CC BY
26
РАЗВИТИЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МЫСЛИ
УДК 330.36.012.4
Д. В. Колюжнов
Новосибирский государственный университет ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090, Россия
Center for Economic Research and Graduate Education ул. Политицких везню, 7, Прага 1, 111 21, Чехия E-mail: dmitri. kolyuzhnov@cerge-ei.cz
УСЛОВИЯ СТАБИЛЬНОСТИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ПРИ НЕОДНОРОДНОМ ОБУЧЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ АГЕНТОВ *
В статье приводятся достаточные условия и необходимые условия стабильности структурно-неоднородной экономики при неоднородном обучении агентов. Эти условия записаны в терминах только структурной неоднородности, независимо от неоднородности в обучении. Автор предлагает легко интерпретируемое единое условие, достаточное для сходимости экономики при смешанном RLS / SG обучении с разными степенями инерции к равновесию при рациональных ожиданиях для широкого класса экономических моделей и критерий такой сходимости в одномерном случае.
Ключевые слова: адаптивное обучение, стабильность равновесия, неоднородные агенты.
Введение
Некоторое время назад в исследованиях, посвященных экономической динамике, предполагались рациональные ожидания агентов. Однако необходимость изучения моделей с ограниченной рациональностью агентов была обоснована Сарджентом [1]. Позднее этот подход был принят в работах Эванса и Хонкапойи (далее - E & H), стандартные аргументы в защиту применения ограниченной рациональности можно найти в [1; 2].
Подход рациональных ожиданий (RE) предполагает, что агенты обладают большим количеством знаний об экономике (например, о структуре модели и значениях ее параметров). Однако в эмпирических исследованиях экономисты, предполагающие равновесия при рациональных ожиданиях в своих теоретических моделях, не знают значений параметров и вынуждены оценивать их эконометрически. Сарджент предполагает [1], что в данной экономике агенты сталкиваются с такими же ограничениями, и предлагает рассматривать агентов как эконометристов, которые предсказывают будущее состояние экономики. В каждый момент времени, когда агенты получают новые наблюдения, они обновляют свои прогнозные правила. Этот подход представляет особую форму ограниченной рациональности, построенной на понятии адаптивного обучения.
Подход ограниченной рациональности может использоваться для нескольких целей: например, для проверки верности гипотезы о рациональных ожиданиях, чтобы выяснить, сходится ли данная динамическая модель во времени к равновесию при рациональных ожиданиях (REE), подразумеваемому моделью (при выполнении гипотезы о рациональных ожиданиях), или для выбора равновесия (в моделях с множественностью равновесий). В обоих случаях мы должны проанализировать сходимость нашей модели при адаптивном
* Часть этой статьи была написана в то время, когда автор был приглашенным аспирантом в Кэмбридже. Автор выражает особую благодарность своему научному руководителю в Кэмбридже, Сеппо Хонкапойе, за постоянную поддержку этого исследования и неоценимую помощь. Автор сам несет ответственность за возможные ошибки. Автор благодарит участников V Ежегодной конференции Европейского экономического и финансового сообщества (EEFS 2006)) в Гераклионе, Крит, Греция, Май, 2006 и участников конференции Сообщества вычислительной экономики и финансов (CEF 2006) в Лимассоле, Кипр, Июнь, 2006 за ценное обсуждение.
ISSN 1818-7862. Вестник НГУ. Серия: Социально-экономические науки. 2011. Том 11, выпуск 1 © Д. В. Колюжнов, 2011
обучении к REE. Для этого необходимо проверить определенные условия стабильности. Это и определило область нашего исследования: изучение условий стабильности в моделях с адаптивным обучением.
Основываясь на литературе по адаптивному обучению, мы рассматриваем два возможных алгоритма, используемых для отображения ограниченной рациональности: алгоритм обобщенного метода наименьших квадратов (RLS) и алгоритм обобщенного метода стохастического градиента (SG). Оба алгоритма являются примерами эконометрического обучения.
Каждый период агенты обновляют оценки параметров следующим образом: обновленная оценка параметра равняется предыдущей оценке плюс линейная функция от последней ошибки прогноза, умноженная на параметр приращения, показывающий, насколько важна ошибка прогноза для агента. Описание обоих алгоритмов можно найти, например, у E & H [2], Гианнитсару (далее - G) [3], Эванса, Хонкапойи и Вилльямса [3] и у Хонкапойи и Митры (далее - H & M) [5].
Различие между двумя алгоритмами заключается в том, что алгоритм RLS 1 состоит из двух уравнений обновления: одного для обновления параметров, входящих в прогнозные функции, и другого - для обновления оценок матрицы вторых моментов этих параметров. Алгоритм SG предполагает, что эта матрица не изменяется (отображая моделирование «менее изощренных» агентов).
В первых работах, использующих подход ограниченной рациональности Сарджента [1], рассматривали экономику репрезентативного агента (предполагая, что все агенты следуют одному алгоритму обучения, будь то RLS или SG). Позднее в некоторых работах стала рассматриваться неоднородность в процедуре обновления.
Идея заключается в том, чтобы проверить, влияет ли гипотеза о репрезентативном агенте на результаты стабильности. Было показано, что в общем случае стабильность при однородном обучении не влечет стабильность при неоднородном обучении. Авторами таких работ являются G [3], которая предполагает, что агенты однородны во всех отношениях, кроме способа обучения, и H & M [5], которые рассматривают общую постановку задачи, предполагающую как структурную неоднородность, так и неоднородность в обучении. Обе статьи исследуют условия стабильности экономики. H & M [5] получили общий критерий стабильности, в котором стабильность определяется одновременно как в терминах структуры модели, так и в терминах характеристик обучения.
