CC BY
16Определим 01 : (GL (R)) — e'(GL (ß^) и 02 : (GL (R)) — (1 — e1)(GL (ß\)) по правилу
(0i(A))j = 03(atj), 0(A))ij = в4(а]г).
Тогда 0i — гомоморфизм колец, 02 — антигомоморфизм колец. Также, согласно (8), имеем a(p(A)) = e1(A) + 02 (A"1) для вс ex A е e(r).
В силу леммы 2 найдется e — центральный идемпотент кольца Mat (ß), такой, что a(e(GL (ß))) = e'(GL(ß1 )). Отсюда следует, что а((1 — e)(GL(ß))) = (1 — e1 )(GL (ß1)^. Тогда отображения а-1 о в1 : (GL (R)) — e(GL (ß)),а-1 о 02 : (GL(R)) — (1 — e)(GL(ß)) также будут являться кольцевыми гомоморфизмом и антигомоморфизмом соответственно. Эти отображения мы также будем называть 01 и 02 соответственно. Тогда будет выполнено равенство p(A) = 01(A) + 02(A-1) для всех A е E (R).
Пусть I, J — идеалы в ß такие, что Mat (I) = eMat (ß), Mat (J) = (1 — e)Mat (ß). Тогдa I ® J = ^^жим M1 = p-1 (GL (ß, I)),N1 = p-1 (GL(ß,J). По лемме 1 получаем M1 = GL(R,^R),N1 = GL (R, (1 — h)R), гдe h — центральный идемпотент кольца R.
Согласно (8), h(GL (R)) С ker 02, (1—h)(GL (R)) С ker 01, a в силу того, что p — изоморфизм, получаем ker01 П ker02 = {0}. Следовательно, ker01 = (1 — h)(GL(R)), ker 02 = h(GL(R)), т.е. 01 : h(GL (R)) — e(GL (ß)) 02 : (1 — h)(GL(R)) — (1 — e)(GL(ß)) — инъективные отображения. Проводя аналогичные рассуждения для отображения p"\ получаем, что 01,02 сюръективны, т.е. являются изоморфизмом и антиизоморфизмом колец соответственно. Теорема доказана.
Полученные при описании изоморфизма стабильных групп кольцевые изоморфизм и антиизоморфизм могут быть сами описаны при помощи основного результата работы [10].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Schreier О., van der Waerden B.L. Die Automorphismen der projektiven Gruppen // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1928. 6. 303-322.
2. Dieudonne J. On the automorphisms of the classical groups // Mem. Amer. Math. Soc. 1951. 2. 1-195.
3. Rickart C.E. Isomorphic group of linear transformations, I // Amer. J. Math. 1950. 72. 451-464.
4. Shi-jian Yan. Linear groups over a ring // Chinese Math. 1965. 7, N 2. 163-179.
5. Голубчик И.З., Михалев A.B. Изоморфизмы полной линейной группы над ассоциативным кольцом // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1983. № 3. 61-72.
6. Зельманов Е.И. Изоморфизмы линейных групп над ассоциативным кольцом // Сиб. матем. журн. 1985. 26, № 4. 49-67.
7. Голубчик И.З. Линейные группы над ассоциативными кольцами: Докт. дис. Уфа, 1997.
8. Бунина Е.И. Автоморфизмы и элементарная эквивалентность групп Шевалле и других производных структур: Докт. дис. М., 2010.
9. Hahn A. J., O'Meara О. Т. The Classical Groups and K-theory. Berlin; N.Y.: Springer-Verlag, 1989.
10. Abrams G. Infinite matrix types which determine Morita equivalence // Arch. Math. 1986. 46, N I. 33-37.
Поступила в редакцию 25.03.2013
УДК 517.98
АДДИТИВНОСТЬ ГОМОЛОГИЧЕСКИХ РАЗМЕРНОСТЕЙ ДЛЯ ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ НЕКОТОРЫХ БАНАХОВЫХ АЛГЕБР
С. Б. Табалдыев1
Доказано, что если А = С(П), где ^ — бесконечный метризуемый компакт, у которого производное множество некоторого конечного порядка пусто, то для любой унитальной банаховой алгебры В глобальные размерности и биразмерности банаховых алгебр А (8> В и В связаны равенствами dg А ( В = 2 + dg В и db А ( В = 2 + db В. Тем самым получено частичное расширение одного результата Ю.В. Селиванова.
1 Табалдыев Сейте к Болотбекович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. высшей математики ФН-1 МГТУ им. Н. Э. Баумана, e-mail: seytekQgmail.com.
