CC BY
24
УДК 336.767.2
Д. В. Колюжнов 1 2, В. С. Толстова 1
1 Новосибирский государственный университет ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090, Россия
2 Center for Economic Research and Graduate Education ул. Политицких везню, 7, Прага 1, 111 21, Чехия
E-mail: dmitri.kolyuzhnov@cerge-ei.cz ; vera-t-89@mail.ru
ДИНАМИКА ЦЕН АКЦИЙ И АДАПТИВНОЕ ОБУЧЕНИЕ В МОДЕЛИ ОБЩЕГО РАВНОВЕСИЯ С НЕОДНОРОДНЫМ ПРОИЗВОДСТВОМ *
В статье на примере развиваемой нами модели ценообразования на рынке активов с трехсекторной экономикой с производственным сектором применительно к российскому рынку акций проверяется тезис о том, что введение в модель общего равновесия неоднородности в производстве и ограниченной рациональности агентов в форме адаптивного обучения помогает лучше объяснить «стилизованные факты» рынка активов. Модель с адаптивным обучением в целом лучше объясняет «стилизованные факты» российского рынка акций, чем модель с рациональными ожиданиями.
Ключевые слова: ценообразование активов, адаптивное обучение, неоднородность в производстве, российский рынок акций.
Введение
Процесс формирования цены финансового актива является сложным и подверженным влиянию большого количества факторов. Существует множество моделей \ в рамках которых исследователи пытаются дать теоретическое объяснение «стилизованным фактам» фондового рынка. Чаще всего рассматривают следующие два феномена.
1. Превышение средней ставки доходности рисковых активов (например, акций) над средним значением ставки процента по безрисковому активу (equity premium puzzle).
В теории финансов данный факт объясняется тем, что более высокая доходность является компенсацией за риск актива. Хансен и Синглтон [2], используя модель ценообразования на рынке активов, основанную на потребительском выборе, продемонстрировали, что цена риска равна коэффициенту избегания риска функции полезности инвестора. Такие исследователи, как Шиллер [3] и Кохрэйн [4] связали премию за риск с высоким уровнем волатильности стохастического дисконтирующего коэффициента.
2. Более высокая волатильность доходности рисковых ценных бумаг в сравнении с вола-тильностью доходности по безрисковым активам, а также с волатильностью макроэкономических показателей (stock market volatility puzzle).
До начала 1980-х гг. финансисты придерживались мнения о том, что наиболее важным фактором, способствующим колебаниям на рынке акций, являются «новости» о будущих дивидендах. Но в дальнейшем ЛеРой, Портер [5] и Шиллер [3] показали, что ожидаемый уровень дивидендов гораздо менее волатильный, чем доходность по акциям. При этом, согласно Кэмпбеллу [6], значительный вклад в волатильность доходностей по акциям вносит изменение прогноза уровня превышения доходности акции над доходностью безрискового актива.
* Статья написана на основе исследования, проведенного в рамках написания выпускной квалификационной работы бакалавра вторым автором под научным руководством первого, рекомендованной Государственной аттестационной комиссией экономического факультета НГУ по результатам защиты для публикации в «Вестнике НГУ». За возможные ошибки несут ответственность авторы.
1 Отличный обзор существующих моделей ценообразования активов проведен Кэмпбеллом [1].
ISSN 1818-7862. Вестник НГУ. Серия: Социально-экономические науки. 2011. Том 11, выпуск 3 © Д. В. Колюжнов, В. С. Толстова, 2011
Указанные «стилизованные факты» тесно связаны между собой, поэтому модели ценообразования на рынке активов направлены на то, чтобы объяснить оба факта. В рамках модели общего равновесия с экономикой обмена (Мехра и Прескотт [7]) удалось объяснить вола-тильность отношения цены акции и выплачиваемого дивиденда (price-dividend ratio), но при этом не удалось объяснить другие «стилизованные факты».
Данные проблемы моделей общего равновесия стали стимулом развития альтернативных подходов, среди которых можно выделить эконометрический подход, основанный на применении ARCH/GARCH моделей. Такие модели широко применяются на практике для количественной оценки риска финансовых активов, но в то же время их главным недостатком является то, что в отличие от моделей общего равновесия они моделируют динамику риска ценных бумаг как экзогенный процесс и, по большому счету, ничего не объясняют.
Поэтому в настоящее время ряд исследователей пытаются усилить объясняющую способность классических моделей (общего равновесия) ценообразования на рынке активов, рассматривая в своих работах расширения данных моделей, имеющие некоторые дополнительные предположения, а также невыполнение ряда базовых гипотез, например, об однородности инвесторов, о рациональных ожиданиях.
Наиболее активно в настоящее время развивается направление моделей с ожиданиями агентов в условиях ограниченной информации. Для формального математического описания таких ожиданий используется подход, который называется адаптивным обучением. Суть этого подхода заключается в том, что каждый период агенты делают прогноз экономических величин, используя некоторый статистический метод (например, метод линейной регрессии), и каждый период по мере поступления новой информации (рекурсивно) обновляют правило, по которому делают прогноз. Известно, что на фондовом рынке ожидания играют существенную роль, в то же время инвесторы, принимая решения, владеют не всей информацией, поэтому использование для объяснения «стилизованных фактов» моделей с ожиданиями в условиях ограниченной информации актуально. Карселес-Поведа и Гианнитсару [8] показали, что нерациональные ожидания, когда агенты делают прогноз будущих котировок ценных бумаг, используя метод линейной регрессии, достаточно легко вводятся в модель общего равновесия, основанную на потребительском выборе.
