CC BY
64
2012 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 2
АСТРОНОМИЯ
УДК 521.937, 52-17
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИНГУЛЯРНОГО
СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА
ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДВИЖЕНИЯ ПОЛЮСА
В. В. Витязев1, Н. О. Миллер2, Е. Я. Прудникова3
1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, vityazev@list.ru
2. Главная астрономическая обсерватория РАН, Санкт-Петербург, науч. сотр., natm@gao.spb.ru
3. Главная астрономическая обсерватория РАН, Санкт-Петербург, канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., elena_prudnik@mail.ru
Введение. При исследовании различных процессов, связанных с вращением Земли, все чаще возникает потребность не просто выполнить тот или иной статистический анализ временного ряда, но и ответить на ряд вопросов относительно его устройства. Современные требования к точности астрометрических наблюдений приводят к необходимости поиска и разработки новых методов анализа получаемых данных, которые дадут возможность выявить более тонкие структуры исследуемых процессов, позволяющие наиболее полно описать наблюдаемые вариации параметров, установить взаимосвязи с другими явлениями и объяснить, в конечном итоге, их природу. Это приводит к необходимости снова и снова возвращаться к изучению структуры составляющих движения полюса такими методами анализа, которые не только позволили бы выявить все значимые компоненты ряда, но и имели бы хорошее разрешение как по частоте, так и по времени, т. е. позволили бы исследовать компоненту со сложной структурой (переменная амплитуда, частота, смена фазы) и проследить динамику поведения чандлеровского движения полюса (ЧДП) во времени. С конца прошлого столетия широкое распространение получили методы исследования нестационарных пространственно-временных рядов на основе естественных (эмпирических) ортогональных функций (ЕОФ). Базисные функции в этих методах строятся на самих исходных данных, в отличие от преобразований Фурье или вейвлет, часто используемых в астрономии. К классу этих методов относится метод сингулярного спектрального анализа (ССА) [1]. В данной работе некоторые возможности ССА демонстрируются на следующих примерах.
© В. В. Витязев, Н. О. Миллер, Е. Я. Прудникова, 2012
1. Из рядов координат полюса Xp, Yp (многомерным ССА) [2] и изменений широты Пулково (одномерным ССА) [3] были выделены чандлеровская и годовая компоненты, а также тренд. Многомерная реализация метода позволяет исследовать одновременно несколько рядов, выявляя общие гармоники, причем главные компоненты у этих рядов общие, а собственные векторы разные. В результате процедуры восстановления получаются гармоники, сохраняющие индивидуальные особенности, но характеризующие одну и ту же составляющую процесса.
2. Анализ и выделение главных компонент возможен в случае пропуска наблюдений. Ряд наблюдений на ЗТФ-135 имеет пропуск с 1941 по 1948 г. в связи с ведением боевых действий во время Великой Отечественной войны и восстановлением разрушенной обсерватории. Это не помешало выделить чанд-леровскую и годовую компоненты для того, чтобы этот ряд сопоставить с международным рядом наблюдений.
3. При детальном исследовании структуры ряда и его составляющих этим способом можно выявить степень сходства или различия двух анализируемых рядов одинаковой природы. Например, можно сопоставлять теоретические расчеты с наблюдательными рядами, т.е. многомерную модификацию ряда в некоторых случаях можно использовать вместо метода наименьших квадратов, например, для сопоставления наблюдательного материала с теоретическими моделями. После сравнения рядов изменений широты Пулково, вычисленных из международных данных (IERS C01) и наблюдений на ЗТФ-135, был сделан вывод о том, что поведение чандлеровской и годовой компонент можно изучать на материалах одной обсерватории [3].
4. Несмотря на то, что уровень шума для объединенного ряда широты и рядов координат полюса на разных участках ряда различен, удалось выделить главные компоненты и исследовать изменения амплитуды и фазы во времени чандлеровского движения полюса [2, 3].