Ключевые слова: банахов модуль, гомологическая размерность, глобальная размерность, биразмерность.
It is proved that if A = C(Q), where Q is an infinite metrizable compact space such that some finite-order iterated derived set of Q is empty, then for every unital Banach algebra B the global dimensions and the bidimensions of the Banach algebras A ( B and B are related by dg A ( B = 2 + dg B and db A ( B = 2 + db B. Thus, a partial extension of Selivanov's result is obtained.
Key words: Banach module, homological dimension, global dimension, bidimension.
1. Введение. Цель настоящей работы — изложить подробное доказательство результатов, анонсированных в [1].
Поведение гомологических размерностей унитальных банаховых алгебр и банаховых модулей над ними под действием операции проективного тензорного произведения изучалось многими авторами [2-7]. Оказалось, что во всех конкретных ситуациях, рассмотренных в этих работах, гомологические размерности тензорных произведений банаховых алгебр или модулей равны сумме соответствующих размерностей сомножителей. Например, в работе А.Н. Кричевца [4] было доказано, что если Ai,...,An — банаховы алгебры, каждая из которых есть унитализация бипроективной коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром, то
dg Ai ( ...( An = dg Ai + ... + dg An.
Важно отметить, что подобные "формулы аддитивности" — специфическое свойство банаховых алгебр, не имеющее аналогов в чистой алгебре. Такого рода формулы аддитивности для гомологических размерностей банаховых алгебр и модулей в довольно большой общности были получены Ю.В. Селивановым (см. [6, 7]). В частности, в [6] им доказана следующая
A
ным спектром, a, B — унитальная банахова алгебра, то dg A ( B = dg A+dgB и db A ( B = db A+dbB.
Пусть Q — метризуемое компактное топологическое пространство, v которого производное множество (определение и примеры см. в п. 2) некоторого конечного порядка пусто, и пусть C(Q) — банахова
QQ dgC(Q) = dbC(Q) = 2 [8], а равенства dgC(Q) = dbC(Q) = 0 при конечном Q хорошо известны (см. [9, теорема 7.1.74]). Напомним, что по теореме А. Я. Хелемского [10] (см. также [11]) глобальная размерность и биразмерность коммутативной банаховой алгебры с бесконечным спектром всегда строго больше 1. Мы
B
Q
dg C (Q) ( B = dg C (Q) + dg B и db C (Q) ( B = db C (Q)+db B.
Таким образом, в данной ситуации также подтверждается справедливость формул аддитивности для гомологических размерностей банаховых алгебр.
2. Предварительные сведения. Пусть A — банахова алгебра. Через A+ обозначается ее унитали-
AA ф : X — Y называется допустимым, если его ядро и образ имеют банаховы дополнения в X и Y соответственно. В частности, сюръективный морфизм ф допустим тогда и только тогда, когда он имеет правый обратный непрерывный линейный оператор s : Y — X.
A
0 Xo Xi — ... — Xn ...
называется комплексом, если фк ◦ фк+i = 0 для всех k = 0,1,.... Комплекс левых банаховых A-модулей называется допустимым, если он расщепляется как комплекс банаховых пространств. Это означает, что существует стягивающая гомотопия, т.е. семейство непрерывных линейных операторов Si : Xi — X¿+i, таких, что Si_i о ф-i + ◦ Si = 1x¿ для i = 0,1,.... Комплекс называется точным,, если Ker = Imфi+l для всех i = —1,0,1,2,.... Допустимый комплекс всегда является точным. Левый банахов A-модуль P называется проективным, (ср. [9, 12]), если каждый допустимый сюръективный морфизм левых банаховых A-модулей и : X — P имеет правый обратный морфизм левых банаховых A-модулей. Это означает, что P — прямое слагаемое банахова A-модуля X. Напомним еще, что прямое слагаемое любого
A
17 ВМУ, математика, механика, №4
Нам также потребуются понятия проективного тензорного произведения ( банаховых пространств
и проективного тензорного произведения ( левого и правого банаховых модулей над банаховой алгеброй
А
А (см., например, [9] или [12]). Пусть X — левый банахов А-модуль, У — правый банахов А-модуль, а Е — банахово пространство. Тогда тензорное произведение X ( Е является левым банаховым А-модулем относительно внешнего умножения, определяемого формулой а ■ (х (и) = (а ■ х) ( и для а € А, х € X и и € Е. Далее, тензорное произведение X ( Е( У является банаховым А-бимодулем относительно внешних умножений, определяемых формулами
а ■ (х (и (у) = (а ■ х) (и (у и (х (и (у) ■ а = х(и( (у ■ а)
для а € А, х € X, и € Е и у € У. Если А унитальна (т.е. обладает единицей), то банахов А-бимодуль А ( Е( А и левый банахов А-модуль А( Е проективны для каждого банахова пространства Е.