Различия в характеристиках обучения среди агентов означают неоднородность в обучении. Среди этих характеристик обучения выделяются изначальные восприятия, означающие, что агенты могут иметь различные восприятия экономики, отраженные в различных начальных значениях в их алгоритмах обучения; тип алгоритма обновления: RLS или SG (отражает «изощренных» и «менее изощренных» агентов соответственно); и параметры алгоритма обновления (степени инерции) - относительные веса, которые агенты присваивают последней ошибке прогноза при обновлении оценок параметров в своих прогнозных функциях (они также могут быть названы скоростью обновления, отражая то, как агенты отличаются в их реакции на обновления).
Комбинация всех различий в характеристиках обучения, описанных выше, может быть выражена типом обучения, где одна часть агентов использует алгоритм RLS, а другая - алгоритм SG, и все вместе они обладают как различными степенями инерции, так и различными начальными восприятиями. Такой тип алгоритма обучения называется смешанным RLS/SG обучением с (возможно) различными степенями инерции.
В нашей статье мы решаем задачу, поставленную H & M [5]: найти условия стабильности структурно-неоднородной экономики при смешанном RLS/SG обучении с (возможно) различными степенями инерции в терминах только структурной неоднородности, независимо от неоднородности в обучении.
1 Алгоритм RLS (необобщенный) может быть получен из оценивания параметров методом наименьших квадратов путем записывания его в рекурсивной форме. Обобщенный RLS получается из RLS заменой последовательности коэффициентов приращения 1/t, используемой для обновления коэффициентов регрессии, на любую убывающую последовательность весов.
Хотя Н & М [5] получили общий критерий для такой стабильности и смогли найти достаточные условия для случая одномерной модели (модели с одной эндогенной переменной), они не получили условия (необходимые и / или достаточные) в терминах только структуры модели, независимо от характеристик обучения, для общего (многомерного) случая с произвольным числом агентов и любыми значениями степеней инерции.
По своей сути (в части достаточных условий) критерий стабильности структурно-неоднородной экономики при смешанном обучении Н & М [5] подразумевает поиск
достаточных условий ^-стабильности матрицы Якоби, соответствующей модели, где, согласно Джонсону [6], «В-стабильные матрицы - это только те матрицы, которые остаются стабильны при любом относительном перевзвешивании строк или столбцов». Поэтому мы используем различные множества достаточных условий для ^-стабильности этой матрицы Якоби 2, упрощаем их, используя определенную структуру модели, и пытаемся дать полученным условиям некоторую экономическую интерпретацию.
Одна группа результатов основывается на теореме Ляпунова и ее применении к В-стабильности с помощью теоремы Эрроу и МакМануса; другая группа результатов основывается на условии отрицательной доминантной диагонали, которое является достаточным для В-стабильности (теорема МакКензи); третий набор результатов может быть получен из анализа характеристического уравнения с помощью необходимых и достаточных условий Раута и Гурвица для отрицательности всех корней полинома п-го порядка; и последнее множество результатов по достаточным условиям может быть получено с помощью альтернативного определения В-стабильности 3, позволяющего обойти условия Раута и Гурвица.
Мы изучили каждую группу результатов в применении к определенному типу моделей, с которыми работаем, для того чтобы сделать процедуру проверки на стабильность более простой и в то же самое время придать некоторую содержательную экономическую интерпретацию самой процедуре тестирования. Полученные условия затем адаптировали для более простых случаев общей постановки модели, которую мы рассматриваем для случаев одномерной экономики и структурно-однородной экономики.
Среди различных достаточных условий и необходимых условий, полученных нами, хотелось бы выделить легко содержательно интерпретируемое единое условие, достаточное для сходимости структурно-неоднородной экономики при смешанном обучении с (воз-
можно) различными степенями инерции к равновесию при рациональных ожиданиях для широкого класса экономических моделей, и критерий для такой сходимости в случае одномерной экономики. Эти условия сформулированы с использованием понятий подэкономики и подходящим образом определенной агрегированной экономики.
Модель и понятие 8-стабильности
Получая условия стабильности структурно-неоднородной экономики при смешанном обучении для любых (возможно различных) степеней инерции агентов, мы используем общую постановку задачи и обозначения из статьи Н & М [5], которые первые сформулировали общий критерий стабильности структурно-неоднородной экономики при смешанном обучении.
Класс линейных структурно-неоднородных моделей с типами агентов с различными прогнозами представлен в виде
у, = а + + ! + Вы, (1)
^ = Fwt_l + V,, (2)
где у 1 - это п х 1 вектор эндогенных переменных; - к х 1 вектор экзогенных переменных; VI - это к х 1 вектор белошумовых шоков; Ёкуг + 1 - это (в общем случае нерациональные) ожидания вектора эндогенных переменных агентом типа к. Далее предполагается, что Е (к х к матрица) такова, что следует стационарному УЛЯ(1) процессу, и матрица М„ = Нш^^^/ является положительно определенной.
2 См. соответствующие теоремы, например, в статье [7].
3 См. это определение у Джонсона [6] .
Векторная форма, представленная выше, есть сокращенная форма модели, описывающей целую экономику, т. е. уравнение, соответствующее межвременному равновесию динамической модели. В этой модели ожидания различных типов агентов влияют на текущие значения эндогенных переменных.
Предположим диагональную матричную структуру, а именно:
р = diag(pu ..., р,0, М„ = Нш^^/ = <^(017(1 - р:2), ..., 0^/(1 - рк2)). (3)
Структурная неоднородность в постановке Н & М [5] выражается через матрицы Ай, которые, по предположению, включают в себя массовую долю каждого типа агентов, т. е. Ай = СйЛи, где Ай определяется как матрица, описывающая, как агенты типа й реагируют на свои прогнозы. Таким образом, элементы матрицы Ай состоят из структурных параметров, характеризующих данную экономику. Среди них могут быть основные характеристики агентов, описывающие их предпочтения, начальные запасы и технологию. Структурная неоднородность означает, что все Ай могут быть различны для разных типов агентов. Когда Ай = А для всех й и = 1, экономика является структурно-однородной.