Иллюстрацией данного подхода является исследование, которое эти авторы провели и представили в статье [8]. Цель исследования заключалась в том, чтобы объяснить «стилизованные факты» фондового рынка в период с 1947-1997 гг. (на примере AMEX). Для расчетов были использованы модели ценообразования на рынке активов, основанные на потребительском выборе (в экономике обмена и в экономике с производственным сектором). В результате проведенного исследования выяснилось:
1) адаптивное обучение, основанное на рекурсивном методе наименьших квадратов (RLS), не увеличивает объясняющую способность модели в случае равновесия при рациональных ожиданиях (REE), поскольку коэффициенты, определяющие динамику цен активов, быстро сходятся к соответствующим коэффициентам в REE;
2) обучение с постоянным коэффициентом приращения, в котором при использовании рекурсивного метода наименьших квадратов больший вес придается последнему наблюдению, лучше объясняет «стилизованные факты» рынка акций, чем REE только в модели с экономикой обмена;
3) данная схема обучения хуже работает в модели с производственным сектором, что вызвано инертностью накопления капитала.
В итоге авторы пришли к выводу, что адаптивное обучение приводит к незначительному увеличению уровня риска активов в рамках данной модели по сравнению с подходом, основанным на рациональных ожиданиях. И, следовательно, данное «увеличение» не позволяет объяснить разрыв, который существует между ценой риска акций, предсказываемой моделью, и той волатильностью, которой обладали реальные квартальные доходности ценных бумаг.
С другой стороны, такие результаты не означают, что модели общего равновесия являются бесперспективными с точки зрения объяснения «стилизованных фактов» фондового рынка. Поскольку добавление в модель новых предположений, например, о неоднородности фирм в экономике, потенциально может увеличить объясняющую способность модели.
Так, анализ публикаций [9-12], посвященных вопросам ценообразования на фондовом рынке, показывает, что в настоящее время внимание исследователей в основном сосредоточено на расширении уже существующих моделей путем добавления в них предположений о нарушении базовых гипотез, например, об однородности инвесторов и рациональности ожиданий. Модели с неоднородными агентами, а также с ожиданиями в условиях ограниченной информации, которые моделируются с помощью адаптивного обучения, лучше объясняют «стилизованные факты» рынка активов.
В своей работе мы используем модель ценообразования на рынке активов с трехсекторной экономикой с производственным сектором. Данную модель мы вывели, расширив модель общего равновесия в экономике с производственным сектором. Для этого мы добавили в существующую модель предположение о том, что производство представлено тремя типами фирм (как следствие, рынок акций состоит из разных видов ценных бумаг, количество которых равно количеству секторов в экономике).
Цель работы заключается в том, чтобы выяснить, объясняет ли модель общего равновесия с рациональными ожиданиями «стилизованные факты» российского рынка акций и дает ли включение в модель предположения о нерациональных ожиданиях лучшее объяснение «стилизованных фактов».
В модели были найдены равновесие при предположении о рациональных ожиданиях, а также равновесие в случае ограниченной рациональности агентов. Для моделирования нерациональных ожиданий использовалось адаптивное обучение по методу наименьших квадратов.
«Стилизованные факты» российского рынка акций
«Стилизованные факты» российского рынка акций оценивались на основе данных об акциях компаний, торгующихся на ММВБ, а также входящих в базу индекса ММВБ. База индекса ММВБ - список компаний, акции которых являются наиболее ликвидными. На основе котировок акций этих компаний рассчитывается индекс ММВБ. В настоящее время этот список состоит из 30 компаний. Были использованы данные о ценах акций компаний из базы индекса ММВБ, имеющихся на момент закрытия торгов в последний рабочий день каждого месяца в период сентябрь 2005 - декабрь 2009 г. Также были использованы данные о количестве акций в свободном обращении компаний из базы индекса ММВБ.
В работе рассматривались акции компаний только секторов добычи полезных ископаемых, обрабатывающих производств и сектора транспорта и связи.
При этом была проведена предварительная «обработка» статистических данных фондового рынка для того, чтобы они соотносились с переменными модели. Данная «обработка» производилась при следующих предположениях.
1. Количество акций каждой компании (из базы индекса ММВБ) постоянно.
2. Учитывались только те акции, которые находились в свободном обращении.
3. Цена акции каждого типа I = 1, 2, 3, которая рассматривается в качестве переменной в модели, соответствовала взвешенной рыночной капитализации компаний из базы индекса ММВБ данного сектора I (добыча полезных ископаемых, обрабатывающие производства, транспорт и связь) на одного занятого в трех секторах.
Взвешивание капитализаций было необходимо, поскольку количество компаний каждого из трех секторов в базе индекса ММВБ различно. Веса были постоянны в каждом периоде и подбирались таким образом, чтобы среднее (по месяцам) логарифмов взвешенной капитализации акций компаний сектора I из базы индекса ММВБ было равно среднему логарифмов основного капитала (в ценах августа 2005 г.), приходящемуся на некоторое количество фирм данного сектора I (за период сентябрь 2005 г. - декабрь 2009 г. на одного занятого в трех секторах). Количество организаций, в расчете на которое рассматривался капитал, также подбиралось таким образом, чтобы выполнялось вышеуказанное равенство.
