O’LCHOVLI GALILEY FAZOSIDA DARBU TENGLAMASINING ANALOGI Текст научной статьи по специальности «Математика»

Rl O'LCHOVLI GALILEY FAZOSIDA DARBU TENGLAMASINING

ANALOGI Safarov To'lqin Nazarovich Termiz Davlat Universiteti Phd doktorant [email protected]

Annotatsiya: Ushbu ishda galiley fazosidagi tenglamalar uchun Darbu tenglamasining analogi formulasi keltirib chiqarilgan. Unda sirtning umumiy tenglamasi, nuqta atrofida z = z(x, у) ко 'rinishida berilganda, aylanma sirtlar uchun va siklik sirtlar uchun formulalar keltirib chiqarilgan. Galiley fazosidagi yarim geodezik koordinatalrdan foydalanganda Defekt tushunchasi kiritilib defekt nolga teng bo'lganda va umumiy holda defekt noldan farqli bo'lganda Darbu tenglamasining analogi ko'rsatilgan. Ayniqsa aylanma sirtlarda har doim defekt noldan farqli bo 'lganligi uchun faqat bitta tenglama o 'rinli ekanligi ko 'rsatib o'tilgan. Evklid fazosidan farqli tomonlari bu ikkita fazo Evklid fazosi va Galiley fazolarida sirt normallari farqli ekanligi, hamda Derevatsion formulalari farqli ekanligidan bu fazolardagi Darbu tenglamalari farq qilishi ko 'rsatilgan.

Kalit so'zlar: Galiley fazosi, Darbu tenglamalari, aylanma sirt, siklik sirt, Gauss egriligi, defekt, derevatsion formulalar, kristofell simvollari, sirt normallari.

Abstract: In this paper, we present a similar formula for the Darboux equation for equations in the Galilean space fig. The equation gives formulas for rotating surfaces and for cyclic surfaces when the general surface equation is given in the form z = z(xfy)around a point. Using semi-geodesic coordinates in the Galilean space, the concept of a defect is introduced, and an analogue of the Darboux equation is shown, when the defect is equal to zero, and the defect is usually not equal to zero. Particularly on rotating surfaces, since the defect is always nonzero, only one equation is considered valid. The difference between Euclidean space and Euclidean space and Galilean space is that the norms of the surface are different, but the tree equations in these spaces are different.

Keywords: Galilean space, Darbu equations, rotating surface, Gaussian curvature, cyclic surface, defect, derevatation formulas, Christofell symbols, surface normalities

Аннотация: В данной работе приводится аналогичная формула уравнения Дарбу для уравнений в пространстве Галилея R_3 Л 1. Он дает формулы для вращающихся поверхностей и для циклических поверхностей, когда общее уравнение поверхности задается в форме z = z (x, y) вокруг точки. При

использовании полугеодезических координат в пространстве Галилея вводится понятие дефекта и показан аналог уравнения Дарбу, когда дефект равен нулю, а дефект обычно отличен от нуля. В частности, на вращающихся поверхностях, поскольку дефект всегда отличен от нуля, только одно уравнение считается действительным. Разница между евклидовым пространством и евклидовым пространством состоит в том, что нормы поверхности разные в евклидовом и галилеевом пространствах, а уравнения Дарбу в этих пространствах различны из-за разных формул Деравации.

Ключевые слова: пространство Галилея, уравнения Дарбу, вращающаяся поверхность, циклическая поверхность, гауссова кривизна, дефект, формулы деформации, христофелевы символы, нормальности поверхности.