5. На примере ранних пулковских наблюдений (1840-1855), характерной особенностью которых являются неравномерность распределения, неоднородность и небольшое их число, с помощью CCA были выделены главные гармоники колебания, в данном случае соответствующие годовому и чандлеровскому колебанию [3]. Также был выполнен анализ объединенного ряда широты Пулково, который состоял из наблюдений на разных инструментах на протяжении 170 лет [4].
Используемые методы. Рассмотрим подробнее упомянутые методы.
• Сингулярный спектральный анализ (ССА). В основе метода ССА лежат преобразование временного ряда в матрицу и ее сингулярное разложение, приводящее к разложению исходного ряда на аддитивные компоненты. При использовании этого метода производится вычисление выборочной корреляционной матрицы, собственные числа Xi которой являются выборочными дисперсиями соответствующих главных компонент. Эти компоненты определяются таким образом, чтобы первая из них давала максимально возможный вклад в суммарную дисперсию. Процент вклада i-й компоненты вычисляется по формуле
= Ж х 100%' (1)
где М — длина окна, X — i-е собственное число.
Вклад выделяемых компонент различен и, естественно, наибольший интерес представляют те компоненты, которые в сумме дают максимальный вклад от общего колебания, хотя в случае долгопериодических компонент вклад в исходный ряд может быть не большим, но значимым по своей физической природе. В зависимости от решаемой задачи можно варьировать значения параметров метода и способов разложения. Дополнительная информация о методе, его возможностях и соответствующем программном обеспечении могут быть найдены на сайте http://www.gistatgroup.com/cat и в работе [1].
• Вейвлет-анализ. В случае вейвлет-анализа для каждой конкретной задачи необходимо выбрать базис или тип вейвлета. Для анализа координат полюса был использован вейвлет Морле. Подробное обоснование такого выбора и сравнение этого метода с ССА приводится в работе [5].
• Метод полосовой фильтрации. В данной работе была выполнена фильтрация с использованием эллиптического частотного полосового фильтра пятого порядка Золотарева—Кауэра (Ellip, Matlab Signal Processing Toolbox). С примером использования других фильтров и анализом получаемых результатов можно ознакомиться в работе [2].
• Комплексное преобразование Гильберта. Для выявления закономерности изменения амплитуды и фазы со временем было использовано комплексное преобразование Гильберта (Hilbert, Matlab Signal Processing Toolbox).
Ранние пулковские наблюдения. В Пулковской обсерватории имеются ряды наблюдения широты на разных инструментах, начиная с 1840 г. Ранние наблюдения в Пулково выполнялись на пассажном инструменте Репсольда в первом вертикале (1840-1941) и на большом вертикальном круге Эртеля (1840-1880). Оба инструмента были изготовлены специально для Пулково и установлены в год открытия обсерватории (1839). Они предназначались для абсолютных определений координат звезд. При определении рядов абсолютных склонений звезд образуются и ряды определения широты, которые могут использоваться для изучения движения полюсов. Широты, вычисленные Б.Ванахом по наблюдениям В. Я. Струве (1840.3-1843.0) на пассажном инструменте в первом вертикале [6] и А. А. Ивановым по наблюдениям Х. Петерса (1842-1849) на большом вертикальном круге [7], были исследованы на предмет воз-
Рис. 1. Изменение широты Пулково, полученное из ряда Б. Ванаха, и результаты фильтрации, выполненные двумя разными методами (слева), и их спектры (справа).
-0,4-1-1-■-1-■-1-■-1-,-1-■-1-,-1-■-1-■-,-, 0,00-1-,--■--,--,- •■,' -,--■-,
1842 1843 1844 1845 1846 1847 1848 1849 1850 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
T, year P, year
Рис. 2. Изменение широты Пулково, полученное из ряда А. А. Иванова, и результаты фильтрации, выполненные двумя разными методами (слева), и их спектры (справа).
