CC BY
22
УДК 517.98
А.Г. Мясников
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
ОПЕРАТОРНЫЕ АЛГЕБРЫ И АППРОКСИМАТИВНЫЕ
ДИАГОНАЛИ
Вводится класс инверсно аменабельных С*-алгебр. Получены критерии инверсной аменабельности С*-алгебр в терминах аппроксимативных диагоналей, а также виртуальных диагоналей. Основным результатом служит следующая теорема.
Пусть А — С*-алгебра с унитарной группой и, А2 — ее проективный тензорный квадрат. Тогда эквивалентны утверждения: (I) С*-алгебра А инверсно аменабельна; (и) если хеА2 — преддиагональ и сеть {фа} с Р(и) — сходится к левоинвариант-ному на А(Г(и)) среднему, т.е. {фах} является слабой аппроксимативной диагональю на ВП^А); (III) существуют ВП^А) — тотальная преддиагональ х0е А2 и сеть {фа} с Р(и), такие, что сеть {фах} является слабой аппроксимативной диагональю на ВП^А).
Ключевые слова: аменабельная алгебра, аменабельная группа, аменабель-ный модуль, аппроксимативная диагональ, виртуальная диагональ, инвариантное среднее.
При изучении аменабельных алгебр, групп, модулей и т.д. доминируют два подхода: гомологический и основанный на инвариантности относительно некоторой группы преобразований. В последнем случае удобным инструментом являются инвариантные средние. В частности, для дискретной группы среднее определяется как положительная конечно-аддитивная мера, определенная на алгебре всех подмножеств указанной группы [1].
Данная статья является продолжением работ автора [2—4], в которых рассматривались аменабельные модули и аменабельные С*-алгебры с точки зрения инвариантных средних, квазиожиданий и виртуальных диагоналей. Указанное направление было стимулировано Патерсоном [5], предложившим использовать инвариантные средние с целью описания аменабельных алгебр.
В первой части статьи вводятся определения инверсно аменабельного модуля и инверсно аменабельной С*-алгебры. Критерий инверсной аменабельности для С*-алгебр сформулирован с использованием виртуальных диагоналей, построенных с помощью средних, инвариантных на компонентах аменабельности в некотором пространстве ограниченных функций.
Во второй части представлены необходимые и достаточные условия инверсной аменабельности, основанные на существовании аппроксимативных диагоналей. В отличие от стандартного подхода, обычно применяемого для описания аменабельных банаховых алгебр, указанная конструкция позволяет иметь под рукой набор инвариантных средних, легче воспринимаемых интуитивно.
Пусть А — С*-алгебра с единичным элементом и унитарной группой и (= и(А)). Как показано Кайзером и Синклером в [6], пространство билинейных
А
**
отображений Вй(А) = (А ® А) , сопряженное к проективному тензорному
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС
_мвви
произведению, является суммой своих замкнутых линейных подпространств В.(А) с А(£ю (и)), где I, . е{1, 2}. А именно билинейная форма V является элементом В..(А), если существуют состояния ю^, ©2 6 А , а также постоян-
1 п ...
ная к > 0, такие, что
|V(х, ^)| < кЮ1 (х * х)1/2 ш2 (уу*)1/2, I = 1,. = 1; V(х, у)| < кЙ1 (хх*)1/2 Ш2 (УУ*)1/2, . = 1,. = 2; IV(х, у)| < кШ1 (х * х)1/2 Ш2 (у * у)1/2, I = 2,. = 1; | V(х, у)| < кЮ1 (хх*)1/2 га2 (у * у)1/2, I = 2,. = 2 для всех х, у е А . Хотя при изучении различных типов аменабельности возможно использование каждого из множеств Вй.. (А), в теории Патерсона
задействованы только билинейные формы из линейного пространства В22 (А).