KIRISII

Galiley fazosida sirtlar nazariyasi A. Artikbayev tomonidan o'rganilgan [1]. Berilgan ma'lumotlardan foydalanib bu fazoda Darbu tenglamasining analogini o'rganmoqchimiz. Darbu tenglamasining yarim geodezik koordinatalar sistemasida sirtning 1-kvadratik formasi berilganda hosil bo'lgan tenglamani yechish bosqichlarining geometrik ma'nosi asosan sirtni tiklash masalasiga bog'liq bo'ladi.[10]

Galiley fazosi geometriyasi

Ta'rif-1 Ikki vеktоrning skalyar ko'paytmasi (XY ) = xxx2, (XY ) = 0 bo'lsa (XY) = yy2 + zz shaklda aniqlangan A affin fazоga uch o'lchovli Galiley fazosi

deyiladi. Vektorning normasi deb | a= yfcaa) ko'rinishdagi tenglikka aytilib ya'ni vektorlarning o'z-o'ziga skalyar ko'paytmasini ildizdan chiqarilganiga aytiladi.

A(x1, y, z ); B(x2, y2, z2 ) ikkita nuqta orasidagi masofa deb ikkita nuqta

tutashtiruvchi vektorning modeliga aytiladi va |AB|=|x2- x I; | AB|= 0 bo'lsa

_ _ I--® ®

| AB |= y](y2 - y )2 + (z - z)2 bo'ladi. Aytaylik ushbu ei(1,0,0), e2(0,1,0) va

®

e з(0,0,1) vektorlar R galiley fazosining ortonormallangan bazislari bo'lsin. Galiley fazosida harakat quyidagi ko'rinishga ega:

ixy= x+ a

\yy= a x + y cosj + z sinj + b zy= b x - y sin j + z cos j + c

Galiley fazosida sirtlar nazariyasi

Galiley fazosida sirtning vektor formadagi tenglamasi

416

Scientific Journal Impact Factor

_ _ r r r

r = r(u, V ) = ui + y(u, V ) j + z(u, v)k (1)

ko'rinishida bo'ladi. Oyz tekislik maxsus tekislik deyilib sirtni maxsus tekislik bilan kesganda u = constta chiziq hosil bo'ladi. v = const chiziq esa ixtiyoriy u = const chiziq bilan to'r tashkil qiluvchi chiziq. maxsus tekislik metrikasi Yevklid tekisligi metrikasi bo'ladi.

(1)Tenglama bilan berilgan sirtning 1- kvadratik formasi dsf = du2 agar ds2 = 0bo'lsa ds2 = (y2 + z2)dv2 = G(u,v)dv2 formula bo'yicha hisoblanadi, bu yerda ds2 - sirtning birinchi qo'shimcha kvadratik formasi.

Aytaylik R\ Galiley fazosida F - regulyar sirt (1) vektor funksiya shaklida berilgan bo'lsin. Tekislikka urinma normalni rv vektorga ortogonal bo'lgan maxsus tekislik vektori deb ataymiz. U holda birlik normal vektor ushbu

= (2) ^ V yv +sP V JV +zv )

n

formulaga ko'ra aniqlanadi. Ushbu ifoda II = (d2 rn) = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2 sirtning ikkinchi kvadratik formasi deyiladi. Bu yerda

L =

v z - z v v z - z v v z - z v

- y uu v uns v — y uv v uvy v AT - y vv v vvy v

VG(M, v ) '

bo'ladi. Derevatsion formulalari esa

<jG(u, v)

N =

vv v_vvy v

<jG(u, v)

Gij miqdorlarni Kristoffel koeffisentlari anologi-quyidagi ko'rinishga ega

(3)

G2i =

F - - E

u 2 v

G

r2 - Gu

ul2--

12 2 G

q2 = OL 22 2G

Gauss tenglamasi

K =

LN - M '

G

#- -Ev■ Tg^

(4)

(5)

Bu tenglamani G, F va E miqdorlardan foydalanib quyidagicha yozish mumkin:

2G(Lv - Mu ) = GuM - (Fu - - Ev )N

2G(Nu - Mv) = GuN- GM Yevklid fazosida Gauss va Peterson-Kodattsi tenglamasi kichik hadli tenglamani o'z ichiga oladi. Bu esa Galiley fazosida maxsus metrik sirt ko'rinishi bilan bog'liq, bu tenglama soddalashtirilsa Yevklid fazosidagi sirtda yarim geodezik koordinatalar sistemasidagi metrikani eslatadi. Biroq mavjudligiga ko'ra