можного использования их для получения максимально доступной длины реализации ряда движения полюса. Данные на интервале 1846-1891.5 гг. были вычислены Л. В. Рыхловой [8] из наблюдений в Пулково, Гринвиче и Вашингтоне. На рис. 1, рис. 2 (слева) приведены исследуемые ряды с равномерным шагом 0.1 года и результаты фильтрации, полученные с помощью ССА и метода фильтрации (Ellip) с полосой пропускания 0.77-1.05 год-1 из рядов наблюдений Б. Ванаха и А.А.Иванова, а на рис. 1, рис.2 (справа) приведены результаты спектрального анализа этих рядов.
В результате из наблюдений на пассажном инструменте в первом вертикале обоими методами были получены похожие кривые изменения широты, имеющие шестилетнюю модуляцию, обычную для суммы чандлеровской и годовой компонент. Минимальное значение амплитуды приходится на 1848 г. Из анализа спектров видно, что годовой период в изменениях широты устойчив; это можно объяснить тем, что годовое колебание, в основном, определяется метеофакторами, имеющими сезонный
Рис. 3. Вверху — ряд изменения широты Пулково, сумма чанд-леровской и годовой компонент; внизу — чандлеровская (1) и годовая (2) компоненты, полученные с помощью метода ССА.
характер. Период чандлеровского колебания менее устойчив, поскольку эта компонента на исследуемом интервале имеет не очень большую амплитуду.
Кроме того, точность наблюдений невысока, а наблюдения на пассажном инструменте в первом вертикале на этом интервале отличаются малой плотностью. Интересно отметить, что спектр, полученный для суммы чандлеровской и годовой компонент с помощью ССА, очень близок к спектрам исходного ряда и ряда, полученного А. Я. Орловым из данных А. А. Иванова [4]. На рис. 3 приводится ряд 1840-1848 гг., который был использован для формирования продления ряда изменений широты Пулково 1840-2011 гг. [4]. Этот ряд состоит из изменений широты Пулково, полученных из наблюдений на пассажном инструменте в первом вертикале за 1840.3-1843 гг. и на большом вертикальном круге Эртеля за 1842.4-1846.5 гг.
Сравнение ряда наблюдений на ЗТФ-135 с изменениями широты Пулково, вычисленными из международных данных. 19 сентября 1904 года начались регулярные наблюдения широты на зенит-телескопе ЗТФ-135. Этот телескоп был сделан в мастерской Пулковской обсерватории механиком Г. А. Фрейбергом-Кон-дратьевым, и стал образцом инструмента данного типа. В 1941 г. в связи с военными действиями телескоп был демонтирован. После окончания войны к сентябрю 1948 г. инструмент был вновь установлен в Пулково в новом павильоне, и на нем возобновились систематические наблюдения, которые были завершены в конце 2006 г. Особенность конструкции инструмента ЗТФ-135 позволила наблюдать на нем в течение 104 лет без капитального ремонта. Усилиями 36-и исследователей в течение этого времени был получен длительный ряд наблюдений, который включает в себя около 170 тысяч значений широты. Этот ряд отличается высокой устойчивостью и однородностью, особенно в период с 1948 по 1994 г. В данном разделе сопоставляются результаты исследований уникального ряда наблюдений широты на ЗТФ-135 Пулковской обсерватории, полученных в течение 102 лет, и изменений широты Пулково, вычисленных из рядов координат полюса Xp, Yp IERS C01 за 1904-2006 гг. по формуле
Ду = у - у0 = Xp sin(A) - Yp cos(A) = 0.8631Xp - 0.5049Yp, (2)
где A — долгота ЗТФ-135. В работе [3] приводится более детальный анализ этих рядов.
Спектральный анализ этих рядов выделяет две области с максимальными частотами: чандлеровскую (с периодом около 1.19 года) и годовую (с периодом 1 год). Значения периодов для обоих рядов одинаковые, отличия имеются только в значениях амплитуды. Причем амплитуды как годового, так и чандлеровского колебания (максимальный пик) больше для C01 на 50 mas. Эти два периодических движения легко различаются в наблюдениях широты и многократно исследовались разными авторами. Наличие годовой гармоники объясняется сезонными перемещениями воздушных и водных масс по земной поверхности. Чандлеровское колебание представляет собой квазигармоническое колебание сложной структуры и до сих пор вызывает дискуссии как относительно структуры ряда, так и относительно его физической интерпретации. Чаще всего это колебание называют главной модой свободной нутации Земли.