В дальнейшем через О будет обозначаться локально компактная группа с левой мерой Хаара Хо , нормализованной в случае дискретной или компактной топологии. Обозначим через ) банахову алгебру, состоящую из Хо -интегрируемых комплекснозначных функций на О со сверткой
9*y(s) = iG 9(0v
-1
t s
dX (t) в качестве произведения. Пусть (G) —
G
банахово пространство Хо -измеримых комплекснозначных существенно ограниченных функций на О. Будем рассматривать ^) как сопряженное пространство к ]}(0) посредством равенства /(ф) = / ф(?)/(?Х (?), где
Фе X1 (G), f е Xю (G). ° ~
Для произвольной функции /на О зададим функцию /() = /( 1), t е G . Далее, по определению, X = {/: / е X}, где X с ]ю (О). Будем использовать
обозначения ф* = Д-^ф и т * (/) = т(/), где А — модулярная функция,
О О
фе I1 (G), f е L(G), m е Iе0(G)* . Пусть P(G) = {ф: 0 < ф е I1 (G), ф
= 1}. По определению, среднее на L0 (G) —
= 1. Для произ-
m
это линейный функционал т е ] ^) , такой, что т(1 ) =
О
вольного среднего т существует сеть (ф } с Р(О) w* — слабо сходящаяся к т ([7], § 2.1). ю ^
Среднее т е ]ю (G) называется топологически левоинвариантным на X с ]ю(G), если т(ф* /) = т(/) для всех / е X , фе Р(О). В случае дискретной группы О топологически левоинвариантное среднее т е ]ю ^) называется левоинвариантным.
Для произвольного билинейного отображения Vе Вй(А) определим функцию д(¥) е ) равенством 5(V)(и) = V(и ,и), где и еи. Подпространства
В (А) в Iю (и) определяются как 8(Бй-- (Л)) и являются левыми ^1(и)-моду-
. и
лями.
1. Виртуальные диагонали
Предлагаемый подход к изучению аменабельных [2—4] и инверсно аме-набельных операторных алгебр предполагает использование билинейных операций
1
M х M* ^ L0 (О), (х, ю) а X о ю;
М х L0 (О)* ^ М*, (ю, да) а ю о да;
1^(0)*хМ **, (т,X) а т о X,
определяемых с помощью произведений Аренса
х о ю(ф) = ю(ф * х), ю о т(х) = т(х о ю), т о X(ю ) = X(ю о т),
где х е М, юе М*, X е М **, фе ¿О), т е Г0 (О)*.
Заметим, что замкнутое линейное подпространство М о М * в L0 (О)*, порожденное функциями вида х о ю, наряду с подпространством (МоМ*)~ , является левым L1(G) -модулем.
Определение 1.1 [2]. Левый банахов L1(G)-модуль М называется амена-бельным, если существует сеть {фа } с Р(О), такая, что
lima ||фа (фх - х)|| = 0 для всех х е М.
Пример 1.2. [2]. Пусть G — локально компактная группа. Левый банахов L1 (О) -модуль М = L0 (О) аменабелен в том и только том случае, когда аменабельна группа G.
Как известно [2], модуль М аменабелен в том и только том случае, когда аменабелен модуль Мо М * . Таким образом, является естественным следующее определение.
Определение 1.3. Левый банахов 1}(О)-модуль М называется инверсно аменабельным, если модуль (МоМ*)~ аменабелен.
Заметим, что произвольный L1 (О) -модуль М содержит наибольший аме-набельный, а также инверсно аменабельный подмодули. Наибольший амена-бельный подмодуль называется компонентой аменабельности в М и обозначается ниже А(М) [2].
С приложением гомологической теории к исследованию аменабельных модулей можно познакомиться в [8]. В то же время связь между различными подходами, использующими гомологическую теорию и инвариантные средние, еще предстоит уточнить.
В случае алгебр стандартное определение аменабельности состоит в следующем: алгебра А называется аменабельной, если для любого А-модуля М все дифференцирования А а М * в сопряженный модуль М* являются внутренними [1]. Также хорошо известно, что в алгебраическом случае аменабельность (а также сильная аменабельность) связана с существованием виртуальных диагоналей [9].
