Аберрационный анализ двухкомпонентной схемы оптической системы объектива Текст научной статьи по специальности «Физика»

аберрационный анализ двухкомпонентнои схемы

оптической системы объектива И.А. Белокурова, В.А. Зверев, Г.В. Карпова, Т.В. Точилина

Рассмотрены аберрационные свойства оптической системы объектива из двух тонких компонентов при конечном расстоянии между ними. Показана возможность получения апланатической и анастигматической коррекции аберраций.

В однокомпонентной оптической системе принципиально возможна лишь коррекция, прежде всего, сферической аберрации и комы. Дополнение однокомпонентной системы еще одним компонентом существенно расширяет ее коррекционные возможности. Однако для этого необходимо знать влияние расположения компонентов, их оптических сил и аберрационных свойств на состояние коррекции аберраций системы в целом. Исследованию этих вопросов и посвящена настоящая работа.

Коэффициенты, определяющие сферическую аберрацию, кому, астигматизм, пец-валеву кривизну и дисторсию изображения, образованного оптической системой тонких компонентов, можно определить выражениями вида [1, 2]: *

^ = ^ = В0„

* 1

ЯII = II = К 0 + qB0,

* 1 2 = —2" = С) + 2ЧК0 + Ч У

** = = А),

= 4Бу = Е) + Ч(3С) + А)) + 3д2К) + д3В) , У

где В) = ^Ие, = Т1а1 + р, К) = -2Ж +

i=1 г=1 г=1

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

г = и^ 1

С = Еф' -22ЯЖ, + 2И,^,, А) = 2 2~ ф,, 2~ = п,, 2ф,- = 1

I=1

I=1

! =1

! =1

ф1

Л

1

Ф1

1

1=1" 1у

1=1 и1

1=1

р- число тонких линз в составе / - го тонкого компонента, тогда А) = 2^ ф, .

! =1

С ' =рф ^ 1 =и ,=п I =п

Ф/ . о , и о3/

1=1

7 =1 П>

V1 =1 1 Л

е) = 22— ф, + 3^яф, -3^+2ит,

I=1

! =1

¿=1

иначе

, =п 1=п

23

Е) = 2 п, ф, + 32 Ф, - 32 яж +2 и-ад.

I=1

¿=1

г=1

З 1 Н1

Здесь д =

V!

,=1

1

УИ1 1

11

^, Vl = —; «1 - расстояние от первого компонента

а1 а

п

1 «^1 у

до плоскости предмета; а^ - расстояние от первого компонента до входного зрачка.

k =

При ах = го q =--р1-; Si = V—1—; J - инвариант Лагранжа-Гельмгольца;

^^ ^ = ^ dk-1 п/ ' ' k =2 ^-1hknk

J = п'а' l' = -п'а'Р1 f'. Положив п' = 1, а ' = 1, Р1 = 1 и /' = 1, получаем J = -1. Будем

считать, что П1 = 1. При //' = 1: q = -apl.

В простейшем случае оптическая система объектива состоит из одного тонкого компонента, представляющего собой сочетание двух тонких линз. В такой системе вполне возможна компенсация хроматических аберраций положения и увеличения, а также таких монохроматических аберраций третьего порядка, как сферическая аберрация и кома. Действительно, положив P = 0 и W = 0, получаем:

SI = 0, Sп = 0,

Sш = Ф1 = Ф =1 SIV = п,

^ = -ар1 (3 + п)

При этом величина астигматизма третьего порядка, равная разности осевых координат внеосевой точки поверхности изображения, образованной узкими пучками лучей в сагиттальной и меридиональной плоскостях, определяется выражением

4 - ^ = fw2,

где f' - фокусное расстояние тонкого компонента; w - половина углового поля в пространстве предметов. Кроме того, кривизна в осевой точке пецвалевой поверхности

изображения определяется коэффициентом SIV = — + —, при Ф1 +фт = 1 коэффициент

П Пт

S^V = п, при этом величину п принято считать равной 0,7, заметим, что при о,р1 = 0 коэффициент SV = 0.

