CC BY
31
ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 62-506.1 (047)
И. Б. Фуртат, А. М. Цыкунов
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТАМИ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ ЗНАКА КОЭФФИЦИЕНТА ПЕРЕДАЧИ
Рассматривается адаптивное управление линейными объектами в условиях параметрической и функциональной неопределенности и при отсутствии информации о знаке коэффициента передачи. Задача решена на базе модифицированного алгоритма адаптации высокого порядка с использованием функции, позволяющей компенсировать неопределенность данного знака. Приводятся результаты численного моделирования.
Ключевые слова: адаптивное управление, модифицированный алгоритм адаптации высокого порядка, высокочастотный коэффициент усиления, наблюдатель.
Введение. При проектировании систем управления объектами необходимо учитывать знак коэффициента передачи (высокочастотного коэффициента усиления) [1—4]. Это связано с тем, что при выборе алгоритмической структуры управляющего устройства должна быть обеспечена отрицательная обратная связь. При отсутствии информации о знаке данного коэффициента возможно появление положительной обратной связи, что повлечет за собой неработоспособность системы управления.
Публикаций, посвященных решению данной проблемы, довольно мало (см., например, [5, 6]). В частности, в работе [5] предложена алгоритмическая структура управляющего устройства для стабилизации объектов, описываемых линейными дифференциальными уравнениями первого порядка с неизвестным знаком коэффициента передачи. Закон управления
формируется в виде u = N(x)y , где N(x) = x cosx — коэффициент Насбаума [5]; x = y , y — выходной сигнал объекта управления. Если при формировании сигнала управления знак коэффициента передачи учтен неверно, то значения y и, как следствие, функции x увеличиваются. С увеличением x знак cos x изменяется на противоположный. В результате положительная обратная связь по управлению становится отрицательной.
Идея, предложенная в работе [5], была использована для построения на основе эталонной модели адаптивной системы управления объектом, коэффициент передачи которого также неизвестен [6]. В этом случае решение было получено с использованием метода расширения ошибки и включения коэффициента Насбаума в алгоритм настройки параметров управляющего устройства. Однако предложенные схемы не свободны от недостатков: в частности, система, рассматриваемая в работе [6], содержит интегратор, на вход которого подается сигнал y2 ; при наличии возмущений значение сигнала x будет увеличиваться, что приведет к
неработоспособности системы. Кроме того, техническая реализация этой схемы, как и всякой системы, где используется метод расширенной ошибки, довольно сложна.
В настоящей статье предлагается схема адаптивного управления объектом по выходному сигналу в условиях априорной и функциональной неопределенности и при отсутствии информации о знаке коэффициента передачи. Задача решается с помощью модифицированного алгоритма адаптации высокого порядка [1, 2] с использованием устройства, позволяющего компенсировать неопределенность знака коэффициента передачи.
Постановка задачи. Рассмотрим объект управления, динамические процессы в котором описываются дифференциальным уравнением
Q(p)y«)=кяф)^)+/ (о), (1)
где у(^ )е М и и ^ )е М — входной и выходной сигналы объекта; / ^ )еМ — неконтролируемое возмущающее воздействие; Q(Р), Я(Р) — нормированные линейные дифференциальные операторы; к е М — неизвестный коэффициент передачи; Р = ё / & — оператор дифференцирования.
Эталонная модель объекта управления задана уравнением
Qm (В) Ут «) = ктят (Р)г (I), (2)
здесь ут (¿)еМ — выходной сигнал эталонной модели; г^)е М — задающее воздействие;
Qm (Р) и Ят (Р) — линейные дифференциальные операторы с известными коэффициентами;
коэффициент кт известен.
Целью управления является синтез закона, обеспечивающего выполнение целевого условия
lim \e(t)\ = lim \y(t)-ym (t)|<5 (3)
t t
и ограниченность всех сигналов в замкнутой системе; здесь e(t) — ошибка слежения; 5> 0 — достаточно малое число.
Предположение 1. Коэффициенты операторов Q(D), R(D) и k — неизвестные постоянные числа, зависящие от вектора неизвестных параметров Z , где S — известное ограниченное множество.