Обоснованием следующего определения является тот факт, что амена-бельные С*-алгебры А являются в точности теми алгебрами, для которых /(и) -модуль ВП(А) аменабелен [4].
Определение 1.4. С*-алгебра А называется инверсно аменабельной, если В22 (А) с А(£° (и)). а
Обозначим через у: А ® А а А отображение проективного тензорного
А
произведения А ® А, определенное на элементарных тензорах как а ® Ь а аЬ.
А
Определение 1.5. Элемент х е А ® А называется преддиагональю, если
А
у(х) = е. Элемент X е (А® А) ** называется виртуальной преддиагональю,
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве УЕБТЫНС
_мвви
если y**(X) = e. Виртуальная преддиагональ X называется виртуальной диагональю на подмножестве О с Bil(A) , если (aX)(V) = (Xa)(V) для всех V eQ,
л
a e A. В частности, если О = (A® A)*, будем говорить, что X — виртуальная диагональ.
Определение 1.6. Пусть М— левый банахов L(G)-модуль, О — подмножество в M*. Подмножество S с M называется О -тотальным, если
So Q = MoQ . Элемент хeM называется W-тотальным, если хofi = MoQ .
11 1 1
Подмножество S сM называется тотальным, если оно М*-тотально.
А
Заметим, что элемент e 0 e е A 0 A является тотальной преддиагональю. Теорема 1.7. Пусть А — С*-алгебра. Тогда следующие условия эквивалент-
(i) алгебра A является инверсно аменабельной (соотв. сильно аменабель-ной);
(ii) если X — виртуальная преддиагональ и среднее m левоинвариантно на A(i (U)), то элемент m * o X является виртуальной диагональю на Вц (A) (соотв. виртуальной диагональю);
(iii) существуют Вц(A) — тотальная (соотв. тотальная) преддиагональ
xQ e A ® A и среднее mQ e Iю (U) , такие, что m* o х0 является виртуальной
диагональю на Вц (A) (соотв. виртуальной диагональю).
Как и в случае аменабельных С*-алгебр [4], доказательство этой теоремы
основано на соответствующем утверждении для L (G) -модулей.
2. Слабые аппроксимативные диагонали
л
Определение 2.1. Сеть {еа} с A0 A называется аппроксимативной диагональю для А, если
y(ea) = e; limа V(еаа - аеа ) = О
для всех a e A [8]. л
Определение 2.2. Пусть О — подмножество в (A ® A) . Ограниченная сеть
л
{еа} с A 0 A называется слабой аппроксимативной диагональю на О, если
Y(ea) = e; limа V(еаа - аеа ) = 0
л
для всех V е П, a e A. Ограниченная сеть {еа} с A ® A называется слабой аппроксимативной диагональю, если она является слабой аппроксимативной
л *
диагональю на (A ® A) .
Вполне очевидно, ^*-слабые пределы аппроксимативных диагоналей являются виртуальными диагоналями. Поэтому не удивительно, что алгебра А
л
аменабельна в том и только том случае, когда в (A 0 A) существует аппроксимативная диагональ [8].
Для того чтобы произвести в формулировке теоремы 1.7 замену виртуальных диагоналей на аппроксимативные, нам понадобятся следующие свойства произведений Аренса.
Лемма 2.3. Пусть A — С*-алгебра. Тогда
л 1
(i) ф о х = ф * х для всех х e A ® A, ф е 1 (U);
(ii) пусть w * — lim фа = m е £ю (U), где фа е l1 (U). Тогда
а
a(m *o x) = w *—lima а(фаx), (m *o x)a = w *—lima (фаx)a для всех a е A,
л
x е A ® A .
Доказательство. (i) Утверждение следует из равенств ф o х(ю) = (ю о ф)(x) = X o ю(ф) = ю(ф * x),
1 * где хеM, фе 1 (U), аеM .
(ii) Из (i) следует, что
* * * * a(m о x)(V) = (m o x)(Va) = (Va) o m (x) = m (x o Va) =
= lima (x 1 Уа)(Фа)= lima VaÍ9aX) = lim« V(а(фаX))
Л л *
для всех a е A, х е A ® A, V е (A ® A) . Второе равенство доказывается аналогично.