Тот факт, что рассматривались величины капитала (основных фондов), а также ВВП, приходящиеся только на некоторое число (а не на все количество) фирм соответствующего сектора и количество рабочих, занятых только в этом количестве фирм всех секторов, связан с невыполнением некоторых предположений модели в реальности. Первое предположение,
которое нарушалось: акции всех фирм в экономике торгуются на фондовом рынке. Второе несоответствие - это тот факт, что для упрощения процесса сбора информации в расчетах использовались данные по акциям компаний только из базы индекса ММВБ. Поэтому для устранения данных несоответствий экономика рассматривалась как бы в «срезе» некоторого количества фирм разных секторов.
4. Доходности акций типа I рассчитывались как прирост логарифма взвешенной капитализации компаний данного сектора за месяц. Затем данный показатель возводился в 12-ю степень и тем самым переводился в годовую доходность по акциям данного типа I. Далее для бумаг компаний разных секторов рассчитывалась средняя доходность (годовая) по месяцам за период сентябрь 2005 - декабрь 2009 г., а также стандартное отклонение доходности за данный период (табл. 1).
Таблица 1
«Стилизованные факты» российского рынка акций
добыча полезных обрабатывающие транспорт
ископаемых производства и связь
Средняя доходность по месяцам, % 0,88 6,14 0,55
Уровень риска, % 20,18 37,76 19,50
Отношение модуля средней доходности к уровню риска 0,04 0,16 0,03
Отношение уровня риска акций
к уровню риска бумаг компаний добывающего сектора 1 1,87 0,97
Отношение модулей доходностей акций
к модулю доходности бумаг компаний добывающего сектора 1 6,95 0,63
Модель общего равновесия с трехсекторной экономикой
Модель общего равновесия, рассмотренную Карселесом-Поведа и Гианнитсару [8], мы развиваем до случая неоднородности в производстве. В данной модели предполагается, что в экономике существует бесконечное множество однородных по предпочтениям потребителей (домашних хозяйств). Каждый потребитель занят в производстве и получает заработную плату, которую распределяет между потреблением и сбережением. Производство представлено множеством фирм, осуществляющих свою деятельность в различных секторах экономики.
Все фирмы, принадлежащие одному и тому же сектору I = 1, 2, 3, имеют одинаковую технологию, но параметры производственных функций фирм разных секторов различны. Капитал (акционерный) каждой фирмы сектора I состоит из акций типа I. Количество акций фирм каждого сектора постоянно, дополнительные эмиссии не производятся. Владельцами акций предприятий являются домашние хозяйства. В экономике есть только вторичный фондовый рынок, на котором обращаются акции компаний: каждый период , экономические агенты могут как покупать акции всех типов I (инвестировать в производство), так и продавать.
1. Домашнее хозяйство. Каждый период репрезентативный потребитель решает следующую задачу:
шаХ{С }„ Е (^°°=овЩ+]) на ограничениях
С, + £3г=1 X,+ X,ЛРЪ,, < £3г=1 X,(_1 р + В,,,) + Хъл_1 + =1 ^ N,,, для всех ,, где Е, - условное математическое ожидание; в - коэффициент дисконтирования
Г С1'1, у> 1
и(С( ) = <! С ^ ; С1 - потребление в периоде Переменные Хц - количества акций
трех типов I, которые инвестор приобрел в периоде , по ценам р,,. В каждом периоде , агент получает дивиденды по акциям в размере = Хи - Вц, где Бц - дивиденд на одну акцию I.
Инвестор делает заимствования или дает ссуды, выпуская или продавая безрисковые облигации сроком на один период. Если в периоде t - 1 агент дал взаймы, т. е. купил облигации на некоторую сумму Yb,t _ 1, то в начале периода t агент получит сумму Xb, t _ 1 = (1 + rt _ 1)Ybt _ 1 (rt _ 1 _ ставка процента по безрисковому активу, которая сложилась в конце периода t _ 1). При этом Ybt = (1 + rt)Ybt/(1 + rt) = XbtPbt, где Pb,t = 1/(1 + rt) _ ставка дисконтирования. Величина wi,t _ заработная плата, получаемая агентом в секторе производства l в периоде t; Ni,t _ предложение труда в периоде t в секторе l. Все инвесторы имеют запас времени равный 3, которое они равномерно распределяют между трудовой деятельностью в разных секторах экономики.
Задача потребителя решается методом динамического программирования. Из условий первого порядка данной задачи выводится уравнение, определяющее равновесную динамику цены на акцию l:
Pi,t = PEt((ct + 1/ct)_Y(Pi,t + 1 + Di,t + 1)), (1)
а также динамику безрисковой ставки дисконтирования:
Pbt = PEt(ct + !/ct)_Y. (2)
Соотношения (1) и (2) называются уравнениями Эйлера.
