CC BY
93
Dzyuba Yulia Nikolaevna, programmer, vuliya_dzyuba@mail. ru, Russia, Taganrog, JSC "Scientific Design Bureau of Computing Systems"
УДК 621.391.8
АДАПТИВНАЯ ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ «БЕЛОГО» ГАУССОВСКОГО ШУМА НА ОСНОВЕ СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
С.Н. Шиманов, В. А. Цимбал, В. А. Прасолов, С.В. Франков
Рассмотрен подход к выделению полезного сигнала на фоне ««белого» гауссов-ского шума, который может быть положен в основу технологии адаптивной оптимальной фильтрации сигналов в условиях априорной неопределенности их структуры. Традиционным способом подавления шума является применение фильтров, согласованных с параметрами сигнала и обеспечивающих пропуск без значительного ослабления сигналов с частотами, лежащими в полосе частот полезного сигнала, и подавление сигналов с частотами, лежащими за ее пределами. В основу предлагаемого способа положен механизм сингулярного разложения (SSA), позволяющий обеспечить разделение сигнальной и шумовой компоненты, когда их спектры частот находятся в одной области значений. Приведено математическое обоснование и получены соотношения, показывающие возможность построения на основе сингулярного разложения адаптивных согласованных фильтров для узкополосных сигналов неизвестной формы.
Ключевые слова: сингулярное разложение, адаптивная оптимальная фильтрация, автокорреляция, внутриполосовая фильтрация.
В системах передачи информации качество приема сигналов в значительной степени определяется демодулятором, который на основе наблюдения принятого сигнала x(t) выносит решение о приеме символа из числа возможных. Вероятность того, что принятое решение окажется верным, зависит от отношения мощностей сигнала и шума в используемой полосе частот, от искажений сигнала, вызываемых фильтрацией и нелинейными эффектами, а также от используемой схемы демодулятора.
Традиционным способом повышения отношения сигнал/шум (SNR) является применение полосовых фильтров, обеспечивающих пропуск без значительного ослабления сигналов с частотами, лежащими в полосе частот полезного сигнала AF, и подавление сигналов с частотами, лежащими за пределами ^F. Представляется актуальной задача разделения сигнальной s(t) и шумовой n(t) составляющих из смеси s(t)+n(t), когда их спектры частот находятся в одной области значений.
В конце прошлого столетия для анализа временных рядов было предложено и использовано сингулярное разложение специально сформированной матрицы, включающей результаты наблюдений различных про-
цессов [1]. Иногда этот метод называют SSA - Singular Spectrum Analysis (сингулярный спектральный анализ), возник он, по-видимому, из анализа хаотического поведения временного ряда и исследования аттракторов (при этом сингулярный спектр понимается как набор сингулярных чисел при сингулярном разложении исходной траекторной матрицы). Часто используется отечественное название - «метод «Гусеница» - из-за некоторого сходства процедуры получения траекторной матрицы с помощью скользящего окна, формирующего строки траекторной матрицы путем выделения фрагментов временного ряда.
В [2] рассмотрены основы и приведены общие критерии разделения аддитивных комбинаций различных временных рядов, согласно которым сумма гармонического колебания и «белого» гауссовского шума (БГШ) являются слабо разделимой на длине временного ряда N или асимптотически разделимыми при N ® ¥.
Пусть имеется аддитивная смесь узкополосного сигнала с узкополосным БГШ
x(t) = s(t) + n(t), (1)
для которой справедливо
1 T
lim — f s (t) n (t) dt = 0, (2)
T ® 0 T 0
где s(t) - узкополосный сигнал; n(t) - БГШ.
Пусть непрерывные компоненты (1) на интервале 0 <t <T представлены дискретно в виде временных отсчетов со сколь угодно малым интервалом дискретизации т:
xi = si + ni, (3) где x = x(Ti), si=s(li) и ni=n(Ti), i = 0, N .
Фактически (3) представляет собой временной ряд длиной N аддитивной смеси отсчетов узкополосного сигнала (в дальнейшем просто сигнала) и БГШ. Поскольку БГШ имеет непрерывную спектральную плотность на интервале непрерывного спектра сигнала, то они неразделимы в полосе последнего классическими методами фильтрации, базирующимися на Фурье-анализе. Напомним, что форма исходного сигнала неизвестна, в связи с чем не рассматривается применение согласованной фильтрации.