На рис.4 и 5 представлены ряды изменения широты (рис.4 — Дус01, рис.5 — ДуzтF) с шагом 0.1 года и разложение их на главные компоненты методом ССА при длине окна (М = 515), равной половине длины ряда за 1904.8-2007.0 гг. С помощью ССА были получены основные компоненты движения полюса: трендовая, чандлеров-ская и годовая. Вклад суммы основных компонент в исходный процесс составляет для
Рис. 4. Ряд изменений широты (Д^с01), полученный из международных данных за 1904—2006 гг., тренд (а), чандлеровская (б) и годовая компоненты (в).
Рис. 5. Ряд изменений широты Пулково (Д^%Т¥), выведенный из наблюдений на ЗТФ-135, тренд (а), чандлеровская (б) и годовая компоненты (в).
ряда Д^си ~ 93%, а для ряда A^ztf — ~ 71%. Одним из объяснений такого различия может быть наличие более высокого шума на всем интервале для наблюдений на ЗТФ-135. Из всех рисунков видно хорошее согласие поведения амплитуды ЧДП как полученной из наблюдений на ЗТФ-135, так и вычисленной из международных данных. Надо отметить, что несмотря на продолжительный пропуск в наблюдениях на интервале с 1941.5 по 1948.2 г., методом ССА удалось выделить чандлеровскую и годовую компоненты почти без искажения информации (рис.5). В случае использования вейвлет-анализа (рис. 6) четко прослеживается искажение поведения чандле-ровской составляющей на интервале 1941-1948 гг., который соответствует пропуску в
1914 1924 1934 1944 1954 19Б4 1974 19В4 1994 2D04 1914 1924 1934 1944 1954 19Б4 1974 19В4 1994 2004
Т, год Т, год
Рис. 6. Результат вейвлет-анализа ряда изменений широты Пулково, полученного из международных данных (слева) и ряда изменений широты Пулково, полученного из наблюдений на ЗТФ-135 (справа).
наблюдениях на ЗТФ-135. Таким образом, имеется возможность с помощью ССА исследовать долгопериодические закономерности поведения амплитуды и фазы ЧДП, основываясь на длительных рядах наблюдений одной обсерватории, даже если в них имеются длительные пропуски.
Чандлеровское движение полюса. Чандлеровское движение полюса (ЧДП) имеет сложный нерегулярный характер, зависящий от различных астрономических и геофизических причин и обусловленный влиянием взаимодействий между различными процессами. К основными геофизическим факторам, оказывающим влияние на возбуждение чандлеровского колебания полюса, относятся землетрясения, извержения вулканов, перенос воздушных масс в атмосфере, водных масс в океане, совместное воздействие океанических и атмосферных процессов, динамическое взаимодействие между атмосферой, океаном и твердью Земли. В спектре чандлеровского движения полюса имеется несколько пиков в частотном диапазоне ЧДП.