Рассмотрим аберрационные свойства оптической системы, состоящей из двух тонких компонентов, разделенных конечным воздушным промежутком d. Для такой системы выражения, определяющие коэффициенты аберраций третьего порядка, можно представить в следующем виде:

SI = Bo = /р + h2 Рт, (6)

SII = - К 0 - qBo = - ±Р2 + Wl + W2 - qBo , (7) /1

2 d2 d 2

Sш = С0 + 2qK0 + q2В0 = Рт - 2-— Жт +Ф1 + Фт + 2qKo + 1В0, (8)

/2/2 /1/2

SIV = п1Ф1 + п2Ф2 , (9)

/1/

^ = - Е0- q(зCo + А>)- 3q2 К0- q3вo = птФт

d d 2 d 3 - 3 — Ф2 + 3-^уЖт Рт - q(3Co + Д,)-3q2Ko - q3Bo.

(10)

// /2/2 /3/3

Оптическая сила рассматриваемой оптической системы равна Ф = Ф1 + Ф2 - ФlФ2d . При Ф = 1

d =Ф1 + Ф2 -1. (11) Ф1Ф2

В рассматриваемом случае П1 = 1 и /1 = 1. Тогда q = -ар. При

а1 = 0 : а 2 = /1Ф1 = Ф1.

При а3 =а ' = 1;= 1 -а2 = 1-Ф1. Отсюда следует, что =1—— . Эти соот-

Ф2

ношения позволяют выражения (6) - (10) представить в следующем виде:

SI = р + Рт, (12)

Ф 2

Зи = -(Р, + Ж1 + Жт + ар1В0, (13)

Sш =-Ф— (2Рт -2-^-(Ж, +Ф1 +Фт -2арХК{) + арРВ), (14)

1 - Ф1 1 - Ф1

SIV =п1Ф1 +п2Ф2, (15)

Sv =-

2 / \ ^Ф. 3 + П2 + (р2-3Жт ( 1 + ар1(3С0 + Д,)-3а2рК + ар1В0 . (16) 1-Ф11 1-Ф1 )

Из анализа этих выражений следует, что коэффициент Slv не зависит от параметров Р\ и Ж и определяется величинами оптических сил тонких компонентов Ф1 и ф, , поскольку в случаи тонких компонентов величина пг- изменяется незначительно, и принято считать [3], что п = 0,7 . Формально при SI = SII = SIII = Sv = 0 получаем систему из четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными (произвольными параметрами) р, Р,, Ж1, Ж,. Однако условие исправления дисторсии, как правило, приводит к крутым поверхностям линз компонентов, а, следовательно, к большим величинам аберраций высшего порядка. Кроме того, при малых угловых полях в пространстве предметов (2w < 10°^ 15°) величина дисторсии может оказаться вполне допустимой. Поэтому рассмотрим условия компенсации следующих монохроматических аберраций: сферической аберрации, комы и астигматизма.

Представляет интерес частный случай рассматриваемой оптической системы, состоящей из одинаковых компонентов, оптическая сила которых равна некоторой вели-

„ , 2ф0 -1 1 -Ф0 чине Ф0. В этом случае ( =-т—, а =-.

Ф2 Ф0

Для решения рассматриваемой задачи удобно выразить параметры Р, Рт, Ж1, Ж,. через основные параметры Р1, Р2 ,W 1 ,W2. Используя формулы [3], получаем:

Р =(а'-а)3 Р i +4а(а'-а)2 W i +а(а'-а)[2а(2 + п)-а'] (17)

= (а ' - а)2 W { +а(а ' - а)(2 + п). (18)

В рассматриваемом случае для первого компонента имеем а = 0, а ' = а, =Ф0, а для второго компонента а = а, =Ф0, а ' = 1. Используя при этом формулы (17) и (18), получаем:

Р = Ф0 Р1 (19)