Предполагается, что при формировании своих ожиданий относительно значения эндогенной переменной в следующем периоде агенты убеждены, что экономическая система развивается согласно следующей модели, называемой воспринимаемым законом движения (РЬМ):
Уг = ай, г - 1 + Ьй, г - . (4)
Таким образом, прогнозные функции, основанные на РЬМ-уравнениях агентов (4), имеют вид
Ëйtyt + 1 = ай, г + Ъй, tFwt . (5)
Смешанное обучение агентов представлено следующим образом. Предполагается, что часть агентов й = 1, ..., 5о использует алгоритм обучения КЬ8, в то время как другая часть й = 5о + 1, ..., используют алгоритм обучения 80. Более того, предполагается, что все они используют возможно различные степени отклика на функцию обновления. Эти степени отклика представлены различными степенями инерции 5й > 0, которые, в формулировке О [3], представляют собой постоянные коэффициенты перед детерминистической убывающей последовательностью коэффициентов приращения в алгоритме обучения, общем для всех агентов из данной группы .
Обозначив = (1, wt' ) ' и Фй, г = (ай, г, Ъй, г)', формальное представление алгоритмов обучения в этой модели можно записать следующим образом: КЬ8: для й = 1, ..., 50
Фй, г + 1 = Фй, г + а й, г + 1Яй, ^(уг - Фй, '. (6а)
Яй, г + 1 = Ян, г + а й, г + - _ 1' - Яй, г). (6Ь)
80: для й = 50 + 1, .., 5
Фй, г + 1 = Фй, г + а й, г + lZ(Уt - Фй, '. (7)
Н & М [5] показывают, что стабильность КЕБ, Фг, в этой модели определяется условиями общего критерия стабильности для этого класса моделей, который представлен в Утверждении 5 статьи Н & М [5], приводимом здесь (без доказательства) для удобства читателя.
Критерий 1. В экономике (1) и (2) смешанное обучение глобально сходится
(почти наверное) к решению с минимальным количеством переменных состояния (М8У) 5 тогда и только тогда, когда все собственные числа матриц
и В^Ор имеют отрицательные реальные части, где
Д = diag(ЬlIn, ., б/«), О = ((А1, ., А5;...Аь ., А*) - 1п5) (8)
В^ = diag(Dwl, ., В^), = бй1пк, й = 1, ., 5о, В^й = Ъй(М„®1п), й = 5о + 1, ., 5 ОР = ((р' ®АЬ ..., Р'®А5;...;Р'®АЬ ..., Г®А5) - 1«к5), а ® означает произведение Кронекера.
4 Н&М [5] используют более общее определение степеней инерции.
5 МБУ-решение есть решение, линейно зависящее от элементов множества переменных (в нашем случае это множество есть вектор экзогенных переменных и константа) такое, что не существует иного решения, линейно зависящего от меньшего числа элементов множества переменных.
В «диагональной» среде, которую мы рассматриваем, задача поиска условий стабильности обеих матриц D^ и DwQF при любых (возможно различных) степенях инерции агентов, 5 > 0, упрощается до поиска условий стабильности матриц D1Q и D1Qpl, где Qpl получается из Q заменой всех Ah на pAh, где |pl < 1, поскольку wt следует стационарному VAR(1) процессу по предположению модели.
Qpi = ((p/Ai, ..., pAs;. • -;pAb ..., pAs) - Ins), для всех l = 0, ..., к, (po = 1). (9)
Утверждение 2. В структурно-неоднородной экономике (1), (2) и (3) смешанное RLS/SG обучение (5), (6) и (7) глобально сходится (почти наверное) к решению REE для любых (возможно различных) степеней инерции агентов, 5 > 0, тогда и только тогда, когда матрицы D1Qpi стабильны для любых 5 > 0, где D1 и Qpl определены в (8) и (9) соответственно.
Доказательство следует из того, что анализ стабильности матрицы DwQF в случае диагональной среды может быть разбит на анализ стабильности независимых блоков. □
Мы также используем специальную блочно-диагональную структуру матрицы D1, которая является характерной чертой динамической среды этого класса моделей. По-существу эти положительно диагональные D-матрицы могут быть теперь названы положительными блоч-но-диагональными 5-матрицами. Это позволяет мне сформулировать понятие 5-стабильности по аналогии с терминологией понятия D-стабильности, рассматриваемого, например, в статье Джонсона [6].
Определение 1. Для данного числа эндогенных переменных, n, и данного числа типов агентов, S, 8-стабильность определяется как стабильность структурно-неоднородной экономики (1) и (2) при смешанном RLS/SG обучении (5), (6) и (7) для любых (возможно различных) степеней инерции агентов, 5 > 0.
Сформулированная таким образом 5-стабильность имеет такое же значение для описанных выше моделей с неоднородным обучением, какое имеет условие ^-стабильности для моделей с однородным RLS-обучением. Условие ^-стабильности является условием асимптотической стабильности REE при однородном RLS-обучении. REE модели стабильно, если оно локально асимптотически стабильно для следующего обыкновенного дифференциального уравнения:
d0/dT = T(0) - 0,
где 0 - оцениваемые параметры из PLM-ов агентов, отображение T определено как отображение параметров PLM в параметры действительного закона движения (ALM), который получается после подстановки прогнозных функций, основанных на PLM-уравнениях агентов (4) в сокращенную форму модели (1) и (2), а т есть «условное» («искусственное») время. Точка равновесия этого обыкновенного дифференциального уравнения есть REE модели.
Достаточные условия 8-стабильности
Условия в терминах агрегированной экономики. Следуя определению подходов к стабильности, приведенном далее, отдельно рассмотрим каждый из них.
