CC BY
61
МАТЕМАТИКА
Вестник Омского университета, 2002. №4. С. 17-19.
© Омский государственный университет o/.zz.oi
СИММЕТРИИ АРХИМЕДОВЫХ ТЕЛ
Е.В. Дьякова
Омский государственный университет, кафедра алгебры 644077, Омск, пр.Мира, 55A
Получена 25 сентября 2002 г.
We find groups of symmetry for semiregular polihedras. And we show some applications of this mathematics for teaching.
Теория групп - аппарат для анализа симмет-рий математических объектов. Следовательно, обучение школьников и студентов теории групп -это педагогическая задача, подчиненная другой: научить их самостоятельно находить симметрии математических объектов, моделей.
Абстрактная теория групп дала в ХХ веке много замечательных теорем. Однако в процессе преподавания часто необходимо рассматривать группу как группу преобразований, симметрий той или иной модели. Это выгодно с точки зрения методики, с точки зрения истории математики, так как теория групп как дисциплина сформировалась в работе Галуа, посвященной симметри-ям расширений полей, а историзм - важнейший принцип онтодидактики. Наконец, это выгодно и методологически: показать теорию групп как инструмент для изучения математических моделей.
Если иметь в виду наглядность объектов, то на первый план выходят геометрические фигуры и графы. К сожалению, геометрия дает ограниченный запас примеров, графы же «богаче» сим-метриями.
Рассмотрим симметрии геометрических фигур и методические аспекты преподавания этой темы.
Правильные многоугольники дают две серии конечных групп. Если рассматривать только те симметрии правильного п-угольника, которые являются движениями плоскости и сохраняют ее ориентацию, то получаем цикличискую группу Сп порядка п. Если же рассматривать и те движения, которые изменяют ориентацию плоскости, то получаем группу диэдра Пп порядка 2п. Любая подгруппа циклической группы сама является циклической, а подгруппа О в группе диэдра Пп — либо циклическая, либо является группой диэдра Пт (т делит п). Классификация правильных многогранников была известна
еще древним грекам. Проблема классификации имеет два аспекта. Во-первых, неодходимо показать, что платоновых тел именно пять (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр). Во-вторых, надо обосновать существование каждого из них. Построить куб ABCDAiBiCiDi несложно. Тогда ABiCDi - тетраэдр. Благодаря двойственности из куба можем получить октаэдр, вершины которого - центры граней куба. В учебном пособии А.Д. Александрова и др. [5] доказано существование икосаэдра. Принцип двойственности сразу дает существование додекаэдра. Конструктивное построение этих многогранников сложное.
Любая симметрия тетраэдра M4 при рассмотрении только движений трехмерного пространства задает подстановку s G S4 на множестве из четырех его вершин. Наоборот, любая подстановка s G S4 определяет симметрию тетраэдра. Поэтому группа G(M4) всех симметрий тетраэдра - это S4. Выписывая эти 12 подстановок s G S4 и указывая их геометрический смысл, приходим к выводу, что группа G+(M4) симметрий тетраэдра, сохраняющих ориентацию пространства, -знакопеременная группа A4 .
Обозначив куб как Мб (по числу граней), получим, что каждая его симметрия, сохраняющая ориентацию пространства, - это подстановка на множестве диагоналей куба, а их четыре. Поэтому 0+(Мб) С S4. Поскольку порядки групп G+(M6) и S4 совпадают, то G+(M6) = S4. Следовательно, О(Мб) = S4\(c) - полупрямое произведение группы S4 и циклической (с) порядка 2. Пусть симметрия куба относительно его центра, тогда G(M6) - прямое произведение групп S4 и () .
В статье [3] показано, что для додекаэдра M12 G+(M12) = A5. Следовательно, G(M12) = S5, аналогичные результаты верны для икосаэдра.
Полуправильные многогранники (архимедо-
18
Е.В. Дьякова.