2. Производство. В каждом периоде t репрезентативная фирма сектора i использует некоторое количество основного капитала, накопленное к концу периода t _ 1, Ki,t _ 1, а также количество труда Nit = 1 для того, чтобы произвести продукцию в объеме Yit. Сектор с индексом 1 _ добыча полезных ископаемых, 2 _ обрабатывающие производства, 3 _ транспорт и связь. Задача репрезентативной фирмы типа i выглядит следующим образом:
EtL°°j = oPVt+]/ct)_Di,t+j ^ max на ограничениях Dit ^ Yi,t _ Wi,tNi,t _ Ki,t + (1 _ Si)Ki,t _ 1 для всех t, где 1/p(ct + i/ct)Y _ ставка дисконтирования; Yi,t = AiZtKi,t_ 1alNi,t1 _ ai; Zt _ экзогенный технологический шок, Ln(Zt) = pLn(Zt _ 1) + et; et ~ N(0, oe2). Для упрощения модели предполагается, что в каждом периоде шок в разных секторах производства одинаковый.
Объем основного капитала, который доступен репрезентативной фирме сектора i на конец периода t, определяется как Kit = Ii,t + (1 _ Si)Ki,t _ 1, где Ii,t _ объем инвестиций в основной капитал в текущем периоде; Si _ норма выбытия капитала. Каждый период t валовая прибыль за вычетом инвестиций расходуется на выплату дивидендов Dit:
Di,t = Yit _ Wi,tNi,t _ h = Yit _ Wi,tNi,t _ Ki,t + (1 _ 5i)Ki,t _ 1.
Уравнения Эйлера для задачи фирмы имеют вид:
1 = Et(P(ct + 1/ct)-Y(aAiZtKi,tai _ 1Ni,t + 1_ai + (1 _ Si))); wi,t = (1 _ ai)AiZtKi,t _ 1aiNi,t_ai.
3. Общее равновесие. Общее равновесие характеризуется одновременным выполнением условий оптимальности для потребителя и производителя и одновременным равновесием на рынках товаров и услуг, заемных средств, труда и фондовом рынке.
Равновесие на рынке товаров. Совокупный выпуск в экономике равен сумме выпусков всех секторов и распределяется между агрегированным потреблением и суммарными инвестициями в сектора экономики: Y3i = 1 Yi,t = Ct + Y3i = ^ = Ct + Y3i = K _ Y3i = 1(1 - S)Ki,t _ 1 для всех t.
Равновесие на рынке займов. Поскольку все агенты однородны, то объем займов или ссуд репрезентативного агента равен нулю: Xb,t = 0 для всех t.
Равновесие на рынке труда. Совокупный спрос на труд со стороны фирм всех секторов экономики равен совокупному предложению труда: Y3i = N,t = 3 для всех t. Количество труда, которое предлагает репрезентативный агент в каждом секторе производства, равно 1, поэтому количество труда Ni,t, которое использует фирма каждого сектора в каждом периоде t, равно единице. Такое упрощение делается в связи с тем, что на основе имеющейся статистики трудно оценить количество труда, которое в среднем использует фирма каждого сектора.
Равновесие на фондовом рынке. В равновесии портфель репрезентативного агента состоит из акций компаний всех секторов, при этом количество акций всех типов Xi,t = 1, i = 1, 2, 3, для всех t. Это связано с тем, что в модели в качестве «цены» акции Pi t данного типа i рас-
сматривается взвешенная капитализация компаний сектора l (из базы индекса ММВБ) на одного занятого в трех секторах. Поэтому количество акций данного типа l в портфеле репрезентативного агента равно 1 (все остальные показатели уже «учтены» в цене).
4. Логлинеаризация равновесия. Поскольку задачи репрезентативных потребителя и фирмы являются нелинейными, то уравнение, определяющее равновесную динамику цен акций, тоже является нелинейным. Это весьма затрудняет поиск равновесия в модели. Стандартным методом является логлинеаризация условий первого порядка и условий равновесия на рынках. После логлинеаризации равновесная динамика цен акций становится линейной в окрестности стационарного состояния экономики. Стационарное состояние характеризуется следующими соотношениями: Kl,t = Kl ; Yl,t = Yl ; Dit = Dl ; Pit = Pl ; l = 1, 2, 3; Zt = 1, для всех t. Нетрудно показать, что
Ki* = [(1/ß - 1 + 5i)/(Mi)]1/(1 - al), Yi* = [(1/ß - 1 + 5i)/(Mi)]al/(al - 1}; D* = aAi[(1/ß - 1 + 5i)/(Mi)]al/(al - 1} - Si[(1/ß - 1 + 5i)/(Mi)]1/(al - 1}; C* = I3i = Ai[(1/ß - 1 + Si)/(aAi)]al/(al - !) - Si[(1/ß - 1 + 5i)/(aAi)]1/(al - 1); Pi* = (ß/(1 - ß))[aAi[(1/ß - 1 + 5i)/(aiAi)]al/(al - 1} - Si[(1/ß - 1 + Si)/(aAi)]1/(al - 1}] , Pb* = ß.
5. Сокращенная форма модели (RF). Обозначив малыми буквами отклонения логарифмов переменных от логарифмов их стационарных значений, запишем RF модели из условий равновесия и условий первого порядка:
pi,t = Z3i = 1api,t + Z3i = 1biPi,t + Z3i = 1SiEtPi,t + 1 + £3i = 1dipit- 1 + fiZt, i = 1, 2, 3, где ai = (-yai(1/ß + 1))/(1/ß - 1 + Si - Siai), b = (1 - ß)ai/(1 - 8i(1/ß - 1 + Si)) + ß(1 - Si), si =
= yai/(1/ß - 1 + Si - Siai), di = yai(1/ß)/(1/ß - 1 + Si - Siai), f = (1 - p)y£3i = 1[(1/ß - 1 + Si))/(1/ß - 1 + Si - Siai) +
+ p/(1 - Si(1/ß - 1 + Si))],
или в матричном виде:
(p\,tP2,tP3,t) = (EtP1,t + 1 Etp2,t + 1 Ep3t + i)S(E - A - B)-1 +
+ (P1,t - 1 P2,t - 1 P3,t - 1)D(E - A - B)-1 + ZtF(E - A - B)-1, (3)
где A, B, S, D, F - соответствующие матрицы.