Основная идея подхода отрицательной доминантной диагонали заключается в том, что должен существовать способ агрегирования экономики экономически содержательным образом так, чтобы ^-стабильность в агрегированной экономике была бы достаточна для 5-стабильности в исходной экономике.
Взяв веса агрегирования эндогенных переменных у > 0, Y"i = 1у1 = 1 и веса агрегирования по типам агентов фй > 0, YSh = 1фй = 1 (и обозначая через aj элемент i-й строки и j-го столбца матрицы Ah), агрегируем экономику следующим образом:
ytAG = LWit = L-ViOi + ^фйБУг^ау^У/; + 1 + (YvBVt =
= + ßA%, ф) EtAG(yt + 1AG) + (YvB>t, где
ßA%, ф) = SфhY^гYJa1jг (10)
EAG(yt + 1AG) = ^фйТ^аЙУ^фйЪу^а^УА + 1 (11)
и Б' означает i-ю строку матрицы Б.
Также полезно рассмотреть экономику, которая ограничивает сверху все возможные экономики с различными знаками ai]h, агрегированные с помощью весов у и ф. Это, очевидно,
наша исходная агрегированная модель, записанная в абсолютных значениях. Когда все эле-
и
менты в модели, а,у , эндогенные переменные и их ожидания положительны, эта предельная модель точно совпадает с рассматриваемой моделью, т. е. это достижимый супремум. Таким образом, запишем следующую предельную агрегированную модель:
.У/40 = Буу*< у?Стой = буУ|<
+ РА%, ф) Ё/А0то%+ 1АСтоа) + |(1уВ>/|, где
р4Сто%, ф) = SфиE■у£,■|aу■И| (12)
ЁАСто% + 1АСтоа) = (^Фи1т^\агАУ1ЪЗфиЬъ1<1\аг/,1Ё%/ + 1|. (13)
Замечание 1. Если эта предельная агрегированная экономика Е-стабильна, тогда все соответствующие агрегированные экономики с различными комбинациями знаков а/ Е-стабильны.
Структура этого предельного агрегированного коэффициента рАОт^ следующая. ^г^г\ауИ\ -это коэффициент перед ожиданием эндогенной переменной у в агрегированной экономике, состоящей из единственного агента типа И. Заметим, что этот коэффициент посчитан для ожидания эндогенной переменной у, которая входит в агрегированный продукт с коэффициентом у/. Таким образом, можно назвать отношение Бу'|аг/И|/у/ «собственным» относительным коэффициентом ожиданий эндогенной переменной у. Глядя на значения этих коэффициентов, можем судить о весе, который данный тип агента имеет в экономике с точки зрения агрегированного Р-коэффициента.
Утверждение 3. Если существует по крайней мере одна пара весов агрегирования эндогенных переменных у и весов ф для агрегирования по агентам, такая что для каждого агента «собственный» относительный коэффициент каждой эндогенной переменной меньше, чем вес агента, используемого в расчете агрегированных ожиданий, т. е. ХгУг|аг/И|/у/ < фи Vу, И, тогда экономика, задаваемая (1), (2) и (3), 5-стабильна.
Доказательство см. в прил. 1. □
Но это утверждение не дает простого правила определения того, что данная экономика стабильна при неоднородном обучении (так как оно предполагает поиск системы весов). Чтобы найти простое правило, сконструируем четыре максимальных агрегированных Р-коэффициента, которые опишем далее. Если они меньше единицы, тогда экономическая система 5-стабильна.
Любая агрегированная экономика из какого-то подмножества агрегированных экономик ограничена сверху следующей максимальной агрегированной экономикой
АО ^ ^ AGmod ^ | АОтах ^ | | . о АОтахт^АОтах/ АОшахч . г>я\ I
У/ = Буу/<у/ = Буу|<у/ = БуЫ + Рг ё/ (у/+1 ) + |(БуВ
ргАОшах определен в таблице.
г = 1 г = 2 г = 3 г = 4
Подмножество V у, V ф V у, ф = 1/S у = 1/п, V ф у = 1/п, ф = 1/S
о АОшах _ Рг = S^/Шaxи, г|ауи| шахгБиБ/|ауИ| SYdlшaxи,/|ауи| Бишах/Бг|ауи|
Утверждение 4. Максимальные агрегированные Р-коэффициенты, определенные в таблице, являются верхними границами рАОто^у, ф) = SфИEгУгE/iaг/И| для соответствующих подмножеств агрегированных экономик.
Доказательство см. в прил. 2. □
Заметим, что при равных |ауИ| = |а| все эти максимальные агрегированные Р-коэффициенты совпадают с рАОто^у, ф) = nS|a|, т. е. это достижимые максимумы.
Теперь можем сформулировать результат, который подчеркивает ключевую роль Е-стабильности агрегированной экономики для 5-стабильности исходной структурно-неоднородной экономики.
Утверждение 5. Если хотя бы одна из максимальных агрегированных экономик Е-стабильна, тогда экономика (1), (2) и (3) 5-стабильна.
Доказательство см. в прил. 3. □
Этот результат дает конкретное правило, как строить 5-стабильные экономики. Это условие показывает, насколько устойчива стабильность модели к изменению в знаке каких-либо
коэффициентов в экономике во времени. Также, фиксируя определенные компоненты в этих агрегированных Р-коэффициентах, можем видеть, насколько гибки значения других коэффициентов, чтобы экономика оставалась 5-стабильной.
Представляется возможным упростить полученные условия для случая структурно-однородной экономики.
Утверждение 6. Для того чтобы структурно-однородная экономика: Ак = С^А, > 0, ХБк = = 1, была 5-стабильна, достаточно, чтобы хотя бы один из следующих максимальных агрегированных Р-коэффициентов был меньше единицы; шах^а] и тах;Хг|ау|.