Методом МССА из рядов координат полюса Xp, Yp и методом ССА из объединенного ряда изменений широты Пулково (шаг 0.1 года) при длине окна, равной половине длины ряда, были получены три основные составляющие движения полюса: трендо-вая, чандлеровская и годовая. Их вклад в исходный ряд составляет 89% (35, 41 и 13% соответственно). На частоте чандлеровского колебания, аналогично Фурье-анализу, было получено шесть компонент. На рис. 7 слева представлена сумма всех шести компонент на частотах близких к ЧДП, а справа — чандлеровское колебание, полученное с помощью метода фильтрации (Ellip). На этом рисунке хорошо видны две похожие структуры на интервалах 1846-1930 и 1930-2008 гг. С помощью Фурье-анализа каждой из двух частей этой структуры были оценены период и амплитуда ЧДП. Значение периода оказалось практически постоянным и равными соответственно 1.183 г. (432 дня) и 1.185 г. (433 дня), максимальная же амплитуда на первом интервале составила 184 mas, а на втором — 211 mas. На рис.8 приведены графики изменения амплитуды и фазы, полученные с помощью преобразования Гильберта. На всех рисунках имеются три области сильного падения амплитуды с одновременной сменой фазы. Первая область находится в самом начале ряда между 1846 и 1856 г. Это может говорить о наличии некоторых особенностей в поведении ЧДП на этом интервале, что согласуется с результатами исследований, выполненных ранее другими авторами [7]. Второй хорошо известный минимум находится около 1929 г. В самом конце ряда око-
Рис. 7. Чандлеровское колебание полюса, полученное с помощью ССА (слева) и ELLIP (справа).
1880 1900 1920 1940 1960 1980
Рис. 8. Изменение амплитуды и фазы ЧДП.
ло 2005 г. также наблюдается резкое падение амплитуды ЧДП. Таким образом, в результате данной работы была выявлена повторяющаяся структура ЧДП, которая указывает на существование трех областей падения амплитуды с одновременной сменой фазы (около 1846 г., 1925 г., 2005 г.). Кроме того, методом наложения эпох и динамическим сопоставлением спектров была выполнена оценка периода изменения амплитуды ЧДП с одновременной сменой фазы, в результате чего получено значение периода, равное 80 годам. При этом значении периода получаются наилучшие корреляции 0.9) как спектров, так и самих компонент.
Заключение. В этой статье на примере исследования рядов координат полюса и изменений широты Пулково были продемонстрированы некоторые возможности ССА. Были выявлены и показаны некоторые интересные особенности в поведении амплитуды и фазы чандлеровского колебания движения полюса, способы анализа наблюдений, имеющих пропуски в наблюдениях, сравнительно большие ошибки или ошибки, неравномерно распределенные по всей длине ряда. Приведем некоторые преимущества данного метода:
1) базовые ортогональные функции ССА создаются на основе самих исходных рядов;
2) имеется возможность детально исследовать структуру временных рядов;
3) после выделения псевдогармонических сигналов можно оценить фазовый сдвиг и вариации амплитуд со временем;
4) хорошо отделяет полезный сигнал от шума, даже если уровень шума высок; особенно важно то, что это позволяет использовать для современных исследований очень старые наблюдения.
Литература
1. Golyandina N., Nekrutkin V., Zhigljavsky A. Analysis of Time Series Structure: SSA and Related Techniques. London, 2001. P. 305.
2. Malkin Z., Miller N. Chandler wobble: two more large phase jumps revealed // Earth Planets and Space. 2010. Vol.62. N12. P. 943-947.
3. Миллер Н. О. Чандлеровское колебание в изменениях широты Пулково за 170 лет // Астрономический вестник. 2011. Т. 45. №4. С. 353-364.
4. Миллер Н. О., Прудникова Е. А. Ранние пулковские наблюдения широты // Кинематика и физика небесных тел. 2011. Т. 27. №1. С. 40-52.
5. Vityazev V. Irregular variations in earth rotation: the singular spectrum analysis and wavelets // Motion of Celestial bodies, Astrometry and Astronomical Reference Frames. Proc. of the JOURNEES. Paris, 2000. P. 287-291.
6. Wanach B. Ableitung der Polhohenschwankugen aus altern Pulkowacher Beobachtungen in ersten Vertical // Astron. Nachr. Vol. 130. 1892. P. 246.
7. Иванов А. А. Вращательное движение Земли. СПб., 1895. С. 95.
8. Рыхлова Л. В. Координаты полюса Земли за 1846.0-1891.5 годы // Сообщ. ГАИШ. 1970. №163. C. 3-10.
Статья поступила в редакцию 26 декабря 2011 г.