Предположение 2. Известны: максимально возможное начальное условие |e(0)| <51; порядки операторов Q(D), R(D) , Qm (D) и Rm (D), которые равны n, q, n и q
соответственно; у = n - m > 1 — относительная степень объекта.
Предположение 3. Полиномы R(s), Qm (5), Rm (5) — гурвицевы, где s — комплексная переменная в преобразовании Лапласа.
Предположение 4. Задающее воздействие r(t) и возмущение f(t) — ограниченные функции.
Предположение 5. В системе управления не доступны измерению производные сигналов y(t), u(t) и r (t).
Метод решения. Предположим, что знак коэффициента k известен, и рассмотрим схему, предложенную в работах [1, 2]. Представим операторы R(D) и Q(D) в виде суммы: R(D) = Rm (D)+AR(D), Q(D) = Qm (D)+AQ( D), где AR(D) и AQ(D) — остаточные многочлены, причем deg AR(D) = q-1, deg AQ(D) = n -1; Qm (D) и Rm (D) выбираются исходя из предположений 2 и 3. Тогда с учетом выражений (1) и (2) уравнение ошибки слежения e(t) = y(t)-ym (t) можно записать следующим образом:
e(t) = k
Rm (D)
Qm (D)
u(t)u(t) -ЩИ y(t)+RDL f (t) - m (t)
W Rm (D) kRm (D) Rm (D) k W
(4)
Адаптивное управление объектами с неопределенностью знака коэффициента передачи 23 Введем закон управления
u(г) = T), у(г) = сТ (0w(t), (5)
здесь Т(П) — линейный дифференциальный оператор порядка у-1, такой что полином Т(я) гурвицев; v(t) — оценка вспомогательного управляющего воздействия ); с^) — вектор
Г Т Т ~\Т
настраиваемых параметров; w(t) = Уи ^), Уу ^), у^), g^) — вектор регрессии, сформированный с помощью фильтров
Уу ^) = ¥уУу (t)+Ьу^), Уи ^) = ¥иУи (t)+Ьи($), Уг (t) = ¥ГУГ ^)+Ьг(0; (6)
Уу (0) = 0, Уи (0) = 0, Уг (0) = 0, g(t) = ЬУГ (t). В уравнениях (6) Уу (^еМи-1, Уи ^)еМи-1, Уг ^)еКу-1 — векторы состояния фильтров;
¥у е М(и 1)х(и 1, ¥и е М(и 1)х(и 1), ¥г е М(у 1)х(у 1 — числовые матрицы в форме Фробениуса с характеристическими многочленами Ят (я)Т (я), Ят (я)Т (я) и Т (я) соответственно; Ь = [0,..., 0,1]Т, Ь = [1, 0,..., 0].
Выберем полиномы Qm (я), Ят (я) и Т(я), так чтобы Ят (я)Т(я^т^^) = (£+а)-1, а > 0. Тогда с учетом выражений (5) и (6) уравнение (4) преобразуется к виду
ё(1) = -ав(1)+к()-с0 )Т w(t)+ке^)+кф^), (7)
здесь е^) = V^) - v(t); ф^) = Я(D) [[ (D)T(D)] 1 /^) — ограниченная функция в силу пред-
Т Т Т
положений 3, 4 и гурвицевости полинома Т(я) ; С0 =- С01, С02, С03, к — вектор неизвестных параметров, где С01 — вектор, компонентами которого являются коэффициенты многочлена АЯ(В) ; С02 — вектор с коэффициентами оператора ЛQ; С03 — скаляр, полученный при
„ ЛQ(D) ЛQ(D) выделении целой части в выражении-=С03 +
кЯт ф)ТкЯт (D)T(D) Для оценки производных сигнала у(Г) в уравнении (5) воспользуемся схемой, предложенной в работе [4]:
4(0 = ^04(0+В0 -), = Д(0, (8)
здесь )е Му-1; 00 =
0 Iу-2 0 0
Iу_2 е М( 1 2)х( 1 2) — единичная матрица;
В0 =-
Ъцд 1, Ь2^ 2,..., Ьу-1^1 уП
У-
причем Ь^..., Ьу-1 выбираются из условия гурвицевости матрицы G = Go - ВЬ, где
Т
В = [Ь1, Ь2,..., Ьу-1 ] , д — достаточно малое число.