417

qaralayotgan tenglama Yevklid fazosida murakkab. Bu boshqa ma'noda Gauss tenglamasi bilan bog'liq. Yevklid holatida bu tenglama qiymatlarini butunlay murakkab kombinatsiyasi orqali egrilikni ifodalaydi, lekin, faqat birinchi kvadratik forma koeffisentlarini o'z ichiga oladi, ya'ni ichki geometriya obyektlik. Yevklid fazosida yarim geodezik koordinatalar sistemasi holatda Gauss tenglamasi ushbu 1 H2 \[g

K = - -щ 11 ^ 2 ko'rinishga keltiriladi.

Galiley fazosida bu tenglamasi o'ng qismiga birinchi kvadratik forma orqali to'la ifodalanmaydigan ushbu

D = F - - E (6)

u ^ v V /

defekt tushunchasi kiradi.

ADABIYOTLAR TAHLILI VA METODLAR

Ma'lumki ,, to'la geometriya " geometriyadagi ko'plab klassik masalalar o'z yechimlarini o'tgan asrning 50-70-yillarda A.V. Pogorelov [2], I.Ya. Bakelman, A.L. Verner, B.Y. Kontor[3], H.F. Yefimov, E.G. Poznyak, E.V. Shikin[10] ishlarida tomomila o'z ifodasini topdi.

Bu natijalar uch o'lchovli Yevklid fazosida va umumlashgan n -o'lchovli Yevklid fazosida hal qilingan. Oxirgi yillarda psevdoyevklid,yarimyevklid va Galiley fazolarida geometriya intensiv o'rganilyapti.

Galiley fazolar geometriyasiga oid ilmiy ishlar chop etilgan. A. Artiqboyev ,D.D. Sokolov[1], [5], A.I. Dalgarev, A. Kurudirek, H. Ak3a, M. Erdogan, М. Пелипенко, А.В. Хачатурян, I.A. Dalgarev, E.K. Kurbonov[9], va boshqalarning ishlari shular jumlasiga kiradi.

,,To'la geometriya " geometriadagi klassik masalalardan berilgan metrika bo'yicha qavariq sirt mavjudligi masalasidir. Agar metrika manfiy Gauss egriligiga ega bo'lsa, unda qo'yilgan masala boshqacha xarakter hosil qiladi. Manfiy Gauss egriligi egarsimon sirt bilan bog'langan. Ma'lumki Labachevskiy tekisligi realizatsiyasi mavjudligi tekislikning har bir realizatsiyasi Sinus-Gardon teglamasi yechimiga keladi va fizik xarakter hosil qiladi. Galiley fazosidagi egarsimon sirt, Yevklid fazosida ham o'zining maxsusligini saqlaydi. Galiley fazosidagi siklik sirt, Yevklid fazosidagi egarsimon sirt ko'rinishida bo'ladi. Sirtning siklik nuqtasi atrofi geometriyasini o'rganishda birinchidan ba'zi yangi masalalarni ko'rish zaruriyati paydo bo'ladi.

Bundan tashqari Darbuning tenglamasi va uning yechimi mavjudligi haqidagi teoremalar evklid geometriyasida o'rganilgan. Hususan E.G.Poznyak va E.

Scientific Journal Impact Factor

V.Shikinlar ishlarida regulyar sirtlarni tiklash masalalarida Darbu tenglamasining Gauss, Peterson Kodasi tenglamalari bilan bog'lagan.