Доказательство. Прямое применение Утверждения 5. □
Условия «одинакового знака»
Следуя шагам доказательства наблюдения (IV) Джонсона [6], которое на деле является альтернативным определением В-стабильности, получаем альтернативное определение блочно-диагональной Иъ--стабильности, т. е. стабильности ВъО для любых положительных блочно-диагональных матриц Въ. Это альтернативное определение Иъ--стабильности затем используется для получения условий 5-стабильности.
Определение 2. Матрица А размера пБ х пБ является Оь-стабильной, если ИА стабильна для любой положительной блочно-диагональной матрицы Иъ = diag(5\, ..., 51, ..., 5Б, ..., 5Б).
Утверждение 7. (Альтернативное определение Въ-стабильности). Рассмотрим МпБ(С), множество всех комплексных пБ х пБ матриц, и ИЪпБ, множество всех пБ х пБ блочно-диагональных матриц с положительными диагональными элементами. Возьмем А из МпБ(С) и предположим, что существует Е из ИЪпБ, такая, что ЕА стабильна. Тогда А является Оь-стабильной тогда и только тогда, когда А±Юъ - невырождена для всех Иъ из ИЪпБ.
Доказательство. Доказательство есть простая модификация доказательства наблюдения (¡V) Джонсона [6] для данного блочно-диагонального случая.
Взяв в качестве Е единичную матрицу и И = d7ag(1/51, ..., 1/51, ..., 1/5Б, ..., 1/5Б), 5к > 0, к = 1, ..., Б, в приведенном выше утверждении, получим следующее необходимое и достаточное условие (критерий) 5-стабильности.
Утверждение 8. Экономика, задаваемая (1), (2) и (3), 5-стабильна тогда и только тогда, когда соответствующая матрица О, определенная в (11), стабильна и
ае1[1Бк = 1(-рАк)/(1 + //5к) + I = ае1[(1Бк = 1(-рАк)/(1 + 1/5к2) + 1)±К1Бк = 1(-ргАк/5к)/(1 + 1/5к2)] ф 0
V 5к > 0, к = 1, ..., Б, и I = 0,1, ..., к(ро = 1).
В одномерном случае (п = 1) это условие упрощается до условия: О - стабильна и ХБк = 1(-ргАк)/(1 + 1/5к2) + 1ф0 или ХБк = 1(-ргАк/5к)/(1 + 1/5к2) ф 0, или оба условия выполняются одновременно,
V 5к > 0, к = 1, ..., Б, и I = 0,1, ..., к(р0 = 1).
Подход, основанный на альтернативном определении О-стабильности, позволяет получить условия «одинакового знака» для случаев п = 1,2 и необходимые и достаточные условия 5-стабильности для случая п = 1.
Утверждение 9. В случае п = 1 экономика, задаваемая (1), (2) и (3), 5-стабильна тогда и только тогда, когда соответствующая матрица О, определенная в (11), стабильна и верно по крайней мере одно из следующих условий: условие одинакового знака (все Ак больше либо равны нулю и хотя бы один из них строго больше нуля, или все Ак меньше либо равны нулю и хотя бы один из них строго меньше нуля); или все средние экономики с А(ы. , кр) = Х(ы. , кр)Ак, соответствующие подэкономикам 6 (кь ..., кр) всех размеров р не являются ^-нестабильными и для каждого I = 0,1, ..., к (р0 = 1) существует хотя бы одна средняя экономика, соответствующая подэкономике (к1 (/), ..., кр (/)) для каждого размера р, для которой коэффициент Х(к1*(г), ..., кр*7))рАг, отвечающий за стабильность, строго меньше единицы.
Доказательство см. в прил. 4. □
6 Подэкономика (к1, ..., кр) размерар экономики (1) и (2) определяется как экономика, состоящая только из части агентов исходной экономики.
Утверждение 10. В случае п = 2 экономика, задаваемая (1), (2) и (3), 5-стабильна, если соответствующая матрица О, определенная в (11), стабильна и выполняется следующее условие «одинакового знака»:
¿е^-рА;) > 0, [¿ег т7х(-рАь -рАу) + ¿ег т7х(-рА;, -рАг)] > 0, для г фу, Мх(-рАг) > 0
или
¿е1;(-рАг) < 0, [¿ег т!х(-рА„ -рАу) + ¿ег т7х(-рА;, -ргАг)] < 0, для г ф у, М^-рА■) < 0,
VI = 0, 1, ..., к (р0 = 1),
где т/х(-рАг, —р^Ау) обозначает матрицу структурных параметров попарно-смешанной экономики и составлена из столбцов пары матриц -рАг-, -рАу, V г, у = 1, ..., Б.
Доказательство напрямую следует из неравенств в альтернативном определении 5-стабил-ьности в утверждении 9, записанных для случая п = 2. □
Необходимые условия 8-стабильности
Подход, использующий характеристическое уравнение, позволил получить сильные необходимые условия 5-стабильности и предложить простой тест модели на отсутствие 5-стабильности. Заметим, что необходимые условия не требуют диагональной структуры матриц Е и М„.
Условие (*). Все суммы главных диагональных миноров одного размера, посчитанные
для И1Г(-0Г), неотрицательны для всех подэкономик г = (кь ..., кр) для всех р для всех положительных блочно-диагональных матриц 0\г, где 0\г и Ог, определенные по аналогии с В1 и О в (11), соответствуют подэкономике рассматриваемой экономики.
Утверждение 11. Для того чтобы экономика (1) и (2) была 5-стабильной, необходимо,
чтобы выполнялось Условие (*). Доказательство см. в прил. 5. □
Приведенное выше условие вряд ли может быть использовано как тест на отсутствие 5-стабильности, поскольку предполагает подсчет сумм миноров для всех подэкономик для всех возможных матриц В1г. Далее мы приводим условие, имеющее прямое практическое применение.