Утверждение. Пусть выполнены условия предположений, но известен знак коэффициента к. Тогда для любых коэффициентов полиномов Q(s), Я(я) и числа к из множества 2
существуют величины р>0, о>0 и ^0 >0, такие что при система уравнений (5)—(8)
совместно с алгоритмом
с(1) = -8ви(к )0(О-ое2 ^ )c(t) (1+е2 (t) )-1, ) = ре^) w(t), (9)
диссипативна, и выполнено целевое условие (3).
Доказательство приведено в работе [1].
Рассмотрим, далее, вариант, когда знак коэффициента k неизвестен. Для компенсации данной неопределенности сформируем алгоритм адаптации (9) в следующем виде:
^) = -Ф(у)0^)-ае2 ^ )ф) (^2 (0 )-1, у^) = а-ру^), (10)
где а>0, в>0; у^) — положительно-определенная функция; Ф(у) — функция, принимающая значения ± 1 и изменяющая свой знак на противоположный при превышении функцией Ру^) значения а.
Функция Ф(у) может быть реализована, например, на базе триггера со счетным входом, который изменяет свое состояние при изменении знака функции у^) с плюса на минус. Зададим у^) = |e(t)|. Структурная схема устройства, компенсирующего неопределенность знака коэффициента передачи, представлена на рис. 1.
e(t)
|e(t)|
Опорный
сигнал W
ФУЖО
Рис. 1
Как следует из приведенного выше утверждения, если знак коэффициента k известен, то алгоритмическая структура управляющего устройства, описываемого уравнениями (5)—(9),
<5 и ограниченность всех
обеспечивает выполнение условий lim \e(t)|<5, lim (c(t)-c0 ) w(t)
сигналов в замкнутой системе.
Пусть коэффициент k неизвестен и алгоритм адаптации сформирован в виде уравнения (10). Если знак коэффициента k тот же, что и у функции Ф(у), то ошибка e(t) уменьшается, а значит, функция Ф(у) не изменит знак на противоположный, так как ßy(e(t))<а. Если знак коэффициента k не соответствует знаку функции Ф(у), то ошибка e(t) будет возрастать. Тогда наступит некоторый момент времени to, при котором ßy(e(^) )>а, вследствие чего функция Ф(у) изменит знак на противоположный, соответствующий знаку коэффициента k, и ошибка e(t) начнет уменьшаться. Иными словами, применение функции Ф(у) позволяет компенсировать неопределенность знака коэффициента передачи k . При этом система управления, описываемая уравнениями (5)—(8), (10), обеспечивает выполнение целевого условия (3) и ограниченность всех сигналов в системе.
Замечания. 1) Выбор параметров а и ß существенно зависит от начальных условий (1). Поэтому при |e(0)| <5i (предположение 2) значения а и ß выбираются из условия a-ß5i >0. 2) Функция Ф(у) может быть введена не только в формулу алгоритма адаптации,
__t
но и в закон управления u(t) = Ф(у)Т(D)v (t) либо v(t) = Ф(у^ (t)w(t) или в уравнение ошибки слежения e(t) = Ф(у) (y(t)-ym (t)) .
