A(z)-ANALITIK FUNKSIYA UCHUN LORAN QATORI VA YAKKALANGAN MAXSUS NUQTALAR. A(z)-ANALITIK FUNKSIYA UCHUN CHEGIRMA Текст научной статьи по специальности «Математика»

A (z)-ANALITIK FUNKSIYA UCHUN LORAN QATORI VA YAKKALANGAN MAXSUS NUQTALAR. A (z)-ANALITIK FUNKSIYA

UCHUN CHEGIRMA.

Z. Amirov

TDTU oliy matematika kafedrasi matematika fani o'qituvchisi

A. Xolmatov

Al-Xorazmiy nomidagi ixtisoslashtirilgan maxsus maktab matematika fani

o'qituvchisi

ANNOTATSIYA

Ushbu maqola A(z)-analitik funksiya uchun Loran qatori va yakkalangan maxsus nuqtalarga bag'ishlangan. Yakkalangan maxsus nuqtalar, ularning turlari va maxsus nuqtalarda Loran qatoriga yoyish masalasi ko'rsatilgan.

Kalit so'zlar. Yakkalangan maxsus nuqta, Loran qatori, A(z) -antianalitik funksiya , A -antianalitik funksiya, maxsus nuqtalarning turlari, A (z) - analitik funksiyalar uchun chegirma.

Aytaylik D - soha □ = □ 2 kompleks tekislikda berilgan. Agar z-x + iy bo'lsa, u holda

a _ 1 fa 1 —+- vax i -1 a _ 1 f--1 -1

az" " 2 az" " 2 vax i

A(z) e C (D ) funksiya uchun biz

a

a

a

a

A az ( ) az' A az ( ) az

larni yozib olamiz.

DcO da

A( z) -antianalitik funksiya bo'lsin

va

\\( z a)| =

z - a +

J A(r)dr

r(a,z)

> \

< r >

y

D to'plam D sohada kompakt

L(a, r) = yotsin.

1-ta'rif. f (z) e C1 (D) funksiya D - sohada A-analitik deyiladi, agar Vz e D nuqtalar uchun quyidagi tenglik bajarilsa

DAf ( z) = 0.

2-ta'rif. Agar f (z) funksiya ushbu

: 0 <

z-a +

J A(z)di

r( a,z)

< r

sohada (a nuqtaning o'yilgan atrofi) A -analitik bo'lsa, u holda a nuqta f (z) funksiyaningyakkalangan maxsus nuqtasi deyiladi.

Agar A = const bo'lsa z = <x>nuqtada yakkalangan maxsus nuqtaga ta'rif berish mumkin.

3-ta'rif. Agar f (z) funksiya ushbu

[zeU :R<

z + Az

<+<x>;

sohada A -analitik bo'lsa, u holda a = nuqta f (z) funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi deyiladi.

Yakkalangan maxsus nuqtalarning turlari. Aytaylik a nuqta f (z) funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi bo'lsin. Unda f (z) funksiya

:e0 :0<

z-a +

A(z - a) < r J

sohada A -analitik.

f (z) funksiyaning z ^ a dagi limitning xarakteriga qarab yakkalangan

maxsus nuqtalar turlarga ajraladi.

4-ta'rif. Agar z ^ a da f(z) funksiyaning limiti mavjud bo'lib,

lim f( z) = A (A -chekli)

bo'lsa, u holda a nuqta f(z) funksiyaning bartaraf qilinadigan maxsus nuqtasi deyiladi.

5-ta'rif. Agar z ^ a da f(z) funksiya limiti mavjud bo 'lib,

lim f (z) =

z^a

bo 'lsa, u holda a nuqta f (z) funksiyaning qutb maxsus nuqtasi deyiladi.

6-ta'rif. Agar z ^ a da f(z) funksiyaning limiti mavjud bo'lmasa, u holda a nuqta f(z) funksiyaning o'ta maxsus nuqtasi deyiladi.