Рассмотрим математическую задачу разделимости представленной выше аддитивной смеси методами SSA, для чего построим траекторную матрицу Mx интервалов L, имеющую размерность LxK, где K = N - L + 1 [3].
Рассматриваемая аддитивная смесь может быть представлена суммой сингулярных составляющих x(j), j = 1, к , получаемых в результате разложения (3) в базисе собственных векторов Vi , i = 1, к его автоковариационной матрицы:
Кух=Мх.М* . (4)
В соответствии с 8БА [4]
* = (5)
/
Следует заметить, что в общем случае число сингулярных составляющих лежит в пределах от 2 до К и определяется количеством положительных собственных значений X, матрицы Кух, причем сингулярные числа [ij = представляют собой энергетические показатели вклада у-го
временного ряда в исходный временной ряд.
В силу аддитивности смеси сигнала и шума (3) траекторная матрица Мх может также быть представлена как сумма траекторных матриц:
Мх=М8+Мп. (6)
С учетом некоррелированности БГШ с неизвестным узкополосным сигналом автоковариационная матрица суммы равна сумме автоковариационных матриц сигнала и шума соответственно
Кух=КУ3+КУ„. (7)
Рассмотрим особенности слагаемых (7) и их собственных значений.
Известна теорема [5], согласно которой для любой симметричной матрицы (коими являются матрицы Кг) существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этой матрицы. Матрицы Кг в этом базисе имеют диагональный вид:
Ку-
% 0 О Л
О Х2 0
о о
(8)
На диагонали такой матрицы расположены собственные значения Ку9 повторяющиеся столько раз, какова их кратность, причем Хг^Кчп, а \к= Xтах• Матрица перевода К\ в Ку'-Р - невырожденная, такая, что
КУ'= Р-1 КУ • Р. (9)
Проанализируем матрицу Ку5. По диагонали в данной матрице расположены оценки дисперсии Д. Значения остальных элементов будут убывать от диагонального элемента в соответствии с автокорреляционной функцией сигнала. В силу малости интервала дискретизации г и ограниченности интервала ковариации К убывание будет незначительным. Таким образом, при достаточно большом Ь данная матрица представляет собой диагонально симметричную матрицу с диагональю Д и незначительным уменьшением ее элементов от Д по мере их удаления от диагонали. Для
такой матрицы ее преобразование (9) дает матрицу у которой
^К остальные собственные значения пренебрежимо малы.
Таким образом, весь исходный сигнал 5 сосредоточен в сингулярной компоненте 57~к с сингулярными числами:
V К v * (10)
Матрица в силу некоррелированности БГШ будет изначально диагональной с элементами диагонали, равными дисперсии шума Д, Рассмотрим преобразование (9) относительно К\п. Пусть Е - единичная матрица, тогда
Кг„=В„Е,
Кг'п = Р~1КгпР = Р~хВпЕР = = ВпР~хР = = . (11)
Таким образом, преобразование (9) не меняет матрицу К\п и все ее
собственные значения
Л«
= ЦГ Следовательно, все сингулярные компоненты шума являются равнозначными по уровню сингулярных чисел:
нГ^.У/. (12)
Рассмотрим применение преобразования (9) к сумме (7): Ку'х = Р~\КУ8+КУп)Р = Р~\КУ3Р + КУ„Р) =
= Р~1Ку8Р + Р~1Ку8Р = Ку8 + Кл>п. (13)
Из (13) следует, что
ф + Х<») и м<р (14)
Таким образом, энергетически только Х-я сингулярная составляющая содержит в себе аддитивную смесь практически полного сигнала и ослабленного в К раз шума. Отбрасывая все остальные составляющие сингулярного разложения, выделяем неизвестный узкополосный сигнал на фоне БГШ. Поскольку шум полностью подавить не удается, то можно говорить о слабой сингулярной разделимости узкополосного сигнала и узкополосного БГШ. Выигрыш по снижению в сингулярно отфильтрованном сигнале х'(0 компоненты БГШ составляет <Храз.
С другой стороны, при увеличении N до бесконечности при Ь=сот( (X—><х>) и устремлении г —> 0 имеем
а|±<р^>09у<К
и
№ ^ л/А^ => ^Р л/д^ а 0,у < К. (15)
Следовательно, узкополосный сигнал неизвестной формы и БГШ асимптотически сингулярно разделимы, т.е. в пределе возможно полное выделение неизвестного узкополосного сигнала из его аддитивной смеси с БГШ.