Предположим, что А обладает единицей вА и банахов А-бимодуль X унитален, т.е. вА ■ х = х ■ вА = х для всех х € X. Тогда морфизм п : А ( X ( А — X, определяемый формулой п(а ( х (Ь) = а ■ х ■ Ь для а,Ь € А и х € X, очевидно, является допустимым. Следовательно, X проективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым А-бимодуля А ( Е( А для некоторого банахова пространства Е. Аналогично унитальный левый банахов А-модуль X проективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым банахова А-модуля А( Е для некоторого банахова пространства Е. А
банаховых А-модулей через А-ипшо^^ли В — еще одна унитальная банахова алгебра, то мы рассматриваем категорию левых по А и правых по В унитальных банаховых бимодулей, которую обозначаем через А-ипшо^В. Хорошо известно, что последняя категория изоморфна А( Вор-ипшо^^е Вор — алгебра с противоположным умножением (т.е. с умножением в другом порядке). Напомним, что обертывающая алгебра, унитальной банаховой алгебры А — это алгебра Ае = А( Аор. Таким образом, категории А-ипшо^А ш Ае-unmod изоморфны.
А
0 X Ро - Р\ - ... Рп ^- ...,
где все А-модули Рг проективны, называется проективной резольвентой модуля X € А-unmod (ср. [9] или [12]). Длиной такой резольвенты называется наименьшее п, такое, что Рг = 0 при г > п ми ж, если такого п не существует. Длина самой короткой проективной резольвенты А-модуля X называется его гомологической размерностью. Она обозначается Adh X. Определение гомологической размерности AdhA X для банаховых А-бимодулей аналогично.
А
называется глобальной размерностью алгебры А. Гомологическая размерность А как банахова А-бимодуля (т.е. AdhA А) называется биразмерностью или когомологической размерностью А. Последний термин
п
когомологий %к(А, X) с коэффициентами во всех бимодулях X и для всех к > п тривиальны. Глобальная размерность А обозначается через dg А, а биразмерность — через db А. Напомним, что для произвольной унитальной банаховой алгебры А выполнено неравенство dg А ^ db А (см., например, [9, теорема 7.3.54]).
А
АА
гомологической теории банаховых алгебр и имеет много применений. Строение бипроективных полупростых банаховых алгебр, которые обладают свойством аппроксимации как банаховы пространства, описано Ю.В. Селивановым в [13].
Как уже было сказано во введении, через С(П) мы обозначаем банахову алгебру всех непрерывных функций на компактном топологическом пространстве П, рассматриваемую с равномерной нормой. Отметим, что банахова алгебра С(П) является унитализацией бипроективной банаховой алгебры тогда и П
орема IV.5.26]).
Напомним (см., например, [14]), что производное множество Л произвольного подмножества Л топологического пространства — это множество всех предельных точек множества Л. Как следует из вы-
С(П)
П
Дегко привести примеры компактов с непустым вторым производным множеством, но с пустым про-
П
из чисел вида 1/т + 1/п (т, п = 1, 2,...), чисел вида 1/п и числа 0, имеет своим производным множеством
множество, состоящее из чисел вида 1/n и числа 0, его второе производное множество состоит только из числа 0, его третье производное множество пусто.
Следующая несложная топологическая лемма нам нужна для полноты изложения. Лемма. Пусть Л — компактное топологическое пространство, у которого некоторое производное множество конечного порядка, пусто. Тогда, множество Л \ Л' всюду плот,но в Л.
Доказательство. Будем доказывать лемму по индукции. Для компактов, состоящих из одних изолированных точек, утверждение очевидно. Пусть утверждение доказано для всех компактов, у которых n-e производное множество пусто. И пусть (n + 1)-е производное множество некоторого компакта Л пусто. Пусть ш Е Л — произвольная точка. Если эта точка изолированна, то она принадлежит множеству Л \ Л'. Если ш Е Л', то по предположению индукции точка ш принадлежит замыканию множества Л' \ Л''. Но каждая точка последнего множества является предельной для множества изолированных точек, откуда
ш
образом, шаг индукции завершен. Лемма доказана.