6. Равновесие при рациональных ожиданиях (REE). Систему линейных уравнений (3), определяющую равновесие, в таком виде нельзя использовать для расчетов, поскольку мы не определили, каким образом агенты делают прогноз котировок ценных бумаг в следующем периоде t + 1. Один из способов моделирования ожиданий - предположение о рациональных ожиданиях агентов.
REE - это такая динамика котировок акций, которая формируется при предположении о том, что ожидания агентов рациональны. Это предположение подразумевает, что инвесторы располагают информацией о том, как определяется динамика шока в экономике. Иными словами, агенты знают вид и значения всех коэффициентов системы уравнений (3), а также уравнения zu = pzu - 1 + St, St ~ N(0,oe2).
Предположим, что в случае рациональных ожиданий значения текущих котировок ценных бумаг определяются системой линейных уравнений, записанной в матричной форме. Это так называемый воспринимаемый закон движения (PLM):
(P1,t P2,t P3,t) = (P1,t - 1 P2,t - 1 P3,t - 1)Q + ZtW, (4)
где Q и W - матрица и вектор-строка неизвестных коэффициентов, зависящих от параметров модели. После подстановки прогнозных функций, основанных на PLM (4) в RF, получаем действительный закон движения (ALM):
(P1,t P2,t P3,t) = (P1,t - 1 P2,t - 1 P3,t - 1)D(E - A - B)-1(E - QS(E - A - B)-1)-1 + (5)
+ zt(F + p WS)(E - A - B)-1 (E - QS(E - A - B)1 )-1.
Для REE надо, чтобы коэффициенты PLM (4) совпадали с соответствующими коэффициентами ALM (5), т. е. Q и W должны быть такими, чтобы Q = D(E - A - B)4(E - QS(E - A - B)-1)-1,
W = (F+pWS)(E - A - B) l(E - QS(E - A - B)-1)-1. Таким образом, W находится из обычного матричного уравнения, тогда как матрица Q - из матричного квадратного уравнения:
Q2S(E - A - B)-1 - QE + D(E - A - B)-1 = {0}. (8)
Из линейной алгебры известно, что матричное квадратное уравнение имеет C2nn решений, где n - размерность пространства [13]. Поэтому максимальное количество REE в данной модели может составить C63 = 20.
7. Адаптивное обучение. Второй способ формального описания того, каким образом агенты делают прогноз значений переменных модели в будущем, связан с предположением о нерациональных ожиданиях или об ограниченной рациональности экономических агентов. Такое предположение означает, что агенты обладают неполной информацией. Предполагается, что инвесторы не знают, каким образом формируется цена на рынке акций при REE, но делают некоторое предположение о поведении цен акций, называемое воспринимаемым законом движения (PLM).
Каждый период инвесторы, основываясь на своем PLM, делают прогноз значений котировок акций в следующем периоде:
(Etpu + 1 Etp2,t + 1 Etp3,t + 1) = (p1,t P2,t P3,t)Q(t - 1) + EtZt + 1 W(t - 1) = (pu p2,t P3,t)Q(t - 1) + zV(t - 1),
где Q(t - 1) и V(t - 1) = pW(t - 1) - матрица и вектор-строка коэффициентов (называемых убеждениями инвесторов), полученных в периоде t - 1. Для оценки коэффициентов агенты используют метод наименьших квадратов и корректируют свои прогнозные правила по мере поступления новой информации.
В модели рассматриваются две схемы обучения.
Первая схема. Предполагается, что в каждом периоде t для того, чтобы оценить коэффициенты, агенты строят регрессию для котировок каждого типа акций l так, что зависимой переменной в уравнении является текущее значение цены акции данного типа l, а регрессо-рами - значения котировок ценных бумаг всех типов в прошлом периоде, значение шока в экономике zt _ 1. В итоге PLM имеет вид, соответствующий так называемому решению с минимальным числом переменных состояния (MSV), в котором используются все регрессоры, входящие в REE:
pi,t = (p1,t- 1 pi,t- 1 p3,t- 1)(<?1i(t) q2i(t) q3i(t))' + Zt - 1Vi(t), l = 1, 2, 3,
где vl(t) = pwl(t). В каждом периоде t в случае ограниченной рациональности агентов равновесные значения акций определяются через ALM (5), где Q = Q(t - 1), а W = W(t - 1).
Для упрощения расчетов в модели используется рекурсивный метод наименьших квадратов (RLS), согласно которому убеждения рекурсивно пересчитываются по мере поступления новой информации. В общем виде данная схема обучения выглядит следующим образом:
ф1 = фо + R1-1Xo(p1 - Хо'фо), R = So + Х0Х0', Rt = Rt - 1 + gt(xt - 1Xt - 1' - Rt - 1), фt = фt - 1 + gtRilXt- 1p - Xt- l'фt - 1),
где ф1, фt - коэффициенты линейной регрессии, полученные в периоде 1 и в периоде t соответственно; p1, pt - значение зависимой переменной; xt - вектор регрессоров в периоде t; Rt -ковариационная матрица регрессоров, gt = 1/t.
