtr-TTPri ^

1 (M s C1 (OgM)^(OgMy — °2(OgMy IhgM)^' (5

Для того, чтобы выполнялось неравенство I(M) > 0, достаточно чтобы в

(5) первое слагаемое было по порядку больше второго, то есть, чтобы

(10 \ 1 (10 V 1 2

2 — 2( — ) +----r — 1 > 1 — ( — ) +-----r-------pr1,

\11J 11 \11J 11 1V 1

пли

log( 11 Pr1)

S log( 11) ■

Значения параметров r1y s, при которых выполняется последнее неравенство, составляют

s S 80, r 1 S 21

или

s s 80,

{43, если r = 1 (mod 2), 44, если r = 0 (mod 2).

При этом выполняется оценка снизу

M Tt r+1-n

I(M) = I(M,r,s) S C-

(log M)r+2s: где n = 2( 10)80- Имеем также оценку сверху

M Tt r+1-n

I(M) = I(M,r,s) ^ C-

(log M )r+2s

Таким образом, полагая s = 80, при r S 43 имеем

M Tt r+1-n m lTr+1-n

C1 JhgMy+160 ^ I(M) ^ C2 (iogM)r+16o, (6

Рассмотрим уравнение (6) при г = 44. Пусть I'(М) — число решений этого уравнения, а I" (М) — число таких решений, что по крайней мере одно р^0 Е Р'. Для I'(М) из (6) при г = 44 получаем оценку снизу

, МТТ -п

I'(М) ^ С-

(log M )204

А для I" (M) из (6) при r = 43 и леммы 1 получаем оценку сверху

54 55 1

,, , M И-П Mil-П-ТТ2

1 (M) ^ с\р \(ogMy203 ^ (OgM^°3''

Таким образом I'(M) > I" (M), и уравнение

pi + ' ' ' + p4 + UY + ' ' ' + М160 = M,

разрешимо в числах p4,... ,p44, u4..., u160 E P \ P!. Лемма доказана.

Перейдем к доказательству основного результата.

Доказательство теоремы 1. Будем следовать схеме доказательства ра-

M

204 204 6 11

M = X pi1 = X (Xт (pijpi) — Xт (pj р^) — т (p2)) ,

i=1 i=1 j=1 j=7

где pi E P \ P', 1 ^ i ^ 204, pij E P', 1 ^ i ^ 204, 1 ^ j ^ 11, или

1224 1224

M = Y1т(ni) -Y1т(mj)’ (7)

i=1 j=1

причем из условий на p^ pij имеем ni,mj ^ M, (nimj, 23!) = 1. Здесь 1224 = 204 x 6.

-1

— M. Заменяя M на M — т(1^n M — т(29), получим что любое целое число M с достаточно большим \M\ может быть представлено в виде

1224 1225

м = Х т(п) -X т(т)’ (8)

i=1 i=1

2

где щ,т^ ^ \М\тт + 1, (nimj, 23!) = 1. Известно, что

-т (12) = 370944 = т (27) + т (55) + т (69) + т (90) + т (105)

[3]. Умножим (8) на —т(12), го мультипликативности и условий на ni,mj получим

7345

(п

i=1

370944M = Хт П)’ (9)

где щ ^ 106 \ М\ тт + 1. Здесь 7345 = 1224 х 5 + 1225.

Пусть К — произвольное целое число с достаточно большим модулем. По лемме 3 найдутся числа а\,... а^ ^ 105 такие, что

198

(ai

i=1

K = X т(ai) (mod 370944). Следовательно, из (9) имеем

198 7543

K = т(ai) + 370944M = т(ni),

i=1 i=1

где число 7543 получается как 198 + 7345, причем

2

max ni \K\.

1<i<7543

Таким образом, существует целое положительное число К0 такое, что для любого целого К, \К\ ^ К0 уравнение

7543

(Пі

i=1

K = Y1т (пі)

имеет решение.

Пусть N — произвольное целое число. Если | N| > Ко, то | N — т(1) | ^ К0

2

и число N — т(1) представимо суммой 7543 значений т(п) при п ^ N|її. В этом случае теорема доказана.

Пусть N| ^ К0. Существует п0 такое, что ^(п0)| > 2К0. Тогда N—т(п0)| > К0, и К — т (п0) представимо суммой 7543 з начений т (п) при п ^ 1. Теорема доказана.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Ramanujan S. On certain arithmetical functions // Trans. Cambridge Philos. Soc. 1916. V. 22. no. 9. P. 159-184.

[2] Iwaniec H. Topics in classical automorphic forms. Grad. Stud. Math., Amer. Math. Soc. Providence, EL 1997.

[3] Гараев M.3., Гарсиа B.C., Конягин C.B. Проблема Варинга с г-функцией Рамануджана // Изв. РАН. Сер. матем. 2008. Т. 72. вып. 1. С. 39-50.

[4] Garaev M.Z., Garcia V.C., Konyagin S.V. The Waring problem with the

г

т

тем. заметки. 2011. Т. 90. вып. 5. С. 736-743.

[6] Снурницын П.В. О представимости целых чисел значениями функции Рамануджана // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мате,м.. мех. 2011. Т. 6. С. 49-52.

[71 Deligne P. La conjecture de Weil. I // Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci. 1974. V. 43. P. 273-307.

[8] Хуа Ло-Кен. Аддитивная теория простых чисел // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1947. Т. 22. Изд-во АН СССР. М.-Л. С. 3-179.

[9] Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980.

[10] Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

Московский педагогический государственный университет Поступило 23.12.2011