NATIJALAR

Rl galiley fazosida (k > 2) sinfli F sirt (1) ko'rinishdagi tenglama bilan berilgan bo'lsin. Oz o'qidagi birlikfe = {0,0,1} vektor orqali z(ufv) = (R(ufv)k) ni hosil qilsak, u holda

? = = v^-^')- = = va

bo'ladi. (2) derevatsion formulalar dan foydalanamiz. Agar

Z11 — zuu

Z\2 — Zuv

Z22 ~ Zw

(7)

ko'rinishda belgilash kiritsak, unda (2) va (3) tenglamalarga ko'ra

Ma'lumki Rf galiley fazosida sirt (1) tenglama bilan berilsa (2) tenglama bilan

berilgan normal uchun (u, te) =

Vv

V y-è +zv

bo'ladi. Demak (8) tenglamadan

larga ega bo'lamiz.

Rl galiley fazosida sirtning to'la egrilik formulasiga ko'ra

(9)

yv

bo'ladi.

Agar sirt z = z(_x,y~) tenglama bilan berilsa (9) tenglama K = z11z22 — z\2 ko'rinishni oladi. (9) tenglama bilan berilgan Galiley fazosida Darbu tengl amasining analogini quyidagi hollarda ko'rib chiqamiz:

Teorema-1. galiley fazosida sirt (1) tenglama bilan berilgan bo'lsin. Agar yarim geodezik koordinatalar sistemasi uchun, G = B2{u,v) bu erda 3\ o. \ ) = 1. \ u. ri = 0 bo'lsa, Darbu tenglamasining analogi

bo'ladi. Bu yerda a = q. ß = q, y

Isbot: Yarim geodezik koordinatalar sistemasiga ko'ra defekt har doim nolga teng bo'ladi, ya'ni (5) tenglamaning o'ng tomoniga birinchi kvadratik formaning

koeffisentlarini qo'ysak /)= F - = 0 . Ana endi (4) tenglamadan foydalansak

Bu(u,v-)

Scientific Journal Impact Factor

Bu(u,v)

Kristofell simvollari = 0. = . (8) tengalamaga qo'ysak

hosil bo'ladi. Gauss egriligi K = — ^ chiqadi.

Y::: = —ga ega bo'lib ularni

va (9) tenglamaga ko'ra (10) tenglama kelib

Agar defekt noldan farqli bo'Isa, ya'ni E' = z2, F! = yuyv + zuzv v va G = y2 + zl da D = yuuyv + zuuzv ^ 0 p ni hisobga olib (9) tenglamadan

K =

yê

(11)

kelib chiqadi. Sirt umumiy tenglama bilan ya'ni (1) tenglama bilan berilsa Darbu tenglamasining analogi (11) ko'rinishda bo'ladi.

Agar sirt z = z(x,y\ ko'rinishda berilsa u holda K =

rt-s"

bo'lib Darbu

tenglamasining analogi defekt noldan farqli bo'lganda ga teng bo'ladi.

MUHOKAMA

Yuqoridagi formulalardan foydalanib R} galiley fazosida Darbu tenglamasining analoglarini ba'zi bir sirtlardagi ifodasi quyidagicha bo'ladi. l)Aylanma sirt uchun Darbu tenglamasi.

Aylanma sirt R(;ufv) = m + <p(u)cosvj + <p(u)sinvk tenglama bilan berilganda

va aylanam sirtlarda deffekt har doim nolga teng [3] bo'lganligi uchun

-:: = ■■'■ = - . = z, Darbu tenglamasining analogi quyidagi

ko'rinishni oladi.

2^-j^-as + rt — s2 + œ(tâ<p''(ju)sin2v — Î^tv) ö2=0

V«

2)Siklik sirtlar uchun Darbu tenglamasi.

Aytaylik sirt R = R(u,v) = uï + vj+ [<p1 (u)v) + <p2 («}]fc tenglama bilan berilsa

unda K = —M2 =

va D = <p±(u) (u)v + <p2 (u)^ ^ 0 bo'lib

Scientific Journal Impact Factor

Agar D = (u) (^pl (u)v + <p2 (u)^ = 0 u holda

<Pi С")

I (pi (u)v + <p2 (li) = 0

bo'lib

, a

bunda К = — ;;"/' ^ o'zgarmaydi. Darbu tenglamasi

i+fi (")

2i»1a(ti)i»f1(ti)

s + [rt- s2] +

= 0

ko'rinishda bo'ladi.