В нашей модели ф1 = (qn(1) q2i(1) q3i(1) wi(1))', ф0 = (qn(0) q2i(0) q3i(0) wi(0))', фt = (qu(t) q2i(t) q3l(t) wl(t))', x0 = (p10 p2 0 p3 0 z0)', p1 = pl,1, l = 1, 2, 3, R1 - ковариационная матрица регрессоров, которая рассчитывается на основе информации о ценах акций разных типов за несколько периодов (июнь-август 2005 г.), предшествовавших первому периоду в модели (сентябрь 2005 г.); Rt - ковариационная матрица регрессоров на момент t.
Вторая схема. Более упрощенная по сравнению с первой. Регрессия, по которой агенты делают прогноз, имеет следующий вид: pu = qu(t)pl,t- 1 + pzt - Wl(t), l = 1, 2, 3, где qu(t) и w(t) -коэффициенты линейной регрессии, переоценка которых также осуществляется по RLS. Это так называемый PLM с неверной спецификацией модели - в данном случае с недопараметри-зацией. Значения цен акций в текущем периоде в равновесии определяются также через ALM (5), с учетом Q(t - 1) = diag(qn(t - 1), q22(t - 1), q33(t - 1)).
Результаты
Оценки параметров модели, полученные нами, представлены в табл. 2.
Таблица 2
Оценки параметров
а1 а2 а3 ß Y
0,38 0,20 0,31 0,988 1,1
Ä1 Ä2 A3 Р ое
2,72 2,72 2,72 0,802 0,088
51 52 53
0,0014 0,0009 0,0019
Также было найдено REE:
(Pl,t Pl.t P3,t) = (pi,t - 1 P2,t - 1 P3,t - i)
( 0,46 0,25 0,37
0,39 0,21 0,31
0,40 ^
0,22
0,33
+ zt(0,098 0,082 0,087),
которое оказалось единственным, поскольку было установлено, что квадратное матричное уравнение (6) имеет единственное решение. Данное равновесие является стационарным, поскольку модули корней n, i = 1, 2, 3 характеристического уравнения превышают 1: ы = 1,05 > 1, |П2| = |пз| = 5,54 > 1.
На основе полученного матричного уравнения, а также на основе генерации вектора случайного шока zt (1 500 раз) была сымитирована динамика цен акций в случае REE. При этом в качестве нулевого периода рассматривался август 2005 г. и стартовые значения отклонений цен акций от стационарного состояния были следующими: pi,0 = -0,019, p2,0 = 0,299, p3,0 = 0,226, логарифм случайного шока z0 = -0,048.
В модели с адаптивным обучением (по разным схемам) также были получены оценки «стилизованных фактов» фондового рынка. Стартовые значения цен акций, а также шока были взяты такими же, как и в случае рациональных ожиданий. Стартовые значения убеждений ф0 = (#п(0) q2l(0) q3l(0) W/(0)), l = 1, 2, 3, были заданы экзогенно в виде сетки значений.
Далее на основе полученной равновесной динамики цен акций pl,i были рассчитаны средняя доходность и стандартное отклонение доходности для акций компаний всех секторов при каждой реализации шока. Затем были найдены средние по всем реализациям показатели средней доходности и стандартного отклонения доходности. На основе этих средних показателей был рассчитан ряд других соотношений, которые представлены в табл. 3.
В результате проведенных расчетов было выяснено, что модель с предположением об ограниченной рациональности агентов (в особенности с адаптивным обучением по первой схеме) в случае ценных бумаг компаний секторов добычи полезных ископаемых, а также обрабатывающих производств хорошо объяснила такие показатели, как:
• отношение модуля средней доходности к уровню риска;
• соотношение уровней риска акций компаний разных секторов.
Для акций сектора транспорт и связь модель как с рациональными, так и с нерациональными ожиданиями дала неточное предсказание указанных показателей.
Модель с адаптивным обучением по второй схеме наилучшим образом объяснила соотношение уровней риска акций компаний секторов добычи полезных ископаемых, а также транспорта и связи.
Получилось, что модель с рациональными ожиданиями, а также с адаптивным обучением неполностью объяснила такие показатели, как средняя доходность (за период сентябрь 2005 -декабрь 2009 г.) и уровень риска.
Модель в случае всех рассматриваемых в работе вариантов расчетов предсказала гораздо более низкий уровень риска акций (стандартное отклонение доходности) по сравнению с тем,
который наблюдался на реальном фондовом рынке. Модель с адаптивным обучением (в частности по первой схеме) предсказала более высокий уровень волатильности цен акций в сравнении с моделью с рациональными ожиданиями, однако этого все равно оказалось недостаточно.
Но при этом было замечено, что в случае адаптивного обучения (особенно в первой схеме) при некоторых реализациях шока наблюдались существенно более высокие значения стандартных отклонений, которые как раз оказались сопоставимы с показателями, наблюдавшимися в реальной экономике. Данные «выбросы» носили случайный характер и не могли быть объяснены наличием выбросов в сгенерированном векторе шума {е^ = 1,_,52 ~ N(0, ое2), от которого зависит данная реализация шока в экономике. Число «выбросов» составило не более 3 % от количества всех имитаций (1 500 шт.). Поэтому данный эффект практически не повлиял на уровень риска акций, который в среднем предсказала модель.