Утверждение 12. Для того, чтобы экономика (1) и (2) была 5-стабильной, необходимо, чтобы все суммы главных диагональных миноров одного размера, посчитанные для минус матриц, соответствующих подэкономикам (-Ог), были неотрицательными для каждой соответствующей подэкономики г = (кь ..., кр). Доказательство см. в прил. 5. □
Полагаем, что это достаточно сильное необходимое условие, которое подразумевает, что множество моделей не будет ему соответствовать и не будет 5-стабильно.
Заключение
Данная статья в определенной степени отвечает на открытый вопрос, поставленный Н & М [5]. Как было отмечено, Н & М [5] получили общее условие стабильности (критерий) для случая устойчиво неоднородного обучения - совместное ограничение на матрицы структурных параметров и степени инерции, которое подразумевает, что стабильность в такой экономике определяется взаимодействием структурной неоднородности и неоднородности в обучении. Однако для общего (многомерного) случая представилось невозможным получить легко интерпретируемые условия стабильности, выраженные в терминах экономики, агрегированной только по типам агентов. Н & М [5] получили достаточное условие в терминах структуры экономики, но это условие очень общее: оно предполагает В-стабильность и Н-стабильность структурных матриц.
В этой статье мы попытались восполнить этот пробел и получить легко интерпретируемые достаточные и необходимые условия для такой стабильности. На основе анализа условия отрицательной доминантной диагонали, альтернативного определения В-стабильности и анализе характеристического уравнения были получены две группы достаточных условий и одна группа необходимых условий 5-стабильности, т. е. стабильности при неоднородном
обучении, не зависящей от неоднородности параметров алгоритмов обучения. Было найдено легко интерпретируемое единое условие, достаточное для сходимости экономики при смешанном обучении с разными степенями инерции к равновесию при рациональных ожиданиях для широкого класса экономических моделей и критерий такой сходимости в одномерном случае. Эти условия сформулированы с использованием понятий подэкономики и подходящим образом определенной агрегированной экономики.
В частности, используя условие отрицательной доминантной диагонали (достаточное для ^-стабильности) и наш подход к агрегированию экономики (одновременно по агентам и по эндогенным переменным), мы получили достаточные условия 5-стабильности, выраженные в терминах Е-стабильности агрегированной экономики и ее структуры. Эти условия были классифицированы как достаточные условия в терминах агрегированной экономики. Одно из них может служить в качестве простого правила проверки модели на 5-стабильность.
Мы нашли единое условие для самого общего случая неоднородного обучения в линейных моделях с ожиданиями будущих значений эндогенных переменных. Хотя оно накладывает довольно сильные ограничения на параметры, главным достижением является то, что такое простое условие, означающее Е-стабильность некоторой агрегированной экономики (понятие, которое уже подтвердило свою полезность в качестве условия стабильности при неоднородном обучении в предшествующей литературе, посвященной обучению), действительно существует для широкого класса моделей 7.
Затем, основываясь на анализе альтернативного определения ^-стабильности, мы получили достаточные условия на структуру экономику, классифицируемые как условия «одинакового знака». Далее, основываясь на анализе характеристического уравнения и условии отрицательности всех собственных чисел (необходимом и достаточном для стабильности), мы получили группу необходимых условий. Невыполнение этих условий может быть использовано как индикатор отсутствия 5-стабильности.
Более того, используя альтернативное определение ^-стабильности и анализ характеристического уравнения, мы получили критерий 5-стабильности для одномерного случая.8
Приложение
1. Доказательство Утверждения 3
Используем условие отрицательной доминантной диагонали «по столбцам» &р1, достаточное для отрицательности действительных частей собственных чисел матриц Найдем условие, которое было бы достаточно для условия отрицательной доминантной диагонали в этой модели. В качестве весов для строк возьмем (ф1(уь ..., уп), ..., фДуь ..., уп)), фг- > 0, уи > 0, Бу = 1, ЬФи = 1.
Для VI возьмем V блок И и V столбец у. Должно одновременно выполняться следующее:
р/ - 1 < 0 (отрицательная диагональ) и
фиу/|ра//И - 1| > (ф1 + ... + фs)L■уг|рA/И| - фиу^р/ (доминирование) Vу, И, I.
Последняя система эквивалентна объединению двух случаев:
1) 0<ра//И < 1 П Буг|рА/И| < Фиуу|/(Ф1 + ... + Фs) Vу, И, I;
2) ра/ < о ПХгуг|рауИ| < фИуДф! + ... + Фs) - (2фйуДф1 + ... + Фs))р/a/ Vу, И, I.
Поскольку во втором случае рa,//И < 0, мы можем сформулировать следующее достаточное условие: Б^рАу | < фИу у Vу, И, I. Условие 1 > рау подразумевается этим соотношением, и условие случая 2 также выполняется. Для того чтобы доказать, что 1 > рауД заметим, что из Буроу < Фиуу следует, что LwУг|PA/И|/У/ + |ра/| < Фи <1, отсюда |рга/| < 1 и ра^ < 1. Так как |рг| < 1, то это достаточное условие следует из Бу^ау^ < фИуу Vу, И, т. е. условия для I = 0 (р0 = 1). Таким образом одного этого условия Бг■уг■|aг/И| < фИуу Vу, И, достаточно для 5-стабильности. А это и есть условие Утверждения 2. □
7 В статье [7] показано применение достаточных условий в терминах агрегированной экономики на модели одновременных рынков со структурной неоднородностью.
8 В статье [7] на примере двух типов OLG моделей показано, что этот критерий может быть легко использован для проверки экономики на S-стабильность.