Рис. 1. Кубооктаэдр
вы тела) были получены конструктивно из правильных древнегреческими математиками. Рассмотрим, например, куб. Проведем плоскость через середины трех ребер, выходящих из одной и той же вершины. Она отрезает от куба треугольную пирамиду. Срезав 8 пирамид (по числу вершин куба), получим кубооктаэдр Q. Его грани -правильные треугольники и квадраты. Все вершины многогранника Q «устроены одинаково»: в вершине сходятся два треугольника, причем у них нет общей стороны, и два квадрата с тем же свойством. То же можно сказать о любой вершине любого полуправильного многогранника.
Как ни удивительно, полная классификация архимедовых тел была получена только в середине XX века московским математиком В.Г. Аш-кинузе [1]. От математиков предыдущих веков конструктивный аспект заслонял богатство логических возможностей! В результате классификации получаем две бесконечные серии многогранников: прямые призмы п\(\ = э) с правильным п-угольником в основании и квадратными боковыми гранями и правильные антипризмы , у которых боковые грани - правильные треугольники (в общих случаях п = 3). Здесь пд - это куб, а при п = 40+(п\) = ; при этом Аэ - октаэдр, а при п = 30+(А\) = . Теперь нетрудно найти 0(п\) и 0(А\) (эти группы совпадают для каждого п = 3; 4); 0(п\) = Р\ЛК, где получили расширение группы Пп с помощью автоморфизма второго порядка К.
Кроме двух бесконечных серий получаем 14 «сорядических» (отдельных) полуправильных многогранников [2]. Из них 13 были известны во времена Архимеда, а четырнадцатый (псевдо-ромбокубооктаэдр, он же многогранник Ашки-нузе) был получен только в середине XX века в ходе классификации архимедовых тел.
Благодаря тому, что почти все (кроме многогранника Ашкинузе) полуправильные многогранники были получены с помощью той или иной конструкции из платоновых тел, они име-
ют те же группы симметрий 0+ 6 А4, £4,^.5 и £5, $4Л(е), что и исходные фигуры. Легко проверить, что здесь £4Л(с) - это прямое произведение, причем с - эелемент порядка 2 (центральная симметрия). Пример вычисления группы симметрий приведен для кубооктаэдра в виде таблицы.
Стоит прокомментировать, что это часть таблицы, в которой приведены симметрии, сохраняющие ориентацию пространства. Далее, рассмотрев симметрии кубооктаэдра, изменяющие ориентацию пространства (это, во-первых, центральная симметрия относительно центра тела, во-вторых, три симметрии относительно плоскостей, проходящих через центр параллельно граням, соответствующим граням куба, в-третьих, шесть симметрий относительно плоскостей, проходящих через центр и соответственные «диагонали», в-четвертых, по два поворотных отражения вокруг осей четвертого порядка (см. таблицу) на 90о, 270о, по два поворотных отражения вокруг осей третьего порядка (см. таблицу) на 60о, 300о), получим группу порядка 48. Это расширение группы £4 с помощью автоморфизма второго порядка О, £4 ЛО.
Целью исследования групп симметрий архимедовых тел являются две большие таблицы, состоящие из шести столбцов. Кроме рассмотренных нами двух столбцов из первой таблицы, к ним добавятся еще 4 столбца, соответствующих усеченному кубу, ромбокубооктаэдру, ромбоусе-ченному кубооктаэдру, курносому кубу. Очевидно, что выбор именно этих фигур не случаен, т. к. все эти тела можно получить из куба. Благодаря идее двойственности, вычисления удается сократить, т. к. все перечисленные в таблице архимедовы тела будут иметь одинаковые группы симмет-рий. Во второй таблице должны быть приведены тела, полученные из додекаэдра: додекаэдр, усеченный додекаэдр, икосододекаэдр, ромбои-косододекаэдр, ромбоусеченный икосододекаэдр, курносый додекаэдр. Здесь аналогичным образом, рассмотрев симметрии, сохраняющие ориентацию пространства, в силу двойственности, получим для всех тел таблицы группу порядка 60, А5, а для изменяющих ориентацию - группу порядка 120, £5.