Теорема 2.4. Пусть A — С*-алгебра. Тогда следующие условия эквивалент-
(i) алгебра A инверсно аменабельна (соотв. сильно аменабельна);
Л
(ii) если х е A® A — преддиагональ и сеть {фа} с P(U) w* — сходится к левоинвариантному на A(£ (U)) среднему, то сеть {фаx} является слабой аппроксимативной диагональю на Bn(A) (соотв. слабой аппроксимативной диагональю);
(iii) существуют Bn(A) — тотальная (соотв. тотальная) преддиагональ
Л
х е A ® A и сеть {фа } с P(U) такие, что сеть {фаx} является слабой аппроксимативной диагональю на Bn(A) (соотв. слабой аппроксимативной диагональю).
Доказательство. Ограничимся случаем инверсной аменабельности.
Л
(i) ^ (ii) Пусть A — инверсно аменабельная С*-алгебра, х е A ® A — преддиагональ и пусть сеть {фа } с P(U) w* — сходится к среднему, левоинвариантному на A(£ro (U)). Тогда
Y (Фа х) = V( х) = Фаe = e.
Ввиду леммы 2.3 (i) и теоремы 1.7
* *
lima V((фа х)а - а(фа х)) = V((m o x)a - x)a - x)a - a(m o x)) = 0
a a 3 3
для всех V е 5П(A). Так как, очевидно, у(фах) = e, то сеть {фах} является слабой аппроксимативной диагональю на Bn(A).
(ii) ^ (iii) Очевидно.
А
(iii) ^ (i) Пусть преддиагональ х0 е A ® A и сеть {фа } с P (U) таковы, что {фа х} является слабой аппроксимативной диагональю на £n(A). Также можно
предположить, что w — lima фа = т для некоторого среднего m е £ю (U) .
В соответствии с леммой 2.3 (ii)
o 3
V(a(m o x)) = Нта V(а(фах)) = lima V((фах)а) = V((m 3 x)a)
Проектирование и конструирование строительных систем. Проблемы механики в строительстве VESTNIK
_MGSU
^ * * *
для всех a е A, x е A ® A, V е Вц(A). Следовательно, элемент о х) является виртуальной диагональю относительно Вц (A). Осталось воспользоваться теоремой 1.7.
Пример 2.5. Произвольная сильно аменабельная С*-алгебра является инверсно аменабельной.
Пример 2.6. Напомним, что алгеброй Кунца называется универсальная С*-алгебра On (n = 2, 3, ...), порожденная изометриями sx, s2, ..., sn в бес
*
конечномерном гильбертовом пространстве, такими, что s . s. = 5.e,
Zn=rS'S* = ess* = e. Как известно, алгебра Кунца On аменабельна [10], однако не является инверсно аменабельной ввиду того, что на On не существует конечный след. Далее, пусть левоинвариантное на A(£x (U)) среднее m и сеть
*
(фа } с P(U) таковы, что w —lima фа = m. Тогда сеть {фa(e ® e)} является слабой апппроксимативной диагональю на В22 (A), однако не является слабой аппроксимативной диагональю на Вц (A).
Библиографический список
1. PatersonA.L.T. Amenability // Providence, RI : AMS, 1988. 452 p.
2. MyasnikovA.G. Amenable Banach L1 (G)-modules, invariant means and regularity in the sense of Arens // Russian Math. (Iz. VUZ). 37 (1993). Pp. 69—77.
3. Myasnikov A.G. Weak amenability components of Lj (G)-modules, amenable groups and ergodic theorem // Mathematical Notes. 66 (1999). Pp. 726—732.
4. Мясников А.Г. Аменабельные L1(G)-модули и аменабельные С*-алгебры // Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве : Сб. науч. тр. Вып. 11. 2008. С.101—119.
5. Paterson A.L.T. Invariant mean characterizations of amenable C*-algebras // Houston J. Math. 1991. V. 17. № 4. Pp. 551—565.