3. Формулы аддитивности. Всюду далее П — бесконечное метризуемое компактное топологическое пространство, у которого некоторое производное множество конечного порядка пусто; как известно (см. [14, § 24, п. IV]), любой такой компакт счетен. Согласно лемме, в пространстве П всюду плотно множество всех его изолированных точек. Выберем произвольные точку ш Е П' и последовательность попарно различных точек sn Е П \ П', сходящуюся к ш. Пусть A — множество непрерывных функций на П, равных нулю в точке ш. Тогда A — максимальный идеал банаховой алгебры C(П). Рассматривая A как банахову алгебру, имеем A+ = C(П). Банахово пространство Iх ограниченных последовательностей является левым банаховым C(П)-модулем относительно внешнего умножения a ■ x = {a(sn)xn}, где a Е C(П), x = {xn} Е Iх. Замкнутое подпространство со в Iх (всех стремящихся к нулю последовательностей), очевидно, является подмодулем. Рассмотрим левый C(П)-модуль се = A®lх и морфизм левых
A
банаховых C(П)-модулей к : се — Iх: определяемый формулой n(a®x) = a ■ x для a Е A и x = {xn} Е Iх.
A
Очевидно, модули се и со топологически изоморфны (см. [12, теорема 6.3.24]).
Теорема 2. Если В ^ произвольная унитальная банахова алгебра, а X — произвольный унитальный левый банахов В-модуль, то (с предыдущими обозначениями)
c(q) § вdh Iх ® X = c(q)dhIх + вdh X = 2 + вdh X.
Доказательство. Согласно [10, лемма 9.1] (см. также [12, ra.V]), левый банахов C(П)-модуль Iх
имеет резольвенту (т.е. допустимый комплекс в C(П)-unmod) 0 <— Iх 4— Q P <-_ A® се <— 0 длины 2, такую, что Q = (C(П) ® Iх) ф се,Р = (C(П) ® се) ф (A ® Iх) и
di(a®y) = (a®y, a® к(у)) (a Е A, y Е Се).
Как уже было сказано выше, C(П)-модуль се изоморфен со • ^^етедовательность sn сходит-
ся к ш и состоит из изолированных точек, то нетрудно заметить, что C(П)-модуль со изоморфен идеалу всех функций из C(П), которые ^^^^ы нулю при любом s Е П, s = sn, n = 0,1,.... Так как все замкнутые идеалы алгебры непрерывных функций на метризуемом компакте проективны (см. [12, теорема IV.2.13]), то банаховы C(П)-модули A и се являются проективными. Следовательно, построенная резольвента про-ективна.
Если в dh X ест ь 0 либ о го, то результат следует из работы [6, следствие 3.14]. Есл и в dh X = n, где 0 < n < го, выберем проективную резольвенту
0 X Ро ... Pn-! Pn - 0
модуля X Е В unmod длин ы n. Согласно [6, следствие 3.2], мы имеем с (п) § в dh Iх ® X ^ 2 + n. Предположим, что с (q) § в dh Iх ® X < 2 + n. Тогда, используя [6, предложение 3.18], получаем, что оператор
А : A ® Се ® Pn -> (C(П) ® Се ® Pn) ф (A ® Iх ® Pn) ф (A ® Се ® Pn-1),
определяемый формулой
A(a ®у ® z) = (a ®у ® z, a® к(у) ® z, a® у ® ^n-i(z)) (a Е A, у Е Се, z Е Pn),
18 ВМУ, математика, механика, №4
есть коретракция в С(П) (В-ипшо^ Теперь в силу [6, предложение 4.6] морфизм фп-\ : Рп — Рп-1 есть коретракция в В-ипшо^ Отсюда вdh X < п, а это противоречит предположению вdh X = п. Таким образом, С(п) § вdh ( X = 2 + п. Теорема доказана.
В
dg С(П) ( В = dg С(П) + dg В = 2 + dg В.
Доказательство. Как показано в [8, теорема 4], dg С(П) = db С(П) = 2. А в силу теоремы 2 имеем dg С(П) ( В ^ 2 + dg В. Из работы [6, следствие 3.7] получаем
dg С(П) ( В < db С(П) + dg В = 2 + dg В.
Отсюда dg С(П) ( В = 2 + dg В, и теорема доказана.
В
db С(П) ( В = db С(П) + db В = 2 + db В.