Teorema 1. Aytaylik, f e Oa(L(a,R)\L(a,r)) R > r bo'lsin. U holda, f

funksiyani berilgan sohada quydagi ko'rinishidagi qatorga yoyish mumkin:

Bu yerda

ga teng.

x c\ (z, a)

c*= i J (+ A(^d*), r<^<*

aL( a:P)ra)

A (z) - analitik funksiyalar uchun chegirmalar va ularni hisoblash.

ÔA

/Je sohada A(z)-antianalitik funksiya, yani — = 0 biz quyida

dz

A(z) = const, I A(z)\ < c < 1 holda qaraymiz.

Tarif 7. f (z) A — analitik funksiyaning a e D yakkalangan maxsus nuqtadagi chegirmasi deb, yetarlicha kichik radusli

L(a, r ) :=

z e D \\(z, a)|:=

z - a +

< r

J A(r)d

( z ,a )

integralni 2ni ga nisbatiga aytiladi.va quydagicha belgilanadi.

1

2m

leminskata bo'yicha olingan

res a f ( z) = \J f ( z)(dz + A( z)d z)

r=a* 1711 \4>(zM)\=r

Teorema 2. f (z) funksiyaning yakkalangan maxsus a e D nuqtadagi chegirmasi L(a,r) leminskata bo'yicha Loran qatoriga yoyilmasidagi minus birinchi had oldidagi koefitsentga teng.

reSAf ( Z) = C-1

dA

D<^ü sohada A-antianalitik funksiyaya'ni — = 0 bunda

dz

|A(z)| < C < 1, Vze D,

Teorema 3. R(x,y) — ratsional funksiya L(a, r) cc D bo'lsa, u holda quydagi tenglik o'rinli bo'ladi.

n=—«>

2k

R

J R(cosp,sinp)dp = 2k I

\2(z,a) + r2 \2(z,a) - r2

res,

2r\( z, a) 2ri\( z, a)

0 ak eL(a,r) z=ak \(z, a)

Isbot. a markazli r markazli leminskatalarni quydagi ko'rinishda yozib olamiz. Quyidagi tenglik o'rinli. Agar \\(z,a)\ = r bo'lsa,

L(z, a) = {\\(z, a)\ < r| \(z, a) = re1(p \(z, a) = re 1(p,

\( z, a) =

p _ \(z, a) w _ \(z, a) _ r e — , e —

\( z , a) r r \ (z , a)

d \ (z, a) = ireipdp, d \ (z, a) = i \ (z, a)dp,

7 d\(z,a) , , N -dp =--, d\ = dz + A(z)dz

( z, a)

cos p ■

Sinp

eip + e~ip

r

2

2

\(z, a) _ \2(z, a) + r2 2r \ (z, a)

( z, a) r

eip - e"ip

2i

2i

\(z, a) _ \2(z, a) -r2 2ri\f (z, a)

2

r

2k

bu tengliklarni J R(cosp,sin p)dp ifodaga qo'yamiz.

0

R\\2(z,a) +r2 \2(z,a) - r2

f R(cosp,sinp)dp= f-2r\(z,a) 2ri(z,a) (dz + Adz) =

o 1 i \(z, a)

R\\2(z,a) + r2 \2(z,a) - r2 ^ -2fi V 2r\(z,a) ' 2ri\(z,a) _

I

res

i akeL(a,r) z=ak \(Z, a)

R\{z.,a)+r^ \2(z, a) - r2 = 2k I resA_2ri(z,a) , 2ri(z,a)

ak eL(a,r) z=ak \(z, a)

demak yuqoridagi tenglik o'rinli bo'ladi.Teorema isbotlandi.

REFERENCES

1. A.Sadullaev.,N.MJabborov On a Class of A-Analytic Functions// Journal of Siberian Federal University, Maths&Physics, 2016, 9(3), С. 374-383.

2. Жабборов Н. М., Отабоев Т. У. Теорема Коши для A(z) -аналитических функций. Узбекскийs математический журнал, 2014 г., №1, стр. 15-18.

3. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, часть 1. М. "Наука", 1985г.

4. Хурсанов Ш.Я. Вычет для A - аналитических функций Modern problems of dynamical systems and their applications. Тошкент 2017 г.,стр.51