A1r + A2s + A3t + A±(rt-s2') + A5 = 0 [4,10]tenglamaga ko'ra (13) tenglamadan

(13)

(A1 + A4t)v2-(A2- 2A4s)ùv + (A2 + A±r)u2

tvz — 21 — s )uv + tut

\ î+^i2^} /

0 0

(14) [4]

bundan

bu kvadart ildizlardan

quyidagi tenglilar kelib chiqadi:

Bundan

Scientific Journal Impact Factor

ni hisobga olsak

Ча V

Ы)

+

v'l+^^Cu]

х = о (15)

'Û.

Agar (14) tenglamani — ga nisbatan kvadart tenglamani hosil qilsak unda

V

v = r ù - s i' uchun

l(u) v

kelib chiqadi. Quyidagi tasdiq o'rinli.

Teorema 2. galiley fazosida 5 ta (15), (15'), (16), (16') tenglamalar va

tenglama (13) Darbu tenglamasining analogigaga quyidagi ma'noda ekvivalentdir. Agar uf v, z, p, q (13) tenglama uchun boshlang'ich shartlari orqali aniqlangan boshlang'ich shartlarda yechimi bo'lsa va yakobian

bolsa, Darbu tenglamasi uchun Koshi masalasining yechimi bo'ladi.

XULOSA

if galiley fazosida Darbu tenglamasining analoglari berilgan sirtlarda defekt nolga teng yoki noldan farqli xollarda o'zgarar ekan. Jumladan: 1) Umumiy holda: r(t — a) — (s - /?)2 + 7 = 0

Scientific Journal Impact Factor

2) Sirt z = z(x,y) da:

2GGvqr - 4GGuqs + IGDqt + (1 - 4G2)(rt- s2) + q2(G2- 2GVD) = 0

О+^ЧиУП

Ko'rinishlarni oladi.

ADABIYOTLAR RO'YXATI (REFERENCES)

1. А.Артыкбоев., Д.Д.Соколов. Геометрия в целом в пространстве-время. Т.: Фан. 1991 г. 179 с.

2. А. В Погорелов Внешняя геометрия выпуклых поверхностей.. Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1969 г. 760 с

3. И.Я.Бакельман, А.Л.Вернер, Б.Е.Кантор. Введение в дифференциальную геометрию «в целом». М.: НАУКА, 1973 г. 440 с.

4. Р. Курант. Уравнения с частными производными. Год:. Издательство: Мир ISBN: 1964 г: 843 с.

5. A.Artikbaev.,T.Safarov.,J Sobirov, Features of the Galilean Space Geometry.

Jour of Adv Research in Dynamical & Control Systems, Vol. 12, No. 5, 2020. 33-39 pp

6. A.Артикбаев., Т.Сафаров Свойства седловых поверхностей галилеева пространства Физико-математические науки. №3 2020 г. 39-44 сс

7. Артыкбаев А. Восстановление выпуклых поверхностей по внешней кривизне в пространствах с проективными метриками // Доклады АН УзССР, § 10, 1976. С.6-7.

8. Артыкбаев А. Классификация точек поверхности в галилеевом пространстве //Исследование по теории поверхностей в многообразиях знакопостоянной кривизны. Л., 1987. С.П-15.

9. Э.К. Курбонов. Циклические поверхности галилеева пространства. \\ УзМЖ, 2001, №2, стр.51-57.

10. Е.В.Шикин, О существовании решений системы уравнений Петерсона-Кодацци и Гаусса, Матем. заметки, 1975, том 17, выпуск 5, 765-781cc

3) Aylanma sirtlarda: 2 qs + rt — s2 + <р(и)<ри (и) s in2 v — Г^т) q

2