6. Kaijser S., Sinclair A.M. Projective tensor products of C*-algebras // Math. Scand. 55 (1984). Pp. 161—187.
7. Greenleaf F.P. Invariant means on topological groups and their applications // New York University. 1969. 113 p.
8. Bodaghi A. Module amenability of Banach algebras. Lambert Academic Publishing, 2012. 168 p.
9. Johnson B.E. Cohomology in Banach algebras // Mem. Amer. Math. Soc. 127, Providence, 1972.
10. Rosenberg J. Amenability of crossed products of C*-algebras // Commun. Math. Phys. 57 (1977). Pp. 187—191.
Поступила в редакцию в июне 2013 г.
Об авторе: Мясников Алексей Георгиевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].
Для цитирования: Мясников А.Г. Операторные алгебры и аппроксимативные диагонали // Вестник МГСУ. 2013. № 9. С. 16—22.
A.G. Myasnikov
OPERATOR ALGEBRAS AND APPROXIMATE DIAGONALS
The author argues that two approaches dominate the study of amenable algebras, groups, modules, etc. They are the homological approach and the approach based on the invariance in respect of a particular group of transformations. In the latter case, an invariant mean serves as a convenient instrument. In particular, a mean is determined as a positive finitely additive measure which is identified using the algebra of all subsets of the group in question.
In the first part of the article, the author introduces definitions of an inversely amenable module and an inversely amenable C* algebra. The criteria for the inverse amenability for C* algebras is formulated using virtual diagonals constructed with the help of means, which are invariant in respect of components of amenability in a certain space of limited functions.
In the further part of the article, the author presents necessary and sufficient conditions of inverse amenability based on the existence of approximate diagonals. Unlike the standard approach applied to describe amenable Banach algebras, the above approach offers a set of invariant means that are more easily perceived by intuition.
Key words: amenable algebra, amenable group, amenable module, approximate diagonal, virtual diagonal, invariant mean.
References
1. Paterson A.L.T. Amenability. Providence, RI, AMS, 1988, 452 p.
2. Myasnikov A.G. Amenable Banach L1(G)-modules, Invariant Means and Regularity in the Sense of Arens. Izvestiya vuzov. Matematika [News of Institutions of Higher Education. Mathematics] 1993, no. 37, pp. 69—77.
3. Myasnikov A.G. Weak Amenability Components of L1(G)-modules, Amenable Groups and Ergodic Theorem. Mathematical Notes. 1999, no. 66, pp. 726—732.
4. Myasnikov A.G. Amenable L1(G)-modules and amenable S*-algebras. Voprosy matematiki, mekhaniki sploshnykh sred i primeneniya matematicheskikh metodov v stroitel-stve [Issues of Mathematics, Mechanics of Continuous Media and Application of Mathematical Methods in Civil Engineering]. Sb. nauchn. tr. [Collection of Research Works]. 2008, no. 11, pp. 101—119.
5. Paterson A.L.T. Invariant Mean Characterizations of Amenable C*-algebras. Houston J. Math. 1991, vol.17, no. 4, pp. 551—565.
6. Kaijser S., Sinclair A.M. Projective Tensor Products of C*-algebras. Math. Scand. 1984, no. 55, pp. 161—187.
7. Greenleaf F.P. Invariant Means on Topological Groups and Their Applications. 1969, New York University, 113 p.
8. Bodaghi A. Module Amenability of Banach Algebras. Lambert Academic Publishing, 2012, 168 p.
9. Johnson B.E. Cohomology in Banach Algebras. Mem. Amer. Math. Soc. Providence, 1972, no. 127.
10. Rosenberg J. Amenability of Crossed Products of C*-algebras. Commun. Math. Phys. 1977, no. 57, pp. 187—191.
About the author: Myasnikov Aleksey Georgievich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoye shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].
For citation: Myasnikov A.G. Operatornye algebry i approksimativnye diagonali [Operator Algebras and Approximate Diagonals]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 9, pp. 16—22.