Пример 1. Рассмотрим объект управления (D3 + a^D2 + a1 D+a0 ) y(t) = ku(t) , где a0, a1, a2 и k считаются неизвестными. Класс неопределенности задан неравенствами:
Адаптивное управление объектами с неопределенностью знака коэффициента передачи 25 -50<а0 <50, -20<а1 <20, -10<а2 <10, -7<к<7, |е(0)| < 5. Эталонную модель определим
следующим дифференциальным уравнением: (!+1) ут (0 = г(0, г(¿) = 1+++б1п0,5^ . Так как относительная степень объекта управления равна 3, то зададим Т(!) как
Т(!) = (!+1) . Тогда число а в уравнении (7) равно 1, и фильтры (см. уравнения (6)) будут определяться как ^) = Уу1(Х), У у2(0 = -^(0-2^)+У^), Уу (0) = 0; У^) = У2^), ^(0 = -Уих(!)-2Уи2Ц)+и(0, Уи (0) = 0; Кп(0 = УГ2(0, 2С)= -Уг1(0-2УГ2(0+г(0, Уг (0) = 0, g(^) = [1, 0] Уг Значит, вектор регрессии будет составлен из следующих компонент:
Г Т Т ~\Т
м>(1) = Уи (^), Уу (^), у(^), g(^) . Наблюдатель, определяемый уравнением (8), приобретает следующий вид: 41(0 = Ч2(0-%-1 ((0-40), 42(0 —V2 ((0^(0), В = [¿1, ¿2]Т =[з, з]Т, д = 0,01. Закон управления (10) и алгоритм адаптации (9) формируются как
и(0=41(0+242(0+42(0, КО=С (0^(0, ¿(0=-у(е)
pe(t) w(t)+oe2 (t )c(t) (l+e2 (t) )
где
p = 300, a = 5 .
Пример 2. Зададим следующие параметры объекта управления: ao = 0, a =15, 03 =-8, возмущающее воздействие f (t) = 2 + sin 1,1t + cos 1,7t, коэффициент передачи к = 7 sin(n t), начальные условия y(0) = y (0) = y(0) = 1. При §1 = 5 выберем в уравнении (10) a = 1, Р = 1/6 и y(e) = |e(t)|, тогда а-Р§1 >0. График процессов в объекте управления и эталонной модели представлен на рис. 2.
У, о.е. 2
1
0
-1 -2
......... ft ......... ......... .......... .........
ym(t) ¡У« i
0
0,5
1
2,5
3
3,5 t, с
1,5 2
Рис. 2
При моделировании коэффициент к = 7sin(тс 0 изменяет свой знак через каждую секунду с положительного на отрицательный, и наоборот. При t = [0; 1) с знаки коэффициента к и функции Ф(у) положительные, поэтому переключения знака Ф(у) не происходит, так как )| < 6 . При I = [1; 2) с знак коэффициента к отрицательный, а Ф(у)| 1 > 0, вследствие чего ошибка увеличивается до некоторого момента to е[1; 2), когда будет выполнено условие |е(^)| = 6 . В этот момент происходит переключение знака функции Ф(у) с +1 на -1, и ошибка е^) уменьшается, и т.д.
Заключение. Рассмотрен способ построения алгоритмической структуры устройства для управления неопределенными линейными объектами при отсутствии информации о знаке коэффициента передачи. Предложен метод компенсации данной неопределенности,
осуществляемой с помощью функции Ф(у), которая является дополнением к ранее разработанному модифицированному алгоритму адаптации высокого порядка [ 1, 2].
список литературы
1. Цыкунов А. М. Модифицированный адаптивный алгоритм высокого порядка для управления линейным объектом по выходу // АиТ. 2006. № 8. С. 143—152.
2. Furtat I. B., Tsykunov A. M. Output adaptive control for plants using time delay in output signal based on the modified algorithm of adaptation of the high order [Электронный ресурс]: IP ACS Electronic Library. 9th IFAC Workshop "Adaptation and Learning in Control and Signal Processing". 2007, <http://lib.physcon.ru/getfile.html?item= 1528>.
3. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.
4. Atassi A. N., Khalil H. K. A separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1999. Vol. 44, N 9. P. 1672—1687.
5. Nussbaum R. D. Some remarks on a conjecture in parameter adaptive control // Syst. Control Lett. 1983. Vol. 3, N 5. P. 243—246.
6. Mudgett D. R., Morse A. S. Adaptive stabilization of linear systems with unknown high-frequency gains // IEEE Trans. on Automat. Control. 1985. Vol. AC-30, N 6. P. 549—554.
Сведения об авторах
Игорь Борисович Фуртат — канд. техн. наук; Астраханский государственный технический универ-
ситет, кафедра математики в инженерном образовании; E-mail: [email protected], [email protected] Александр Михайлович Цыкунов — д-р техн. наук, профессор; Астраханский государственный технический университет, кафедра математики в инженерном образовании; E-mail: [email protected]
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
математики в инженерном образовании 25.03.08 г.