Теперь рассмотрим многогранник Ашкинузе М (псевдоромбокубооктаэдр). Его «экватор» — цепочка из 8 вертикальных квадратов, у каждого из которых один смежный треугольник. Больше таких цепочек из 8 квадратных граней нет. Поэтому «экватор» при симметрии переходит в «экватор», а «полюса» либо остаются на своих местах, либо меняются местами. Теперь уже нетрудно получить результат: 0+ (М) = ^4.
Симметрии геометрических фигур изучают-
Симметрии архимедовых тел
19
КУБ КУБООКТА-
ЭДР
Вращении вокруг осн 4 порядка, таких осей 3.
Поворот на 90,180,270 градусов.
Каждая ось проходит через центры 2 параллельных кь ад-ратных граней.
Каждая ось проходит через центры 2 параллельных кь ад-ратных граней.
Вращении вокруг осн 3 порядка, таких осей 4.
Поворот на 120,240 градусов.
Каждая про ходит через две вершины тела, центрально симметричных друг другу.
Каждая про ходит через два центра треугольных граней тепа, центрально симметричных друг
другу-_
Вращении вокруг осн 2 порядка, нх 6. Поворот на 180 градусов.
Каждая про ходит через середины 2 параллельных ребер, центрально симметричных друг другу.
Каждая про ходит через 2 вершины, центрально симметричных друг
другу.
Тонед. Снм.+3-3+4-2+б-1=24 снм. ПОЛУЧАЕМ ГРУППУ £Ц.
ся на математическом факультативе для стар-шекласников «Симметрии математических моделей». Основная цель этих занятий - научить школьников находить симметрии геометрических объектов. Обобщением уроков может служить работа по систематизации учебного материала, результатом которой станут две таблицы, описанные выше, фиксирующие связи между блоками учебного материала. Названная тема занимает 10 сдвоенных уроков.
1, 2 уроки. «Платоновы тела».
Цель урока: ознакомить учащихся с правильными многогранниками (кубом, тетраэдром, октаэдром, икосаэдром, додекаэдром), нахождение групп симметрий платоновых тел.
3 урок. «Архимедовы тела».
Цель урока: ознакомить учащихся с полуправильными многогранниками и их классификацией (принадлежность тел к 5 классам), научить строить из исходного платонового тела соответствующее архимедово.
Рис. 2. Псевдоромбокубооктаэдр
4 урок. «Нахождение групп симметрий тел первого класса (усеченного тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра, додекаэдра)».
5 урок. «Нахождение групп симметрий тел второго класса (кубооктаэдра, икосододекаэд-ра)».
6 урок. «Нахождение групп симметрий тел третьего класса (ромбокубооктаэдра, псевдором-бооктаэдра, ромбоикосододекаэдра)».
7 урок. «Нахождение групп симметрий тел четвертого класса (ромбоусеченный кубооктаэдр, ромбоусеченный икосододекаэдр)».
8 урок. «Нахождение групп симметрий тел пятого класса (курносый куб, курносый додекаэдр)».
9 урок. «Нахождение групп симметрий призм, антипризм».
Цель уроков: нахождение групп симметрий перечисленных выше фигур.
10 урок. «Обобщение».
Цель урока: внести все полученные результаты в две сравнительные таблицы.
[1] Веннинджер М. Модели многогранников. М.: Мир, 1974.
[2] Математическая энциклопедия. Т. 3. М.: Советская энциклопедия, 1982.
[3] Киселева Е.В., Кукин Г.П., Пащенко О.С. О сим-метриях додекаэдра // Вестник Омского университета. 2001. № 3.
[4] Энциклопедия элементарной математики. Т. IV. М.: Просвещение, 1963.
[5] Александрова А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия 8-9. М.: Просвещение, 1991.