Таким образом, полученные соотношения (14) и (15) показывают возможность построения на основе сингулярного разложения адаптивных согласованных фильтров для узкополосных сигналов неизвестной формы.
В реальных системах связи соотношение (14) не выполняется, что обусловлено невыполнением условий (10) и (2) для принимаемой смеси сигнала и шума.
В первом случае ввиду конечности частоты оцифровки сигнала и интервала 0 < t < Т наблюдается чувствительное снижение значений авто-ковариации сигнала по их удалению от диагональных элементов ковариационной матрицы.
Невыполнение условия (2) обусловлено наличием слабой корреляции реальных узкополосных сигналов и узкополосного шума, что ведет к несправедливости соотношений (13) и (14), вследствие чего имеет место ситуация, когда не одна, а т=(К - V) компонент сингулярного разложения содержат энергетику сигнала:
У »0,у £ V,
(16)
У > 0, V < у £ К.
В соответствии с (12) энергетика шумовой составляющей распределяется приблизительно равномерно по всем компонентам сингулярного разложения. Энергия сигнала с учетом (16) в основном сосредоточена только в последних т компонентах, неравномерно, как правило, со значительным убыванием по мере уменьшения У.
Рассмотрим сингулярное разложение аддитивной смеси сигнала и шума, прошедшей стандартную полосовую фильтрацию: xпф=sпф+nпф. Результатом применения сингулярного разложения с длиной окна Ь будет разделение хпф на К составляющих, т из которых содержат энергетику узкополосного сигнала £ и шума п, а I =(К- т) - только шума п.
Исключением (К - т) компонент из суммы можно получить сигнал $\ф, что эквивалентно фильтрации сигнала от шума в ограниченной полосе частот АР. Эффективность такого способа внутриполосовой фильтрации будет определяться приростом отношения сигнал/шум в конечном
итоге определяющим вероятность ошибки в приеме информации. Представляет интерес и точность восстановления формы сигнала, которую можно оценить через коэффициент корреляции г (17) и евклидово расстояние (18) между исходным сигналом я и §'пф:
(г Л" ^ 0)
Ф(0^„ф(0)= , * , (17)
Г*У°8'пф( о
(0)= I к сор ■ (18)
А'=1
Таким образом, задавшись значениями I и ^ задачу внутриполос-ной фильтрации можно сформулировать следующим образом: из общего множества компонент сингулярного разложения сигнала х„ф необходимо исключить I е К таких, что сумма оставшихся т компонент обеспечит выполнение целевой функции:
БЖ
—> шах; те К
1е К : г[5,—> шах; (19)
пф
>пф\
те К
при Ь=С0175?, N=001131
Решение данной задачи будем осуществлять методом полного перебора сочетаний сумм компонент сингулярного разложения сигнала, полагая известным на приемной стороне исходный сигнал 5, а шум п - абсолютно «белым» Гауссовским. Оценка значений ЖУК может быть получена
через отношение дисперсии сигнала о^) и шума <^'(0 ^^ ПРИ допущении, что применение полосовой фильтрации приводит к изменению сигнала ¿(7) так, что значение о^л остается неизменным, а мощность сигнала
после фильтра определяется дисперсией суммы двух коррелированных случайных величин
=<4 +О?/(0 +2-соф(0,»(01 (20)
где п 1(0] может быть представлена через ковариационный момент
Бф и Бф+п'ф как
к$(ф/(0 = к$(г)+п'(0Х0 ~ (0' (21)
= Ф = ^-, -. (22)
+<4» -2 •+и'СМ0]
Результаты моделирования представлены на рис. 1 - 3 (для эксперимента произведено сингулярное разложение пакета одного из стандартов связи длиной N=2040 цифровых отсчетов на К= 8 компонент; по оси абсцисс представлено значение после полосовой фильтрации). На рис.
133
Известия ТулГУ. Технические науки. 2015. Выл. 11. Ч. 2 1-3 обозначены: 5 - исходный сигнал; $пф - зашумленный сигнал после полосовой фильтрации; §чпф - зашумленный сигнал после полосовой фильтрации и 88А-фильтрации.
Рис. 2. График зависимости г=/(8МКпф)
Рис. 3. График зависимости d(e)/N=f(SNRnф)
134
Анализ графиков свидетельствует об эффективности внутриполосо-вой фильтрации сигналов, основанной на методе сингулярного разложения. Наибольший выигрыш по параметрам SNR, r и afe наблюдается в области больших шумов.