Таблица 3
Оценки «стилизованных фактов»
Добыча полезных ископаемых Обрабатывающие производства Транспорт и связь
REE RLS 1 схема RLS 2 схема REE RLS 1 схема RLS 2 схема REE RLS 1 схема RLS 2 схема
Средняя доходность по месяцам, % 0,462 0,209 0,206 -0,88 -0,978 -1,048 -0,51 -0,631 -0,668
Уровень риска акций, % 5,092 4,182 4,804 5,620 7,733 7,591 3,318 5,035 5,177
Отношение модуля средней доходности к уровню риска 0,150 0,039 0,058 0,197 0,167 0,148 0,237 0,170 0,145
Отношение уровня риска акций к уровню риска бумаг компаний добывающего сектора 1 1 1 1,104 1,849 1,580 0,652 1,204 1,078
Отношение модулей доходностей акций к модулю доходности бумаг добывающего сектора 1 1 1 1,911 4,683 5,078 1,094 3,020 3,238
Корреляция модуля средней доходности и стандартного отклонения -0,17 0,937 0,503 -0,17 0,880 -0,004 -0,05 0,850 0,150
Появлению таких «выбросов» в уровнях риска акций способствовали два условия. Первое условие было связано с тем, что при некоторых реализациях шока убеждения инвесторов сходились к таким значениям, которые существенно отличались от значений коэффициентов ALM. (В модели с рациональными ожиданиями эти коэффициенты совпадали). Чем существеннее это отклонение, тем более волатильны цены акций. При этом несоответствие прогнозируемых коэффициентов их истинным значениям наблюдалось и в случае реализаций, когда уровень риска акций гораздо ниже. Таким образом, наличия только первого условия было недостаточно для высокой волатильности фондового рынка.
Помимо первого должно выполняться второе условие, которое связано с высокими (положительными) коэффициентами wl(t), оцененными по методу линейной регрессии, при значении шока в экономике. Чем выше значения данных коэффициентов, тем более высокие (положительные) значения (в сравнении с рациональными ожиданиями) в данном случае принимали и коэффициенты при шоке в экономике, которые определяли равновесную динамику цен акций. Примечательно, что коэффициенты при лагах цен акций, наоборот, оказывались ниже, чем в случае REE.
В итоге, чем больше «ошибались» инвесторы, прогнозируя котировки акций (убеждения отличались от коэффициентов ALM), и чем больше была чувствительность цен акций к изменению величины шока, которую предсказывала регрессия, тем более волатильны оказывались цены акций.
В случае, когда инвесторы обучались по второй схеме, чем выше были коэффициенты wl(t), тем более волатильны (при разных реализациях шока) оказывались котировки акций. Данный вывод совпал с выводом в модели с обучением по первой схеме.
При этом чем выше коэффициенты wl(t), тем выше, как правило, чувствительности цен акций к изменению их собственных лагов qll(t). Особенность модели с адаптивным обучением по второй схеме заключалась в том, что чем больше был уровень риска акций, тем выше коэффициенты (всегда положительные) ALM при лагах цен акций и при значении шока в экономике.
Таким образом, высокая волатильность фондового рынка была возможна только в случае нерациональных ожиданий агентов. При этом чем более сложным было прогнозное правило, тем более высокой могла быть волатильность цен акций в случае некоторых реализаций шока в экономике.
Также был сделан вывод о том, что в модели независимо от того, какие ожидания рассматривались (рациональные или нерациональные), существовали два эффекта, которые влияли на уровень волатильности цен акций компаний разных секторов.
Первый эффект был связан с уровнем капитала в стационарном состоянии. Чем выше средний уровень капитала, тем при прочих равных условиях был ниже риск акций компаний данного сектора. Это было связано с тем, что при одной и той же динамике колебаний котировок относительно среднего уровня акции сектора с более высоким средним уровнем цен (средним уровнем капитализации) менее волатильны. В то же время в равновесии отклонения цен акций компаний разных секторов от стационарного уровня значительно не различаются.
Наиболее высокий уровень основного капитала на одного занятого наблюдался в добывающем секторе, затем шел сектор транспорт и связь, обрабатывающие производства.
Второй эффект был связан с коэффициентами, определяющими динамику отклонений от стационарных значений цен акций компаний разных секторов. Действие этого эффекта как в случае рациональных ожиданий, так и адаптивного обучения заключалось в том, что чем выше убеждения qil(t), i = 1, 2, 3, wl(t) в уравнении PLM, тем выше риск бумаг компаний данного сектора l. При этом оказалось, что если средний уровень капитала в секторе l выше, чем в секторе к, то qil > qik, i = 1, 2, 3. Самые высокие коэффициенты при лагах цен акций pl t _ ь а также при шоке zt были у акций сектора добычи полезных ископаемых, затем шел сектор транспорт и связь, обрабатывающие производства. Также было выяснено, что чем выше уровень капитала в секторе, тем в большей степени зависели цены акций компаний других секторов от котировок акций компаний данного сектора.