Рт =(1 -Ф0 )3 Р 2 +4Ф0 (1-Ф0 )2 W 2 +Ф0 (1-Ф0 )[2Ф0 (2 + п)-1] (20)

Ж =Ф0 W1 (21)

Жт =(1 -Ф0 )2 w 2 +Ф0 (1-Ф0 )( + п). (22)

Полученные соотношения позволяют выражения (12), (13) и (14) представить в следующем виде:

(1 -Фо )4

Бт =Ф0 Р1+-

Фо

■Р 2 +4(1 -Фо )3 " 2 +(1 -Фо )2 [2фо (2 + п)-1],

(23)

Бп =-

2фо -1

Фо

(1 -Фо )3 Р 2 +Ф2 " 1 +(1 -Фо)

1 - 4

2Фо - 1 Фо

+ Фо(1 -ФоХ2 + п)-(1 -Фо)[2фо(2 + п)-1] + арфо,

Фо

(24)

БШ —

(2Ф0 -1)2

ф0

(1 -Фо )2 Р 2 -2^фФ—1 (1 -фо1 Фо

1-2

2фо -1 Фо

-

- 2(2ф0 -1)(2 + п) +

(2Ф0 -1)2 Фо

[2фо (2 + п) -1]+2фо - 2арКа2вВо .

(25)

1 - Фо

а' " Фо

Задний фокальный отрезок Б'р — ^ — --0. Действительные значения зад

ний отрезок может принимать в диапазоне от единицы до нуля. При Б'р — 1: фо — d — 0, при этом выражения (23), (24) и (25) принимают следующий вид:

о 1« 1« 1™ 1 + п

Бг — - Р , + - Р 2 + - " 2 +-,

1 8 1 8 2 2 2 4

1 1 О I

Бп — - " 1+4 " 2++ ар1Во,

Б111 — 1 - 2ар1К0 + ар1Во.

Отсюда следует, что в этом случае при Бт — Бп — 0 коэффициент Бш — 1, т.е. остаточный астигматизм изображения, образованного такой системой, равен астигматизму изображения, образованного однокомпонентной системой.

При Б'р — 0: фо — 1, d — 1. При этом из выражений (23), (24), (25) и (15) имеем

Бт — Р1, Бп — "Бш — 1, а БТу — 2п.

Отсюда следует, что при Бт — Бц — 0 остаточный астигматизм равен астигматизму изображения, образованного однокомпонентной системой, а кривизна пецвалевой поверхности изображения вдвое больше.

0, 1 2,3

Рассмотрим, например, вариант систем при Бр — — . При этом фо — —, а d — —.

2

3

4

Выражения, определяющие коэффициенты Бт, Бп, Бш, в этом случае принимают вид

8 1 4

Бт — — Р1 +—Р 2+—" 2 +0,29,

I 27 1 54 2 27 2

1 4 1

Бп —--Р 2+-" 1 — " 2 +0,17 + ап1В0,

II 36 2 9 1 9 2 р1 0

12

Бт — — Р 2 +0,18 - 2ар1Ко + арВо.

24

При одинаковой конструкции оптических систем компонентов имеем: Р1 — Р 2 — Р, " 1 — " 2 — При этом 17 4

Бт — — Р+—" + 0,29, (26)

1 54 27

расстояние от первого компонента до входного зрачка Ор1 = = -= -~. При этом

Sii = - -1 P +1W + 0,17 + aplB0, (27)

36 3

1 2 % = — P + 0,18 - 2apiKo + a2piBo . (28)

Предположим, что входной зрачок расположен в плоскости первого компонента, т.е. api = 0. При этом расстояние от входного зрачка до задней фокальной плоскости

3 1 5

рассматриваемой системы (длина системы) равна L = d + S'F = 4 + 2 = 4.

Положив в выражениях (26) и (27) Si = Sn = 0, при api = 0 получаем P=-0,655, W=-0,565. При этом SIII = 0,15. С другой стороны, положив W=0, P=0, при ap1 = 0 получаем: Si = 0,29, Sn = 0,17, Sm = 0,18. Поскольку значения коэффициентов Si , Sn, Siii достаточно малы, полученное решение можно считать вполне удовлетворительным.