Предложения по построению цифровых адаптивных фильтров, реализующих механизм сингулярного разложения, приведены в [6]. Дальнейшие исследования в области применения методов сингулярного разложения для цифровой фильтрации сигналов можно разделить на теоретическое (определение оптимальных значений параметров разложения L и N) и практическое (разработка методов исключения «нежелательных» компонент без наличия сведений о сигнале на приемной стороне, а также быстродействующих алгоритмов вычисления) направления.
Список литературы
1. Главные компоненты временных рядов: метод «Гусеница» / под ред. Д.Л. Данилова, А.А. Жиглявского. СПб: Пресском, 1997. 308 с.
2.Golyandina N., Nekrutkin V., Zhigljavsky A. Analysis of Time Series Structure: SSA and related techniques // Chapman & Hall/CRC. New York -London, 2001.
3.Atikur Rahman Khan M., Poskitt D. S, A note on window length selection in singular spectrum analysis // Aust. New Zeal. J. Stat. 2013. 55(2). P. 87 - 108.
4.Golyandina N., Korobeynikov A. Basic Singular Spectrum Analysis and forecasting with R. Comput // Stat. Data Anal.2014. P. 934 - 954.
5.Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001. С. 382.
6. Шиманов С.Н., Франков С.В. Внутриполосовая фильтрация шума на основе КИХ-фильтров сложной структуры // Сборник трудов Международной конференции «Радиоэлектронные устройства и системы для инфо-коммуникационных технологий - РЕС-2013». М., 2013. С. 107 - 109.
Шиманов Сергей Николаевич, д-р техн. наук, проф., зам. ген. директора по АСУ и связи, shimi_sn@mail. ru, Россия, Серпухов, Институт инженерной физики,
Цимбал Владимир Анатольевич, д-р техн. наук, проф., вед. науч. сотр. управления АСУ и связи, asu_iif@mail. ru, Россия, Серпухов, Институт инженерной физики,
Прасолов Виктор Анатольевич, канд. техн. наук, нач. отдела АСУ - зам. начальника управления АСУ и связи, prasvit@yandex.ru, Россия, Серпухов, Институт инженерной физики,
Франков Сергей Викторович, науч. сотр. отдела АСУ, frankov25@,mail.ru, Россия, Серпухов, Институт инженерной физики
135
ADAPTIVE DIGITAL FILTERING OF SIGNALS AGAINST WHITE GA USSIANNOISE BASED SINGULAR EXPANSION IN LINEAR MANIFOLDS
S.N. Shimanov, V.A. Tsymbal, V.A. Prasolov, S. V. Frankov
An adaptive mechanism of separating an arbitrary signal from «white» noise, based on singular spectrum analysis techniques is presented. This method can be taken as a principle technologies of an adaptive optimal filtration of signals in the conditions of aprioristic uncertainty of their structure. The traditional way is to use band-pass filter matched to the signal parameters, which provide pass without significant attenuation of signals with frequencies in the frequency band of the desired signal, and the suppression of signals with frequencies that lie beyond.SSA is novel and powerful technique applicable to many practical problems such as the study of classical time series, multivariate statistics, dynamical systems and signal and image processing. It is designed to extract information from short and noisy time series. A mathematical justification and obtained relations, showing the possibility of construct the adaptive matched filter for narrowband signals of unknown form based on singular spectrum analysis are given.
Key words: singular value decomposition, adaptive optimal filtering, autocorrelation, intracavitary filtration.
Shimanov Sergey Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, deputy general director for ACS and Communications, shimi sn@ mail.ru, Russia, Moscow Region, Serpukhov, Institute of Engineering Physics,
Tsymbal Vladimir Anatolevich, doctor of technical sciences, professor, leading researcher and communications management automation, asu_iif@mail.ru, Russia, Moscow Region, Serpukhov, Institute of Engineering Physics,
Prasolov Victor Anatolevich, candidate of technical sciences, head of IT department - deputy head of the MIS and communications, prasvit@yandex.ru, Russia, Moscow Region, Serpukhov, Institute of Engineering Physics,
Frankov Sergey Viktorovich, researcher IT department, frankov25@,mail.ru, Russia, Moscow Region, Serpukhov, Institute of Engineering Physics