Таким образом, эти два противоположных эффекта объяснили тот факт, что в реальной экономике у акций компаний добывающего сектора и сектора транспорт и связь были сопоставимые уровни риска и средние доходности, несмотря на то, что средние уровни капитала в данных секторах существенно различались.
Что касается средних доходностей акций, то оказалось, что в данном случае также значительную роль играл характер ожиданий. Независимо от характера реализации шока в случае нерациональных ожиданий значение средней доходности, как правило, почти не отклонялось от нулевого уровня, в отличие от рациональных ожиданий (в 95 % случаев средняя доходность акций принадлежала интервалу (-0,5 %; 0,5 %), в модели с рациональными ожиданиями этот показатель составил 39 %). В то же время это отклонение было значительным только в случае высокой волатильности цен акций, которую опять же в большей степени предопределили ожидания в условиях неполной информации, а не реализация шока.
Заключение
Содержательный вывод, который можно сделать на основе полученных результатов, заключается в следующем.
В случае рациональных ожиданий наибольшее влияние на динамику котировок на фондовом рынке оказывала реализация вектора шока в экономике. Это было связано с тем, что в данном случае шок в экономике являлся единственным фактором, благодаря которому котировки акций колебались относительно своего среднего уровня.
В случае модели с адаптивным обучением эта зависимость сохраняется. Но в данной ситуации динамика отклонений цен акций зависела еще и от того, к какой матрице сойдутся убеждения инвесторов. При этом расчеты показали, что эта матрица различна при разных
реализациях вектора шока, поэтому различными оказались коэффициенты ALM, которые определили динамику отклонений цен акций от среднего уровня. В итоге получилось, что независимо от характера реализации шока значение средней доходности за период, как правило, почти не отклонялось от нулевого уровня в отличие от рациональных ожиданий.
Таким образом, нерациональные ожидания повлияли существенным образом на динамику цен акций, в частности на значения средней доходности акций.
В итоге был сделан вывод, что модель с нерациональными ожиданиями в целом хотя и неполностью, но тем не менее лучше объяснила «стилизованные факты» российского рынка акций, чем модель с рациональными ожиданиями.
Дальнейшее улучшение моделей общего равновесия с точки зрения объяснения «стилизованных фактов» фондовых рынков лежит, на наш взгляд, в построении моделей общего равновесия с неоднородными адаптивно обучающимися инвесторами, хотя это является технически сложной задачей.
Список литературы
1. Campbell J. Y. Consumption-Based Asset Pricing // The Handbook of the Economics of Finance. North-Holland: Elsevier, 2003.
2. Hansen L. P., Singleton K. J. Stochastic Consumption, Risk Aversion, and the Temporal Behavior of Asset Returns // Journal of Political Economy. 1983. Vol. 91. P. 249-268.
3. Shiller R. J. Consumption, Asset Markets, and Macroeconomic Fluctuations // Carnegie Mellon Conference Series on Public Policy. 1982. Vol. 17. P. 203-238.
4. Cochrane J. H. Production-Based Asset Pricing and the Link between Stock Returns and Economic Fluctuations // Journal of Finance. 1991. Vol. 46. P. 209-237.
5. LeRoy S. E, Porter R. D. The Present Value Relation: Tests Based on Variance Bounds // Econometrka. 1981. Vol. 49. P. 555-577.
6. Campbell J. Y. A Variance Decomposition for Stock Returns // Economic Journal. 1991. Vol. 101. P. 157-179.
7. Mehra R., Prescott E. C. The Equity Premium Puzzle // Journal of Monetary Economics. 1985. Vol. 15. P. 145-161.
8. Carceles-Poveda E., Giannitsarou Ch. Asset Pricing with Adaptive Learning // Review of Economic Dynamics. 2008. Vol. 11(3). P. 629-651.
9. Klaus A., Marcet A. Internal Rationality and Asset Prices // C.E.P.R. Discussion Papers, CEPR Discussion Papers: 7498. 2009.
10. Azariadis C., Chakraborty Sh. Asset Price Volatility in a Nonconvex General Equilibrium Model // Economic Theory. 1998. Vol. 12(3). P. 649-665.
11. Bullard J., Duffy J. Learning and Excess Volatility // Macroeconomic Dynamics. 2001. Vol. 5(2). P. 272-302.
12. Evans G., Chakraborty A. «Can Perpetual Learning Explain the Forward Premium Puzzle?» University of Oregon Economics Department, University of Oregon Economics Department Working Papers. 2006.
13. Bogomolova A., Kolyuzhnov D. Optimal Monetary Policy Rules: The Problem of Stability under Heterogeneous Learning // CERGE-EI Working Paper Series: 379. 2008.
Материал поступил в редколлегию 01.11.2010
D. V. Kolyuzhnov, V. S. Tolstova
STOCK PRICES DYNAMICS AND ADAPTIVE LEARNING IN A GENERAL EQUILIBRIUM FRAMEWORK WITH HETEROGENEOUS PRODUCTION
In this paper we test the hypothesis that adding heterogeneity of production and bounded rationality in a form of adaptive learning into a general equilibrium framework may help us explain the asset pricing «stylized facts». We test this hypothesis by developing an asset pricing general equilibrium model of a three-sector production economy for the Russian stock market. The adaptive learning version of the model (compared to the rational expectations one) has appeared to be better in explaining the Russian stock market «stylized facts».
Keywords: asset pricing, adaptive learning, heterogeneous production, Russian stock market.