2. Доказательство Утверждения 4
1. рА0ИоД(у, ф)1ф - любое, у - любое = ЗЪиФиЪу-ЪН- I-
-БЕифиЪЪутахи, г|Оуй| = ¿ЪХЪиЪфиуОтахи г|ауй| = ¿Ътахи, г|ауй| = рА0тах.
2. рА0иоД(у, ф)|ф=щ у - любое = Б&а/^Б^К'! =
<(Бу)тахгЬ£,Кй| = тахгЬЪ|ауИ| = Р2А0тах.
3. рА0иоД(у, ф)|ф - любое, у = 1/п = ¿ЪфиЪ(1/п)ЪКи|<
<5Ъ(1/п)ЬЪфитахи,/|ауИ| = Ь^Птахъ^КЪЪфн) = ¿Ътахи,/|ауи| = РзА0тах.
4. вА0тоД(у, ф)|ф=1/б, у=1/„=^(шштп^=ътпшагА-
<Ь(1/п)Ътах/Ъ|ауИ| = Ьтах/Ъ|ауИ|(1/п)Ъ<1) = 1йтах;Б|ауй| = Р4А0тах. □
3. Доказательство Утверждения 5
1. Для р1А°тах мы имеем р1А°тах = БЪ/тахи \ац\ < 1 и должны доказать, что 3 веса у и ф такие, что Ъуг|ауИ|/у/ < фИ V/, И. Возьмем фи = 1/Б V И, и у/ = Бтахи г|ауи| + (1 -£'ЪтахИ, г|ауи|)/п V/. Это веса, так как ЪифИ = 1, 0 < фИ < 1 и Ъ = 1пу/- = 1, 0 < у/ < 1. Заметим, что у/Б > тахи, г|ауИ| = Ъутахи г|ауИ| > БуДД V/, И, или, по-другому: Ьуг|ауИ| < у//Б = у/Фи, V/, И.
4. Для р4А°тах имеем р4А0тах = Ъитах/Ъ|ауи| < 1 и должны доказать, что 3 веса у и ф такие, что Ъу^аА/у/ < фИ V/, И. Возьмем у/ = 1/п V/, и
Фи = тах/Ъ|ауИ| + (1 - Хитах/ЪК^/Б V И. Это веса, так как Ъифи = 1, 0 < фи < 1 и Ъ = 1пу/ = 1, 0 < у/ < 1. Заметим, что фи > тах/Ъ|ауИ| = ЫаД V/, И, или, по-другому: ЪуагА/у/ = ЪН1 < Фи, V/, И.
Для доказательства утверждения для р2А°тах и р3А0тах сначала получим достаточное условие 5-стабильности, следующее из условия отрицательной доминантной диагонали «по строкам» матрицы Ор1, которое также является достаточным для стабильности матриц В\Ор1. Возьмем в качестве весов для строк (Дь ..., Дп, ..., Дь ..., Дп), Д > 0, ЪД- = 1.
Для VI возьмем V блок И и V строку Должно одновременно выполняться следующее: рк/ - 1 < 0 (отрицательная диагональ) и
Дг^Ан - 1| > ЪЪ'Д^РК'А - Д|р10ггИ| (доминирование) V - , И, I. Последняя система эквивалентна объединению двух случаев:
1) 0<рки < 1 п ЬЪ4|рКуИ| < Д V -, И, /;
2) ркИ < 0 п ЪиЪ/'Д/'|Р'°уИ| < Д - 2Дра/ V И, 1.
Поскольку во втором случае ра/ < 0, мы можем сформулировать следующее достаточное условие: ЪИЪД|рауИ| < Д V -, И, I. Условие 1 > рки подразумевается этим соотношением, и условие случая 2 также выполняется. Для того чтобы доказать, что 1 > ра/, заметим, что из ЪиЪ4|РКИ| < Д следует, что ЪиЪ^Д|рауИ| + |РК¿И| < Д < 1, отсюда |ра/| < 1 и ра/ < 1. Так как Р < 1, то это достаточное условие следует из ЪИЪД|ауИ| < Д V И, I, т. е. условия для I = 0 (р0 = 1). Таким образом, одного этого условия ЪИЪД|ауИ| < Д V - , И, I, достаточно для 5-стабильности. Затем используем полученное достаточное условие для доказательства Утвер-
2 о А0тах п А0тах
для р2 и рз .
2. Для р2А0тах имеем р2А°тах = тахгЪИЪ|ауИ| < 1 и должны доказать, что 3 веса (Дь ..., Дп, ..., Дь ..., Дп), Д > 0, ЪД = 1, такие, что ЪИЪД|ауИ| < Д VИ. Возьмем Д = 1/п V7. Заметим, что ЪиЪКИ| < тахгЪиЪ/|ауИ| < 1, V И, или, по-другому: ЪиЪД|ауИ| = ЪиЪ(1/п)|ауИ| < 1/п = Д, V И.
3. Для р3А°тах имеем р3А°тах = 5ЪгтахИ/|ауИ| < 1, и должны доказать, что 3 веса (Д, ., Дп, ., Д, ., Дп), Д1 > 0, ЪД = 1, такие что ЪиЪД|ауИ| < Д V - , И. Возьмем
Д = Бтахи,/|ауи| + (1 - Бтахи,/|ауи|)/п V Это веса, так как Ъп = Д = 1, 0 < Д < 1. Заметим, что Д > Бтахи,/|ауи| = Ъ/ = Д/Ъи = 1тахи,/|ауи| > ЪиЪДаД V И.
4. Доказательство Утверждения 9
Для случая п = 1 условие альтернативного определения 5-стабильности упрощается до требования стабильности О и выполнения по крайней мере одного из следующих условий: Ъи = :(-ргАи/5и)/(1 + 1/5и2)^0 и Ъи = 1(-р,АА)/(1 + 1/5и2) + 1^0, VI = 0, 1, ..., к, (р0 = 1).