Доказательство. Если db В = ж, то результат следует из [6, следствие 3.16]. Поэтому предположим, что db В = п < ж. Согласно работам [6, следствие 3.4] и [9, теорема 4], мы имеем
db С(П) ( В < db С(П) + db В = 2 + п. (1)
Положим т = db С(П) ( В и выберем проективную С(П) ( В-бимодульную резольвенту
о ^ С (П) ( В Ро ... Рт-1 Рт 0 (2)
т С(П)
(см. [12, предложение IV.1.3]). Используя [9, предложение 7.2.34], получаем, что этот комплекс расщепим
С(П)
Для произвольного X € С(П)-unmod применим к этой резольвенте функтор (тензорного произведения на модуль X справа)
( X : С(П) ( В-ипшо^С(П) ( В —> С(П) ( Ве-uпшod.
С(п)
Он переводит (2) в допустимый комплекс
0 ^ (С (П) ( В) ( X <— Ро ( X <— ... <— Рт ( X <— 0. (3)
С (п) С (п) С(п)
Но левый банахов С(П) ( Ве-модуль (С(П) ( В) ( X ~ (С(П) ( X) ( В изоморфен X ( В, а, остальные
С(п) С(п)
члены комплекса (3) на основании [13, предложение IV.1.5] проективны. Тем самым построена проективная резольвента модуля X ( В € С(П) ( Ве-ипшо^ щны ^ т. Поэтому
с(п) § ве^ X ( В < т. (4)
Положим теперь X = € С(П)-uпшod. Тогда по теореме 2 мы получаем
С(п) § Ве dh X ( В = с(п^И X + ве dh В = 2 + п.
Отсюда и из (4) следует обратное к (1) неравенство db С(П) ( В ^ 2 + п. Теорема доказана. Полученные выше результаты п следствие 3.16 работы [6] сразу доставляют
П
которого конечного порядка компакт,а, П пусто. Пусть А = С (П) (...(С (П) (п € М) — п-кратная
п
алгебра, Варопулоса. Тогда,
0, П
dg А = db А =
2п, П
Следствие 2. Пусть Q (i = 1, 2, ...,n) — метризуемые компакты, у каждого из которых некоторое производное множество конечного порядка, пусто. Пусть A = C (Qi) ® ...® C (Qn) — проективное тензорное произведение банаховых алгебр C(Q). Тогда dg A = dbA = 2m, где m — число бесконечных прост,ранет,в среди
Следствие 3. Пусть A — такая же банахова алгебра, как в следствии 1 или следствии 2, и пусть B _ произвольная унитальная, банахова а лгебра. Тогда, dg A® B = dg A + dgB и db A® B = db A + dbB.
Автор приносит благодарность Ю. В. Селиванову и А. Я. Хелемскому за постановку задач и полезные обсуждения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 12-01-00577а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Табалдыев С. Б. Аддитивность гомологических размерностей для некоторого класса банаховых алгебр // Функц. анализ и прил. 2006. 40, вып. 3. 93-95.
2. Селиванов Ю.В. О значениях, принимаемых глобальной размерностью в некоторых классах банаховых алгебр // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1975. № 1. 37-42.
3. Головин Ю.О., Хелемский А.Я. Гомологическая размерность некоторых модулей над тензорным произведением банаховых алгебр // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1977. № 1. 54-61.
4. Кричевец А.Н. Вычисление глобальной размерности тензорных произведений банаховых алгебр и одно обобщение теоремы Филлипса // Матем. заметки. 1982. 31, вып. 2. 187-202.
5. Пугач Л.И. Гомологические свойства функциональных алгебр и аналитические полидиски в их пространствах максимальных идеалов // Rev. roum. math, pures et appl. 1986. 31. 347-356.
6. Selivanov Yu. V. Homological dimensions of tensor products of Banach algebras // Banach Algebras'97 / Ed. by E. Albrecht, M. Mathieu. Berlin: Walter de Gruyter, 1998. 441-459.
7. Селиванов Ю.В. Когомологии банаховых и близких к ним алгебр: Докт. дис. М., 2002.
8. Tabaldyev S.В. Some Banach algebras of global dimension two // Bull. London Math. Soc. 2005. 37. 927-932.
9. Хелемский А.Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. М.: Наука, 1989.
10. Хелемский А.Я. Низшие значения, принимаемые глобальной гомологической размерностью функциональных банаховых алгебр // Тр. Семинара им. И. Г. Петровского. Вып. 3. М.: Изд-во МГУ, 1978. 223-242.
11. Pott S. An account on the global dimension theorem of A. Ya. Helemskii // Ann. univ. sarav. 1999. 9. 155-194.
12. Хелемский А.Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах. М.: Изд-во МГУ, 1986.
13. Селиванов Ю.В. Бипроективные банаховы алгебры // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. 43, № 5. 1159-1174.
14. Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966.
Поступила в редакцию 18.02.2013