Рассмотрим тот же вариант оптической системы, но с телецентрическим ходом главных лучей в пространстве изображения. В этом случае, поскольку ф1 = Ф2 = Ф0,

1 2

выражения (26), (27) и (28) принимают вид:

17 4

Sj = — P + — W + 0,29, 1 54 27

57

Su =--P + — W+0,025,

jj 27 27

4 8

Sm = — P--W+0,09,

jjj 24 27

Из этих соотношений следует, что при смещении входного зрачка из положения первого компонента в переднюю фокальную плоскость оптической системы при P=0 и W=0 величина коэффициента Sn уменьшилась в 6,8 раза, а величина коэффициента Sjjj уменьшилась в 2 раза. Однако при этом расстояние от входного зрачка до задней

7

фокальной плоскости (длина системы) равно L = 4.

Напомним, что задний фокальный отрезок оптической системы из двух тонких компонентов равен [4]

SF = Ь^. (29)

Ф

Отсюда следует, что величина отрезка определяется величиной оптической силы Ф1 и расстоянием между компонентами d. Из условия коррекции астигматизма третьего порядка следует, что расстояние между компонентами не должно быть малой величиной. При этом будем считать, что 0 < d < 1. Рассмотрим свойства системы при d = 1, а Ф1 = 0 . Вполне очевидно, что в этом случае при a,1 = 0 угол а2 = 0 и, соответственно, = h = 1 при ф = Ф2 = 1. При входном зрачке системы, расположенном на первом компоненте, q = -ap1 = 0. При этом в соответствии с выражениями (1), (2) и (3) имеем: Sj = P1 + P2, (30)

Sil = — P2 + W + W2, (31)

Sm = P2 - 2W2 +1. (32)

Из условия 8/ = 0 следует, что р = -р. Исключив из уравнений (31) и (32) параметр р, при 8П = 0, 8Ш = 0 имеем ^ - Щ = 1. Пусть, например, р = р = 0. При этом

из условия 8/7 = 0 следует, что Щ + ^ = 0. В результате получаем Щ2 = -Щ = 2. Таким

образом, в рассматриваемом случае первый компонент выполняет роль компенсаторы комы и астигматизма, вносимых в образованное вторым компонентом изображение.

Рассмотрим вариант схемы, когда ф2 = 0. При этом Ф = Ф1 = 1; = 0; а2 = а з = а ' = 1; ^2 = -а2^ = 1 - d . Входной зрачок системы будем считать расположенным на первом компоненте, когда q = -ар1 = 0. В этом случае выражения (1), (2)

и (3) принимают следующий вид:

8/ = р + р - рd, (33)

= - р2 d + Щ + ^2, (34)

d 2 d

8Ш = — р2 -2—^2 +1. (35)

1 - d 1 - d

Пусть, например, d = 2. Тогда

1 1 1

8/ = р + 2р, 8/7 = -2р2 + Щ + Щ2, 8Ш = ^р2 -2^2 +1.

Исключив из второго и третьего уравнения параметр р, при 8П = 8Ш = 0 имеем - Щ = 1. Положив и в этом случае р = 0 и /2 = 0, при 8// = 0 получаем, что

Щ + ^2 = 0. При этом Щ2 =-Щ = -2. Таким образом, при ф2 = 0 второй компонент

схемы представляет собой афокальный компенсатор комы и астигматизма, вносимых в изображение, образованное первым компонентом.

В общем случае в двухкомпонентной схеме Ф1 ^ 0 и ф2 ^ 0. Положив при этом р = р = 0 и Щ = Щ2 = 0, в соответствии с формулами (1), (2) и (3) получаем:

= 0 877 = 0, 8/7/ =Ф1 +Ф2. Отсюда следует, что 8Ш = 0 при Ф1 = -Ф2. Двухкомпонентную оптическую систему при Ф1>0, Ф2<0 и ^2>1, где V - поперечное увеличение изображения, образованного вторым компонентом, принято называть телеобъективом. Величина, равная отношению фокусного расстояния оптической системы телеобъектива к расстоянию от первого компонента до ее задней фокальной плоскости, называется коэффициентом укорочения.