Первые условия «одинакового знака» прямо следуют из первого выше приведенного неравенства. Второе условие, следующее из второго неравенства, доказывается ниже.
Необходимость следует прямо из доказательства Утверждения 11. Просто заметим, что в случае одномерной экономики любая сумма миноров Mk состоит из элементов Sh1Sh2...Shk(-pAh1 - pAh2 - ... - pAhk + 1) и что если сумма неотрицательных элементов строго больше нуля, то хотя бы один из них должен быть строго положительным.
Достаточность. Мы имеем -pAh1 - pAh2 - • • - PiAhk + 1>0 для любой подэкономики
(h1, ..., hp) и для любой группы подэкономик размера p, 3 (h*(î), ..., hp*(l)) :
- pAh1* - pAh2*, - ... - pAhp*, + 1 > о, и должны доказать, что Yfh = 1(-pAh)/(1 + 1/5h2) + 1^0.
Сгруппируем отдельно слагаемые, соответствующие неположительным -pAh, и слагаемые, соответствующие строго положительным -pîAh. Схематично мы получим [pA /(1 + 1/Ô12)) + ... + pAk /(1 + 1/5k2)] + [pîA1+/(1 + 1/Ô12) + ... + pAm+/(1 + 1/Sm2)] - 1. Если первая сумма строго меньше нуля, то все выражение строго меньше нуля. Если первая сумма равна нулю, то вторая сумма (если вообще есть какой-нибудь положительный pA) должна быть меньше 1: для всей экономики мы должны иметь, что -pA - ... - pîAS + 1 > 0, т. е., исключая нулевые pîA, я должен иметь -pîA1+ - ... - pîAm+ + 1 > 0, и также принять во внимание, что 0 < 1/(1 + 1/Sh2) < 1, что доказывает достаточность второго условия Утверждения 9.
5. Доказательство Утверждений 11 и 12
Рассмотрим Г = D(-Q). Необходимым и достаточным условием стабильности матрицы DQ. является условие строгой положительности действительных частей собственных чисел матрицы Г. Для того чтобы это условие на собственные числа выполнялось, необходимо, чтобы суммы главных диагональных миноров, сгруппированных согласно их размеру, были больше нуля.
В самом деле, характеристическое уравнение на собственные числа матрицы Г имеет вид
det(r + 1ц) = detr + цМп _ 1 + ц2М„ _ 2 + ... + $Г1М1 + ц" = 0, где X = -ц есть собственное число матрицы Г, а Mk - сумма всех главных диагональных миноров размера k матрицы Г .
С другой стороны, то же самое характеристическое уравнение может быть записано в форме разложения полинома на произведения простых сомножителей:
(ц + X0- ■ -(ц + Xn) = X1...Xn + ... + ц^Х^ + ... + Xn - 1Xn) + ц"-1(Х1 + ... + Xn) + ц" = 0.
Таким образом, все Mk > 0.
Записывая это условие в терминах матрицы D(-Q), получим, что в каждой размерной группе сумма миноров подразделяется на группы миноров, содержащих одинаковое количество столбцов каждого блока матрицы (-Q), т. е. A, - I. Коэффициент перед каждой такой суммой имеет вид (5h1y1(5h2y2.(8hp)7p. Этот коэффициент единственным образом специфицирует эту сумму миноров размером, количеством столбцов из каждого блока и подэкономики, из которой она сформирована, (h1, ..., hp). Размер миноров в каждой такой группе равен суммарной степени коэффициентов, j1 + ... + jp, а нижние индексы у S показывают, из какого блока матрицы (-Q) взяты столбцы, в то время как степень каждой S показывает, как много строк взято из этого конкретного блока.
Зафиксируем одну подэкономику и рассмотрим предел неравенств суммы миноров при S-х других блоков, стремящихся к нулю. Выполняя такую же операцию для всех подэкономик, получим условие (*). Утверждение 12 получается приравниванием к 1 всех S для всех подэ-кономик в условии (*).
Список литературы
1. Sargent T. J. Bounded Rationality in Macroeconomics. Oxford: Oxford University Press; N. Y.: Clarendon Press, 1993.
2. Evans G. W., Honkapohja S. Learning and Expectations in Macroeconomics. Princeton, N. J.: Princeton Univ. Press, 2001.
3. Giannitsarou Ch. Heterogeneous learning // Review of Economic Dynamics. 2003. Vol. 6. P.885-906.
4. Evans G. W., Honkapohja S., Williams N. Generalized Stochastic Gradient Learning // CESifo Working Papers. 2005. № 1576.
5. Honkapohja S., Mitra K. Learning Stability in Economies with Heterogeneous Agents // Review of Economic Dynamics. 2006. Vol. 9 (2). P. 284-309.
6. Johnson C. R. Sufficient Conditions for D-Stability // Journal of Economic Theory. 1974. Vol. 9. P. 53-62.
7. Kolyuzhnov D. Economic dynamics under heterogeneous learning: Necessary and sufficient conditions for stability // CERGE-EI Working Paper Series. 2008. P. 378.
Материал поступил в редколлегию 01.11.2010
D. V. Kolyuzhnov
STABILITY CONDITIONS OF ECONOMIC DYNAMICS UNDER HETEROGENEOUS LEARNING
I provide sufficient conditions and necessary conditions for stability of a structurally heterogeneous economy under heterogeneous learning of agents. These conditions are written in terms of the structural heterogeneity independent of heterogeneity in learning. I have found an easily interpretable unifying condition which is sufficient for convergence of an economy under mixed RLS/SG learning with different degrees of inertia towards a rational expectations equilibrium for a broad class of economic models and a criterion for such a convergence in the univariate case.
Keywords: adaptive learning, stability of equilibrium, heterogeneous agents.
