CC BY
9
3. Интервью с математиками: структурированные интервью; неструктурированные интервью.
4. Антропологические подходы: например, погружение в математическую среду; продолжительные исследования; наблюдения за математической деятельностью; анализ ресурсов Интернета; этноматематика.
5. Количественное эмпирическое исследование: например, анкетирование.
6. Отчет об опыте: например, сотрудничество с математиками; рассказ о собственном опыте математических исследований.
7. Когнитивная наука: например, теоретические исследования; эмпирические исследования (c. 13).
В заключение Колин Якоб Риттберг подытоживает, что философы математики пришли к выводу, что важно критически отражать практику математики, критически размышляя о практике философии, так же как о практике математики (c. 20).
Гранин Р. С.
2020.02.011. ФРИДМАН М., РУЖТЭ Л. СВОРАЧИВАНИЕ [БУМАЖНЫХ ФИГУР] В РАЗВЛЕКАТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ XVII-XVIII ВЕКОВ: МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЕЙ И РАЗВЛЕЧЕНИЕМ. FRIEDMAN M., ROUGETET L. Folding in recreational mathematics during the 17th— 18th centuries: Between geometry and entertainment // Acta baltica historiae et philosophiae scientiarum. - Tallinn, 2017. -Vol. 5, N 2. - P. 5-34.
Ключевые слова: XVII-XVIII вв.; концепт науки Бэкона; математические правила; складывание салфеток; складывание бумаги; развлекательная математика.
Авторы Майкл Фридман1 и Лиза Ружтэ1 посвятили свою статью демонстрации того, как занятия сворачиванием различных
1 Майкл Фридман - научный сотрудник междисциплинарной лаборатории Университета Гумбольдта в Берлине. Он защитил докторскую диссертацию по математике в Университете имени Бар-Илана в Израиле и магистерскую - по философии в Тель-Авивском университете. В центре его научных интересов находится история математизации геометрических складываний из бумаги в период с XVI по XXI в., а также история методов визуализации математических объектов в XX в.
фигур из бумаги вошли в развлекательную математику XVII-XVIII вв., которая задумывалась не только как способ пробудить любопытство к математике, но и для распространения математических знаний среди грамотного населения. Начиная с 1624 г. в развлекательной математике, которая до этого не содержала каких-либо упражнений в отношении сгибания бумаги, начинают появляться подобные упражнения. Авторы показывают, что в это время в Германии, и в меньшей степени во Франции, сворачивание из бумаги было переосмыслено как способ передачи математических знаний. Популярность данных занятий особенно возросла с подведением под них геометрических основ, которые зиждились скорее на непосредственных осязательных ощущениях, нежели были чисто визуальными и умозрительными. Эта их тактильность (эмпиричность) отражает в полной мере концепцию науки и научного эксперимента того времени, предложенных, в частности, Фрэнсисом Бэконом (c. 6).
Развлекательные математика и физика - литературный и редакционный жанр, которые начиная с XVII в. побуждали читателей к практическим занятиям, а не просто к чтению, призывая заниматься наукой в игривой форме. Основываясь на том, что иногда может показаться иллюзией и трюком, этот жанр бросил вызов читателям - разобраться, что же происходит в такого рода вещах. Согласно современному американскому математику Дэвиду Сингмастеру, одной из первых книг данного жанра стала работа Луки Пачоли «О силе чисел» (De viribus quantitatis) 1508 г. В соответствии с гуманистическими идеями того времени, основной целью данной книги было не столько исследование свойств чисел, сколько показать, что их понимание возможно через непосредственное соприкосновение с ними в игровой форме. Несмотря на то что данный труд был затерян в архивах Болонского университета, оставаясь неопубликованным на протяжении более 500 лет,
1 Лиза Ружтэ - старший преподаватель Центра Франсуа Виета Лаборатории истории науки и техники Университета Западной Бретани в Бресте, Франция. Ее докторская диссертация по истории математики (PhD), защищенная в 2014 г. посвящена истории комбинаторной теории игр. Исследовательские интересы Ружтэ включают историю развлекательной математики и историю первых комбинаторных игровых машин. Она также интересуется связью между настольными играми, компьютерными алгоритмами и их применением в математическом образовании.
многие проблемы, содержащиеся в нем, можно найти в более поздних книгах по развлекательной математике (c. 6).
В XVII-XVIII вв. в рамках развлекательной математики сложилось два основных направления: традиция сворачивания бумажных салфеток, популярная прежде всего в Италии; идея построения сложных многогранников, возникшая в Нюрнберге под влиянием Альбрехта Дюрера (1471-1528) и его последователей. Как отмечают авторы статьи, если задачей первых работ по развлекательной математике было возбуждение интереса к науке, то для более поздних работ, например, XIX-XX вв., были свойственны три основные цели: первая - обучение математике; вторая -распространение новых идей математики; третья - обучение науке при помощи обращения к ее историческому исследованию (c. 7).
Книга с таким названием - «Развлекательная математика» -была впервые опубликована в 1624 г. во французском Понт-а-Муссоне иезуитом Жаном Лерешоном (Jean Leurechon). Эта работа сыграла важную роль в иезуитском сообществе, в ней пропагандировались, кроме арифметики и геометрии, космография, механика, оптика и военно-инженерное дело. В результате эти науки сыграли значительную роль в образовании «городской элиты», умеющей читать по-французски. При подаче материала иезуитами была использована форма «городского театра», в котором науки были «поставлены на сцене» (c. 9). Развлекательная математика посредством иллюзорных трюков и магических эффектов приглашала читателя принять участие в увлекательной практике, демонстрирующей удивительную силу науки. Трюки были созданы для того, чтобы удивлять публику, показывая интеллектуальное превосходство математики. Указанная книга объединила в себе две традиции XVI в. - коммерческую арифметику и натуралистическую магию, а также создала две новые - развлекательную математику и популярную науку. Копии книги и ее многочисленные переиздания (более девяти в период с 1628 по 1660 г., а также не менее 43 французских книг, содержащих в своем заглавии слова «развлекательная математика», изданных между 1624 и 1790 гг.) помогли жанру развиться и распространиться по всей Европе (c. 9).