Длина оптической системы, определяемая расстоянием от первого компонента до задней фокальной плоскости, равна

Ь = d + 8^ = d + Ь^Ф. (36)

р Ф

Но ф = Ф1 + Ф2 - ФlФ2d. Тогда коэффициент укорочения определяется выражением

Т = ^' = 1 (37)

Ь 1 + Ф 2 (1 -ф^)

dт 1

Из условия — = 0 находим, что d =-. При этом коэффициент укорочения

dd 2ф1

4

Т =-. (38)

4 + ^ Ф1

Заметим, что d >0 при Ф1>0. Следовательно, для телеобъектива, т.е. при Ф2<0,

3

коэффициент укорочения Т >1. При ф1 —-ф2 коэффициент Т — —.

В общем случае фокусное расстояние двухкомпонентной системы определяется соотношением /' — / V2 , где / - фокусное расстояние первого компонента, а ¥2 -поперечное увеличение изображения, образованного вторым компонентом. Вполне очевидно, что при ф >0, Ф1 <0 величина поперечного увеличения изображения ¥2 должна быть отрицательной. При этом при Ф1 <0, а Ф2 >0 двухкомпонентную оптическую систему называют обратным телеобъективом. И в этом случае длина системы определяется формулой (36). Из условия — 0 находим, что минимальной длинной об-

dd

? ? X

ратный объектив обладает при d — / + 2/2' . Легко убедиться, что при этом ¥2 — -1 .

Принципиальная схема двухкомпонентного телеобъектива достаточно широко применяется при проектировании оптических систем различного назначения, среди которых, прежде всего, можно назвать классические двухзеркальные системы объективов астрономических телескопов, объективы зрительных труб, длиннофокусные фотографические объективы (например, телеобъективы типа «Таир», «Апотаир» [5, 6] и тому подобное). Выполненный аберрационный анализ двухкомпонентной схемы оптической системы объектива позволяет сделать следующие выводы:

• в оптической системе, состоящей из двух тонких компонентов, вполне возможна удовлетворительная коррекция сферической аберрации, комы и астигматизма третьего порядка;

• при Ф1 >0 и Ф2 >0 величина ф < Ф1 + Ф2 , а, следовательно, при коррекции сферической аберрации, комы и астигматизма кривизна в осевой точке поверхности изображения, образованного двухкомпонентной системой, больше кривизны поверхности изображения, образованного тонкой однокомпонентной оптической системой того же фокусного расстояния;

• при Ф1 — 0 или Ф2 — 0 соответствующий компонент превращается в афокальный компенсатор, при этом кривизна в осевой точке поверхности изображения равна кривизне поверхности изображения, образованного тонкой однокомпонентной оптической системой;

• при апланатической коррекции аберраций третьего порядка изображения, образованного каждым из компонентов двухкомпонентной оптической системы, при Ф1 — -Ф2 рассматриваемая двухкомпонентная система по характеру коррекции аберраций третьего порядка будет соответствовать апланатическому плананастигмату.

Литература

1. Чуриловский В.Н. Теория хроматизма и аберраций третьего порядка. Л.: Машиностроение, 1968. 312 с.

2. Зверев В.А. Основы геометрической оптики. СПб: СПбГУ ИТМО, 2002. 218 с.

3. Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. Л.: Машиностроение, 1969. 672 с.

4. Чуриловский В.Н. Теория оптических приборов. М.-Л.: Машиностроение, 1966. 564 с.

5. Слюсарев Г.Г. Расчет оптических систем. Л.: Машиностроение, 1975. 640 с.

6. Волосов Д.С. Фотографическая оптика. Учебное пособие для киновузов. М.: Искусство, 1978. 543 с.