К моменту, когда в Европе появилась бумага, там уже существовала давняя традиция сворачивания (сгибания) салфеток и различных тканей. В XVI и XVII вв. сворачивание салфеток было
важным и высоко ценимым элементом придворной культуры. Искусство сгибания салфеток стало средством репрезентации власти и великолепия высшего общества. В эти столетия салфетки изменили свою традиционную роль защиты дорогой одежды при приеме пищи на декоративную функцию. В эпоху барокко эта конкретная форма искусства достигла наивысшей точки и стала важнейшим элементом подготовки прислуги. Возникли совершенно новые направления в сфере профессионального обслуживания, стали востребованы специалисты, способные сворачивать сложные и удивительные формы, например, фигуры животных. В начале XVII в. в Падуанском университете даже появилась дисциплина по сворачиванию тканей. Среди выдающихся мастеров данного искусства был Маттией Гигер, приехавший из Баварии. Молодой Гигер отправился из Баварии в Италию в 1616 г. и поселился в Падуе, где стал мастером-резчиком. Благодаря его знаниям в искусстве сервировки стола и сворачивания салфеток, он стал преподавателем в Падуанском университете и написал среди прочих рукопись «Три трактата» (Li tre trattati, 1629), в которой впервые показал модели сложенных форм (в основном фигуры животных) (с. 10).
Другой традицией сворачивания, интегрированной в развлекательную математику, является складывание многогранников из разверток их поверхностей, введенное и популяризированное Альбрехтом Дюрером. Дюрер был одним из самых универсальных немецких художников эпохи Возрождения. Его книга «Руководство к измерению циркулем и линейкой» (Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt), опубликованная в 1525 г., состоит из четырех частей. В последней систематически изложен ряд рисунков многогранников и их геометрических разверток на плоскости1. Дюрер изобразил «платоновы»2 и «архимедовы те-
1 Разверткой поверхности многогранника называется плоская фигура, полученная при совмещении с плоскостью чертежа всех граней многогранника в последовательности их расположения на многограннике.
2 Платоново тело или правильный многогранник, - это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией. Всего их пять: тетраэдр, октаэдр, гексаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Платон, в честь которого они получили свое название, описал их в своем трактате «Тимей» (360 г. до н.э.), где сопоставил каждую из четырех стихий определенному правильному многограннику: огонь - тетраэдру (треугольной
ла»1, пользуясь двумя различными способами их построения -широко распространенным в то время методом линейной перспективы и почти неизвестным тогда способом развертки трехмерного многогранника на плоскости (с. 12). Художник дал развертку всех платоновых тел и части архимедовых. Его метод изображения стал альтернативным перспективе, причем, если перспектива позволяла лишь визуализировать объект на плоскости, то с помощью развертки можно было уже собрать реальную объемную фигуру, сделав ее «осязаемой», что относит построения разверток многогранников к развлекательной математике с ее принципом делать объекты своего изучения «тактильными» (хотя сам Дюрер не рассматривал свои исследования в этом контексте). Как отмечают авторы статьи, технические рисунки Дюрера могут считаться посредниками между практическим и теоретическим знанием. Его методы развертки многогранников быстро распространились по всей Европе. Ими, в частности, пользовались Вольфганг Шмид в своем труде «Первая книга по геометрии» (Das erste Buch der Geometría) 1539 г. и Августин Хиршфогель в книге «Геометрия» (Geometría), опубликованной в 1543 г. (с. 13).
В рамках развлекательной математики XVII-XVIII вв. традиция сгибания бумаги обеспечила как явный, так и неявный способ передачи геометрических знаний. Неявный, так как упражнения по складыванию салфеток напрямую не объявлялись направленными на обучение геометрии; явный, так как введение методов Дюрера в руководство по развлекательной математике имели очевидную математическую направленность - построение разнообразных многогранников. Авторы развлекательной математики подчеркивали, что в их занятиях нет ничего «оккультного», они лишь обеспечивают интерес к математике через развлечения, которые отно-
пирамиде), воздух - октаэдру, землю - гексаэдру (кубу), воду - икосаэдру. Аристотель добавил пятый элемент - эфир, отождествив его с додекаэдром.
1 Архимедово тело (архимедов многогранник) - высоко симметричный полуправильный выпуклый многогранник, имеющий в качестве граней два или более типов правильных многоугольников, примыкающих к идентичным вершинам. Названы по имени Архимеда, обсуждавшего их в ныне потерянном трактате, на который ссылался греческий математик Папп Александрийский, утверждая, что Архимед перечислил 13 подобных фигур. Во времена Возрождения художники и математики переоткрыли их все.
сили к трем типам знаний: символически-лингвистическому, визуальному и тактильно-осязательному. Последний тип соответствовал концепции экспериментальной науки Бэкона и декартовскому представлению об открытии геометрических закономерностей через ремесленную работу с конкретными материалами и формами. Являясь малой частью развлекательной математики, складывание бумаги стало в ХУИ-ХУШ вв. ее наиболее репрезентативной частью, способствуя популяризации науки (с. 30).
Гранин Р. С.
